专题09 比和比例 （讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题08 比和比例 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一：比的意义与基本性质 1. 比的定义与各部分名称 概念 定义 结构示例 关键说明 比 两个数相除，又叫作两个数的比 - 前项：比号前的数（如15） - 后项：比号后的数（如10，不能为0） - 比值：前项除以后项的商（可以是分数、小数或整数） 比号 记作“:”，表示两个数的相除关系 — 区别于“:”在其他场景的用途（如时间分隔符） 2. 比的基本性质 性质内容 字母表达式 示例 应用场景 前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 （） 化简比、求比值时保持比值不变 知识点二：比与分数、除法的关系 对比项目 比 分数 除法 核心联系 区别 本质 两数相除的关系 一个数 一种运算 （） 比：表示关系；分数：表示数值；除法：表示运算过程 各部分名称 前项:后项 分子/分母 被除数÷除数 前项=分子=被除数；后项=分母=除数 — 符号 比号“:” 分数线“—” 除号“÷” — 书写形式不同 结果 比值（可任意数） 分数值 商 — 比值可表示为分数、小数、整数 知识点三：化简比与求比值 项目 化简比 求比值 核心区别 方法示例 目的 把比化成最简整数比（前项、后项互质） 求前项除以后项的商 化简比结果是比（有前、后项）；求比值结果是数值 — 方法 1. 整数比：同除以最大公因数 2. 小数比：先化整数，再化简 3. 分数比：同乘分母最小公倍数 1. 直接相除 2. 转化为分数或小数计算 — 化简比： 求比值： 结果形式 最简整数比（如3:4） 分数、小数或整数（如0.75、、3） — — 知识点四：比的基本性质、分数基本性质、商不变规律的联系 规律名称 核心内容 字母表达式 本质联系 示例对比 比的基本性质 比的前、后项同乘/除相同数（0除外），比值不变 三者本质相同，均体现“等价变换”，只是应用场景不同 比： 分数： 除法： 分数基本性质 分子、分母同乘/除相同数（0除外），分数值不变 商不变规律 被除数、除数同乘/除相同数（0除外），商不变 知识点五：比例的意义与基本性质 1. 比例的定义与各部分名称 概念 定义 结构示例 关键说明 比例 表示两个比相等的式子 （或） - 内项：中间两项（1.6、60） - 外项：两端两项（2.4、40） - 比例成立条件：两个比的比值相等 比例基本性质 两个外项的积等于两个内项的积 是解比例的核心依据 2. 解比例的方法 1.已知三项求第四项： 若，则（外项）或（内项）。 2.步骤示例： 解比例： ① 根据基本性质：； ② 计算：。 知识点六：比与比例的区别 项目 比 比例 核心差异 本质 两数相除的关系 两个比相等的式子 比是“关系”，比例是“等式” 构成 两项（前项、后项） 四项（两个比，共四项） 符号 比号“:” 等号“=”连接两个比 比例至少包含两个比 应用 化简比、求比值 解比例、判断正反比例 知识点七：正比例与反比例的异同 项目 正比例 反比例 相同点 意义 两种量的比值（商）一定 两种量的乘积一定 ① 两种量相关联；② 一种量变化，另一种量随之变化 变化方向 同扩同缩（如速度一定，路程与时间） 一扩一缩（如路程一定，速度与时间） 关系式 （一定） （一定） 图象 从原点出发的直线 双曲线（光滑曲线） 判断方法 ① 找变量；② 看商是否一定 ① 找变量；② 看积是否一定 知识点八：比例尺的意义与分类 1. 比例尺的定义与公式 概念 定义 公式 单位要求 比例尺 图上距离与实际距离的比 比例尺图上距离实际距离 或 图上距离实际距离比例尺 图上距离与实际距离单位需统一（通常化为厘米） 计算 图上距离 = 实际距离×比例尺 实际距离 = 图上距离÷比例尺 比例尺是一个比，不带单位 2. 比例尺的分类 分类依据 类型 示例 特点 表现形式 数值比例尺 （1cm代表600000cm） 用数字比表示 线段比例尺 用线段标注实际距离 前/后项大小 放大比例尺 （图上30cm=实际1cm） 前项>后项，用于精密零件图纸 缩小比例尺 （图上1cm=实际1000cm） 前项<后项，用于地图等 知识点九：判断正比例与反比例的步骤 1.找变量：确定两种相关联的量（如时间与路程、单价与数量）。 2.看定量： 若商一定（如路程时间速度），则成正比例； 若积一定（如单价数量总价），则成反比例； 若商和积都不一定，则不成比例。 3.举例判断： 正比例：圆的周长与直径（周长直径，商一定）； 反比例：长方形面积一定，长与宽（长宽面积，积一定）。 核心考点精讲 核心考点一：比的意义和性质 【典型例题】 的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以( )。 【通关练习】 1．判断下面哪个比能与2∶5组成比例，能组成比例的，在下面的括号里写出比例。 0.4∶1                  10∶4        8∶15 （    ） ∶ （    ） = （    ） ∶ （    ） 2．甲乙两数的比是7∶9，当甲数增加63后，要使比值不变，乙数要增加( )。 3．5∶7的后项加上21，要使比值不变，比的前项应加上( )。 4．甲数和乙数的比是2∶3，乙数和丙数的比是6∶5，丙、甲两数的比是( )。 核心考点二：化简比和求比值 【典型例题】 把0.75∶化成最简单的整数比是( )，比值是( )。 果是一个商，可以是整数，小数或分数。 【通关练习】 1．求下面各比的比值。 5∶7         0.8∶0.16 ∶        0.9∶ 2．把吨∶160千克化成最简整数比是( )，比值是( )。 3．把∶化成最简整数比是( )，比值是( )。 核心考点三：比的应用 【典型例题】 水果店运来桔子、苹果和梨共320千克，桔子比苹果少25千克，梨的重量是苹果的。水果店运来梨多少千克？ 【通关练习】 1．一件运动服上衣的价格和裤子的价格比是5∶3，上衣比裤子贵40元，问上衣和裤子各多少元？ 2．甲、乙两个仓库存有同样质量的货物，如果从甲仓运出60吨货物到乙仓，那么两个仓库存货质量的比是，两个仓库原来各存货多少吨？ 3．学校体育组一共有48人，其中女同学是男同学的，男、女同学各有多少人？ 核心考点四：比例的意义和性质 【典型例题】 一个比例，两个外项的积是2.4，一个内项是，另一个内项是( )。 【通关练习】 1．根据如图写出一个比例( )。 2．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是( )；如果b＝c，那么b∶c＝( )∶( )。 3．如果a×3＝b×7，那么a∶b＝( )∶( )。如果m∶5＝n∶8，那么m∶n＝( )∶( )。 核心考点五：解比例 【典型例题】 解方程或比例。                    【通关练习】 1．解比例。 （1）    （2）   （3） 2．解方程。 ＝         x∶＝4∶       ∶x＝0.75∶1.8 3．解比例。 24∶＝14∶7                                                  核心考点六：正比例和正比例的应用 【典型例题】 厦门园林博览苑某场馆用同样的方砖铺地，铺6平方米刚好用了144块方砖，还剩42平方米未铺，照这样计算，铺这个场馆一共需要多少块方砖？（用比例解答） 【通关练习】 1．小宁要调制两杯浓度一样的蜂蜜水，第一杯在250毫升水中加入35毫升蜂蜜，第二杯在500毫升水中加入多少毫升蜂蜜？（列比例解答） 2．阳光小学开展“阅读最致远”朗诵比赛，共48名学生参加比赛。比赛进行了20分钟时，有5名学生完成了朗诵。按照这样的速度，全部学生完成朗诵共需多少分钟？（用比例解） 3．某办公楼照明用电量与时间的关系如图所示。算一算：此办公楼7天照明用电量是多少千瓦时？（用比例知识解答） 核心考点七：反比例和反比例的应用 【典型例题】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【通关练习】 1．北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 2．聊城财金热力去年12月份运进一堆煤，原计划每天烧3吨。可以烧96天，由于改造锅炉，每天可以节约0.6吨，改造锅炉后，这堆煤可以烧多少天？（用比例解答） 3．某办公用品厂把一批纸张装订成作业本，如果每本30页，可以装订500本。如果每本25页，可以多装订多少本？（用比例知识解答） 核心考点八：比例尺的应用 【典型例题】 在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得常德到武汉两地距离为7.79厘米。李叔叔早上7：00开车从常德出发，以95千米小时的平均速度开往武汉，他什么时间可以到达武汉？ 【通关练习】 1．如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 2．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米。在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少厘米？ 3．学校大门在教室的正南方向50米处，图书馆在教室北偏东60°方向的75米处，请你在下图用1∶2500的比例尺画出示意图，标出学校大门和图书馆的位置。 核心考点九：比例的综合应用 【典型例题】 古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【通关练习】 1．小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 2．某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 3．永兴煤场要运一堆煤，计划每天运150t，8天可以运完。如果每天只运计划的，那么运完这堆煤要多用几天？（用比例知识解答） 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南周口·小升初真题）15∶（    ）＝＝0.75＝＝。 2．（2024·河南漯河·小升初真题）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两城的距离是6cm，甲乙两城的实际距离有( )km，一辆汽车以每小时60km的速度于上午10时整从A城出发，( )时能到达B城。 3．（2024·河南开封·小升初真题）柠檬含有丰富的维生素、微量元素，常喝柠檬水对身体有好处。周末，小明和小红都按相同的比例配制柠檬水，小明用10克柠檬加入300毫升的水配制，那么小红用16克柠檬需要加( )毫升的水。 4．（2024·河南周口·小升初真题）一个长方体的所有棱长之和是120厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶5，这个长方体的体积是 ( )立方厘米。 5．（2024·河南周口·小升初真题）成都到重庆的铁路里程大约是300千米，在一幅比例尺是1∶5000000的中国地图上，这条铁路长( )厘米。 6．（2024·河南周口·小升初真题）有药水1005千克，药粉和水的比是1∶200，其中药粉有( )千克，水有( )千克。 7．（2024·河南周口·小升初真题）六（1）班男生人数的等于女生人数的，如果男生比女生少5人，男生有( )人，女生有( )人，总共有( )人。 8．（2024·河南三门峡·小升初真题）外语小学制作宣传栏表彰“阅读小达人”，下图是一位同学的二寸照片尺寸，老师想按比例放大后装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是( )cm。 9．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 10．（2024·广东河源·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥底面半径比是2∶1，它们的体积之和是26cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 二、选择题 11．（2024·河南郑州·小升初真题）把20克盐放入100克水中，盐与水的比、盐与盐水的比分别是（    ）。 A．1∶6和 1∶5 B．1∶5和1∶6 C．1∶4和1∶5 D．1∶4和1∶6 12．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，长方形ABCD，以BC为轴旋转一周后，其中甲部分和乙部分形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 13．（2024·河南周口·小升初真题）甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是（    ）岁。 A．8 B．16 C．20 D．24 14．（2024·河南信阳·小升初真题）x和y是两个相关联的量，且xy＋4＝20，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 15．（2024·浙江杭州·小升初真题）中学我们将会学到这样的知识：“三个角相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”。在小学我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，下面（    ）两个三角形相似。 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 三、计算题 16．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）直接写出得数。 23＋0.57＝        20%×35＝        1－＝        ＝ 23－0.7＝        1.03－0.44＝        ＝        ＝ 17．（2024·河南开封·小升初真题）解比例。                          四、解答题 18．（2024·河南郑州·小升初真题）甲、乙、丙三个数的和是320，甲数的相当于乙数的，丙数等于甲、乙两数的总和，求这三个数个是多少？ 19．（2024·河南周口·小升初真题）新学期学校运来一批课本，五、六年级共需600本，五、六年级所需课本数的比是3∶2，六年级所需课本数占这批课本的。这批课本共有多少本？ 20．（2024·河南周口·小升初真题）一幢教学楼的地基是长方形，在比例尺是1∶1000的图纸上，量得它的长是10厘米，宽是3.5厘米，这幢教学楼实际占地多少平方米？ 21．（2024·浙江金华·小升初真题）“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项结合，考验运动员体力和意志的项目。其中跑步的距离是10千米，是自行车项目距离的四分之一，和游泳距离的比是20∶3。“铁人三项”的比赛全程是多少千米？ 22．（2024·山西吕梁·小升初真题）某班一次集会，请假人数和出席人数的比是1∶9，中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，这个班一共多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 比和比例 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一：比的意义与基本性质 1. 比的定义与各部分名称 概念 定义 结构示例 关键说明 比 两个数相除，又叫作两个数的比 - 前项：比号前的数（如15） - 后项：比号后的数（如10，不能为0） - 比值：前项除以后项的商（可以是分数、小数或整数） 比号 记作“:”，表示两个数的相除关系 — 区别于“:”在其他场景的用途（如时间分隔符） 2. 比的基本性质 性质内容 字母表达式 示例 应用场景 前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 （） 化简比、求比值时保持比值不变 知识点二：比与分数、除法的关系 对比项目 比 分数 除法 核心联系 区别 本质 两数相除的关系 一个数 一种运算 （） 比：表示关系；分数：表示数值；除法：表示运算过程 各部分名称 前项:后项 分子/分母 被除数÷除数 前项=分子=被除数；后项=分母=除数 — 符号 比号“:” 分数线“—” 除号“÷” — 书写形式不同 结果 比值（可任意数） 分数值 商 — 比值可表示为分数、小数、整数 知识点三：化简比与求比值 项目 化简比 求比值 核心区别 方法示例 目的 把比化成最简整数比（前项、后项互质） 求前项除以后项的商 化简比结果是比（有前、后项）；求比值结果是数值 — 方法 1. 整数比：同除以最大公因数 2. 小数比：先化整数，再化简 3. 分数比：同乘分母最小公倍数 1. 直接相除 2. 转化为分数或小数计算 — 化简比： 求比值： 结果形式 最简整数比（如3:4） 分数、小数或整数（如0.75、、3） — — 知识点四：比的基本性质、分数基本性质、商不变规律的联系 规律名称 核心内容 字母表达式 本质联系 示例对比 比的基本性质 比的前、后项同乘/除相同数（0除外），比值不变 三者本质相同，均体现“等价变换”，只是应用场景不同 比： 分数： 除法： 分数基本性质 分子、分母同乘/除相同数（0除外），分数值不变 商不变规律 被除数、除数同乘/除相同数（0除外），商不变 知识点五：比例的意义与基本性质 1. 比例的定义与各部分名称 概念 定义 结构示例 关键说明 比例 表示两个比相等的式子 （或） - 内项：中间两项（1.6、60） - 外项：两端两项（2.4、40） - 比例成立条件：两个比的比值相等 比例基本性质 两个外项的积等于两个内项的积 是解比例的核心依据 2. 解比例的方法 1.已知三项求第四项： 若，则（外项）或（内项）。 2.步骤示例： 解比例： ① 根据基本性质：； ② 计算：。 知识点六：比与比例的区别 项目 比 比例 核心差异 本质 两数相除的关系 两个比相等的式子 比是“关系”，比例是“等式” 构成 两项（前项、后项） 四项（两个比，共四项） 符号 比号“:” 等号“=”连接两个比 比例至少包含两个比 应用 化简比、求比值 解比例、判断正反比例 知识点七：正比例与反比例的异同 项目 正比例 反比例 相同点 意义 两种量的比值（商）一定 两种量的乘积一定 ① 两种量相关联；② 一种量变化，另一种量随之变化 变化方向 同扩同缩（如速度一定，路程与时间） 一扩一缩（如路程一定，速度与时间） 关系式 （一定） （一定） 图象 从原点出发的直线 双曲线（光滑曲线） 判断方法 ① 找变量；② 看商是否一定 ① 找变量；② 看积是否一定 知识点八：比例尺的意义与分类 1. 比例尺的定义与公式 概念 定义 公式 单位要求 比例尺 图上距离与实际距离的比 比例尺图上距离实际距离 或 图上距离实际距离比例尺 图上距离与实际距离单位需统一（通常化为厘米） 计算 图上距离 = 实际距离×比例尺 实际距离 = 图上距离÷比例尺 比例尺是一个比，不带单位 2. 比例尺的分类 分类依据 类型 示例 特点 表现形式 数值比例尺 （1cm代表600000cm） 用数字比表示 线段比例尺 用线段标注实际距离 前/后项大小 放大比例尺 （图上30cm=实际1cm） 前项>后项，用于精密零件图纸 缩小比例尺 （图上1cm=实际1000cm） 前项<后项，用于地图等 知识点九：判断正比例与反比例的步骤 1.找变量：确定两种相关联的量（如时间与路程、单价与数量）。 2.看定量： 若商一定（如路程时间速度），则成正比例； 若积一定（如单价数量总价），则成反比例； 若商和积都不一定，则不成比例。 3.举例判断： 正比例：圆的周长与直径（周长直径，商一定）； 反比例：长方形面积一定，长与宽（长宽面积，积一定）。 核心考点精讲 核心考点一：比的意义和性质 【典型例题】 的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以( )。 【答案】3 【分析】比的前项和后项只有同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变。据此解答。 【解析】的前项减去12，即18－12＝6，18÷6＝3，相当于前项除以3，要使比值不变，后项可以除以3。 所以的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以3。 【通关练习】 1．判断下面哪个比能与2∶5组成比例，能组成比例的，在下面的括号里写出比例。 0.4∶1                  10∶4        8∶15 （    ） ∶ （    ） = （    ） ∶ （    ） 【答案】2；5；0.4；1 【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。分别用比的前项除以比的后项求出所有的比的比值，能与的比值相等的比，就能与组成比例。据此解答。 【解析】2∶5＝2÷5＝ 2∶5和0.4∶1的比值相等，所以能组成比例2∶5＝0.4∶1 2．甲乙两数的比是7∶9，当甲数增加63后，要使比值不变，乙数要增加( )。 【答案】81 【分析】比的前后项同时乘（或除以）相同的数（0除外），比值不变，据此即可解答。 【解析】（63＋7）÷7 ＝70÷7 ＝10 9×10－9 ＝90－9 ＝81 甲乙两数的比是7∶9，当甲数增加63后，要使比值不变，乙数要增加81。 【总结】熟练掌握比的基本性质是解答本题的关键。 3．5∶7的后项加上21，要使比值不变，比的前项应加上( )。 【答案】15 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 根据题意，比的后项7加上21得28，即后项扩大到原来的4倍，根据比的基本性质，比的前项也要扩大到原来的4倍，前项5乘4后再减去5，就是比的前项应加上的数。 【解析】相当于后项乘： （7＋21）÷7 ＝28÷7 ＝4 比的前项应加上： 5×4－5 ＝20－5 ＝15 5∶7的后项加上21，要使比值不变，比的前项应加上15。 【总结】灵活运用比的基本性质是解题的关键。 4．甲数和乙数的比是2∶3，乙数和丙数的比是6∶5，丙、甲两数的比是( )。 【答案】5∶4 【分析】因为甲数和乙数的比是2∶3＝4∶6，乙数和丙数的比是6∶5。在甲数和乙数的比中，乙数是6份；在乙数和丙数的比中，乙数也是6份。所以甲数是4份，乙数是6份，丙数是5份，据此解答。 【解析】甲数∶乙数＝2∶3＝4∶6 乙数∶丙数＝6∶5 所以甲数∶乙数∶丙数＝4∶6∶5 丙数∶甲数＝5∶4 丙、甲两数的比是5∶4。 核心考点二：化简比和求比值 【典型例题】 把0.75∶化成最简单的整数比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；用比的前项除以后项即可。 【解析】由分析可知： 0.75∶ ＝（0.75×8）∶（×8） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 2÷1＝2 【总结】注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。 【通关练习】 1．求下面各比的比值。 5∶7         0.8∶0.16 ∶        0.9∶ 【答案】；5； ； 【分析】根据比和除法的关系，把比号转化为除号，求出各式的商除不尽时用分数表示即可。 【解析】（1）5∶7＝5÷7＝ （2）0.8∶0.16＝0.8÷0.16＝5 （3）∶＝÷＝×4＝ （4）0.9∶＝÷＝×2＝ 2．把吨∶160千克化成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 35∶8 【分析】首先，由于给出的比中单位不同，需要将吨转换为千克，统一单位。因为1吨等于1000千克，所以吨转换为千克：×1000千克。得到700千克与160千克的比，即700∶160。为了化简这个比，需要求出700和160的最大公因数。它们的最大公因数是20。 将700和160同时除20就能得到最简整数比。求比值则是用700除160。 【解析】＝×1000＝700（千克）则吨∶160千克＝700千克∶160千克。 700和160的最大公因数为：20 所以最简的整数比为：（700÷20）∶（160÷20）＝35∶8 比值为：700÷160＝ 最简整数比是35∶8，比值是。 3．把∶化成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 10∶1 10 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。可以同时乘15，得到新的比。 比的前项除以后项得到的商就是比值。 【解析】 把化成最简整数比是，比值是10。 核心考点三：比的应用 【典型例题】 水果店运来桔子、苹果和梨共320千克，桔子比苹果少25千克，梨的重量是苹果的。水果店运来梨多少千克？ 【答案】45千克 【分析】由题可知，把苹果的重量看作是10份，则梨的重量是3份；桔子比苹果少25千克，如果给桔子增加25千克，则桔子的重量也是10份，此时三种水果的总重量为（320＋25＝345）千克，三种水果的总份数为（10＋10＋3＝23）份，进而求出梨的质量占三种水果总质量的几分之几，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；据此列式解答。 【解析】320＋25＝345（千克） 梨： （千克） 答：水果店运来梨45千克。 【通关练习】 1．一件运动服上衣的价格和裤子的价格比是5∶3，上衣比裤子贵40元，问上衣和裤子各多少元？ 【答案】上衣是100元，裤子是60元 【分析】根据比的意义，上衣的价格是这样的5份，裤子的价格是这样的3份，相差2份，就是40元，除法得出每一份的钱数。再用每一份的钱分别乘上衣和裤子的份数，即可得出上衣和裤子的钱。 【解析】40÷（5－3） ＝40÷2 ＝20（元） 20×5＝100（元） 20×3＝60（元） 答：上衣是100元，裤子是60元。 2．甲、乙两个仓库存有同样质量的货物，如果从甲仓运出60吨货物到乙仓，那么两个仓库存货质量的比是，两个仓库原来各存货多少吨？ 【答案】300吨 【分析】从甲仓运出60吨货物到乙仓，那么乙仓比甲仓就多了（60×2）吨货物，将比的前后项看成份数，现在两个仓库的货物差÷份数差＝一份数，一份数×总份数＝两个仓库的货物总吨数，总吨数÷2即可。 【解析】60×2÷（3－2）×（2＋3） ＝120÷1×5 ＝600（吨） 600÷2＝300（吨） 答：两个仓库原来各存货300吨。 3．学校体育组一共有48人，其中女同学是男同学的，男、女同学各有多少人？ 【答案】30人；18人 【分析】根据分数与比的关系可得：＝3∶5，将女同学看作3份，男同学看作5份，体育组有3＋5＝8份。先用体育组总人数÷8得到1份的人数，再分别求出5份、3份各多少人，即男、女同学各有多少人。 【解析】＝3∶5 48÷（3＋5） ＝48÷8 ＝6（人） 男：6×5＝30（人） 女：6×3＝18（人） 答：男同学有30人，女同学有18人。 核心考点四：比例的意义和性质 【典型例题】 一个比例，两个外项的积是2.4，一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】4 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，已知两个外项之积是2.4，即两个内项之积也是2.4，一个内项是，用2.4÷，即可求出另一个内项。 【解析】2.4÷ ＝2.4× ＝4 一个比例，两个外项的积是2.4，一个内项是，另一个内项是4。 【总结】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。 【通关练习】 1．根据如图写出一个比例( )。 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，从图中可知，平行四边形的面积等于的积，也等于的积，即，再根据比例的性质，两个内项的积等于两个外项的积。可推导出比例，据此解答。 【解析】因为 所以可写出一个比例（答案不唯一） 2．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是( )；如果b＝c，那么b∶c＝( )∶( )。 【答案】 24 35 【分析】从两个内项互为倒数可知：两个内项的积为1。根据比例的基本性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。两个外项的积也为1。用1÷1.5即可求出另一个外项。根据b∶c＝（ ）∶（ ）可知：若b为外项，b就是外项积，就是另一个外项；c则为内项积，为另一个内项。那么b∶c＝∶，再根据比的基本性质，将∶化成最简比即可。 【解析】1÷1.5 ＝1÷ ＝1× ＝ ∶ ＝（×42）∶（×42） ＝24∶35 在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是；如果b＝c，那么b∶c＝24∶35。 3．如果a×3＝b×7，那么a∶b＝( )∶( )。如果m∶5＝n∶8，那么m∶n＝( )∶( )。 【答案】 7 3 5 8 【分析】比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。 已知a×3＝b×7，根据比例的基本性质，a和3作为外项，b和7作为内项，那么a∶b＝7∶3；已知m∶5＝n∶8，m和8作为外项，5和n作为内项，那么m∶n＝5∶8。 【解析】因为a×3＝b×7，所以a∶b＝7∶3； 因为m∶5＝n∶8，所以5n＝8m，因此m∶n＝5∶8。 即如果a×3＝b×7，那么a∶b＝7∶3。如果m∶5＝n∶8，那么m∶n＝5∶8。 核心考点五：解比例 【典型例题】 解方程或比例。                    【答案】；； 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 先计算2.4×3＝7.2，再根据等式的性质1，方程两边同时加上7.2，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以20%，即可求解。 先根据比例的基本性质，将算式改写为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以10，即可求解。 先根据比例的基本性质，将算式改写为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以14，最后根据等式的性质1，方程两边同时加上2，即可求解。 【解析】 解： 解： 解： 【通关练习】 1．解比例。 （1）    （2）   （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据比例的基本性质，将原式变成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.5，即可求解。 （2）根据比例的基本性质，将原式变成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以28，即可求解。 （3）根据比例的基本性质，将原式变成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以，即可求解。 【解析】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 2．解方程。 ＝         x∶＝4∶       ∶x＝0.75∶1.8 【答案】x＝5；x＝；x＝3.2 【分析】＝，解比例，原式化为：30x＝6×25，再根据等式的性质2，方程两边同时除以30即可。 x∶＝4∶，解比例，原式化为：x＝×4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 ∶x＝0.75∶1.8，解比例，原式化为：0.75x＝×1.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.75即可。 【解析】＝ 解：30x＝6×25 30x＝150 30x÷30＝150÷30 x＝5 x∶＝4∶ 解：x＝×4 x＝1 x÷＝1÷ x＝1× x＝ ∶x＝0.75∶1.8 解：0.75x＝×1.8 0.75x＝2.4 0.75x÷0.75＝2.4÷0.75 x＝3.2 3．解比例。 24∶＝14∶7                                                  【答案】＝12； ； 【分析】24∶＝14∶7，根据比例的基本性质，先写成14＝24×7的形式，两边同时÷14即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷0.7即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷57即可。 【解析】24∶＝14∶7 解：14＝24×7 14÷14＝168÷14 ＝12 解： 解： 解： 核心考点六：正比例和正比例的应用 【典型例题】 厦门园林博览苑某场馆用同样的方砖铺地，铺6平方米刚好用了144块方砖，还剩42平方米未铺，照这样计算，铺这个场馆一共需要多少块方砖？（用比例解答） 【答案】1152块 【分析】这个场馆的面积是6＋42＝48平方米。从同样的方砖铺地可知，铺地面积÷方砖块数＝方砖面积（一定），比值一定，那么铺地面积和方砖块数成正比例。设铺这个场馆一共需要多少块方砖，列出比例：6∶144＝（6＋42）∶，解比例即可。 【解析】解：设铺这个场馆一共需要多少块方砖 6∶144＝（6＋42）∶ 6∶144＝48∶ 6＝144×48 6÷6＝144×48÷6 ＝1152 答：铺这个场馆一共需要1152块方砖。 【通关练习】 1．小宁要调制两杯浓度一样的蜂蜜水，第一杯在250毫升水中加入35毫升蜂蜜，第二杯在500毫升水中加入多少毫升蜂蜜？（列比例解答） 【答案】70毫升 【分析】根据题意可知：两杯浓度一样的蜂蜜水，即水的质量和蜂蜜的质量的比值是一定的，则水的质量和蜂蜜的质量成正比例。设第二杯在500毫升水中加入毫升蜂蜜，列比例为250∶35＝500∶，解比例，即可解答。 【解析】解：设第二杯在500毫升水中加入毫升蜂蜜。 250∶35＝500∶ 250＝35×500 250÷250＝35×500÷250 ＝70 答：第二杯在500毫升水中加入70毫升蜂蜜 2．阳光小学开展“阅读最致远”朗诵比赛，共48名学生参加比赛。比赛进行了20分钟时，有5名学生完成了朗诵。按照这样的速度，全部学生完成朗诵共需多少分钟？（用比例解） 【答案】192分钟 【分析】根据题意可知，朗诵的时间∶学生人数＝每名学生朗诵的时间（一定），比值一定，那么朗诵的时间与学生人数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解析】解：设全部学生完成朗诵共需分钟。 ∶48＝20∶5 5＝48×20 5＝960 ＝960÷5 ＝192 答：全部学生完成朗诵共需192分钟。 3．某办公楼照明用电量与时间的关系如图所示。算一算：此办公楼7天照明用电量是多少千瓦时？（用比例知识解答） 【答案】350千瓦时 【分析】根据关系图可知：总用电量∶天数＝平均每天的用电量（一定），比值一定，则总用电量与天数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解析】解：设办公楼7天照明用电量是x千瓦时。 ＝ 4x＝200×7 4x＝1400 4x÷4＝1400÷4 x＝350 答：办公楼7天照明用电量是350千瓦时。 核心考点七：反比例和反比例的应用 【典型例题】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】16天 【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”，实际生产台数是原计划（1＋25%），用原计划每天生产的台数×（1＋25%），求出实际每天生产的台数，设需x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数＝实际每天生产的台数×需要的天数，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。 【解析】解：设需x天能完成任务。 （1＋25%）×80×x＝80×20 1.25×80×x＝1600 100x＝1600 x＝1600÷100 x＝16 答：需16天能完成任务。 【通关练习】 1．北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，工作总量不变，那么每天修的长度和需要的天数成反比例，实际需要的天数×实际每天修的长度＝原计划需要的天数×原计划每天修的长度，据此解答。 【解析】解：设天天工程队每天要修x米。 （50－10）x＝160×50 40x＝160×50 40x＝8000 x＝8000÷40 x＝200 答：天天工程队每天要修200米。 2．聊城财金热力去年12月份运进一堆煤，原计划每天烧3吨。可以烧96天，由于改造锅炉，每天可以节约0.6吨，改造锅炉后，这堆煤可以烧多少天？（用比例解答） 【答案】120天 【分析】每天烧煤的重量×可以烧的天数＝这堆煤的重量，由于这堆煤的重量不变，所以每天烧煤的重量与可以烧的天数成反比例。原计划每天烧3吨，由于改造锅炉，每天可以节约0.6吨，实际每天烧（3－0.6）吨，根据原计划每天烧煤的重量×原计划烧的天数＝实际每天烧煤的重量×实际烧的天数，设改造锅炉后，这堆煤可以烧x天，列方程：3×96＝（3－0.6）x，解方程，即可解答。 【解析】解：设改造锅炉后，这堆煤可以烧x天。 3×96＝（3－0.6）x 2.4x＝288 x＝288÷2.4 x＝120 答：改造锅炉后，这堆煤可以烧120天。 3．某办公用品厂把一批纸张装订成作业本，如果每本30页，可以装订500本。如果每本25页，可以多装订多少本？（用比例知识解答） 【答案】100本 【分析】分析题目，设如果每本25页，可以装订x本，根据每本的页数×装订的本数＝总页数（一定）列出比例方程25x＝30×500，进一步解出比例方程即可得到如果每本25页，可以装订的本数，最后减去500即可解答。 【解析】解：设如果每本25页，可以装订x本。 25x＝30×500 25x＝15000 25x÷25＝15000÷25 x＝600 600－500＝100（本） 答：如果每本25页，可以多装订100本。 核心考点八：比例尺的应用 【典型例题】 在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得常德到武汉两地距离为7.79厘米。李叔叔早上7：00开车从常德出发，以95千米小时的平均速度开往武汉，他什么时间可以到达武汉？ 【答案】11：06 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，算出路程并把单位转化为千米，再根据，计算出时间，最后用出发时间加上李叔叔从常德到武汉所花的时间，即可得解。 【解析】7.79÷ ＝7.79×5000000 ＝38950000（厘米） ＝389.5（千米） 389.5÷95＝4.1（小时） 4.1小时＝4小时6分钟 7：00＋4小时6分钟＝11：06 答：他11：06可以到达武汉。 【通关练习】 1．如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 【答案】50元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据分别计算展览馆到文化馆的距离和文化馆到小明家的距离，把单位转化为千米，再用两段距离的和减去3，乘2，可得超出3千米的车费，再加8元，即可得解。 【解析】展览馆到文化馆的距离：8÷＝1600000（厘米） 1600000厘米＝16千米 文化馆到小明家的距离：4÷＝800000（厘米） 800000＝8千米 8＋（16＋8－3）×2 ＝8＋21×2 ＝8＋42 ＝50（元） 答：小明从家出发经文化馆去展览馆需要付50元车费。 2．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米。在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】分析题目，先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出甲、乙两个城市之间的实际距离，再根据图上距离＝实际距离×比例尺用实际距离乘比例尺即可解答。 【解析】6÷ ＝6×2000000 ＝12000000（厘米） 12000000×＝4（厘米） 答：在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是4厘米。 3．学校大门在教室的正南方向50米处，图书馆在教室北偏东60°方向的75米处，请你在下图用1∶2500的比例尺画出示意图，标出学校大门和图书馆的位置。 【答案】见解析 【分析】根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以教室的位置为观测点即可确定学校大门、图书馆的方向；学校大门、图书馆与教室的实际距离已知，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出学校大门、图书馆与教室的图上距离，从而画出学校大门、图书馆的位置。 【解析】50米＝5000厘米 5000×＝2（厘米） 75米＝7500厘米 7500×＝3（厘米） 即学校大门在教室的正南方向图上距离2厘米处，图书馆在教室北偏东60°方向图上距离3厘米处。根据以上信息画图如下： 【总结】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用。 核心考点九：比例的综合应用 【典型例题】 古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【答案】525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【解析】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 【通关练习】 1．小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 【答案】23分 【分析】首先根据题意，可得从爸爸骑车出发到追上小明，爸爸行了全程的，小明了行了全程的－＝；据此求出爸爸骑车与小明步行的速度比是7∶2；然后根据路程一定时，时间和速度成反比，可得剩下的路程骑车与步行的时间比是2∶7；最后根据分数除法的意义，用小明比独自步行提前的时间除以它占步行的时间的分率，求出剩余的行程的步行时间是多少，进而求出小明从家到学校全部步行需多少时间即可。 【解析】（1－）∶（－） ＝∶ ＝7∶2 5÷（1－）÷ ＝5÷÷ ＝23（分钟） 答：小明从家到学校全部步行需要23分。 【总结】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：时间一定时，路程和速度成正比，并求出剩余的行程的步行时间是多少。 2．某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 【答案】生产螺栓的工人12名，生产螺母的工人16名 【分析】可以设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名；则生产的螺栓有12x个，生产的螺母有18×（28－x）个；因为1个螺栓配2个螺母，即螺栓与螺母的数量比是1∶2，可以据此列一个比例式，即生产螺栓的数量∶生产螺母的数量＝1∶2，解比例即可。 【解析】解：设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名。 12x∶18×（28－x）＝1∶2 18×（28－x）＝12x×2 504－18x＝24x 504－18x＋18x＝24x＋18x 42x＝504 42x÷42＝504÷42 x＝12 28－12＝16（名） 答：生产螺栓的工人12名，生产螺母的16名，才能使螺栓和螺母正好配套。 【总结】根据一个螺栓配两个螺母明确螺栓和螺母的比是1∶2，据此找出两者关系列出比例是解决本题关键。 3．永兴煤场要运一堆煤，计划每天运150t，8天可以运完。如果每天只运计划的，那么运完这堆煤要多用几天？（用比例知识解答） 【答案】2天 【分析】分析题意，计划每天运150吨，运8天，如果每天运计划的，也就是150×吨，设多用x天，则要运（8＋x）天。根据等量关系：每天运的吨数×天数＝总重量，总量是一定的，那么吨数和天数成反比例，则可用反比例来解题。 【解析】解：设运完这堆煤要多用x天。 150∶（150×）＝（8＋x）∶8    150∶120＝（8＋x）∶8 120×（8＋x）＝150×8 （8＋x）＝150×8÷120 x＝2 答：运完这堆煤要多用2天。 【总结】本题考查了学生对题目的分析能力以及比例的相关知识。 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南周口·小升初真题）15∶（    ）＝＝0.75＝＝。 【答案】20；9；8；21 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。 【解析】0.75＝＝ ＝＝，＝15∶20 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 即15∶20＝＝0.75＝＝。 2．（2024·河南漯河·小升初真题）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两城的距离是6cm，甲乙两城的实际距离有( )km，一辆汽车以每小时60km的速度于上午10时整从A城出发，( )时能到达B城。 【答案】 180 13 【分析】地图线段比例尺的意思是，图上1cm相当于实际距离30km；已知量得甲乙两城的距离是6cm，那么甲乙两城的实际距离是（6×30）km； 已知一辆汽车的行驶速度，根据“时间＝路程÷速度”求出这辆汽车行完全程所用的时间，再加上出发的时刻，求出到达的时刻。 【解析】6×30＝180（千米） 180÷60＝3（小时） 10时＋3小时＝13时 甲乙两城的实际距离有（180）km，一辆汽车以每小时60km的速度于上午10时整从A城出发，（13）时能到达B城。 3．（2024·河南开封·小升初真题）柠檬含有丰富的维生素、微量元素，常喝柠檬水对身体有好处。周末，小明和小红都按相同的比例配制柠檬水，小明用10克柠檬加入300毫升的水配制，那么小红用16克柠檬需要加( )毫升的水。 【答案】480 【分析】将小红需要加水的量设为x，由于柠檬和水按相同的比例配制柠檬水，所以柠檬和水的比一定，据此列出比例，即10∶300＝16∶x，解比例即可。 【解析】解：设小红需要加水x毫升。 10∶300＝16∶x 10x＝300×16 10x＝4800 10x÷10＝4800÷10 x＝480 因此小红用16克柠檬需要加480毫升的水。 4．（2024·河南周口·小升初真题）一个长方体的所有棱长之和是120厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶5，这个长方体的体积是 ( )立方厘米。 【答案】810 【分析】已知长方体的所有棱长之和是120厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，得出长、宽、高之和＝长方体的棱长总和÷4；已知这个长方体的长、宽、高的比是3∶2∶5，可知长、宽、高之和一共（3＋2＋5）份，用总量÷份数求出每份数，再分别乘长、宽、高对应的份数，求出长、宽、高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出它的体积。 【解析】120÷4＝30（厘米） 3＋2＋5＝10（份） （30÷10×3）×（30÷10×2）×（30÷10×5） ＝（3×3）×（3×2）×（3×5） ＝9×6×15 ＝54×15 ＝810（立方厘米） 所以，这个长方体的体积是810立方厘米。 5．（2024·河南周口·小升初真题）成都到重庆的铁路里程大约是300千米，在一幅比例尺是1∶5000000的中国地图上，这条铁路长( )厘米。 【答案】6 【分析】已知一幅地图的比例尺和成都到重庆铁路的实际距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出这条铁路在地图上的长度。 【解析】300千米＝30000000厘米 30000000×＝6（厘米） 这条铁路长6厘米。 6．（2024·河南周口·小升初真题）有药水1005千克，药粉和水的比是1∶200，其中药粉有( )千克，水有( )千克。 【答案】 5 1000 【分析】药粉和水的比是1∶200，水占药水的，药粉占药水的，然后根据求一个数占另一个数的几分之几是多少，用乘法计算，按比例分配即可求出水和药粉的重量。 【解析】1005× ＝1005× ＝5（千克） 1005× ＝1005× ＝1000（千克） 所以，药粉有5千克，水有1000千克。 7．（2024·河南周口·小升初真题）六（1）班男生人数的等于女生人数的，如果男生比女生少5人，男生有( )人，女生有( )人，总共有( )人。 【答案】 25 30 55 【分析】分析题目，根据“男生人数的等于女生人数的”可得：男生人数×＝女生人数×，进而得到男生人数∶女生人数＝∶，根据比的基本性质化成最简整数比，再结合比的意义用5除以男生人数和女生人数的份数之差即可得到一份是多少，再用一份的数量分别乘男生的份数、女生的份数即可得到男生人数和女生人数，最后用男生人数加上女生人数即可得到总人数。 【解析】男生人数×＝女生人数× 男生人数∶女生人数 ＝∶ ＝（×15）∶（×15） ＝10∶12 ＝（10÷2）∶（12÷2） ＝5∶6 5÷（6－5） ＝5÷1 ＝5（人） 5×5＝25（人） 5×6＝30（人） 25＋30＝55（人） 六（1）班男生人数的等于女生人数的，如果男生比女生少5人，男生有25人，女生有30人，总共有55人。 8．（2024·河南三门峡·小升初真题）外语小学制作宣传栏表彰“阅读小达人”，下图是一位同学的二寸照片尺寸，老师想按比例放大后装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是( )cm。 【答案】32 【分析】因为照片按比例放大，所以放大前后长和宽的比值是相等的，我们可以据此列出比例，再根据比例的基本性质（两个内项之积等于两个外项之积）来求解。 【解析】解：设放大后照片的长是x厘米。 所以放大后照片的长是32厘米。 9．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 【答案】61∶120 【分析】如下图，连接CF、BE，设；因为△BCF与△ABC等高，且点F为AB边的六等分点，那么，所以；又因为点D为BC边的四等分点，那么，则，且△BDF与△BCF等高，那么； 同理，求出、与的关系，再用减去、、，求出，利用比的意义写出△DEF与△ABC的面积比，并化简比。 【解析】如图： 连接CF、BE，设； ，，； 那么，，； ，则； ，则； ，则； ∶＝∶＝∶1＝（×120）∶（1×120）＝61∶120 所以△DEF与△ABC的面积比是61∶120。 【总结】利用等高的两个三角形，面积之比等于它们的底边之比是解题的关键。 10．（2024·广东河源·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥底面半径比是2∶1，它们的体积之和是26cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 24 2 【分析】假设圆柱和圆锥的高都是h，根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，确定圆柱和圆锥的体积比，化简，将比的前后项看成份数，圆柱和圆锥的体积和÷总份数＝一份数，一份数分别乘圆柱和圆锥的对应份数，即可求出圆柱和圆锥的体积。 【解析】假设圆柱和圆锥的高都是h。 （3.14×22×h）∶（3.14×12×h÷3） ＝22∶（12÷3） ＝4∶（1÷3） ＝4∶ ＝（4×3）∶（×3） ＝12∶1 26÷（12＋1） ＝26÷13 ＝2（cm3） 2×12＝24（cm3） 2×1＝2（cm3） 圆柱的体积是24cm3，圆锥的体积是2cm3。 【总结】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，确定圆柱和圆锥的体积比。 二、选择题 11．（2024·河南郑州·小升初真题）把20克盐放入100克水中，盐与水的比、盐与盐水的比分别是（    ）。 A．1∶6和 1∶5 B．1∶5和1∶6 C．1∶4和1∶5 D．1∶4和1∶6 【答案】B 【分析】已知把20克盐放入100克水中，盐有20克，水有100克，所以盐水有20＋100＝120克，根据比的意义写出比，然后根据比的基本性质化简比，即可得解。 【解析】盐与水的比：20∶100＝（20÷20）∶（100÷20）＝1∶5 盐与盐水的比：20∶（100＋20）＝20∶120＝（20÷20）∶（120÷20）＝1∶6 故答案为：B 12．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，长方形ABCD，以BC为轴旋转一周后，其中甲部分和乙部分形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 【答案】B 【分析】长方形绕着BC边旋转一周，形成一个圆柱，而三角形BCD（也就是乙部分）绕着BC边旋转一周，形成一个圆锥，甲部分形成的立体图形就是整个圆柱里面去掉乙部分形成的圆锥；分析题意可知形成的圆柱和圆锥等底等高，如果圆柱体积是3份，那么乙部分形成的立体图形圆锥体积就是1份，则甲部分形成的立体图形体积就是3－1＝2份。 【解析】由分析可知：甲部分形成的立体图形的体积是2份，乙部分形成的立体图形的体积是1份，所以甲部分和乙部分形成的立体图形的体积比是2∶1。 故答案为：B 13．（2024·河南周口·小升初真题）甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是（    ）岁。 A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】分析题目，根据比的意义先用三人的年龄之和除以三人的年龄总份数（2＋3＋4）可以得到一份是多少，再乘最大的年龄所占的份数4即可得到最大年龄是多少岁。 【解析】45÷（2＋3＋4） ＝45÷9 ＝5（岁） 5×4＝20（岁） 甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是20岁。 故答案为：C 14．（2024·河南信阳·小升初真题）x和y是两个相关联的量，且xy＋4＝20，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断两个量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解析】因为xy＋4＝20，所以xy＝20－4＝16（一定），x和y的乘积一定，所以x和y成反比例。 故答案为：B 15．（2024·浙江杭州·小升初真题）中学我们将会学到这样的知识：“三个角相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”。在小学我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，下面（    ）两个三角形相似。 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】根据“三个角相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”， 图形的放大和缩小只改变图形的大小，不改变图形的形状。据此分析判断。 【解析】A．①是一个钝角三角形，②是一个锐角三角形，它们的形状明显不同，角不相等，所以①和②不相似。 B．①和③都是钝角三角形，但对应角不相等，因此①和③不相似。 C．①和④都是钝角三角形，从形状上看，它们具有相似性，可看作是图形的放大和缩小关系，即三个角相等，符合相似三角形的特征，所以①和④相似。 D．④是钝角三角形，形状③是钝角三角形，对应边不成比例，不能看作是图形的放大或缩小，所以③和④不相似。 所以①和④两个三角形相似。 故答案为：C 三、计算题 16．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）直接写出得数。 23＋0.57＝        20%×35＝        1－＝        ＝ 23－0.7＝        1.03－0.44＝        ＝        ＝ 【答案】23.57；7；；； 22.3；0.59；； 【解析】略 17．（2024·河南开封·小升初真题）解比例。                          【答案】；；； 【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷10即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷1.2即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷2即可。 【解析】   解：         解：         解：         解：      四、解答题 18．（2024·河南郑州·小升初真题）甲、乙、丙三个数的和是320，甲数的相当于乙数的，丙数等于甲、乙两数的总和，求这三个数个是多少？ 【答案】甲数为100，乙数为60，丙数为160 【分析】由“甲数的相当于乙数的”可以求出甲乙两数的比，进而依据“丙数等于甲、乙两数的总和”求出三个数的连比，从而利用按比分配的方法即可求解；据此解答。 【解析】因为甲数×＝乙数× 则甲数∶乙数＝∶ ＝（×6）∶（×6） ＝5∶3 又因“丙数等于甲、乙两数的总和” 则5＋3＝8 所以甲数∶乙数∶丙数＝5∶3∶8 甲数：320×＝320×＝100 乙数：320×＝320×＝60 丙数：100＋60＝160 答：甲数为100，乙数为60，丙数为160。 19．（2024·河南周口·小升初真题）新学期学校运来一批课本，五、六年级共需600本，五、六年级所需课本数的比是3∶2，六年级所需课本数占这批课本的。这批课本共有多少本？ 【答案】1200本 【分析】本题可先根据五、六年级课本数的比例关系求出六年级的课本数，已知五、六年级所需课本数的比是3∶2，即把五、六年级的课本总数平均分成3＋2＝5份，六年级课本数占其中的两份；再结合六年级课本数占这批课本总数的比例，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算，进而求出这批课本的总数。 【解析】600÷（3＋2）×2÷ ＝600÷5×2÷ ＝600÷5×2×5 ＝1200（本） 答：这批课本共有1200本。 20．（2024·河南周口·小升初真题）一幢教学楼的地基是长方形，在比例尺是1∶1000的图纸上，量得它的长是10厘米，宽是3.5厘米，这幢教学楼实际占地多少平方米？ 【答案】3500平方米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出实际的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，即可求得占地面积。 【解析】10÷＝10000（厘米） 10000厘米＝100米 3.5÷＝3500（厘米） 3500厘米＝35米 100×35＝3500（平方米） 答：这幢教学楼实际占地3500平方米。 21．（2024·浙江金华·小升初真题）“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项结合，考验运动员体力和意志的项目。其中跑步的距离是10千米，是自行车项目距离的四分之一，和游泳距离的比是20∶3。“铁人三项”的比赛全程是多少千米？ 【答案】51.5千米 【分析】跑步的距离看作单位“1”，是自行车项目距离的四分之一，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，列式：10÷，求出自行车项目距离；跑步的距离和游泳距离的比是20∶3，把跑步的距离看20份，游泳距离看作3份，先求出1份的量再求出3份的量，即为游泳距离； 将跑步的距离、自行车项目距离和游泳距离求和，计算出“铁人三项”的比赛全程距离。 【解析】10÷ ＝10×4 ＝40（千米） 10÷20×3 ＝0.5×3 ＝1.5（千米） 10＋40＋1.5＝51.5（千米） 答：“铁人三项”的比赛全程是51.5千米。 22．（2024·山西吕梁·小升初真题）某班一次集会，请假人数和出席人数的比是1∶9，中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，这个班一共多少人？ 【答案】50人 【分析】根据题意可知，这个班的总人数不变。已知请假人数和出席人数的比是1∶9，即请假人数占总人数的；中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，即现在请假人数占总人数的；那么中途请假离开的1人占总人数的（－），把这个班的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用中途请假离开的人数除以（－），求出这个班的总人数。 【解析】1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×50 ＝50（人） 答：这个班一共50人。 【总结】明白全班的总人数不变，把总人数看作单位“1”，把比转化成分数，得出中途离开的人数占总人数几分之几，再根据分数除法的意义解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$