专题07 四则混合运算和运算规律 （讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题06 运算规律 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 知识点一：四则混合运算的运算顺序 1. 无括号算式的运算顺序 运算类型 规则 示例解析 同级运算（只有加、减或只有乘、除） 从左到右依次计算 （先算15-7=8，再算8+3=11） （先算24÷6=4，再算4×2=8） 异级运算（既有乘、除，又有加、减） 先算乘、除法，再算加、减法 （先算4×5=20，再算30+20=50） （先算16÷4=4，再算80-4=76） 2. 有括号算式的运算顺序 括号类型 规则 示例解析 只有小括号 先算小括号内的运算，再算小括号外的运算 （先算25-10=15，再算15÷5=3） （先算3+7=10，再算8×10=80） 既有小括号又有中括号 先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算 （先算小括号5+1=6，再算中括号24÷6=4，最后算4×2=8） （先算小括号18+12=30，再算中括号30÷6=5，最后算50-5=45） 知识点二：简便运算——运算律 1. 加法运算律 运算律 定义 字母表达式 举例 应用场景 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 （凑整百） （凑整） 两数相加能凑整十、整百、整千时使用 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变 三个数中后两个数能凑整时，优先结合 2. 乘法运算律 运算律 定义 字母表达式 举例 应用场景 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 （利用25×4=100） （利用0.5×2=1） 因数中存在25×4、125×8等特殊组合时交换位置 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 因数中存在可凑整的组合（如125×8、分数倒数相乘为1）时使用 乘法分配律 两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减） （正用） （逆用） 正用： 逆用： 减法分配： ① 拆分复杂数（如99=100-1） ② 合并同类项（如逆用提取公因数） ③ 处理和（差）与数相乘的结构 知识点三：简便运算——运算性质 1. 加减法运算性质 性质 定义 字母表达式 举例 应用场景 去括号（加法） 括号前是“+”，去括号后括号内符号不变 简化加减混合运算，优先计算能凑整的部分 去括号（减法） 括号前是“-”，去括号后括号内符号相反（“+”变“-”，“-”变“+”） ① 连续减法转化为减去和 ② 调整运算顺序，使计算简便 连减性质 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和 减数能凑整时使用（如45+55=100） 2. 乘除法运算性质 性质 定义 字母表达式 举例 应用场景 去括号（乘法） 括号前是“×”，去括号后括号内符号不变 （） 乘除混合运算中，优先计算简便组合 去括号（除法） 括号前是“÷”，去括号后括号内符号相反（“×”变“÷”，“÷”变“×”） （） （） ① 连除转化为除以积 ② 调整运算顺序，使除数变小（如24÷8×2更简便） 连除性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积 除数能凑整时使用（如5×8=40） 和差除以数分配律 两个数的和（或差）除以一个数，等于这两个数分别除以这个数，再相加（或相减） （） 被除数的两个数分别能被除数整除时使用（如36÷6和24÷6都易算） 知识点四：运算律与运算性质对比总结 类别 核心功能 包含内容 关键公式 应用关键 注意事项 运算律 改变运算顺序或因数位置 交换律、结合律、分配律 ，， 凑整（如25×4、125×8）、提取公因数 分配律可正用、逆用，注意符号一致性（如减法分配时符号不变） 运算性质 去括号或调整运算符号 加减法去括号、乘除法去括号、连减/连除性质 ， 去括号后简化运算（如连减变减和） 括号前是“-”或“÷”时，括号内符号必变（加变减、乘变除） 核心考点精讲 核心考点一：整数的四则运算 【典型例题】 脱式计算。 432－432÷（12×3）              25×[（289＋719）÷63] 1280÷[（136＋24）×4]           202×（128－119）＋427 【答案】420；400； 2；2245 【分析】（1）先算括号里面的乘法，再算括号外面的除法，最后算减法； （2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先算小括号里面的减法，再算括号外面的乘法，最后算加法。 【解析】432－432÷（12×3） ＝432－432÷36 ＝432－12 ＝420 25×[（289＋719）÷63] ＝25×[1008÷63] ＝25×16 ＝400 1280÷[（136＋24）×4] ＝1280÷[160×4] ＝1280÷640 ＝2 202×（128－119）＋427 ＝202×9＋427 ＝1818＋427 ＝2245 【通关练习】 1．计算下列各题． 774÷(27＋16)            28×15－120÷5            (480＋520÷13)×8 (362－122)×(24＋39)                    [8400－(330＋870)]÷15 【答案】18　396　4160　15120　480 2．小马虎在列综合算式时，不小心把括号丢掉了，你能帮他添上括号使算式成立吗？ 6＋36÷3－2×4－1＝5 6＋36÷3－2×4－1＝149 【答案】见详解 【分析】四则混合运算的运算顺序为：先乘除，后加减，有括号要先算括号中的，如同为同级运算，按从左到右的顺序进行计算，据此解答。 【解析】（6＋36）÷3－2×4－1 ＝42÷3－2×4－1 ＝14－8－1 ＝6－1 ＝5 6＋36÷（3－2）×4－1 ＝6＋36÷1×4－1 ＝6＋36×4－1 ＝6＋144－1 ＝150－1 ＝149 【总结】掌握四则混合运算的运算顺序，不断去试算，找到合适的运算顺序使之成立，是解答本题的关键。 3．脱式计算． 780÷26+73            96×【（325-295）÷3】       40×（72÷3） 22×（71-58）          74-【（36+24）÷6】       14×35÷70 【答案】103  960  960  286  64  7 核心考点二：小数的四则运算 【典型例题】 脱式计算。 0.9×4.5＋0.45          9.08×0.4×2.5           【答案】4.5；9.08；261 【分析】0.9×4.5＋0.45，将0.45转化成4.5×0.1，利用乘法分配律进行简算； 9.08×0.4×2.5，利用乘法结合律进行简算； ，先算加法，再算除法。 【解析】0.9×4.5＋0.45 ＝0.9×4.5＋4.5×0.1 ＝（0.9＋0.1）×4.5 ＝1×4.5 ＝4.5 9.08×0.4×2.5 ＝9.08×（0.4×2.5） ＝9.08×1 ＝9.08 ＝18.27÷0.07 ＝261 【通关练习】 1．脱式计算。 （3.2＋4.06）÷6.05      26.8－1.2×4        3.5×3＋3.5×7       0.4×（3.2—0.8）÷1.2 【答案】1.2；22；35；0.8 【分析】（3.2＋4.06）÷6.05，先计算括号里的减法，再计算括号外的除法； 26.8－1.2×4，先计算乘法，再计算减法； 3.5×3＋3.5×7，根据乘法分配律，原式化为：3.5×（3＋7），再进行计算； 0.4×（3.2－0.8）÷1.2，先计算括号里的减法，再按照运算顺序进行计算。 【解析】（3.2＋4.06）÷6.05 ＝7.26÷6.05 ＝1.2 26.8－1.2×4 ＝26.8－4.8 ＝22 3.5×3＋3.5×7 ＝3.5×（3＋7） ＝3.5×10 ＝35 0.4×（3.2－0.8）÷1.2 ＝0.4×2.4÷1.2 ＝0.96÷1.2 ＝0.8 2．脱式计算。 2.35－0.98＋1.65              2.4×0.5＋0.5                  1.2×0.8÷2.4 1.9＋8.1×0.1                （1.6－0.16）×0.25   【答案】3.02；1.7；0.4 2.71；0.36 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）先算乘法，再算加法； （3）从左往右依次计算； （4）先算乘法，再算加法； （5）先算减法，再算乘法。 【解析】2.35－0.98＋1.65 ＝1.37＋1.65 ＝3.02                 2.4×0.5＋0.5 ＝1.2＋0.5 ＝1.7                   1.2×0.8÷2.4 ＝0.96÷2.4 ＝0.4 1.9＋8.1×0.1 ＝1.9＋0.81 ＝2.71                  （1.6－0.16）×0.25 ＝1.44×0.25 ＝0.36 3．脱式计算。                        【答案】6；24.24 【分析】（1）从左往右依次进行计算； （2）先算括号里面的加法，再从左往右依次进行计算。 【解析】（1） （2） 核心考点三：分数的四则运算 【典型例题】 脱式计算。                        【答案】2；； 【分析】先算除法，再算乘法； 先算括号里的乘法，再算括号外的除法； 先算乘法，再算减法。 【解析】      ＝×× ＝× ＝2    ＝÷ ＝× ＝ ＝1－ ＝ 【通关练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 ①                  ② ③                  ④ 【答案】①789；②25 ③；④0.4 【分析】①先算除法，再算乘法，最后算减法； ②根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； ③先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； ④先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【解析】① ② ③ ④ 2．脱式计算。                                               【答案】； ； 【分析】含有带分数的运算，先将带分数化成假分数。 “”先计算小括号内的乘法和减法，再计算括号外的除法； “”先计算小括号内的减法、加法，再计算括号外的除法； “”先计算小括号内的减法，再计算乘法和除法； “”先计算小括号内的减法，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【解析】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3．脱式计算。 18÷          ÷12.5%          【答案】25；； 【分析】先把百分数转化成分数，再利用分数乘除法的计算方法进行计算即可。 【解析】18÷ ＝30× ＝25 ÷12.5% ＝÷ ＝×8 ＝ ＝ ＝× ＝ 核心考点四：四则混合运算 【典型例题】 脱式计算。 （1）            （2） （3）           （4） 【答案】（1）8；（2） （3）；（4）0.5 【分析】（1）利用符号搬家把7.75及它前面的符号搬到10.25后面，再利用加法结合律和减法的性质进行简便计算； （2）先算括号里的加法和减法，再算括号外的除法； （3）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，算中括号里的减法，最后算括号外的除法； （4）先利用乘法分配律算小括号里的，再算中括号里的减法和加法，最后算括号外的除法。 【解析】（1） （2） （3） （4） 【通关练习】 1．脱式计算。                   【答案】；；； ；15； 【分析】根据四则混合运算的顺序，先算除法，再算加法； 异分母分数加减法，先通分转化为同分母分数再按照同分母分数计算方法计算； 分数的连乘，可以将能约分的先约分，再计算； 先将百分数转化为分数，再根据四则混合运算的顺序，先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算除法，在计算分数除法时，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数； 先算中括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法； 先算中括号里面的减法，再算中括号里面的除法，将分数除法转化为分数乘法，可以去掉中括号后得出是分数的连乘，可以约分的要约分可以简便计算。 【解析】 ＝15 2．脱式计算。 690－460÷23×7           12.5×32×0.25             （）÷              69÷（24×＋15） 【答案】550；100；0； ；3 【分析】（1）先计算除法和乘法，再计算减法； （2）将32分成8×4，再根据乘法结合律计算； （3）先计算小括号内的加法，再计算除法，最后计算减法； （4）将除法先写成乘法形式，再根据乘法分配律计算； （5）先计算小括号内的乘法和加法，再计算括号外的除法。 【解析】690－460÷23×7 ＝690－20×7 ＝690－140 ＝550 12.5×32×0.25 ＝12.5×8×4×0.25 ＝（12.5×8）×（4×0.25） ＝100×1 ＝100 （）÷ ＝0 ＝ ＝69÷（8＋15） ＝69÷23 ＝3 3．脱式计算。              【答案】486；2.5；1 【分析】 （1）先算括号里面的乘法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的减法； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，然后算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法； （3）根据减法的性质a－（b－c）＝a－b＋c，加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算。 【解析】（1） （2） （3） 核心考点五：简便运算 【典型例题】 简便计算。 3.65－1.75＋1.35－2.25           25%＋3.6＋0.75                  【答案】1；4.6 ； 【分析】（1）先交换“－1.75”和“＋1.35”的位置，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把3.65＋1.35－1.75－2.25变成（3.65＋1.35）－（1.75＋2.25），再按顺序计算； （2）先把25%化成0.25，然后根据加法交换律a＋b＝b＋a把0.25＋3.6＋0.75变成0.25＋0.75＋3.6，再按顺序计算； （3）先根据积不变的规律把变成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成，再按顺序计算； （4）先把2024拆成2023＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算。 【解析】（1）3.65－1.75＋1.35－2.25 ＝3.65＋1.35－1.75－2.25 ＝（3.65＋1.35）－（1.75＋2.25） ＝5－4 ＝1 （2）25%＋3.6＋0.75 ＝0.25＋3.6＋0.75 ＝0.25＋0.75＋3.6 ＝1＋3.6 ＝4.6 （3） （4） 【通关练习】 1．计算下面各题，能简算的用简便方法计算。 （1）              （2） （3）                （4） 【答案】（1）0.5；（2）18； （3）1.75；（4）24 【分析】（1）根据运算顺序，先计算括号里的减法，再计算乘法，最后计算除法； （2）根据除以一个数等于乘它的倒数，把式子转化为，再根据乘法分配律，把式子转化为进行简算； （3）把分数化成小数，再根据加法交换律和结合律，把式子转化为进行简算； （4）根据乘法分配律，把式子转化为进行简算；再根据运算顺序，先计算括号里的乘法，再计算括号里的减法，最后计算除法。 【解析】（1） （2） （3） （4） 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                        【答案】470；0；17； ；； 【分析】（1）根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成4.7×（28＋72），再进一步计算； （2）根据加法交换律a＋b＋c＝a＋c＋b，减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成（＋）－（＋），再进一步计算； （3）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成36×－36×＋36×，再进一步计算即可； （4）先把2024写成2023＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成2023×＋1×，再进一步计算即可； （5）先把分数除法变成分数乘法，再把百分数化成分数，再逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成（13＋7）×，再进一步计算； （6）按照先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法的顺序计算。 【解析】4.7×28＋72×4.7 ＝4.7×（28＋72）     ＝4.7×100 ＝470 －＋－ ＝＋－－ ＝（＋）－（＋） ＝1－1 ＝0 36×（－＋）      ＝36×－36×＋36× ＝15－4＋6 ＝11＋6 ＝17 2024× ＝（2023＋1）× ＝2023×＋1× ＝5＋ ＝ 13÷8＋7×12.5% ＝13×＋7×12.5% ＝13×＋7× ＝（13＋7）× ＝20× ＝      ÷[÷（－）]    ＝÷[÷] ＝÷[×] ＝÷2 ＝× ＝ 3．怎样简便怎样计算。                                               【答案】5；6.125；75 ；5； 【分析】492÷24－15.5，先计算除法，再计算减法。 3.5×2.8÷1.6，先计算乘法，再计算除法。 63×0.75＋×37，把分数化成小数，＝0.75，原式化为：63×0.75＋0.75×37，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（63＋37）×0.75，再进行计算。 （－）÷，根据分数除法的计算方法，除以一个数等于乘这个数的倒数，换成乘法，再按照乘法分配律即可简便运算。 （－）×7×8，根据乘法分配律，原式化为：×7×8－×7×8，再进行计算。 [4÷（2－）]×20%，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的乘法。 【解析】492÷24－15.5 ＝20.5－15.5 ＝5 3.5×2.8÷1.6 ＝9.8÷1.6 ＝6.125 63×0.75＋×37 ＝63×0.75＋0.75×37 ＝（63＋37）×0.75 ＝100×0.75 ＝75 （－）÷ ＝（－）× ＝×－× ＝－ ＝ （－）×7×8 ＝×7×8－×7×8 ＝21－16 ＝5 [4÷（2－）]×20% ＝[4÷]×20% ＝[4×]×20% ＝×20% ＝× ＝ 核心考点六：其他常见的简便运算方法 【典型例题】 能简便计算的简便计算。                 【答案】1.25； 【分析】（1）先把分数和百分数统一转化为小数，再根据乘法分配律进行简便计算； （2）先把每项依次拆成两个数相减的形式：；；；；；；，再进行简便计算。 【解析】 【通关练习】 1．计算。 【答案】 【分析】先将拆分为，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法，进而计算括号外面的乘法，将的被减数和减数同时减去6进行简算即可。 【解析】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9    333×125＋111×625    9999×2222＋3333×3334 【答案】11106；111000；33330000 【分析】（1）9999＝10000－1，999＝1000－1，99＝100－1，9＝10－1，然后计算即可。 （2）333＝111×3，3×125＝375，即333×125＝111×375，然后根据乘法分配律，计算即可。 （3）3333×3334＝3333×3333＋3333，9999×2222＝3333×3×2222＝3333×6666，然后根据乘法分配律，计算即可。 【解析】（1）9999＋999＋99＋9 ＝（10000－1）＋（1000－1）＋（100－1）＋（10－1） ＝10000－1＋1000－1＋100－1＋10－1 ＝10000＋1000＋100＋10－4 ＝11110－4 ＝11106 （2）333×125＋111×625 ＝（111×3）×125＋111×625 ＝111×（3×125）＋111×625 ＝111×375＋111×625 ＝111×（375＋625） ＝111×1000 ＝111000 （3）9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 3．用凑整法计算下面各题。 499999＋49999＋4999＋499＋49＋5      1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 【答案】； 【分析】本题可以运用加法运算定律进行简便计算。 第一个算式，从数中不难发现，499999、49999、4999、499和49分别接近500000、50000、5000、500、50，都只差1，而算式中的5正好可以拆成5个1，这样可以把算式变形为：499999＋49999＋4999＋499＋49＋1＋1＋1＋1＋1，再用加法交换律和结合律进行计算。 第二个算式中的20正好可以拆成2＋3＋4＋5＋6，2、3、4、5、6分别和1998、1997、1996、1995、1994相加，凑成5个2000，这样结合起来计算比较简便。 【解析】499999＋49999＋4999＋499＋49＋5 ＝499999＋49999＋4999＋499＋49＋1＋1＋1＋1＋1 ＝（499999＋1）＋（49999＋1）＋（4999＋1）＋（499＋1）＋（49＋1） ＝500000＋50000＋5000＋500＋50 ＝555550 1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 ＝1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋2＋3＋4＋5＋6 ＝（1998＋2）＋（1997＋3）＋（1996＋4）＋（1995＋5）＋（1994＋6） ＝2000＋2000＋2000＋2000＋2000 ＝10000 真题演练 一、填空题 1．（2015·江西吉安·小升初真题）假设你的计算器的一个键“4”坏了，你怎样计算49×76，用算式表示计算过程 。 【答案】50×76﹣76 【分析】把49看成50﹣1，使用乘法分配律：（a±b）×c＝a×c±b×c进行简算。 【解析】49×76 ＝（50﹣1）×76 ＝50×76﹣76 【总结】考查了乘法分配律的应用和计算器的初步认识。 2．（2019·河北邯郸·小升初真题）8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是 。 【答案】29 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，得数不变，这叫做乘法分配律；利用乘法分配律，将原式中比较难计算的数转化为好计算的数进行比较，即可计算出近似区间。 【解析】根据题意，由于原式＜， 原式＞，所以整数部分为29。 【总结】此题考查的是乘法分配律的灵活运用，通过将原式的值变大和变小来确定原式的值的范围。 3．（2024·河南南阳·小升初真题）1＋…＝( ) 【答案】2 【分析】分母从1开始依次乘2，分子是1的分数相加，通过拆分消元解答。 【解析】1＋… ＝1＋（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋… ＝1＋1－＋－＋－＋－＋－＋… ＝2 所以…＝2 4．（2024·浙江宁波·小升初真题）在算式“8.1×□－5.7×□＝3.6”的两个□里填入相同的数，使等式成立，则□里应填( )。 【答案】1.5 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 根据乘法分配律的逆运用，提出□，再将剩下的数相减进行简便计算解答。 【解析】8.1×□－5.7×□ ＝（8.1－5.7）×□ ＝2.4×□ 3.6÷2.4＝1.5 则□里应填1.5。 5．（2022·四川绵阳·小升初真题）被减数、减数、差的和是36，差与减数的比2∶7，差是( )，减数是( )。 【答案】 4 14 【分析】被减数－减数＝差；被减数＝减数＋差；由此可知，被减数＋减数＋差＝2×（减数＋差），用36÷2，求出减数与差的和，再根据按比例分配，差与被减数的和分成了（2＋7）份，用减数与差的和除以总份数，求出一份是多少，进而求出差的值，据此解答。 【解析】2＋7＝9（份） 36÷2÷9×2 ＝18÷9×2 ＝2×2 ＝4 36÷2÷9×7 ＝18÷9×7 ＝2×7 ＝14 所以差是4，减数是14。 6．（2024·四川内江·小升初真题）在算式“□□□”，“□”代表同一个数字，这个数字是( )。 【答案】5 【分析】因为“□”代表同一个数，所以□□□，把它代入原算式进行化简，据此解答。 【解析】“□”代表同一个数字 所以□□□，把它代入原算式得： （11×□＋7×□）÷3＝30 （11×□＋7×□）÷3×3＝30×3 （11×□＋7×□）＝90 （11＋7）×□＝90 18×□＝90 18×□÷18＝90÷18 □＝5 因此这个数字是5。 7．（2022·浙江金华·小升初真题）仔细观察下面三幅图，请你分别用一道乘法算式表示出图A、图B表示的大小以及图C阴影部分的大小。 ( )×( )  ( )×( )  ( )×( ) 【答案】 17 12 9.3 20 6 【分析】图A表示的大小等于4个小长方形的面积相加，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； 图B表示的大小等于2个小长方形的面积相加，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； 图C阴影部分的大小，先根据分数的意义，得出阴影部分的1份是几分之一，再看有几个这样的分数单位，即用分数单位乘几。 【解析】图A： 10×10＋10×7＋2×10＋2×7 ＝10×（10＋7）＋2×（10＋7） ＝10×17＋2×17 ＝17×（10＋2） ＝17×12 图B： 9.3×12.75＋9.3×7.25 ＝9.3×（12.75＋7.25） ＝9.3×20 图C，把大长方形看作单位“1”，平均分成12份，每份表示，这样的6份表示×6。 【总结】熟练地掌握乘法分配律和分数乘整数的意义是解答本题的关键。 8．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 【答案】/0.9 【分析】因为1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，将算式变为，然后根据分数的基本性质，将分数的分子和分母同时乘2，则算式变为，再计算出括号里面的加法，接着根据乘法分配律，将算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法。 【解析】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【总结】解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简。 二、选择题 9．（2021·浙江杭州·小升初真题）10＋11＋12＋…＋19的和为（    ）。 A．135 B．145 C．155 D．165 【答案】B 【分析】根据加法交换律和结合律，将11和19相加、12和18相加、13和17相加、14和16相加，分别求出和，再连加，最后再加上15和10即可。 【解析】10＋11＋12＋…＋19 ＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15＋10 ＝30＋30＋30＋30＋15＋10 ＝120＋15＋10 ＝145 所以，10＋11＋12＋…＋19的和为145。 故答案为：B 【总结】本题考查了加法运算律，熟练掌握加法交换律、加法结合律是解题的关键。 10．（2024·四川乐山·小升初真题）计算：运用了（    ）。 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据加法交换律：a＋b＝b＋a，乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：（ab）c＝a（bc），乘法分配律：（a＋b）c＝ac＋bc。据此判断即可。 【解析】根据分析可得： 计算：运用了乘法分配律。 故答案为：D 11．（2022·湖北黄冈·小升初真题）亮亮想用计算器验算“56×14”，但计算器中“4“的按键坏了，下面的算式在（    ）不能算出正确的答案。 A．56×7×2 B．56×15－56 C．56×15－15 D．56×13＋56 【答案】C 【分析】根据乘法运算定律，可以把14拆成7×2，用乘法结合计算即可，或者拆成13＋1或15－1，然后根据乘法分配律“a×（b±c）＝a×b±a×c”进行计算。 【解析】56×14 ＝56×（7×2） ＝56×7×2 56×14 ＝56×（13＋1） ＝56×13＋56 56×14 ＝56×（15－1） ＝56×15－56 因此A、B、D选项可以算出正确的答案，C选项不可以。 故答案为：C 【总结】本题考查乘法运算定律的运用，熟练掌握乘法运算定律是解题的关键。 12．（2021·浙江台州·小升初真题）下图竖式计算中所使用的运算定律是（    ）。 A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】由算式可知，求3.14×12的结果，把12拆成10＋2，然后根据乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加。据此解答即可。 【解析】由分析可知： 把竖式化为脱式为： 3.14×12 ＝3.14×（10＋2） ＝3.14×10＋3.14×2 ＝31.4＋6.28 ＝37.68 所以所使用的运算定律是乘法分配律。 故答案为：C 【总结】本题考查小数乘法，明确小数乘法的计算方法是解题的关键。 13．（2021·河北石家庄·小升初真题）马大虎把写成来计算，则错误结果比正确结果（    ）。 A．多12 B．多6 C．少6 D．少12 【答案】D 【分析】将利用乘法分配律进行分配，观察前后两个算式，确定大小，求差即可。 【解析】 －（） ＝－ ＝12 错误结果比正确结果少12。 故答案为：D 【总结】乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 三、计算题 14．（2022·广东揭阳·小升初真题）直接写出得数。 ①15×（1－80%）＝        ②0.5×999＋5＝        ③3.14×0.32＝ ④        ⑤        ⑥ 【答案】①3；②504.5；③1.0048 ④0.7；⑤2；⑥ 【解析】略 15．（2022·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。 （1）999×7＋111×37                    （2） （3）0.125×＋×8.25＋12.5%          （4） 【答案】（1）11100；（2）； （3）1.25；（4） 【分析】（1）先把999×7变成111×63，根据乘法结合律，把式子转化为111×（9×7）＋111×37，再根据乘法分配律简算； （2）根据运算顺序，先算小括号里面的减法，再算除法，最后算加法； （3）把分数和百分数化成小数，按照乘法分配律，把式子转化为0.125×（0.75＋8.25＋1）计算； （4）把各个分数进行拆分，有规律的达到抵消的目的，依次计算即可。 【解析】（1）999×7＋111×37 ＝（111×9）×7＋111×37 ＝111×（9×7）＋111×37 ＝111×63＋111×37 ＝111×（63＋37） ＝111×100 ＝11100 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3）0.125×＋×8.25＋12.5% ＝0.125×0.75＋0.125×8.25＋0.125 ＝0.125×（0.75＋8.25＋1） ＝0.125×10 ＝1.25 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 四、解答题 16．（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？ 下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法： 方法①应用的运算律是（    ），方法②应用的运算律是（    ），方法③中箭头所指表示的是（    ）。 【答案】168元； 乘法结合律；乘法分配律；140 【分析】根据总价＝单价×数量，代入数据计算即可。 ①14×12 ＝14×（4×3） ＝（14×4）×3 ＝56×3 ＝168 根据a×b×c＝a×（b×c），利用乘法的结合律。 ②14×12 ＝14×（10＋2） ＝14×10＋14×2 ＝140＋28 ＝168 利用了乘法的分配律，a×（b＋c）＝a×b＋a×c ③14×10＝140 【解析】14×12＝168（元） 答：买这些豆腐一共要花了168元。 则方法①应用的运算律是乘法结合律，方法②应用的运算律是乘法分配律，方法③中箭头所指表示的是140。 17．（2024·陕西商洛·小升初真题）某超市开展促销活动，水果类商品每满100元减40元。陈阿姨到超市购买12元/千克的葡萄和8元/千克的香蕉各5.4千克，陈阿姨买这两种水果实际需要支付多少元？ 【答案】68元 【分析】根据“单价×数量＝总价”，分别求出买葡萄、香蕉各自的钱数，再相加，即是总钱数；因为每满100元减40元，看总钱数里面有几个100元，就减去几个40元，即是实际需要支付的钱数。 【解析】12×5.4＋8×5.4 ＝（12＋8）×5.4 ＝20×5.4 ＝108（元） 108－40＝68（元） 答：陈阿姨买这两种水果实际需要支付68元。 18．（2021·福建泉州·小升初真题）小刚计算“（3×8）×2”时，他是这样想的：（3×8）×2＝3×（8×2）。 （1）小刚运用的运算定律是（    ）。 （2）请选用一种方法（如举例、画图、计算等），说明等式“（3×8）×2＝3×（8×2）”为什么成立？ 【答案】（1）乘法结合律（2）见详解 【分析】（1）三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，这叫乘法结合律，因此小刚运用的是乘法结合律； （2）根据整数乘法的计算方法，分别求出（3×8）×2与3×（8×2）的结果，再进一步解答。 【解析】（1）（3×8）×2＝3×（8×2），运用了乘法结合律； （2）（3×8）×2 ＝24×2 ＝48 3×（8×2） ＝3×16 ＝48 所以，（3×8）×2＝3×（8×2）。 【总结】此题的解题关键是熟悉乘法结合律的灵活运用。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 运算规律 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 知识点一：四则混合运算的运算顺序 1. 无括号算式的运算顺序 运算类型 规则 示例解析 同级运算（只有加、减或只有乘、除） 从左到右依次计算 （先算15-7=8，再算8+3=11） （先算24÷6=4，再算4×2=8） 异级运算（既有乘、除，又有加、减） 先算乘、除法，再算加、减法 （先算4×5=20，再算30+20=50） （先算16÷4=4，再算80-4=76） 2. 有括号算式的运算顺序 括号类型 规则 示例解析 只有小括号 先算小括号内的运算，再算小括号外的运算 （先算25-10=15，再算15÷5=3） （先算3+7=10，再算8×10=80） 既有小括号又有中括号 先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算 （先算小括号5+1=6，再算中括号24÷6=4，最后算4×2=8） （先算小括号18+12=30，再算中括号30÷6=5，最后算50-5=45） 知识点二：简便运算——运算律 1. 加法运算律 运算律 定义 字母表达式 举例 应用场景 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 （凑整百） （凑整） 两数相加能凑整十、整百、整千时使用 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变 三个数中后两个数能凑整时，优先结合 2. 乘法运算律 运算律 定义 字母表达式 举例 应用场景 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 （利用25×4=100） （利用0.5×2=1） 因数中存在25×4、125×8等特殊组合时交换位置 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 因数中存在可凑整的组合（如125×8、分数倒数相乘为1）时使用 乘法分配律 两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减） （正用） （逆用） 正用： 逆用： 减法分配： ① 拆分复杂数（如99=100-1） ② 合并同类项（如逆用提取公因数） ③ 处理和（差）与数相乘的结构 知识点三：简便运算——运算性质 1. 加减法运算性质 性质 定义 字母表达式 举例 应用场景 去括号（加法） 括号前是“+”，去括号后括号内符号不变 简化加减混合运算，优先计算能凑整的部分 去括号（减法） 括号前是“-”，去括号后括号内符号相反（“+”变“-”，“-”变“+”） ① 连续减法转化为减去和 ② 调整运算顺序，使计算简便 连减性质 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和 减数能凑整时使用（如45+55=100） 2. 乘除法运算性质 性质 定义 字母表达式 举例 应用场景 去括号（乘法） 括号前是“×”，去括号后括号内符号不变 （） 乘除混合运算中，优先计算简便组合 去括号（除法） 括号前是“÷”，去括号后括号内符号相反（“×”变“÷”，“÷”变“×”） （） （） ① 连除转化为除以积 ② 调整运算顺序，使除数变小（如24÷8×2更简便） 连除性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积 除数能凑整时使用（如5×8=40） 和差除以数分配律 两个数的和（或差）除以一个数，等于这两个数分别除以这个数，再相加（或相减） （） 被除数的两个数分别能被除数整除时使用（如36÷6和24÷6都易算） 知识点四：运算律与运算性质对比总结 类别 核心功能 包含内容 关键公式 应用关键 注意事项 运算律 改变运算顺序或因数位置 交换律、结合律、分配律 ，， 凑整（如25×4、125×8）、提取公因数 分配律可正用、逆用，注意符号一致性（如减法分配时符号不变） 运算性质 去括号或调整运算符号 加减法去括号、乘除法去括号、连减/连除性质 ， 去括号后简化运算（如连减变减和） 括号前是“-”或“÷”时，括号内符号必变（加变减、乘变除） 核心考点精讲 核心考点一：整数的四则运算 【典型例题】脱式计算。 432－432÷（12×3）              25×[（289＋719）÷63] 1280÷[（136＋24）×4]           202×（128－119）＋427 【通关练习】 1．计算下列各题． 774÷(27＋16)            28×15－120÷5            (480＋520÷13)×8 (362－122)×(24＋39)                    [8400－(330＋870)]÷15 2．小马虎在列综合算式时，不小心把括号丢掉了，你能帮他添上括号使算式成立吗？ 6＋36÷3－2×4－1＝5 6＋36÷3－2×4－1＝149 3．脱式计算． 780÷26+73            96×【（325-295）÷3】       40×（72÷3） 22×（71-58）          74-【（36+24）÷6】       14×35÷70 核心考点二：小数的四则运算 【典型例题】 脱式计算。 0.9×4.5＋0.45          9.08×0.4×2.5           【通关练习】 1．脱式计算。 （3.2＋4.06）÷6.05      26.8－1.2×4        3.5×3＋3.5×7       0.4×（3.2—0.8）÷1.2 2．脱式计算。 2.35－0.98＋1.65              2.4×0.5＋0.5                  1.2×0.8÷2.4 1.9＋8.1×0.1                （1.6－0.16）×0.25   3．脱式计算。                        核心考点三：分数的四则运算 【典型例题】 脱式计算。                        【通关练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 ①                  ② ③                  ④ 2．脱式计算。                                               3．脱式计算。 18÷          ÷12.5%          核心考点四：四则混合运算 【典型例题】 脱式计算。 （1）            （2） （3）           （4） 【通关练习】 1．脱式计算。                   2．脱式计算。 690－460÷23×7           12.5×32×0.25             （）÷              69÷（24×＋15） 3．脱式计算。              核心考点五：简便运算 【典型例题】 简便计算。 3.65－1.75＋1.35－2.25           25%＋3.6＋0.75                  【通关练习】 1．计算下面各题，能简算的用简便方法计算。 （1）              （2） （3）                （4） 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                        3．怎样简便怎样计算。                                               核心考点六：其他常见的简便运算方法 【典型例题】 能简便计算的简便计算。                 【通关练习】 1．计算。 2．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9    333×125＋111×625    9999×2222＋3333×3334 3．用凑整法计算下面各题。 499999＋49999＋4999＋499＋49＋5      1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 真题演练 一、填空题 1．（2015·江西吉安·小升初真题）假设你的计算器的一个键“4”坏了，你怎样计算49×76，用算式表示计算过程 。 2．（2019·河北邯郸·小升初真题）8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是 。 3．（2024·河南南阳·小升初真题）1＋…＝( ) 4．（2024·浙江宁波·小升初真题）在算式“8.1×□－5.7×□＝3.6”的两个□里填入相同的数，使等式成立，则□里应填( )。 5．（2022·四川绵阳·小升初真题）被减数、减数、差的和是36，差与减数的比2∶7，差是( )，减数是( )。 6．（2024·四川内江·小升初真题）在算式“□□□”，“□”代表同一个数字，这个数字是( )。 7．（2022·浙江金华·小升初真题）仔细观察下面三幅图，请你分别用一道乘法算式表示出图A、图B表示的大小以及图C阴影部分的大小。 ( )×( )  ( )×( )  ( )×( ) 8．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 二、选择题 9．（2021·浙江杭州·小升初真题）10＋11＋12＋…＋19的和为（    ）。 A．135 B．145 C．155 D．165 10．（2024·四川乐山·小升初真题）计算：运用了（    ）。 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 11．（2022·湖北黄冈·小升初真题）亮亮想用计算器验算“56×14”，但计算器中“4“的按键坏了，下面的算式在（    ）不能算出正确的答案。 A．56×7×2 B．56×15－56 C．56×15－15 D．56×13＋56 12．（2021·浙江台州·小升初真题）下图竖式计算中所使用的运算定律是（    ）。 A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 13．（2021·河北石家庄·小升初真题）马大虎把写成来计算，则错误结果比正确结果（    ）。 A．多12 B．多6 C．少6 D．少12 三、计算题 14．（2022·广东揭阳·小升初真题）直接写出得数。 ①15×（1－80%）＝        ②0.5×999＋5＝        ③3.14×0.32＝ ④        ⑤        ⑥ 15．（2022·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。 （1）999×7＋111×37                    （2） （3）0.125×＋×8.25＋12.5%          （4） 四、解答题 16．（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？ 下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法： 方法①应用的运算律是（    ），方法②应用的运算律是（    ），方法③中箭头所指表示的是（    ）。 17．（2024·陕西商洛·小升初真题）某超市开展促销活动，水果类商品每满100元减40元。陈阿姨到超市购买12元/千克的葡萄和8元/千克的香蕉各5.4千克，陈阿姨买这两种水果实际需要支付多少元？ 18．（2021·福建泉州·小升初真题）小刚计算“（3×8）×2”时，他是这样想的：（3×8）×2＝3×（8×2）。 （1）小刚运用的运算定律是（    ）。 （2）请选用一种方法（如举例、画图、计算等），说明等式“（3×8）×2＝3×（8×2）”为什么成立？ 学科网（北京）股份有限公司 $$