精品解析：湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题 命题人：蒋志华 审题人：莫 俐 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（） A 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米 8. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 10. 已知复数（虚数单位），则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、在同一平面内，且，. （1）若，且与共线，求坐标； （2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？ 16. 已知复数()的实部与虚部的差为． （1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标； （2）当取得最小值时，求复数的实部． 17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P. （1）求证：； （2）当时，求三棱锥的体积. 18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）求证：平面PAC； （3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 19. 已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求A； （2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题 命题人：蒋志华 审题人：莫 俐 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2. 已知向量.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可求出结果. 【详解】因为，所以，，. 因为，所以， 所以，所以，解得. 故选：C 3. 如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积. 【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示， 可知四边形梯形，，，，且， 过点作于点，由，故， 所以. 故选：C. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又因为，所以． 故选：B． 5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ） A B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可. 【详解】设， 因为， 又，即， 解得， 所以， 所以， 故选：A. 6. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（） A. 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设，由，可得， 因为且， 在直角中，可得，解得， 所以. 故选：D. 8. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出过点，点的平面，使得平面，此时的轨迹即为平面与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度. 详解】连接，过作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为平面，所以平面，所以， 又因为，且，所以平面， 所以的轨迹为， 因为，所以可知， 所以，所以，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以的轨迹长度为：， 故选：A 【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D. 【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确; 对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确; 对于C，若，且，则或，所以B不正确; 对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确. 故选:BD. 10. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，由共轭复数和虚部概念进行判断；C选项，分别求出两复数的模长，比较大小；D选项，利用复数除法法则计算出，得到对应的点坐标，进行判断. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，的虚部为-2，B错误； C选项，，故，C正确； D选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，D错误. 故选：AC 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，，则，解得， 则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于的方程，注意检验，从而得解. 【详解】因为方程，有两个虚数根， 所以，则， 又由，得，即， 所以，即， 所以的两个虚数根分别为， 它们在复平面上对应的点分别为， 所以它们之间的距离为，解得，满足， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算. 【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设， 则，解得：， 所以. 故答案为：6 14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可求解E为的中点，即可得，利用补形法，即可根据长方体的外接球的半径求解. 【详解】连接交于点，连接，因为，共面，且平面， 平面,平面平面，所以. 由于O为的中点，所以E为的中点，所以. 四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、在同一平面内，且，. （1）若，且与共线，求的坐标； （2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？ 【答案】（1）或 （2），同向. 【解析】 【分析】（1）由题设，根据题意得到方程，解出即可； （2）写出，，根据共线得到，解出值，代回验证即可. 【小问1详解】 与共线，则可设， ，，解得， 当时，；当时，， 故或. 【小问2详解】 ，， 则由题意得，解得， 此时， 故此时与同向. 16. 已知复数()实部与虚部的差为． （1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标； （2）当取得最小值时，求复数的实部． 【答案】（1）．（2） 【解析】 【分析】 （1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可； （2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解. 【详解】解：（1）由题意可得， 因为， 所以， 又， 所以， 即， 则， 所以在复平面内对应的点的坐标为． （2）因为，所以当时，取得最小值， 此时，， 则， 所以的实部为． 【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算，重点考查了复数的实部、虚部的运算，属基础题. 17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P. （1）求证：； （2）当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证平面，再证； （2）由等体积法求. 【小问1详解】 证明：A，C重合于P，∵，∴，∵，∴， 又平面，平面，，∴平面， ∵平面PEF，∴； 【小问2详解】 由已知得，，， 则在中，边上的高. 则， ∴. 18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）求证：平面PAC； （3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC； （2）利用线线垂直证明线面垂直； （3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论． 【小问1详解】 证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC. 【小问2详解】 证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以， 即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC， 因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC. 【小问3详解】 由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角， 在中，，在中，， 在中，，所以. 直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为. 19. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求A； （2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；的值为定值，此定值为. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知式可得，由辅助角公式可得，即可求出A； （2）①由题意可得，由，得，代入即可求解； ②根据正弦定理、三角形的恒等变换和平面向量的数量积公式，即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理可得：， 即， 整理得：，即， 因为为三角形的内角，所以，即. 【小问2详解】 ①由知，为AC中点，因为外接圆圆心为，所以， 由（1）知，，由，得， 当时，点与重合，为切点，且，. ②在中，， ， 故， 所以在点D、E的运动过程中，的值为定值，此定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $