第9章 分式（单元复习课件）数学新教材沪科版七年级下册

大单元期考整合复习 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第9章 分式 分式概念 约分 最简分式 分式 基本性质 分式运算 分式方程 通分 分式乘除 分式加减 应用 知识结构 1.形如 (A，B为整式，且B中含有字母)的式子 叫作分式.________和________统称为有理式. 整式 分式 分式有意义的条件： 分式值为0 的条件： 分式的分母 B≠0 分式的分母 B≠0， 且分式的分子A=0. 知识梳理 2.分式的基本性质: = ______， = ______.(A，B是整式，且M≠0) 分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. 分式的约分是把分式化成最简分式或整式. 知识梳理 3.分式的运算法则: （1）分式的除法： ·= ______，= ______； （2）分式的加减： ±= ______，= ______. 分式的运算顺序和整式的相同: 先乘方，后乘除，再加减，有括号要先算括号里面的. 知识梳理 4. 解分式方程的基本思想是把它转化为______ 方程，在分式方程求解过程中有可能产生 ______，所以解分式方程必须_______. 整式 增根 检验 列分式方程解决实际问题的步骤: ①审 ②找 ③设 ④列 ⑤解 ⑥验 ⑦答 知识梳理 考点1 三个概念 概念1 分式 1. 下列代数式中，属于分式的是( ) D A. B. C. D. 2.写一个值不可能为0的分式：_ ________________. （答案不唯一） 7 概念2 分式方程 3. 下列关于 的方程中不是分式方程的是( ) D A. B. C. D. 8 4. [2024宁波期末] “绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计 划种植树木1 200棵.在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际 每天种植的棵数比原计划增加了 ，结果比原计划提前4天完成 任务.设原计划每天种植树木 棵，则所列方程正确的是 ( ) B A. B. C. D. 9 概念3 增根（无解） 5.[2024西安期末] 若关于的分式方程 为常数有增根，则 ___. 5 【点拨】 ， 方程两边都乘，得 . 因为原方程有增根， 所以，解得 . 把代入，得 ， 解得 . 10 6.[2024蚌埠期末] 已知关于的分式方程 . （1）若这个方程的解为，则 的值为___； 5 【点拨】 ， 去分母，得，解得 . 因为，所以，解得 . 11 （2）若这个方程无解，则 的值为______. 3或7 【点拨】因为关于的分式方程 无解， 所以或，解得或 . 所以 的值为3或7. 返回 12 考点2 一个性质——分式的基本性质 7.化简 的结果是____. 8. 将分式中的， 均扩大为原来的2倍，则分式的值 ( ) D A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 13 考点3 一种运算——分式的运算 9.化简： . 【解】 . 14 10.[2024遂宁] 先化简： ，再从1，2，3中 选择一个合适的数作为 的值代入求值. 【解】 . 因为 ,2， 所以当时，原式 . 15 考点4 一个解法——分式方程的解法 11.[2024北京] 方程 的解为________. 【点拨】 ， 去分母，得，解得 ， 经检验， 是原方程的解. 16 12.[2024南通] 解方程： . 【解】 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 解得 . 检验，当时， ， 所以原分式方程的解为 . 17 考点5 一个应用——分式方程的应用 13. [2024广元] 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新 行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式 在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买， 两种绿植， 已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6 750元购买的 种绿 植比用3 000元购买的种绿植少50株. 设种绿植单价是 元，则 可列方程是( ) C A. B. C. D. 18 14.[2024重庆] 某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务， 选派甲、乙两人分别用， 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要， 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知 种外墙漆每千克的价 格比 种外墙漆每千克的价格多2元. （1）， 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ 【解】设种外墙漆每千克的价格为元，则 种外墙漆每千克的价格为 元， 根据题意，得 ， 解得 ， 所以 . 答：种外墙漆每千克的价格为26元， 种外墙漆每千克的价格为24元. 19 （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所 需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【解】设甲每小时粉刷外墙面积是 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是 平方米， 根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是原方程的解且符合题意. 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 20 考点6 四种思想 思想1 消元思想 15.已知，， ，则 的值为____. 【点拨】由题意得 ，得 ，解得 . 将代入①，得，解得 . 将，代入 ，得 . 21 思想2 整体思想 16.[2024宿迁模拟] 先化简，再求值： ，其 中 . 【解】 . 因为 ， 所以.所以原式 . 22 思想3 换元思想 17.设，， 都是实数，若 ，求分式 的值. 【解】设,, ， 由已知，得 ， 整理，得 .① 因为 ， 所以 .② ，得 ， 所以.所以 . 所以原式 . 23 思想4 类比思想 18.[2024保定期末] 关于的方程的解是 ；关于 的方程的解是；关于的方程 的解是 ；关于的方程 的解是 . 24 （1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于 的方程 的解是什么？ 并利用“方程的解”的概念进行验证； 【解】猜想关于的方程的解是 . 当时，左边，右边 ， 所以左边右边.所以 是原方程的解. （2）的解是____，的解是 ___； 10 4 25 （3）利用阅读材料，解关于 的方程 . 【解】将方程可变形为 . 由（1）得，即 . 因为，所以 . 所以 . 经检验， 是原分式方程的解. 26 19. 甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地 到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为 ，上坡 和下坡路程相等，则这名同学从甲地到乙地的平均速度为多 少？马超经过计算得出平均速度为 .聪明的马超对公 式进行变形得到 ，他马上联想到数学中也有类 似变形，例如， ，通过查阅资 料知道了这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.请你利用上述 方法，解决以下问题： 27 （1）计算： __； （2）解方程： ； 【解】因为 ， 所以 ， 所以，解得 ， 经检验， 是原方程的解. 28 （3）若分式方程有增根，求 的值. 【解】因为 ， 所以 . 所以 . 所以.所以 . 因为原方程有增根，所以， 所以 或或 . 所以当时，；当时， ； 当时， （舍去）.综上所述， 的值为4或8. 29 1.填空: （1）某家庭每天需用大米m kg，家中存有x 天的用米量，如果每天少用n kg的大米，那么存有的大米能用______天； （2）当 x______时，分式有意义； （3）当 x______时，分式的值为零； （4）当 x______时，分式的值为负. ≠ -1 = 0 ＜-3 课本复习题 复习题A组 2.计算: 2.计算: 2.计算: 3.计算： 4.先化简，再求值： 5.解方程： 解:（1）去分母，得 3(3x-1)=2(x+2)， 解得 x =1 . 经检验，x=1 是原方程的根. （2）去分母，得 (x-6) (x-5)+ (x-4) (x-3)=2 (x-3)(x-5) ， 解得 x =6 . 经检验，x=6 是原方程的根. 6.解方程： 解：（1）去分母，得 ax+by=xy， 所以 (b-y) x=-ay 因为 b≠y，所以b-y ≠ 0 . 所以 x= . （2）去分母，得 kx-km =y-n， 即 kx =y-n+km， 因为k ≠ 0 ，所以x= . 7.甲、乙两人同时在计身机上输入一份书稿，4 h后，甲因另有任务，由乙又单独输入5 h完成.已知甲输入5 h的稿件，乙需要输入7.5 h.问甲、乙单独输入完成这份书稿各需要多长时间? 解：设甲单独输入完这份书稿需x h，那么乙单独输入 完这份书稿需1.5x h. 根据题意，得 4( )+5×=1 ， 解得 x=10 . 经检验，x=10是原方程的根，且符合题意. 当 x=10 时，1.5 x=15 . 答:甲、乙单独输入完成这份书稿各需要10 h，15 h . 8.五一期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25 km 的科技馆研学，一部分同学在班长的带领下骑自行车提前80 min 出发，另一部分同学在王老师的带领下乘客车前往，结果两队同时到达.若客车速度是自行车速度的 3 倍，求各队的速度. 解：设自行车的速度是 x km/h，那么客车的速度是 3x km/h . 根据题意，得 = ， 解得 x =12.5 . 经检验，x=12.5 是原方程的根，且符合题意. 当 x=12.5 时，3 x=37.5 . 答:自行车的速度是12.5 km/h，那么客车的速度 是 37.5 km/h . 9.某村准备发展80 hm2大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20 天完工. 求工程队原计划每天建多少公顷大棚. 解：设工程队原计划每天建x hm2大棚. 根据题意，得 = 20， 解得 x =2.4 . 经检验，x=2.4是原方程的根，且符合题意. 答:原计划每天建2.4 hm2大棚. 1. 填空: （1）如果 x2-4xy+4y2=0，那么 =_____； （2）如果 = ，那么 =_____ . 1 复习题B组 2.计算: 3.计算: 4.某单位将沿街的店面出租，第一年租给一家公司获租金6万元，第二年租给一些个体经营户获租金7.2万元. 已知第一年每间店面房的租金比第二年少1000元，问这两年每间店面房的租金各是多少元? 解：设第一年每间店面房的租金是 x 元，那么第二年 每间店面房的租金(x+1000)元. 根据题意，得 = ， 解得 x = 5000 . 经检验，x= 5000 是原方程的根，且符合题意. 当 x=5000 时，x +1000=6000 . 答:第一年、第二年每间店面房的租金是5000元、6000元 . 5.某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如下表所示: 月用水量a/m3 a≤20 20＜a≤30 a＞30 收费标准/元·m-3 2.49 3.07 ? 9月份小华家缴纳水费87.8元，小莉家缴纳水费102.4元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的.求月用水量大于30 m3 时的收费标准. 解：设月用水量大于 30 m3 的部分收费标准为x 元/m3. 小莉家用水量为y m3，则小华家的用水量为 y m3. 答:月用水量大于30 m3 时的收费标准为3.65 元. 20×2.49=49.8(元) 20×2.49+10×3.07=80.5(元) 因为87.8＞80.5 ， 所以小华、小莉家用水均超过30 m3. 由题意，得 解得 x = 3.65， y = 36. ( y -30)x=87.8-80.5 (y -30)x=102.4-80.5 6.某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路.若让两队合做，24天可以完工，需要费用 120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需要费用110万元.问: （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天? （2）甲、乙两队单独完成此项工程各需要费用多少 万元? 解：（1）设甲队单独完成此项工程需用x天，乙队 单独完成此项工程需用y天. 由题意，得 解得 x = 30， y = 120. 经检验， 是原方程的解. x = 30， y = 120. 答:甲队单独完成此项工程需用30天，乙队单独完成此项工程需用120 天. （2）设单独做时，甲队每天需费用t 万元， 乙队每天需费用k万元. 由题意，得 24t +24k=120， 20t +40k=110， 解得 t =4.5 ， k =0.5 . 因而甲队单独完成此项工程需费用: 30×4.5=135(万元)， 乙队单独完成此项工程需费用: 120×0.5=60 (万元). 1.解下列方程组： （1） （2） 复习题C组 解:（1）由①得 4y+3x =10xy，③ 由②得 9y-7x = -5xy. ④ 由③×9-④×4，得 55x=110xy， 解得 y = . 把 y = 代入①得 x=1 . 经检验， 是方程组的解. x=1， y = （1） ① ② （2） （2）设 =m，=n ， 所以 ① ② 原方程组可化为 解得 4m+6n =3， 9m- n =1 . m= ， n = . x+y =2， x- y =6 . 解方程组得 x =4， y = -2 . 经检验， 是方程组的解. x =4， y = -2 . 分式的相关概念及分式有无意义的条件 1.[2024·六安月考] 代数式，，，，， 中， 分式有( ) A A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 期考整合练 2.下列结论正确的是( ) A A.当时，分式 有意义 B.当时，分式 有意义 C.当时，分式 的值为0 D.当时，分式 没有意义 60 3.下列分式：；；； ，其中 是最简分式的是______. 4.与 的最简公分母是________. 分式的基本性质 5.若将中的与 都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值 ( ) C A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小到原来的 61 6.下列各式变形正确的是( ) A A. B. C. D. 分式的运算 7.[2024·天津中考] 计算 的结果等于( ) A A.3 B. C. D. 8.化简 的结果是( ) C A.2 B. C. D. 62 9.已知，则 __. 10.计算： . 解：原式 . 63 分式方程 11.在;; ; ; 中，分式方程有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.[2024·滁州期末] 若关于的分式方程 有增根， 则 的值为( ) D A. B. C.1或 D.5 64 13.［立德树人·数学文化］《九章算术》是我国古代数学专 著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善 行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追 上．设善行者每刻钟行 尺，则列分式方程可整理为( ) B A. B. C. D. 65 14.解方程： (1) ； 解：方程两边同时乘以 ，得 . 整理得.解得 . 检验：当时， . 所以分式方程的解为 . 66 (2) . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 解得 . 经检验， 是分式方程的增根， 故原分式方程无解. 67 15. 斑马线前“车让人”，不 仅体现着一座城市对生命的尊重，也 直接反映了城市的文明程度.如图是 某路口的斑马线路段，其中 ， 在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过 的速度 是通过的速度的1.5倍，求小明通过 时的速度. 68 解：设小明通过时的速度是 ， 根据题意,得，解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 答：小明通过时的速度是 . 69 数学思想 16.［消元思想］已知， ， 且，求 的值. 解：由, , 得解得因为 , 所以原式 . 70 17.［整体思想］先化简，再求值： ，其 中满足 . 解：原式 . 因为，所以 . 所以原式 . 71 易错题 18.若分式的值为0,则 ____. 本题易忽视分母不为0导致出错. 19.若关于的方程的解为正数，则 的取值范围 是_______________. 且 易忽略增根而出错. 72 聚焦安徽中考 20.[2024·安徽中考] 若代数式有意义，则实数 的取值范 围是______. 21.[2023·安徽中考] 先化简，再求值： ，其中 . 解： . 当时，原式 . 73 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$