湖南长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一数学期中 命题人：吴坚、龚卓 审题人：张自力、命题研究中心 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|(x十2)(x-1)≤0}，集合B={x|y=√x十1)，则 A∩B= A.[-1,1] B.{0,1} C.{-1,0,1} D.[0,1] 圜 2.已知复数之满足(2十i)z=1一2i,其中i为虚数单位，则|z= 地 A.2 B.√2 C.1 D.√3 郎 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，十∞)上单调递减，f(一4) 长 =0,则不等式f(x)<0的解集是 B A.(-4,0)U(4,+∞) B.(-∞，-4)U(0,4) 邪 C.(-∞，-4)U(4,十∞) 病 D.（-4,4) 4.已知平面a,两条不重合的直线l,m,则“存在直线mCa,使1∥m”是“1，∥ 相 a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图，在各棱长都为1的平行六面体ABCD-AB1C1D1中，棱AA1, AB,AD两两之间的夹角均为，则异面直线BA1与CB,所成的角为 A. B. 6 c D. 高一数学试题(Q)第1页（共8页） 6.将函数f(a)=sin(分x一的图象向右平移受个单位长度后，得到的图 象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为 A.0 B一 C. D.圣 7.已知a=(),6=(学)，c=1g3,则 A.bac B.ac>b C.c>ab D.a>b>c 8.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行.如图2，点A,B是“六芒星”的两个顶点，动点P 在“六芒星”内（包含边界），则OB·AP的取值范围是 图2六芒星 图1 A[o,] [-别 c.[-3w3] D.[0w3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分 9.已知函数f(x)=|sinx一1|，则 A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的值域为[0,1] C.f(x)的单调递减区间为[-罗+2k元，受+2km],k∈Z D.f(x)的图象关于点（π，1）对称 10.已知复数之1,2，i为虚数单位，则下列说法正确的是 A若1，互为共轭复数岛则的虚部为-) B若，互为共轭复数，1=吉，则m=” C.若1，x2互为共轭复数，则·2=|之2=212 D.若好十吃=0，则1=2=0 11.如图，在正方体ABCD-A1B,C1D中，AB=2,点E是正方形D1DCC 内的动点（包含边界），点F为AB的中点，则下列结论正确的是 A.若点E在线段CD上，则AE⊥BO B.若点E在线段DC上，则AE十EB1的最小值为2√3 C若点E是线段CC的中点，则点E到平面DFC,的距离为号 D若EF=6,则点E的轨迹长度为 2元 选择题答题卡 题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知二次函数f(x)=ax2+2x十c(a>0)有且仅有一个零点，则名+ 1十的最小值为 13.如图，已知三棱台ABC-A1B1C的体积为V,上、下底面边长之比为 1:3,若截去三棱锥C-A1B1B,则剩余部分的体积为 ·(用 V表示) 14.若3sina+cosB+sin(a十B)=1,则sina的最小值为 、胼答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=a-1一2，其中a>0且a≠1 (1)若a=2,g(x)=f(2x)一2f(x),求g(x)的最小值； (2)当x≥-1时，f(x)≤2恒成立，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°，N为AC边的 中点 (1)求BN.AC; (2)求cos∠NBC. B A C 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,N为PB 的中点，PC∩平面AND=M. (1)求证：MN∥BC; (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值 M B 18.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 sin 2A= 62 2B动点D在△ABC的外接圆上，月点C和点D位于边AB的两 侧，连接CD,已知AC=3,AD=2BD (1)判断△ABC的形状； C (2)若BD=2,求四边形ADBC的面积S; B (3)求号的最大值 19.(本小题满分17分) 已知正四面体A-BCD的棱长为2√6. (1)证明：ADI BC; (2)某几何体是由正四面体A-BCD按如下规则得 到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三 D 角形为底面，向外补一个小正四面体记为第1次 操作；继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底 面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示 (ⅰ)求第3次操作后几何体的体积； (ⅱ)现有n(n≥3)次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球 的体积. 第1次操作 第2次操作 第3次操作 高一数学期中参考答案 一、二、选择题 题号 y 2 34 5 6 8 9 10 11 答案 A C D C B ACD BC ACD 1.A 【解析】因为A={x(x十2)(x-1)≤0}={x-2≤≤1)，B={xy=√x+T)={xz≥-1)，故A∩B=[-1,1] 2c【解折]内道意-8器骨-i则-1 3.C【解析】由已如f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，十o∞)上单调递减， 则函数f(x)在（一∞，0）上单调递增，文f(一4)=0，所以(4)=f(一4)=0， 即当-4<x<4时，f(x)>0,当x<-4或x>4时，f(x)<0, 所以不等式f(x)<0的解集为(-∞，一4)U4,十o). 4.B【解析】如果lCa,此时也能找到mC&且∥m,但1并不平行于a,而是在a内，所以充分性不成立： 根据线面平行的性质定理，如果直线l平行于平面a,那么过l作一个平面与a相交，交线m就满足1∥m,且mCa,所 以必要性成立。 即“存在直线mCa,使l∥m”是“L∥a”的必要不充分条件. 5.CK解析】如图所示，在平行六面体ABCD-A:B,CD,中，连接AD,BD.由AB,∥AB∥CD, AB,=AB=CD,得四边形A1B,CD是平行四边形，则B,C∥AD,故∠BAD或其补角是异面 直线BA,与CB所成的角. 由AA=AB=AD=1,棱AA,AB,AD两两之间的夹角均为受，得△ABD,△ABA1,△ADA 都是正三角形，即BA,=BD=AD=1,则∠BAD=哥，所以异面直线BA与CB所成的角为于 6.D《解析】将函数f红)=sm(号x一g)的图象向右平移受个单位长度后， 对应的画数解折式为8)=sn[x一受）-9]=血（号x一冬-， 因为g(x)的图象关于y抽对称，则一晋-p-受十x,E2,即p=一经-如，∈乙 当k=0时，p=-要；当二-1时，9=吾}当k=-2时，g=平， 综上，9的一个可能取值为交。 .C【解析】因为罩函数y=x在(0，十∞)上单调递增，所以1>（是）>（号）》，即1>>b, 又因为对数函数)=1cg4x在(0，+o。)上单调递减，所以log4寻>1cg4号=1，即>1， 所以c>a>b. 8.B【解析】如图，作A应=O殖，由向量数量积的几何意义可知，当点P与点C或点D童合时， (Oi·A)=Ai.At-M∠CAM=AM1AN,而AM=OBl=号×号- 1,AN=X3=是，所以o.=是由对称性可知Oi,咖=一是 所以Oi·市的取值范国是[-是，是] 9.ACD【解析】因为f(x)=|sinx一1|=一sinx十1，所以fx)的最小正周期为2π，A正确； 因为sinx∈[-1,1]，所以f(x的值域为[0,2]，B错误； f八)的单调递减区间为[一受+2km,受+2kx],∈Z,C正确； f(x)的图象关于点(x,1)对称，D正确.故选ACD, 高一数学秀考答案(Q)一1 a配【得标时千么一告石超一登=利=一i意为的盒来考一1成A骨适 对于B,1=21=%X+=的=一i=名，故B正确； 对于C,设名=a十i(a,b∈R),则台=a-i,所以名·名=|名2=|22=a十，故C正确； 对于D,取=i,名2=1，则十=0，但名≠2，故D错误.故选BC 11.ACD【解析】选项A,当点E在线段C,D上时，连接BC,在正方形BCCB1中，对角线B,C⊥BC, 又AB⊥平面BCCB,所以AB⊥BC,于是B,C垂直于平面ABC,D内的两条相交直线AB和BC1, 故B,C⊥平面ABCD,而AEC平面ABCD,因此AE⊥B,C,A正确， 选项B,当点E在线段D,C上时，如图1，将平面DB,C沿直线DC翻折，使得A,D,B,C四点共面， 如图2，△AD,C和△CD,B均是边长为2W2的等边三角形，易知AE十EB≥AB=2W6,B错误； 图1 图2 选项C,当点E是骏及CC中点时，中国3，最点E到平面D℃的距离为，对ra一5匹·AD=号， 而V=x=Ve=吉Sae·h,DF=-5,DC=2V2,FC=3,由余弦定理得c0s∠CDF= 0 所以sin∠CDF= ,所以SAr6=3,枚h=了，C正确； w10 D B B 图3 图4 选项D,如图4，取DC,CC,DD的中点O,N,M,连接OF,OM,ON,MF, 易知OF⊥OM,OF=2,OM=√2，则MF=√6， 由EF=√6得点E在以O为圆心、√瓦为半径的圆上，点E的轨迹为國孤MN, 易知LMON=受，所以.点E的轨远长为竖元D正流，散选ACD, 三、填空题 12.2W2+1【解析】由题意知，a>0,A=4一4ac=0,.ac=1,c>0, 期2+中-名++12√层+12万+1，当且收当名-，即a-E,e一号时取孝号 c a c 18.爵【解折】由相似可知，三接台上、下底西的西积之比为1·9，设技台的离为，上底面的面积为S,则点B到早面 A8G的距离也是h,从西79V% VGABB VEABG s 1 (S+9S+5X95)h 则制余南分的体积为影 14.一号【解析】由3sina十coa叶i血a6o3计-1得， 1-3sin a=(sin a++1)cos 8+cos asin B, 由捕助角公式得|(sima+1)cos叶cos asin=√/1十sina)2+cosa·|sin(grp)川≤√2+2sina, 高一数学参考签案(Q)一2 cos a 计9)=主1时取等号，其中sing=+0a,cosp一√2开2 √2+2sina 所以(1-3sina2≤2+2sna,即9sina一8sina一1<0，解得-号≤n≤1，所以sina的最小值为一分 四、解答题 15.【解析】(1)当a=2时，f(x)=2-1一2， 则g(x)=f2x）-2fx)=221-2-2X(21-2)=号×2-25+2… …2分 =号(2*-1+是， 4分 六当2=1时，g(2)a-号， 明2=0时，g(x）a=是.6分 (2)当a>1,x≥一1时，f(x)的值域为[f(一1)，十∞)，不符合条件；…9分 .0<a<1,且f(x)=f-1)=a2-2, 由题意得a1-22,得d≥}， 舒得号<a<1,即实数a的取值范周为分小 ……13分 16.【解析】方法一：以A为原点，AC所在直线为x抽建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(1W3),N(3,0),C(6,0). …………2分 (1)B=(2,-√3)，AC=(6,0),… …4分 所以Bi,AC=2X6十(-3)X0=12.…7分 (2)因为BC=(5,一√5)，…9分 所以B衣.BC=2X5+(-)X(-√3)=13， …11分 Bδ|=√/4+3=√7，|BC=√25+3=2W万，…13分 则co8∠NBC= B成.或13=13 BBC7×2厅- …15分 方法二：(1)图为B衣=A衣-A遮， …2分 所以B成.A花=(-).AC-.AC-店.C-3×6-2X6×号=12.…7分 (2)因为BC=AC-AB, …8分 所以B前.武=（市-A).(4花-）=A市.A花-店.AC-.A范+A廊=18-6-3+4=13，…10分 |Bi=√AN-AB)2=√AWP+AB-2AN·AB=√9+4-2X3=7,…12分 |BC=√/(AC-AB)2=√AC+AB2-2AC·AB=√36+4-2X6=27, …14分 所以∠NBC=或：亮=99 BN BCI 7X27 14 …15分 方法三：(1)在△ABN中，由余弦定理可得， BN2=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN=7,即BN=√7， …2分 COSLANB-AN+BN-AB_2/7 7 …4分 2AN·BN 所以Bi.AC=BNACI cos∠ANB=12.… …7分 (2)在△ABC中，由余弦定理可得，BC=AB+AC-2AB·AC05∠BAC=4+36-2X2X6X号=28， 所以BC=2√万，… …11分 所以NBC--BC益C-装7发-行9 …15分 2BC·BN 高一数学参考答案(Q)一3 17.【解析1(1)因为AD∥BC,ADC平面ANMD,BC女平面ANMD, 所以BC∥平面ANMD,…3分 而BCC平面PBC,平面PBC∩平面ANMD=MN,…5分 所以N∥BC.a…6分 (2)如图，连接DN,… …7分 因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD,…8分 又因为ADLAB,AB∩PA=A,且AB,PAC平面PAB,所以ADL平面PAB.…9分 由(1)得MN∥BC,且AD∥BC,则MN∥AD, 所以MN⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以MN LPB.…10分 因为N为PB的中点，且PA=AB,所以AN⊥PB,…11分 又AN∩MN=N,AN,MNC平面ANMD,所以PB⊥平面ANMD,… …12分 所以DN是BD在平面ANMD内的射影，∠BDN为BD与平面ANMD所成角。…13分 由PA=AB=2且PA⊥AB,N为PB的中点，得AN=√2， 因为ANC平面PAB,所以AD.1AN,故ND=AN2+A=2+4=6,即ND=√6， 又因为AD=AB=2且A乃LAD,所以BD=22,…14分 所以∠B0N=品须-号 所以BD与平面ANMD所成角的余孩值为 …15分 a2 b2 sinA sinB 18.【解析】K1)由sn2A=sin2B得2 sin AcosA2 2sin BcosB' 因为A,B∈(0，x),所以sinA>0,sinB>0, …2分 所以票会部器即AnB,所以A=B, 所以△ABC为等腰三角形.… ……5分 (2)由余弦定理得，iCDI2=|AC2+|AD-2|ACIAD|cos∠CAD=25-24cos∠CAD, |CD12=|BC|2+|BD12-2|BC|BD|cos∠CBD=13+12cos∠CAD,… …7分 所以25-24o8∠CAD=13+12cos∠CAD,则cos∠CAD=号， …8分 所以sin∠CAD=2y2=sin∠CBD, 3 …9分 所以S=克ACIADI sin∠CAD+专|CBBD|sin∠CBD=6E.… 10分 (3)设BD=x,∠ADB=a,则AD=2x,∠ACB=元-a,∠CBA=∠CAB=号， 由余弦定理得，AB2=|AC+BC2-2引AC1 BCI cos(πa)=18(1+cosa), AB2=AD2+BD12-21ADIBDI cos a=5x2-4x'cos a=(5-4cos a), 所以18(1十608）=2(5-4o0sa),即.=181叶cos2. 5-4cos a …12分 又因为|CDI2=|ACI2+|ADI2-2 ACIADICOS∠CAD=9+4x2-12xeos∠CAD, ICD1P=|BC+IBDI2-2BCI{BDI cos∠CBD=9+x2-6xcos(π-∠CAD), 所以9十4r-12xos∠CAD=9+x+6xco3∠CAD,解得cos∠CAD=若 …14分 所以cD-9+d+6ao∠CaD=9+2t-9+gA-写d 所以8号-181C=号1+os5-4cas0=-g(cos。广号》'+号， CD 81 …16分 5-4cos a ,故首c0。一片时，（二）号则号的最大值为2 ……17分 高一数学参考答案(Q)一4 19.【解析】(1)取BC中点F,由正四面体A-BCD知△ABC与△DBC均为正三角形， 故FD⊥BC,FAL⊥BC,又FA∩FD-F,FA,FDC平面ADF, 所以BC⊥平面ADF,又ADC平面ADF,故BCLAD. 。4分 (2)(i)设第i次操作后的体积为V,原四面体的棱长为l,体积为V; 第1次操作后，箭增四个小四面体，其检长为号，且前增的体积为骨VX4=受，…6分 第2次提作后，每个小回西体均新增三个更小的四面*，被长为子，共增如12个，故新增的体积为X12=是， 以…7分 第3次操作后，商增36个小四西条，发长为日藏新增体报为写品X36=品y…8分 225V, 因此操作3次后的体积为V叶V+是+品为V-资y …9分 原正禹休r-A8C的体款V-8同，做=资-瓷万， 16￥ …10分 ()最大球即初始正四面体的中心到各面中位线中点的距离为半径的球。 …11分 D色 过，点A作AG⊥平面BCD于点G,因为四面体ABCD为正四面体， 故G为△BCD外心，即重心，内心，垂心，则G在DE上，且DG=2GE, 同理得F在AE上，且AF=2FE,则O。为四面体ABCD的外接球球心和内切球球心，…13分 设A0,=D0,=R,G0,=F0,=%,则DG=号××2W6=2万， 所以AG=4,则由（4-R）十(2W2)2=R2,解得R=3,… …14分 所以%=1，设点K为H1的中点，则KF=是AB=罗， 则aK-√+=， 《≥3)次漾作后K始终为新生几何条的一个项点，故≤号， …15分 记第1次操作后构造的任一正四面体T(即四面体J-EIH)的外接球球心为O,连接QO.则JO⊥平面EHI,设 垂足为F,AE∩HI=K,则F为△EHI的外心，重心，垂心， 放F在EK上，且EF=号EK-号×号AB=子AB,故点F与点F重合， 所以D.Q,QR,J共线，剥Q0⊥平面EH,放Qa=1+号-号> 中以Q,为球心，写为半经的球，是以心3)次操作后生成的几何体石村打毫出的最大球， 此球体软为青x×()=后元 …17分