数学（北京卷03）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

2025年高考数学押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，集合，所以. 故选：C 2．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线的方程化成标准形式，确定其焦点位置和焦准距，即可求得. 【详解】由可得，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且， 故其准线方程为. 故选：A. 3．若，、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算和复数相等可求得、的值，即可得解. 【详解】因为，所以，，，故. 故选：D. 4．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线：的距离， 直线与圆相交，则. 故选：B 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先判断充分性，可用特值法进行验证；再判断必要性，结合不等式的性质可判断. 【详解】若已知，令，则， 所以“”是“”不充分条件； 若已知，因为，则，即， 所以“”是“”必要条件； 综上所述，“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 6．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8．若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】A 【分析】小青瓦所要覆盖的面由两个矩形及四个正三角形组成，分别求解即可. 【详解】由题意，，且，则， 则正四面体的一个面为边长为的正三角形，其面积为； 又， 则正三棱柱的一个侧面为长为，宽为的矩形，其面积为； 所以小青瓦所要覆盖的面积为个正三角形与个矩形的面积和， 则. 故选：A. 10．已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列是等比数列 【答案】B 【分析】由题意可得，又判断AB；计算可得判断C；计算可得判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减得，所以， 所以，所以， 当时，，又，所以，所以， 所以数列不是等比数列，故A错误； 对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，故B正确； 对于C，由A可得， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由C可得， 所以，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． ． 【答案】18 【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】. 故答案为：18 12．双曲线C：的离心率为 ． 【答案】2或 【分析】分或两种情况计算即可. 【详解】当，所以； 当，， 故答案为：2或． 13．在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ． 【答案】 8 70 【分析】根据通项公式，结合第7项为常数可解得n，然后由二项式系数的性质可得. 【详解】， ∴，解得．∴最大的二项式系数为． 故答案为：8；70 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 . 【答案】 1 【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和. 【详解】依题意，，因此； ，当时，，则，解得或； 当时，若，则，， 由，得，解得； 若，则，， 由，得，解得或， 所以函数的所有零点之和为. 故答案为：1； 15．已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的有 ①．数列是等比数列         ②． ③．当为奇数时， ④．当为偶数时， 【答案】①②④ 【分析】利用数列的递推关系式以及，根据等比数列定义即可判断①正确，利用等比数列前项和公式计算可得②正确，由的通项公式可得，对为奇数或偶数时进行分组计算可判断③错误，④正确. 【详解】对于①，由，可得： ， 即，又， 可得数列是以为首项，公比为的等比数列，可得①正确； 对于②，由选项①分析可知，，即②正确； 对于③，易知，所以； 当为奇数时， ，可知③错误； 对于④，当为偶数时， ，可得④正确. 故选：①②④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直三棱柱得到⊥，根据⊥，得到线面垂直，故⊥，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面的一个法向量为，利用线面角的求解公式得到答案. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面；...............................6分 （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角正弦值为................................13分 17．（本小题满分13分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点和点都在单位圆上，且点的纵坐标为，，，，．              (1)求和的值； (2)若，求点的坐标； (3)若四边形为平行四边形且面积为，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由三角函数定义可得和的值，（2）由三角函数定义可得点的坐标为（），再利用以及两角差正余弦公式求解（3）根据三角形面积公式以及数量积得，再利用辅助角公式求最大值 【详解】（1）由点的纵坐标为，，可知， 又，所以；................................4分 （2）因为，，所以， 于是由，可得． =， =，故点的坐标为．................................8分 （3），．因，故． 因为平行四边形，故． ()． 当时，取最大值．................................13分 18．（本小题满分14分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)（ⅰ）；（ⅱ）1100 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望．................................5分 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为．................................11分 （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．................................14分 19．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先根据椭圆离心率得出、与的关系，再把代入椭圆方程求出关于、的表达式，结合，联立方程解出、、，进而得到椭圆方程. （2）先确定、坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出和，算出，根据三角形面积公式得出面积表达式，再利用均值不等式求出面积最大值. （3）先把直线与椭圆方程联立，用韦达定理求出，再代入直线方程得，从而确定点坐标，同理得点坐标.因为直线MN过定点，利用两点斜率相等列等式，又已知，，代入等式化简，让等式恒成立求出的值，进而得到直线MN过的定点. 【详解】（1）设（），由的离心率为，得，，① 在中，令，得， 则当垂直于轴时，，② 由①，②，解得，则，， ∴的方程为．................................4分 （2）由题意，知，， 显然与轴不重合，可设：，设，， 联立，消去x并整理，得， 由韦达定理，得，， 则， 则面积， 而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为．................................9分 （3）设，，， 直线与椭圆联立可得，， 根据韦达定理可得，，∴，， 即，同理，， 根据对称性，直线过定点， 则，∵，， ∴，∴，解得， 即直线过定点．................................15分 20．（本小题满分15分）设函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； (3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得恒成立，结合条件，即可证明结果； （3）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证． 【详解】（1）函数的定义域是，， 又，则，令，解得：，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.................................4分 （2）因为， 要证曲线在曲线的上方，即证恒成立， 即证，令，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以恒成立，又恒成立，， 所以恒成立，即曲线在曲线的上方................................8分 （3）因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 又当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以， 设，，则， 令，，则， 所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以， 则根据不等式的传递性可得，当时，................................15分 21．（本小题满分15分）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据数列新定义直接写出答案即可； （2）分析得，在作差相除即可证明； （3）分为奇数和偶数讨论得到，再次对分类讨论并合理放缩即可证明. 【详解】（1）由题意得， 所以．...............................4分 （2）由题得， 所以，，，， 因此中的数对必由中的数对经运算得到， 中的数对必由中的0或数对经运算得到， 因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对， 因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对， 所以，即， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．...............................8分 （3）当为奇数时，， 累加得， 因为，所以（为奇数）． 当为偶数时，， 累加得， 因为，所以（为偶数）． 所以， 故． 因为当且为偶数时， . ①当时，； ②当且为奇数时， ； ③当且为偶数时，因为对任意的都有， 所以 综上所述，对任意的都有．................................15分 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学押题预测卷 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B B C C A A B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．18 12．2或 13． 8 70 14．1 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题13分） 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面；...............................6分 （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角正弦值为................................13分 17．（本小题13分） 【详解】（1）由点的纵坐标为，，可知， 又，所以；................................4分 （2）因为，，所以， 于是由，可得． =， =，故点的坐标为．................................8分 （3），．因，故． 因为平行四边形，故． ()． 当时，取最大值．................................13分 18．（本小题14分） 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望．................................5分 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为．................................11分 （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．................................14分 19．（本小题15分） 【详解】（1）设（），由的离心率为，得，，① 在中，令，得， 则当垂直于轴时，，② 由①，②，解得，则，， ∴的方程为．................................4分 （2）由题意，知，， 显然与轴不重合，可设：，设，， 联立，消去x并整理，得， 由韦达定理，得，， 则， 则面积， 而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为．................................9分 （3）设，，， 直线与椭圆联立可得，， 根据韦达定理可得，，∴，， 即，同理，， 根据对称性，直线过定点， 则，∵，， ∴，∴，解得， 即直线过定点．................................15分 20．（本小题15分） 【详解】（1）函数的定义域是，， 又，则，令，解得：，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.................................4分 （2）因为， 要证曲线在曲线的上方，即证恒成立， 即证，令，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以恒成立，又恒成立，， 所以恒成立，即曲线在曲线的上方................................8分 （3）因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 又当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以， 设，，则， 令，，则， 所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以， 则根据不等式的传递性可得，当时，................................15分 21．（本小题15分） 【详解】（1）由题意得， 所以．...............................4分 （2）由题得， 所以，，，， 因此中的数对必由中的数对经运算得到， 中的数对必由中的0或数对经运算得到， 因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对， 因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对， 所以，即， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．...............................8分 （3）当为奇数时，， 累加得， 因为，所以（为奇数）． 当为偶数时，， 累加得， 因为，所以（为偶数）． 所以， 故． 因为当且为偶数时， . ①当时，； ②当且为奇数时， ； ③当且为偶数时，因为对任意的都有， 所以 综上所述，对任意的都有．................................15分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学押题预测卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若，、，则（ ） A． B． C． D． 4．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 8．若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（    ）        A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列B． C． D．数列是等比数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． ． 12．双曲线C：的离心率为 ． 13．在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 . 15．已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的有 ①．数列是等比数列         ②． ③．当为奇数时， ④．当为偶数时， 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 17．（本小题满分13分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点和点都在单位圆上，且点的纵坐标为，，，，．              (1)求和的值； (2)若，求点的坐标； (3)若四边形为平行四边形且面积为，求的最大值． 18．（本小题满分14分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 20．（本小题满分15分）设函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； (3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 21．（本小题满分15分）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若，、，则（ ） A． B． C． D． 4．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 8．若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（    ）        A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列B． C． D．数列是等比数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． ． 12．双曲线C：的离心率为 ． 13．在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 . 15．已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的有 ①．数列是等比数列         ②． ③．当为奇数时， ④．当为偶数时， 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 17．（本小题满分13分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点和点都在单位圆上，且点的纵坐标为，，，，．              (1)求和的值； (2)若，求点的坐标； (3)若四边形为平行四边形且面积为，求的最大值． 18．（本小题满分14分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 20．（本小题满分15分）设函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； (3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 21．（本小题满分15分）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$