数学（山西卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

11 2025年中考押题预测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17. （8分） 18.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （7分） 20. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22 （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ 408亿， 故选∶C． 2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 4．（本题3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 故选：A． 5．（本题3分）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：延长交n于K， ∵平面镜与挡板n形成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据利用待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系， ∴设, 将表中数值代入得， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据正五边形的内角和可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据五边形的内角和可得的度数，最后根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的内切圆分别切，于点，， ∴，， ∴， ∴在五边形中，， 由圆周角定理得：， 故选：B． 8．（本题3分）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ， ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ， ∴，在第二象限，点在第四象限， ， 故选：D． 9．（本题3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 先列表共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F， 列表如下： 第二张          第一张 A B C D E F A B,A C,A D,A E,A F,A B A,B C,B D,B E,B F,B C A,C B,C D,C E,C F,C D A,D B,D C,D E,D F,D E A,E B,E C,E D,E F,E F A,F B,F C,F D,F E,F 共有30种等可能结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种， ∴小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是． 故选：B． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与x轴的交点为M，过点作轴于点N，先证明，得到，设，，根据题意，得，，解得，得到即，利用三角函数解答即可． 【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，点C的坐标， ∴，， ∵以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F． ∴，， 设与x轴的交点为M，过点作轴于点N， ∵， ∴， ∴， 设，， 根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，不等式的性质，由可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．（本题3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律． 【详解】解：第1个图案有4个正方形，即， 第2个图案有7个正方形，即， 第3个图案有10个正方形，即， …… 以此类推，第个图案有个正方形， 故答案为：． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在中，，，．在的上方作，使，交于点E．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，先解直角三角形可得，设，则，，在中，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，再解直角三角形求出的长，从而可得的长，然后证出，利用相似三角形的性质可得，从而可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）（1）计算：     （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，算术平方根的定义，绝对值的意义等计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 【答案】该专卖店最少售出度的陈醋1000桶 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设该专卖店售出度的陈醋桶，则售出度的陈醋桶，根据全部售出，且总销售收入不低于88000元建立不等式，解不等式，求出的最小正整数解即可得． 【详解】解：设该专卖店售出度的陈醋桶，则售出度的陈醋桶， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为1000， 答：该专卖店最少售出度的陈醋1000桶． 18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于2025年6月12日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 c 八年级 8.375 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________，___________． (2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． (3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 【答案】(1)，，8， (2)小颖同学可能是七年级的学生．理由见解析 (3)估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 【分析】本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义直接求解即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【详解】（1）解：， 因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8， 即， 因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数， ， 故答案为：，，8，； （2）解：推测小颖同学可能是七年级的学生． 因为小颖的分数在年级属于中游略偏上，即小颖的分数大于或等于七年级的中位数，所以成绩在中游略偏上， 故答案为：七； （3）解：由原数据可得七年级高于的同学有14（人）， （人）， 估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)这种玩偶每件应降价元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． 【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； （2）解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 【答案】66m 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键． 根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，延长，交的延长线于点，设，则，求出的长，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如解图，延长，交的延长线于点，则四边形为矩形． ， 由题意，可知， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， 解得， 答：应县木塔DE的高度约为66m． 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为______． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ，． ，， ， ，，，． 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为．   设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为． 由得， ． 为中点， ， ． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想    B．数形结合思想    C．函数思想    D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题：    如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 【答案】(1)BCD (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，正方形的性质，正确理解题意建立坐标系是解题的关键． （1）根据材料中分析过程可知：运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想即可解答； （2）仿照题意以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，先分别求出，，，，再根据两点中点坐标公式得到，，求出直线的解析式，进而求出点H的坐标，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想， 故选：BCD． （2）解：如图，以为原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 正方形的边长为，， ，． 为的中点， ． 设直线的表达式为，将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 令得， ． ． 22．（本题12分）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 【答案】问题解决1：（1）画图见解析，；（2），；问题解决2： 【分析】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由题意可得，，，，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）设，，由正方形的性质结合对称性可得则，，，，再代入抛物线的解析式计算即可得解； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为，设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为，由题意可得它们是全等的正方形，边长为，这里，从而得出，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： ， ∵圆窗的跨度，高， ∴，，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵四边形、为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点， ∴设，，则，，，， ∵、在抛物线上， ∴，， 解得：或（不符合题意，舍去）；或（不符合题意，舍去） ∴，； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为， 设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为， ∵在正方形内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形， ∴它们是全等的正方形，边长为，这里， ∴， ∵，为正整数， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为， 即条窗棂长度和的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．（本题13分）综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，S的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或 或 【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C A A B B D B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分） 【详解】解：（1）原式 (4分) ； (5分) （2）原式 (9分) ． (10分) 17．（本题7分） 【详解】解：设该专卖店售出度的陈醋桶，则售出度的陈醋桶，(1分) 由题意得：，(4分) 解得，(5分) ∵为正整数， ∴的最小值为1000，(6分) 答：该专卖店最少售出度的陈醋1000桶．(7分) 18．（本题10分） 【详解】（1）解：， 因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8， 即， 因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数， ， 故答案为：，，8，；(6分) （2）解：推测小颖同学可能是七年级的学生． 因为小颖的分数在年级属于中游略偏上，即小颖的分数大于或等于七年级的中位数，所以成绩在中游略偏上， 故答案为：七；(8分) （3）解：由原数据可得七年级高于的同学有14（人）， （人）， 估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．(10分) 19．（本题7分） 【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为；(2分) （2）解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得，(4分) 解得：或，(6分) 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元．(7分) 20．（本题7分） 【详解】解：如解图，延长，交的延长线于点，则四边形为矩形． ， 由题意，可知，(1分) 在中，， ，(2分) 设，则， 在中，， ，(3分) ，(4分) 在中，，， ， ，(5分) 解得，(6分) 答：应县木塔DE的高度约为66m．(7分) 21．（本题9分） 【详解】（1）解：根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想， 故选：BCD．(3分) （2）解：如图，以为原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 正方形的边长为，， ，．(4分) 为的中点， ．(5分) 设直线的表达式为，将代入， 得，解得，(6分) 直线的表达式为．(7分) 令得， ．(8分) ．(9分) 22．（本题12分） 【详解】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： ， ∵圆窗的跨度，高， ∴，，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：，(2分) ∴抛物线的函数表达式为；(3分) （2）∵四边形、为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点， ∴设，，则，，，， ∵、在抛物线上， ∴，，(5分) 解得：或（不符合题意，舍去）；或（不符合题意，舍去） ∴，；(7分) 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为， 设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为， ∵在正方形内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形， ∴它们是全等的正方形，边长为，这里，(9分) ∴，(10分) ∵，为正整数， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为，(11分) 即条窗棂长度和的最小值为．（12分) 23．（本题13分） 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为；(3分) （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为，(4分) 设，则， ∴，(6分) ∴的面积为，(7分) ∴当时，S有最大值，S的最大值为；(8分) （3）存在．(9分) ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点；(10分) ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或，(12分) 综上所述，点M的坐标为或 或 ．(13分) 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（10分） 19．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（7分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 3．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（    ） A．B．C．D． 5．（本题3分）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、“”或“”填空） 12．（本题3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 14．（本题3分）如图，在中，，，．在的上方作，使，交于点E．若，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）（1）计算：     （2）化简： 17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于2025年6月12日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 c 八年级 8.375 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________，___________． (2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． (3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为______． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ，． ，， ， ，，，． 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为．    设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为．由得， ． 为中点， ， ． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想    B．数形结合思想    C．函数思想    D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题：    如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 22．（本题12分）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 23．（本题13分）综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第11页（共8页） 试题 第12页（共8页） 试题 第9页（共8页） 试题 第10页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 3．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（    ） A．B．C．D． 5．（本题3分）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、“”或“”填空） 12．（本题3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 14．（本题3分）如图，在中，，，．在的上方作，使，交于点E．若，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）（1）计算：     （2）化简： 17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于2025年6月12日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 c 八年级 8.375 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________，___________． (2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． (3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为______． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ，． ，， ， ，，，． 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为．   设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为． 由得， ． 为中点， ， ． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想    B．数形结合思想    C．函数思想    D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题：    如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 22．（本题12分）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 23．（本题13分）综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$