11.2 平面的基本事实与推论（11大题型提分练）（题型专练）高一数学人教B版必修第四册

11.2 平面的基本事实与推论 题型一 平面的概念及表示 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 4．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二 空间位置的画法 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 2．（16-17高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高二·全国·课后作业）看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 4．（21-22高一·全国·课后作业）请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 题型三 平面分空间区域的数量问题 1．（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（22-23高一下·全国·课后作业）空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 3．（多选）（22-23高一下·辽宁大连·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 4．（多选）（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 题型四 平面的基本性质及辨析 1．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·新疆·期末）给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 4．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）以下说法正确的是（    ） A．一个平面长3m，宽2m B．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 C．空间图形是由空间中的点、线、面所构成的 D．四边相等的四边形一定是平面图形 题型五 确定平面的数量问题 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 3．（24-25高一下·全国·课后作业）空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 4．（19-20高一上·陕西西安·阶段练习）三条直线两两相交，它们可以确定的平面有 个． 题型六 空间点（线）共面问题 1．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有 条． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    题型七 空间点的共线问题 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 题型八 空间线共点问题 1．（15-16高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型九 由平面的基本性质做截面问题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    3．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    题型十 平面的基本性质的计算问题 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 4．（多选）（23-24高一下·福建南平·期末）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是 ． 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 6．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 7．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 题型十一 平面的综合问题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 2．（21-22高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 平面的基本事实与推论 题型一 平面的概念及表示 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示、线面关系有关命题的判断 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】由点线面的位置关系及其表示即可得解. 【详解】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，. 故选：D. 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据平面的表示方法即可选择正确答案. 【详解】表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP． 由题可知A错误，BCD正确. 故选：A. 4．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A 题型二 空间位置的画法 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 2．（16-17高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】按照画法原则进行判断即可. 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 3．（21-22高二·全国·课后作业）看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 【答案】 直线 直线 直线 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】根据图形直接判断即可. 【详解】（1）与交于点，直线直线； （2）平面与平面的交线为，平面平面直线； （3）平面与平面的交线为，平面平面直线； （4）平面与平面的交线为，平面平面直线； （5）平面，平面，平面的公共点是， 平面平面平面； （6）直线，直线，直线的交点为，直线直线直线. 故答案为：；直线；直线；直线；；. 4．（21-22高一·全国·课后作业）请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【答案】作图见解析 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线. 【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可． 如图． 题型三 平面分空间区域的数量问题 1．（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B 2．（22-23高一下·全国·课后作业）空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【答案】B 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可. 【详解】空间不重合的三个平面， 若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分. 所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.              故选：B. 3．（多选）（22-23高一下·辽宁大连·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、平面分空间的区域数量 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确. 故选：CD 4．（多选）（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、平面分空间的区域数量 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时， 将空间分成8个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确. 故选：CD 题型四 平面的基本性质及辨析 1．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·新疆·期末）给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可. 【详解】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 3．（多选）（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四过形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 4．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）以下说法正确的是（    ） A．一个平面长3m，宽2m B．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 C．空间图形是由空间中的点、线、面所构成的 D．四边相等的四边形一定是平面图形 【答案】BC 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】由平面的基本性质即可逐一判断求解. 【详解】对于A，平面可以无限延展，故A错误； 对于BC，由平面的性质、空间图形的概念可知，平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，空间图形是由空间中的点、线、面所构成的，故BC正确； 对于D，例如我们把一张菱形纸片沿着它的对角线对折使得两个三角形所在平面成一定角度，但又不重合， 此时纸片的四边还是相等，但是它不是平面图形了，故D错误. 故选：BC. 题型五 确定平面的数量问题 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 【答案】7 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题 【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面． 【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面． 故答案为：7. 4．（19-20高一上·陕西西安·阶段练习）三条直线两两相交，它们可以确定的平面有 个． 【答案】1或3 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】分直线c在a与b确定的平面内和直线c不在a与b确定的平面内两种类型，结合图形找出确定的平面个数即可. 【详解】设这三条直线为a，b，c，故两条相交直线a与b确定一个平面， （1）若直线c在平面内，则直线a，b，c确定一个平面； （2）若直线c不在平面内，则直线a，b，c两两能确定一个平面，共确定三个平面. 故答案为：1或3. 题型六 空间点（线）共面问题 1．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、空间中的点（线）共面问题 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有 条． 【答案】5 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】作图观察即可. 【详解】作图并观察可知，既与AB共面又与共面的棱有CD，BC，，，，共5条． 故答案为：5 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 题型七 空间点的共线问题 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 题型八 空间线共点问题 1．（15-16高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【知识点】空间中的线共点问题、用定义证明线面关系 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型九 由平面的基本性质做截面问题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【答案】 等腰梯形 / 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 【详解】如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长交的延长线于，连接交于，连接，则截面与侧面的交线，再结合数量关系求解即可. 【详解】如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 题型十 平面的基本性质的计算问题 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 2．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 3．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 4．（多选）（23-24高一下·福建南平·期末）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是 ． 【答案】 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】作出辅助线，得到过点M，N，B的平面截该正方体的截面为五边形，并求出周长. 【详解】因为M，N分别为棱，的中点，所以， 过点作交的延长线于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接交于点， 因为，则，且分别是的三等分点， 故过点B，M，N的平面截该正方体所得截面为五边形， 由勾股定理得，，, 故五边形的周长为. 故答案为： 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质的有关计算、空间中的点共线问题 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 6．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 7．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【知识点】空间中的线共点问题、由平面的基本性质作截面图形 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 题型十一 平面的综合问题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 2．（21-22高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、空间中的线共点问题 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面且平面， 故平面平面，所以三线共点. 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$