专题06 四则运算的意义和法则 （讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题06 四则运算的意义和法则 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一、四则运算的意义 运算 整数 小数 分数 核心意义 加法 把两个数合并成一个数的运算 与整数加法意义相同 与整数加法意义相同 合并、求和 减法 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算 与整数减法意义相同 与整数减法意义相同 求差、逆运算加法 乘法 求几个相同加数的和的简便运算 - 小数乘整数：与整数乘法意义相同 - 一个数乘小数：求该数的十分之几、百分之几…… - 分数乘整数：与整数乘法意义相同 - 一个数乘分数：求该数的几分之几 简便运算、部分量求解 除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 与整数除法意义相同 与整数除法意义相同（甲数除以乙数等于甲数乘乙数的倒数，乙数≠0） 逆运算乘法、平均分 知识点二、四则运算各部分间的关系 1. 加法与减法 运算 基本关系式 变式关系 加法 加数 + 加数 = 和 一个加数 = 和 - 另一个加数 减法 被减数 - 减数 = 差 - 被减数 = 减数 + 差 - 减数 = 被减数 - 差 2. 乘法与除法 运算 基本关系式 变式关系 乘法 因数 × 因数 = 积 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 除法 - 无余数：被除数 ÷ 除数 = 商 - 有余数：被除数 ÷ 除数 = 商……余数 - 无余数： 被除数 = 除数 × 商 除数 = 被除数 ÷ 商 - 有余数： 被除数 = 除数 × 商 + 余数 除数 = (被除数 - 余数) ÷ 商 余数 = 被除数 - 除数 × 商 知识点三、四则运算的计算方法 运算 整数 小数 分数 相同点 加法 相同数位对齐，从个位加起，满十进1 小数点对齐（相同数位对齐），按整数加法计算，得数对齐小数点加点 - 同分母：分母不变，分子相加 - 异分母：先通分，再按同分母计算 相同计数单位的数相加减 减法 相同数位对齐，从个位减起，不够减时借1当10 小数点对齐，按整数减法计算，得数对齐小数点加点 - 同分母：分母不变，分子相减 - 异分母：先通分，再按同分母计算 相同计数单位的数相加减 乘法 从个位起，依次乘每一位，用哪一位乘，积的末位就和那一位对齐，最后相加 - 小数乘整数：按整数乘法计算，因数有几位小数，积就有几位小数 - 小数乘小数：先按整数乘法算，再数小数点位数 - 分数乘整数：分子乘整数，分母不变 - 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母 遵循“数位对齐”或“分子分母分别运算” 除法 - 从被除数高位除起，除数有几位就看被除数前几位，不够除多看一位 - 除到哪一位商就写在哪一位，不够商1补0 - 除数是整数：按整数除法算，商的小数点与被除数对齐 - 除数是小数：先转化为整数，被除数同扩相同倍数再计算 甲数除以乙数（乙数≠0）= 甲数 × 乙数的倒数（转化为分数乘法） 除法可转化为乘法（分数除法）或按数位逐位计算 知识点四、估算方法 方法 定义 示例 凑整法 将数凑成整十、整百、整千等，便于快速计算 计算298 + 412 ≈ 300 + 400 = 700 中间数法 取一组数的中间值（接近的整十数等），用中间值×个数估算总和 求28、31、33、29的和：中间数30，和≈30×4=120 特殊数法 利用特殊数（如25×4=100，125×8=1000）的乘积关系估算 计算19×5≈20×5=100（利用20接近19） 知识点五、和、差、积、商的变化规律 1. 和与差的变化规律 规律 内容 字母表示 和的变化 - 一个加数±m，另一个加数不变 → 和±m - 一个加数+m，另一个加数−m → 和不变 - - 差的变化 - 被减数±m，减数不变 → 差±m - 减数±m，被减数不变 → 差∓m - 被减数和减数同时±m → 差不变 - - - 2. 积与商的变化规律 规律 内容 字母表示 积的变化 - 一个因数×m，另一个因数不变 → 积×m - 一个因数÷m，另一个因数不变 → 积÷m - 一个因数×m，另一个因数÷m → 积不变（m≠0） - - - 商的变化 - 被除数×m，除数不变 → 商×m - 被除数÷m，除数不变 → 商÷m - 除数×m，被除数不变 → 商÷m - 除数÷m，被除数不变 → 商×m - 被除数和除数同时×/÷m → 商不变（m≠0） - - - - - 知识点六、积与因数、商与被除数的大小比较 1. 积与因数的关系（因数≠0） 因数条件 积与另一个因数的大小关系 示例 一个因数 > 1 积 > 另一个因数 一个因数 = 1 积 = 另一个因数 一个因数 < 1 积 < 另一个因数（因数为正数时） 2. 商与被除数的关系（被除数≠0） 除数条件 商与被除数的大小关系 示例 除数 > 1 商 < 被除数（被除数为正数时） 除数 = 1 商 = 被除数 除数 < 1 商 > 被除数（被除数为正数时） 核心考点精讲 核心考点一：四则运算各部分间的关系 【典型例题】 △和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 【通关练习】 1．两个自然数相除，有两种表示的方法：a÷b＝5……4，a÷b＝5.25，根据两种表示方法，可以得出a＝( )，b＝( )。 2．在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是130，减数与差的比是2∶3，减数是( )差是( )。 3．两数相除，商13余4，被除数、除数、商、余数之和为189，则除数是( )。 核心考点二：四则运算的运算顺序 【典型例题】 计算时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【通关练习】 1．在算式的基础上加括号，使计算结果最小。这个算式是( )。 2．现在的年轻人在付款时流行“AA”制，即平均分担费用。现甲乙二人合买了一些梨子，甲拿了8千克，乙拿了4千克，甲补给乙20元，那梨子是( )元/千克。 3．如果规定符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中较小数，例如：3△5＝5，5⊙3＝3，那么[（6⊙3）△5]×[6⊙（3△5）]＝( )。 4．下列各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24点的是（    ）。 A．1，2，3，8 B．2，3，4，6 C．2，3，2，8 D．2，2，9，9 4.如果A☆B＝（A＋B）×（A－B），那么27☆9＝( )。 核心考点三：有关“0”的计算 【典型例题】 关于“0”的说法错误的是（    ）。 A．0乘任何数都等于0 B．0和正整数都是自然数 C．0能做乘数、减数和除数 D．0既不是正数也不是负数 【通关练习】 1．如果a×b＝0，那么（    ）。 A．a＝0 B．b＝0 C．a、b都为0 D．a、b中一定有一个为0 2．如果算式0÷☆成立，☆一定( )0，结果是( )。若86－☆＝0，则☆＝( )，若☆÷（12×6）＝1，则☆＝( )。 核心考点四：错中求解 【典型例题】 小红计算 (＋)×时漏看了括号，计算成＋×，结果比原来的结果( )（填“多”或“少”），相差( )。 【通关练习】 1．小明把8×（□＋4）错写成8×□＋4，他得到的结果要比正确答案小了（    ）。 A．8 B．28 C．32 2．小华在计算“8＋×6”时弄错了运算顺序，先算加法后算乘法了，得数是66，那么正确的得数应该是( )。 核心考点五：和差、积商的变化规律 【典型例题】 甲数除以乙数，商是3，余数是1，如果甲数和乙数都乘5，那么商是( )，余数是( )。 【通关练习】 1．下面是四位同学在计算时的不同思考过程，其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知☆×○＝116，则（☆×4）×（○÷2）＝（    ）。 A．116 B．232 C．58 3．已知，那么x、y、x的关系是（    ）。 A． B． C． D． 真题演练 一、填空题 1．把下面的两道式子合并成一道综合算式。 (1)32÷4＝8，50－8＝42，( ) (2)16－9＝7，4×7＝28，( ) 2．小明在计算30.6除以一个数时，由于将商的小数点向右点错了一位，结果得到了204。这个除法算式的除数是( )。 3．两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是( )。 4．填上运算符号[＋，－，×，÷，（    ）]使等式成立：9○7○6○4＝24。 5．已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。 6．算“24点”是一种数学游戏；把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）联结起来，使得运算结果为24，注意每个数字只能用一次，请你用“4、4、7、7”这4个数字算“24点”，列出的算式是( )。 7．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 二、选择题 8．7.38除以0.21商是35，余数是（    ）。 A．0.003 B．0.03 C．0.3 D．3 9．□96是一个三位数，□96×5的积最接近2000，□里数字是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 10．根据☆×◇＝○，下面算式错误的是（    ）。 A．☆＝○÷◇ B．◇＝○÷☆ C．（☆÷5）×（◇÷5）＝○ D．（☆×3）×（◇÷3）＝○ 11．两个三位数之和是1785，组成这两个三位数的六个数字互不相同，那么较大的三位数最大是（    ）。 A．976 B．975 C．974 D．973 12．已知：，则x、y、z、k四个数中最大的是（    ）。 A．x B．y C．z D．k 13．如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值。正确的是（    ）。 ○＋△＝91   △－○＝35   ○＋囗＝73 A．○＝28，囗＝45，△＝63 B．○＝45，囗＝28，△＝63 C．○＝45，囗＝63，△＝63 D．○＝63，囗＝45，△＝28 三、判断题 14．在四则运算中，要先算中括号里面的，再算小括号里面的．( ) 15．被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。( ) 16．一个数加9，乘9，减9，最后除以9，结果还是9，这个数是1。( ) 四、解答题 17．下列各题只列算式或方程，不必计算。 李老师4分钟能打320个字，照这样计算，李老师12分钟能打多少个字？ 18．△、□、〇、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？ 19．规定表示与的差的2倍或与的差的2倍（即大数减小数的2倍），例如，。 ①计算：。 ②若，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四则运算的意义和法则 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一、四则运算的意义 运算 整数 小数 分数 核心意义 加法 把两个数合并成一个数的运算 与整数加法意义相同 与整数加法意义相同 合并、求和 减法 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算 与整数减法意义相同 与整数减法意义相同 求差、逆运算加法 乘法 求几个相同加数的和的简便运算 - 小数乘整数：与整数乘法意义相同 - 一个数乘小数：求该数的十分之几、百分之几…… - 分数乘整数：与整数乘法意义相同 - 一个数乘分数：求该数的几分之几 简便运算、部分量求解 除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 与整数除法意义相同 与整数除法意义相同（甲数除以乙数等于甲数乘乙数的倒数，乙数≠0） 逆运算乘法、平均分 知识点二、四则运算各部分间的关系 1. 加法与减法 运算 基本关系式 变式关系 加法 加数 + 加数 = 和 一个加数 = 和 - 另一个加数 减法 被减数 - 减数 = 差 - 被减数 = 减数 + 差 - 减数 = 被减数 - 差 2. 乘法与除法 运算 基本关系式 变式关系 乘法 因数 × 因数 = 积 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 除法 - 无余数：被除数 ÷ 除数 = 商 - 有余数：被除数 ÷ 除数 = 商……余数 - 无余数： 被除数 = 除数 × 商 除数 = 被除数 ÷ 商 - 有余数： 被除数 = 除数 × 商 + 余数 除数 = (被除数 - 余数) ÷ 商 余数 = 被除数 - 除数 × 商 知识点三、四则运算的计算方法 运算 整数 小数 分数 相同点 加法 相同数位对齐，从个位加起，满十进1 小数点对齐（相同数位对齐），按整数加法计算，得数对齐小数点加点 - 同分母：分母不变，分子相加 - 异分母：先通分，再按同分母计算 相同计数单位的数相加减 减法 相同数位对齐，从个位减起，不够减时借1当10 小数点对齐，按整数减法计算，得数对齐小数点加点 - 同分母：分母不变，分子相减 - 异分母：先通分，再按同分母计算 相同计数单位的数相加减 乘法 从个位起，依次乘每一位，用哪一位乘，积的末位就和那一位对齐，最后相加 - 小数乘整数：按整数乘法计算，因数有几位小数，积就有几位小数 - 小数乘小数：先按整数乘法算，再数小数点位数 - 分数乘整数：分子乘整数，分母不变 - 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母 遵循“数位对齐”或“分子分母分别运算” 除法 - 从被除数高位除起，除数有几位就看被除数前几位，不够除多看一位 - 除到哪一位商就写在哪一位，不够商1补0 - 除数是整数：按整数除法算，商的小数点与被除数对齐 - 除数是小数：先转化为整数，被除数同扩相同倍数再计算 甲数除以乙数（乙数≠0）= 甲数 × 乙数的倒数（转化为分数乘法） 除法可转化为乘法（分数除法）或按数位逐位计算 知识点四、估算方法 方法 定义 示例 凑整法 将数凑成整十、整百、整千等，便于快速计算 计算298 + 412 ≈ 300 + 400 = 700 中间数法 取一组数的中间值（接近的整十数等），用中间值×个数估算总和 求28、31、33、29的和：中间数30，和≈30×4=120 特殊数法 利用特殊数（如25×4=100，125×8=1000）的乘积关系估算 计算19×5≈20×5=100（利用20接近19） 知识点五、和、差、积、商的变化规律 1. 和与差的变化规律 规律 内容 字母表示 和的变化 - 一个加数±m，另一个加数不变 → 和±m - 一个加数+m，另一个加数−m → 和不变 - - 差的变化 - 被减数±m，减数不变 → 差±m - 减数±m，被减数不变 → 差∓m - 被减数和减数同时±m → 差不变 - - - 2. 积与商的变化规律 规律 内容 字母表示 积的变化 - 一个因数×m，另一个因数不变 → 积×m - 一个因数÷m，另一个因数不变 → 积÷m - 一个因数×m，另一个因数÷m → 积不变（m≠0） - - - 商的变化 - 被除数×m，除数不变 → 商×m - 被除数÷m，除数不变 → 商÷m - 除数×m，被除数不变 → 商÷m - 除数÷m，被除数不变 → 商×m - 被除数和除数同时×/÷m → 商不变（m≠0） - - - - - 知识点六、积与因数、商与被除数的大小比较 1. 积与因数的关系（因数≠0） 因数条件 积与另一个因数的大小关系 示例 一个因数 > 1 积 > 另一个因数 一个因数 = 1 积 = 另一个因数 一个因数 < 1 积 < 另一个因数（因数为正数时） 2. 商与被除数的关系（被除数≠0） 除数条件 商与被除数的大小关系 示例 除数 > 1 商 < 被除数（被除数为正数时） 除数 = 1 商 = 被除数 除数 < 1 商 > 被除数（被除数为正数时） 核心考点精讲 核心考点一：四则运算各部分间的关系 【典型例题】 △和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 【答案】D 【分析】因△＋□＝150，□＝150－△，把□代入，△÷□＝5，就可求出它的值，据此解答。 【解析】△＋□＝150 □＝150－△ 把□代入，△÷□＝5得： △÷（150－△）＝5 △÷（150－△）×（150－△）＝5×（150－△） △＝750－5△ △＋5△＝750－5△＋5△ 6△÷6＝750÷6 △＝125 故答案为：D 【总结】本题考查了学生对等量代换的初步认识。 【通关练习】 1．两个自然数相除，有两种表示的方法：a÷b＝5……4，a÷b＝5.25，根据两种表示方法，可以得出a＝( )，b＝( )。 【答案】 84 16 【分析】根据“被除数＝商×除数＋余数”把a÷b＝5……4改写成a＝5b＋4； 根据“被除数＝商×除数”把a÷b＝5.25改写成a＝5.25b； 据此列出方程：5b＋4＝5.25b，根据等式的性质解方程，求出b的值；再把b的值代入a＝5.25b中，计算出结果，即是a的值。 【解析】由a÷b＝5……4可得：a＝5b＋4； 由a÷b＝5.25可得：a＝5.25b； 5b＋4＝5.25b 解：5b＋4－5b＝5.25b－5b 4＝0.25b 0.25b÷0.25＝4÷0.25 b＝16 当b＝16时，a＝5.25b＝5.25×16＝84。 可以得出a＝84，b＝16。 2．在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是130，减数与差的比是2∶3，减数是( )差是( )。 【答案】 26 39 【分析】被减数－减数＝差；所以被减数＝差＋减数；由此可知，被减数＋减数＋差＝被减数×2＝（减数＋差）×2，据此求出减数与差的和；根据题意，减数与差的比是2∶3，即把减数与差的和分成了2＋3＝5份，用减数与差的和除以总份数，求出1份是多少，进而求出减数和差，据此解答。 【解析】2＋3＝5（份） 130÷2÷5×2 ＝65÷5×2 ＝13×2 ＝26 130÷2÷5×3 ＝65÷5×3 ＝13×3 ＝39 在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是130，减数与差的比是2∶3，减数是26差是39。 3．两数相除，商13余4，被除数、除数、商、余数之和为189，则除数是( )。 【答案】12 【分析】设除数为x，根据“被除数＝商×除数＋余数”得被除数是13x＋4，由题意可得：（13x＋4）＋x＋13＋4＝189，解这个方程，求出除数，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【解析】解：设除数为x，则： （13x＋4）＋x＋13＋4＝189 （13x＋4）＋x＋13＋4＝189 14x＋21＝189 14x＋21－21＝189－21 14x＝168 14x÷14＝168÷14 x＝12 即：除数是12。 【总结】根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四者之间的关系，进行解答即可。 核心考点二：四则运算的运算顺序 【典型例题】 计算时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【答案】 减 除 乘 【分析】四则运算分为两级：加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第二级运算。 （1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。 （2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。 根据以上运算法则，运算即可。 【解析】由分析可得： ＝÷（－）× ＝÷× ＝×12× ＝× ＝ 应该先算小括号里的减法，再按照从左往右的顺序，再算除法，最后算乘法。 【通关练习】 1．在算式的基础上加括号，使计算结果最小。这个算式是( )。 【答案】6000÷[（40＋20）×10] 【分析】要使6000÷40＋20×10的计算结果最小，要最后一步计算除法，且使除数最大。据此在适当的位置添加括号解答。 【解析】6000÷[（40＋20）×10] ＝6000÷[60×10] ＝6000÷600 ＝10 所以，这个算式是6000÷[（40＋20）×10]。 2．现在的年轻人在付款时流行“AA”制，即平均分担费用。现甲乙二人合买了一些梨子，甲拿了8千克，乙拿了4千克，甲补给乙20元，那梨子是( )元/千克。 【答案】10 【分析】甲比乙多拿了（8－4）千克，甲比乙多花了（20＋20）元，根据“单价＝总价÷数量”，求出梨子的单价即可。 【解析】（20＋20）÷（8－4） ＝40÷4 ＝10（元/千克） 所以，梨子是10元/千克。 【总结】正确理解单价、数量和总价之间的关系，是解答此题的关键。 3．如果规定符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中较小数，例如：3△5＝5，5⊙3＝3，那么[（6⊙3）△5]×[6⊙（3△5）]＝( )。 【答案】25 【分析】根据题中规定的运算规则，进行脱式计算即可。 【解析】[（6⊙3）△5]×[6⊙（3△5）] ＝[3△5]×[6⊙5] ＝5×5 ＝25 所以，[（6⊙3）△5]×[6⊙（3△5）]＝25。 【总结】本题考查了定义新运算，关键是根据所给的运算规则，去完成计算。 4．下列各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24点的是（    ）。 A．1，2，3，8 B．2，3，4，6 C．2，3，2，8 D．2，2，9，9 【答案】D 【分析】根据四则运算的运算法则计算，找到合适的选项。 【解析】A．3×8×（2－1） ＝3×8×1 ＝24×1 ＝ 24 所以能计算出24点； B．3×4＋6×2 ＝12＋12 ＝ 24 所以能计算出24点； C．3×8×（2÷2） ＝24×1 ＝ 24 所以能计算出24点； D．此项中的四个数字不能计算出24点。 故答案为：D 【总结】解答此题应根据数的特点，进行分析，进而得出结论；也可以用列举法，进行列举。 核心考点三：有关“0”的计算 【典型例题】 关于“0”的说法错误的是（    ）。 A．0乘任何数都等于0 B．0和正整数都是自然数 C．0能做乘数、减数和除数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】C 【分析】根据0的意义，比如相同两个数相减的结果是0；一个数与0相加的和是它本身；一个数减0的差是它本身；0除以任何一个不为0的数商是0；0与任何数相乘的积是0。一个非0的数除以0无意义；0既不是正数也不是负数；逐一判断，可得答案。 【解析】A．0乘任何数都等于0表述正确； B．0和正整数都是自然数表述正确； C．0能做乘数、减数和除数表述错误，不能做除数； D．0既不是正数也不是负数表述正确。 故答案为：C 【总结】此题考查了负数的意义、整数的认识、自然数的认识和乘除法的意义等。 【通关练习】 1．如果a×b＝0，那么（    ）。 A．a＝0 B．b＝0 C．a、b都为0 D．a、b中一定有一个为0 【答案】D 【分析】0乘任何数都等于0，当a＝0时，a×b＝0；当b＝0时，a×b＝0；当a＝0，b＝0时，a×b＝0；则a、b中至少有一个为0，据此解答。 【解析】分析可知，如果a×b＝0，那么a、b中一定有一个为0。 故答案为：D 【总结】如果两个数相乘的积为0，那么这两个数中至少有一个数为0。 2．如果算式0÷☆成立，☆一定( )0，结果是( )。若86－☆＝0，则☆＝( )，若☆÷（12×6）＝1，则☆＝( )。 【答案】 不等于 0 86 72 【分析】0除以任何不为0的数等于0；减数＝被减数－差；被除数＝除数×商，据此即可解答。 【解析】如果算式0÷☆成立，☆一定不等于0，结果是0。若86－☆＝0，则☆＝86－0＝86，若☆÷（12×6）＝1，则☆＝12×6×1＝72。 【总结】熟练掌握关于0的运算和减法、除法各部分间关系是解答本题的关键。 核心考点四：错中求解 【典型例题】 小红计算 (＋)×时漏看了括号，计算成＋×，结果比原来的结果( )（填“多”或“少”），相差( )。 【答案】 多 【分析】根据题意，先计算出（＋）×的结果，再计算出＋×的结果，最后将结果相减即可解答。 【解析】（＋）× ＝（＋）× ＝× ＝ ＋× ＝＋ ＝＋ ＝ ＜＝，结果比原来的结果大； －＝－＝ 【总结】此题主要考查学生对带括号的分数混合运算与不带括号的分数混合运算的运算顺序的理解与实际应用解答，需要掌握运算顺序和分数大小比较与通分方法等。 【通关练习】 1．小明把8×（□＋4）错写成8×□＋4，他得到的结果要比正确答案小了（    ）。 A．8 B．28 C．32 【答案】B 【分析】运用赋值法，令□＝1，分别代入8×（□＋4）和8×□＋4，求出结果，再作差即可求解。 【解析】令□＝1，则： 8×（□＋4） ＝8×（1＋4） ＝8×5 ＝40 8×□＋4 ＝8×1＋4 ＝12 40﹣12＝28 他得到的结果要比正确答案小了28。 故答案为：B 【总结】解决本题也可以运用乘法分配律把8×（□＋4）变成8×□﹣8×4，再与8×□＋4作差求解。 2．小华在计算“8＋×6”时弄错了运算顺序，先算加法后算乘法了，得数是66，那么正确的得数应该是( )。 【答案】26 【分析】本题采取逆推的方法，后算的乘法，即8＋□是一个因数，6是另一个因数，积是66，根据乘法算式各部分的关系可以求出8＋□的值，进而可以求出□的值；再把□的值代入算式，按照正确的运算方法求出正确的结果。 【解析】66÷6＝11 11－8＝3 8＋3×6 ＝8＋18 ＝26 【总结】这种类型的题目需要从运算的结果推算，求出算式中的未知数，再按正确的运算顺序计算出正确的结果。 16．如果A☆B＝（A＋B）×（A－B），那么27☆9＝( )。 【答案】648 【分析】☆表示的运算是：两个数的和×前面的数与后面数的差，据此代入相应数值计算，即可解答。 【解析】27☆9 ＝（27＋9）×（27－9） ＝36×18 ＝648 因此27☆9＝648。 真题演练 一、填空题 1．把下面的两道式子合并成一道综合算式。 (1)32÷4＝8，50－8＝42，( ) (2)16－9＝7，4×7＝28，( ) 【答案】(1)50－32÷4 (2)4×（16－9） 【分析】（1）根据题意，先计算32÷4，求出商，用50减去所得的商，据此列式解答。 （2）分析算式的关系，算式4×7＝28中的7是由算式16－9＝7得来的，要想先算减法，必须给减法算式加上小括号，据此列综合算式。 （1） 50－32÷4 ＝50－8 ＝42 （2） 4×（16－9） ＝4×7 ＝28 【总结】四则混合运算中，有括号的先算括号里面的，没有括号的先算乘除法，再算加减法。 2．小明在计算30.6除以一个数时，由于将商的小数点向右点错了一位，结果得到了204。这个除法算式的除数是( )。 【答案】1.5 【分析】根据题意可知，将商的小数点向右点错了一位，结果得到了204，说明原来的商是204÷10＝20.4，要求这个算式的除数，根据除数＝被除数÷商，把被除数和原来的商的具体数据代入计算即可。 【解析】204÷10＝20.4 30.6÷20.4＝1.5 答：这个除法算式的除数是1.5。 【总结】依据错误的商先求出正确的商是解题的关键，掌握被除数、除数和商之间的关系。 3．两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是( )。 【答案】324 【分析】设除数为x，根据“被除数＝商×除数＋余数”得：（4x＋8）＋x＋4＋8＝415，解这个方程，求出除数，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【解析】解：设除数为x。 （4x＋8）＋x＋4＋8＝415 5x＋20＝415 5x＝395 x＝79 4×79＋8＝316＋8＝324 则被除数是324。 4．填上运算符号[＋，－，×，÷，（    ）]使等式成立：9○7○6○4＝24。 【答案】（9＋7）×6÷4＝24 【分析】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【解析】（9＋7）×6÷4 ＝16×6÷4 ＝96÷4 ＝24 【总结】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算。 5．已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。 【答案】 7 9 【分析】根据题意，将两个算式相减可得：□－△＝2，则□＝2＋△，将其代入△＋△＋△＋□＋□＝39中，即可求出△，从而进一步求出□即可。 【解析】两个算式相减：△＋△＋□＋□＋□－（△＋△＋△＋□＋□）＝41－39； 可得□－△＝2； 则□＝2＋△； △＋△＋△＋2＋△＋2＋△＝39 5△＝35 △＝7； 2＋7＝9。 【总结】解答本题的关键是利用已知的两个算式相减，找到△和□之间的关系，再根据等量代换的知识点进一步解答。 6．算“24点”是一种数学游戏；把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）联结起来，使得运算结果为24，注意每个数字只能用一次，请你用“4、4、7、7”这4个数字算“24点”，列出的算式是( )。 【答案】7×（4－4÷7） 【分析】要使结果为24，根据给出的四个数“4、4、7、7”，7×＝24，4÷7＝，4－＝；由此可以得出答案（答案不唯一）。 【解析】由分析可得： 7×（4－4÷7） ＝7× ＝24 【总结】要使四个数用数学运算符号或括号把它们连接起来，使计算的结果为24，一般使用逆推法，根据四则混合运算的运算顺序逐步解答即可。 7．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ 【分析】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得。 【解析】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。 二、选择题 8．7.38除以0.21商是35，余数是（    ）。 A．0.003 B．0.03 C．0.3 D．3 【答案】B 【分析】根据除法各部分之间的关系，用被除数－商×除数＝余数，据此分析。 【解析】7.38－0.21×35 ＝7.38－7.35 ＝0.03 故答案为：B 【总结】被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，但余数会跟着扩大或缩小相同的倍数。 9．□96是一个三位数，□96×5的积最接近2000，□里数字是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据乘除法之间的关系可知2000÷5＝400，就要把□96估成400，据此可解答。 【解析】因为2000÷5＝400，□96≈400，所以口内应填3。 故答案为：B 【总结】本题考查了学生乘除法之间的关系以及用“四舍五入”取值的能力。 10．根据☆×◇＝○，下面算式错误的是（    ）。 A．☆＝○÷◇ B．◇＝○÷☆ C．（☆÷5）×（◇÷5）＝○ D．（☆×3）×（◇÷3）＝○ 【答案】C 【分析】根据“因数×因数＝积”可得，“因数＝积÷另一个因数”； 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几； 积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变。 【解析】A．根据☆×◇＝○可得，☆＝○÷◇，原题列式正确； B．根据☆×◇＝○可得，◇＝○÷☆，原题列式正确； C．根据☆×◇＝○可得，（☆÷5）×（◇÷5）＝○÷25，原题列式错误； D．根据☆×◇＝○可得，（☆×3）×（◇÷3）＝○，原题列式正确。 故答案为：C 【总结】掌握乘法各部分间的关系、积的变化规律及应用是解题的关键。 11．两个三位数之和是1785，组成这两个三位数的六个数字互不相同，那么较大的三位数最大是（    ）。 A．976 B．975 C．974 D．973 【答案】B 【分析】将选项当成其中一个加数，用和－加数＝另一个加数，找到复合条件的最大的三位数即可。 【解析】A． 1785－976＝809，有相同的数字，排除； B． 1785－975＝810，没有相同的数字； C． 1785－974＝811，有相同的数字，排除； D． 1785－973＝812，没有相同的数字。 975＞973 故答案为：B 【总结】本题考查了加法各部分之间的关系，选择题有多种方法解决，试一试、排除法都是不错的方法。 12．已知：，则x、y、z、k四个数中最大的是（    ）。 A．x B．y C．z D．k 【答案】B 【分析】根据加数＝和－另一个加数；被减数＝差＋减数；乘数＝积÷另一个乘数；被除数＝商×除数，分别求出x、y、z、k的数值，比较大小即可。 【解析】x＝1－＝，y＝1＋＝，z＝1÷＝，k＝1×＝ ＞＞＞，最大的是y。 故答案为：B 【总结】关键是加法、减法、乘法、除法各部分之间的关系，通过逆运算求出x、y、z、k的数值。 13．如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值。正确的是（    ）。 ○＋△＝91   △－○＝35   ○＋囗＝73 A．○＝28，囗＝45，△＝63 B．○＝45，囗＝28，△＝63 C．○＝45，囗＝63，△＝63 D．○＝63，囗＝45，△＝28 【答案】A 【分析】利用和差问题公式：（和＋差）÷2＝较大数，将○＋△＝91，△－○＝35这两个等式左右两边分别相加，再除以2，求出△的值；将△的值代入○＋△＝91中，根据和－一个加数＝另一个加数，求出○的值；将○的值代入○＋囗＝73，同理求出囗的值。 【解析】△：（91＋35）÷2 ＝126÷2 ＝63 将△＝63代入○＋△＝91可得： ○＋63＝91 ○＝91－63 ○＝28 将○＝28代入○＋囗＝73可得： 28＋囗＝73 囗＝73－28 囗＝45 故答案为：A 【总结】本题考查和差问题以及等量代换问题，弄清各图形之间的数量关系是解题的关键。 三、判断题 14．在四则运算中，要先算中括号里面的，再算小括号里面的．( ) 【答案】错误 【解析】在四则运算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的． 故答案为错误 15．被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。( ) 【答案】× 【解析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。例如75÷15＝（75×5）÷（15×5），75÷15＝（75÷3）÷（15÷3）。当被除数和除数同时乘0时，75×0＝0，15×0＝0，被除数和除数都是0，0不能作除数。 故答案为：× 16．一个数加9，乘9，减9，最后除以9，结果还是9，这个数是1。( ) 【答案】√ 【分析】分析题目，根据“一个数加9，乘9，减9，最后除以9，结果还是9”可知，此题可以用还原法，先给结果9乘9，再加上9，再除以9，最后减去9即可得到这个数，据此列式计算即可。 【解析】（9×9＋9）÷9－9 ＝（81＋9）÷9－9 ＝90÷9－9 ＝10－9 ＝1 一个数加9，乘9，减9，最后除以9，结果还是9，这个数是1；原说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 17．下列各题只列算式或方程，不必计算。 李老师4分钟能打320个字，照这样计算，李老师12分钟能打多少个字？ 【答案】 【分析】先计算出李老师每分钟打多少个字，再计算出12分钟打多少个字，列出综合算式。 【解析】根据分析列式为： 【总结】本题考查乘除法的混合运算，解答本题的关键是掌握先求出每分钟打字个数，再求12分钟打字个数。 18．△、□、〇、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？ 【答案】（1）△是18；□是6 （2）等于 【分析】（1）根据△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可知□＋□＋□＋□＝24，即□×4＝24，根据“因数＝积÷另一个因数”据此求出□表示的数，再把□表示的数代入△＝□＋□＋□中，求出△表示的数。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160，根据“加数＝和－另一个加数”得出〇＝160－☆，◎＝160－☆，据此得出〇是否等于◎。 【解析】（1）由△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可得：□＋□＋□＋□＝24； □＝24÷4＝6 △＝6＋6＋6＝18 答：△的值是18，□的值是6。 （2）由〇＋☆＝160可得：〇＝160－☆； 由◎＋☆＝160可得：◎＝160－☆； 所以〇＝◎。 答：〇等于◎。 19．规定表示与的差的2倍或与的差的2倍（即大数减小数的2倍），例如，。 ①计算：。 ②若，求的值。 【答案】①8；②x＝6或x＝10 【分析】①可按大数减小数的差的2倍来计算； ②当8＞x时，可列方程：（8－x）×2＝4； 当8＜x时，可列方程：（x－8）×2＝4。 【解析】①＝ （33－29）×2 ＝4×2 ＝8 ②由题意得： （8－x）×2＝4 解：（8－x）×2÷2＝4÷2 8－x＝2 8－x+x＝2+x 2+x＝8 2+x－2＝8－2 x＝6 （x－8）×2＝4 解：（x－8）×2÷2＝4÷2 x－8＝2 x＋8＝2＋8 x＝10 【总结】①小题需要我们读懂题意并按题意列式计算即可；②小题展示了在数学中答案的不唯一，可结合数字的大小分两种情况展开思考。 学科网（北京）股份有限公司 $$