专题08 式与方程 （讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题07 式与方程 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 知识点一：用字母表示数的书写规则 规则 具体说明 示例 注意事项 乘号简写或省略 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可写为“·”或省略不写。 ； 仅乘号可省略，加号、减号、除号不可省略 数字与字母相乘的顺序 省略乘号时，数字需写在字母前面。 ； 数字是1时，1省略不写（如） 相同字母相乘的表示 两个相同字母相乘，写成该字母的平方。 ²²；²² ²²读作“a的平方”，表示 1与字母相乘的省略 1和任何字母相乘时，1省略不写。 ； 仅1可省略，其他数字不可省略（如） 加法、减法、除法的表示 保留原有运算符号，不可省略。 、、 除法通常写成分数形式（如） 要点对比： vs 表达式 意义 举例（当时） 何时结果相等 表示（2个a相加） 当或时 ²² 表示（2个a相乘） — 知识点二：用字母表示的内容分类 表示类型 具体内容 示例 应用场景 数量 用字母表示具体的数或未知量。 小明有本书，小红有本书。 表示未知数或变量 数量关系 表示和、差、积、商等关系。 速度，时间，路程 行程问题、价格问题等实际应用 计算公式 表示周长、面积、体积等公式。 正方形周长，面积²² 几何图形计算 运算律 表示加法、乘法的交换律、结合律、分配律等。 加法交换律，乘法分配律 简便运算的字母化表达 常见公式 如总价=单价×数量（总价总价）、工作总量=工作效率×时间（） — 实际问题中的数量关系抽象 知识点三：含有字母的式子求值步骤 1.代入前准备：明确字母代表的数值，确保数值代入后式子有意义（如分母不为0）。 2.书写格式： 先写出字母等于几：如“当时”。 再写出原式：如“原式”。 代入数值计算：如“”。 3.注意事项： 字母代入数值后，省略的乘号需恢复（如代入时写为）。 计算结果后不写单位（若原式有单位，单位在最终答案中单独标注）。 知识点四：等式与方程的定义及关系 概念 定义 示例 核心区别 等式 表示相等关系的式子（含等号“=”）。 ，， 必须有等号，可不含未知数 方程 含有未知数的等式。 ， 必须同时满足：①是等式；②含未知数 包含关系图示 知识点五：方程的解与解方程 概念 定义 示例 检验方法 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 方程的解是 代入未知数的值，若等式成立则为解 解方程 求方程的解的过程。 解方程： 依据等式基本性质逐步化简 知识点六：等式的基本性质 性质 具体内容 字母表达式 示例 应用场景 性质1 等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立。 解方程：两边+3得 消去等式一边的常数项 性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。 （） （） 解方程：两边÷4得 消去等式一边的系数 注意事项 除以一个数时，该数不能为0（如无意义）。 等式性质是解方程的核心依据，需保持等号两边操作一致。 知识点七：列方程解决问题的步骤 1.设未知数： 弄清题意，找出未知量，用字母（如、）表示。 示例：“求一个数比3的2倍多5”，设该数为。 2.找等量关系： 根据题目中的关键语句（如“等于” “比…多/少” “是…的几倍”）列出等量关系。 示例：“该数比3的2倍多5”对应等量关系：。 3.列方程： 将等量关系转化为含有未知数的等式。 示例：方程为（或更复杂问题中的方程，如）。 4.解方程： 依据等式基本性质逐步化简，求出未知数的值。 示例：解方程： ① 两边减4：； ② 两边除以2：。 5.检验并作答： 检验：将代入原方程，左边，右边=16，等式成立。 作答：“该数是6”。 书写格式规范 解方程时，等号上下对齐，每一步只进行一个等式变换（如只加、减、乘、除一次）。 检验过程可简写，但需养成习惯，确保解的正确性。 知识点八：典型问题对比（用字母表示数 vs 方程） 项目 用字母表示数 方程 核心区别 目的 表示数量、关系、公式等（静态表达） 求未知数的值（动态求解） 前者是表达，后者是求解过程 是否含等号 不含（如） 必须含等号（如） 等号是方程的必要条件 应用场景 公式推导、数量关系抽象 解决“求未知量”的实际问题 后者需通过等量关系建立等式 核心考点精讲 核心考点一：用字母表示数 【典型例题】 一本书有a页，明明第一天读了全书的，第一天明明读了( )页。第二天他从第( )页开始读。 【通关练习】 1．甲、乙两地相距a千米，一辆汽车从甲地开往乙地，时速是b千米/时，行驶2小时后，距乙地还有( )千米。 2．姐姐有一捆彩带长a米，做1个中国结用b米。做4个中国结用( )米，还剩( )米。 3．一张长方形的纸，剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形（如图），则原来长方形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 4．一个两位数x，还有一个两位数y，若把两位数y放在两位数x的前面，组成一个四位数，则这个四位数表示为( )。 核心考点二：含字母式子的化简与求值 【典型例题】 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 【通关练习】 1．明明在计算时，错算成了，得到的结果与正确结果相差( )。 2．猎豹是世界上跑的最快的动物，比大象的2倍还多30千米，大象每小时跑n千米，猎豹每小时跑( )千米，当n＝40时，猎豹每小时跑( )千米。 3．按照下图用小棒摆图形的规律，摆第10个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。 核心考点三：等式的意义和基本性质 【典型例题】 已知a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出a＝( )。 【通关练习】 1．如图，阴影部分的面积是大长方形面积的，是小长方形面积的，大长方形面积和小长方形的面积的比是( )。 2．已知A÷B＝C，A＋B＋C＝340；如果C＝10，A＝( )。 3．因为，所以( )。，( )（填比值）。 4．已知△和☆分别表示两个自然数，并且，( )。 核心考点四：方程与解方程 【典型例题】 计算下面各题。 ①           ② 【通关练习】 1．解方程。          2．解方程。            3．解方程。                           核心考点五：列方程解含一个未知数的应用题 【典型例题】 深中通道通车后，深圳到中山的车程仅需30分钟，比原来的车程节省了75%，原来的车程是多少分钟？（先画图表示等量关系，再列方程解决问题） 【通关练习】 1．声音在不同介质中的传播速度不同。声音在空气中的传播速度约是每秒340米，比在水中传播速度的少35米，声音在水中的传播速度约每秒多少米？ 2．聪聪要到武汉的姑姑家玩儿，乘坐汽车需要小时，比乘坐火车所用的时间多。乘坐火车到达武汉需要多长时间？（列方程解答） 3．张大爷养了150只鹅，比鸭的还少30只。张大爷养了多少只鸭？（用方程解） 核心考点六：列方程解含两个未知数的应用题 【典型例题】 甲、乙两个健身器材厂共有跑步机1300台，从甲健身器材厂运走库存的，从乙健身器材厂运走库存的，两个器材厂剩下的跑步机数量相等，两个健身器材厂原来各有多少台跑步机？ 【通关练习】 1．新学期学校购买60套课桌椅，一共花了16800元。已知一把椅子的价钱是一张桌子价钱的，桌子和椅子的单价分别是多少？（用方程解） 2．学校美术组与音乐组的人数比是5∶3。现在音乐组补充了15名学员，于是学校又购进20台口风琴，美术组与音乐组的人数比变为了4∶3，这时音乐组共有多少名学员？ 3．中国二十四节气中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天。这一天，北京的黑夜时长约是白昼时长的，白昼是多少小时？ 若设白昼时长为x小时，求白昼时长的等量关系是： 。 核心考点七：列方程解稍复杂的实际问题 【典型例题】 某冬令营把学员分成A、B两队，A队人数是B队的，若把B队人数的调到A队后，则B队的人数比A队少12人。这个冬令营一共有多少学员？ 【通关练习】 1．某商场运来一批空调，第一天卖出总数的多5台，第二天卖出的台数比第一天多，还剩下43台没卖，这批空调一共有多少台？ 2．商场新进一批服装，把进价提高20%作为售价，但是销量并不好，于是又降价20%销售，结果每件亏损6元。这批服装原来的售价是每件多少元？ 3．甲、乙两筐苹果共重120千克，如果从甲筐拿出到乙筐中，这时乙筐苹果的重量是甲筐的2倍。求甲、乙两筐苹果各重多少千克。 真题演练 一、填空题 1．（2017·新疆喀什·小升初真题）比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )，当a＝2.4时，这个式子的值是( )。 2．（2024·河南三门峡·小升初真题）一辆小汽车的牌照是豫M8L○□Δ，已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，Δ＋Δ＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 3．（2017·全国·小升初真题）一个两位数，它十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数可以表示为( )。 5．（2024·河南周口·小升初真题）一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为 ( )千米。 6．（2022·河南郑州·小升初真题）李老师带领舞蹈队9名女生和8名男生去郑州大剧院演出，需购买学生舞蹈服，已知女生舞蹈服每件a元，男生舞蹈服每件b元，男生和女生购买舞蹈服一共需要( )元（用含有字母的式子表示）。如果a＝40元，b＝35元，一共花了( )元。 7．（2024·河北保定·小升初真题）玉兰为中国特有植物，因其“色白微碧、香味似兰”而得名。如果一棵玉兰栽种时树高为45厘米，以后每年可以长高35厘米，x年后这棵树的高度是( )厘米，当x＝3时，这棵树的高度是( )厘米。 8．（2022·河南商丘·小升初真题）图书馆新进故事书和科技书共650本，故事书的和科技书的相等。新进故事书( )本，科技书( )本。 9．（2022·安徽滁州·小升初真题）甲、乙两人同时从A、B两地开车相向而行，经过2小时在距中点21千米处相遇。甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，乙的平均速度为( )千米小时；已知，那么A、B两地相距( )千米。 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·小升初真题）按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 二、选择题 11．（2020·江苏苏州·小升初真题）如图所示，在图1中互不重叠的三角形共有4个。在图2中互不重叠的三角形共有7个。在图3中互不重叠的三角形共有10个，……，则在图6中互不重叠的三角形共有（    ）。 A．10个 B．15个 C．19个 D．22 个 12．（2022·浙江宁波·小升初真题）当a＞0时，下列式子中，得数最大的是（    ）。 A． B． C． D． 13．（2017·江西吉安·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别为a米、b米、h米，如果高增加2米，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C．ab（h＋2） D．abh＋22 14．（2024·福建莆田·小升初真题）下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 15．（2015·河北衡水·小升初真题）一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 16．（2024·河南郑州·小升初真题）张老师买回185根跳绳分给四年级x个班，每个班分12根后还剩下5根。下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 三、计算题 17．（2024·四川成都·小升初真题）解方程。                  四、解答题 18．（2020·湖北黄冈·小升初真题）王叔叔开一辆小货车从邹城去济南进货。去时空车每小时行90千米，2小时到达。返回时由于载货，每小时只能行60千米，需要多少小时返回邹城？（用比例知识解） 19．（2024·浙江杭州·小升初真题）有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是600毫升，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米，那么现在瓶内现有多少毫升饮料？ 20．（2024·河南开封·小升初真题）小学毕业考试结束那天，爸爸、妈妈带着小欣（身高1.52米）和妹妹（身高1.25米），买门票共用去455元，已知身高1.20～1.50米的儿童享受半价票。一张全价票多少钱？（列方程解答） 21．（2024·河南周口·小升初真题）阳光小学五、六年级共有学生324人，五年级中男生占，六年级中男生占，两个年级的女生人数相等。问：两个年级各有多少人？（用方程解） 22．（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 23．（2023·四川成都·小升初真题）一个盒子里有红、黄、白三种颜色的球，红球占总数的，黄球比不是红色的少4个，其余都是白球，如果白球比红球多12个，那么黄球有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 式与方程 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 知识点一：用字母表示数的书写规则 规则 具体说明 示例 注意事项 乘号简写或省略 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可写为“·”或省略不写。 ； 仅乘号可省略，加号、减号、除号不可省略 数字与字母相乘的顺序 省略乘号时，数字需写在字母前面。 ； 数字是1时，1省略不写（如） 相同字母相乘的表示 两个相同字母相乘，写成该字母的平方。 ²²；²² ²²读作“a的平方”，表示 1与字母相乘的省略 1和任何字母相乘时，1省略不写。 ； 仅1可省略，其他数字不可省略（如） 加法、减法、除法的表示 保留原有运算符号，不可省略。 、、 除法通常写成分数形式（如） 要点对比： vs 表达式 意义 举例（当时） 何时结果相等 表示（2个a相加） 当或时 ²² 表示（2个a相乘） — 知识点二：用字母表示的内容分类 表示类型 具体内容 示例 应用场景 数量 用字母表示具体的数或未知量。 小明有本书，小红有本书。 表示未知数或变量 数量关系 表示和、差、积、商等关系。 速度，时间，路程 行程问题、价格问题等实际应用 计算公式 表示周长、面积、体积等公式。 正方形周长，面积²² 几何图形计算 运算律 表示加法、乘法的交换律、结合律、分配律等。 加法交换律，乘法分配律 简便运算的字母化表达 常见公式 如总价=单价×数量（总价总价）、工作总量=工作效率×时间（） — 实际问题中的数量关系抽象 知识点三：含有字母的式子求值步骤 1.代入前准备：明确字母代表的数值，确保数值代入后式子有意义（如分母不为0）。 2.书写格式： 先写出字母等于几：如“当时”。 再写出原式：如“原式”。 代入数值计算：如“”。 3.注意事项： 字母代入数值后，省略的乘号需恢复（如代入时写为）。 计算结果后不写单位（若原式有单位，单位在最终答案中单独标注）。 知识点四：等式与方程的定义及关系 概念 定义 示例 核心区别 等式 表示相等关系的式子（含等号“=”）。 ，， 必须有等号，可不含未知数 方程 含有未知数的等式。 ， 必须同时满足：①是等式；②含未知数 包含关系图示 知识点五：方程的解与解方程 概念 定义 示例 检验方法 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 方程的解是 代入未知数的值，若等式成立则为解 解方程 求方程的解的过程。 解方程： 依据等式基本性质逐步化简 知识点六：等式的基本性质 性质 具体内容 字母表达式 示例 应用场景 性质1 等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立。 解方程：两边+3得 消去等式一边的常数项 性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。 （） （） 解方程：两边÷4得 消去等式一边的系数 注意事项 除以一个数时，该数不能为0（如无意义）。 等式性质是解方程的核心依据，需保持等号两边操作一致。 知识点七：列方程解决问题的步骤 1.设未知数： 弄清题意，找出未知量，用字母（如、）表示。 示例：“求一个数比3的2倍多5”，设该数为。 2.找等量关系： 根据题目中的关键语句（如“等于” “比…多/少” “是…的几倍”）列出等量关系。 示例：“该数比3的2倍多5”对应等量关系：。 3.列方程： 将等量关系转化为含有未知数的等式。 示例：方程为（或更复杂问题中的方程，如）。 4.解方程： 依据等式基本性质逐步化简，求出未知数的值。 示例：解方程： ① 两边减4：； ② 两边除以2：。 5.检验并作答： 检验：将代入原方程，左边，右边=16，等式成立。 作答：“该数是6”。 书写格式规范 解方程时，等号上下对齐，每一步只进行一个等式变换（如只加、减、乘、除一次）。 检验过程可简写，但需养成习惯，确保解的正确性。 知识点八：典型问题对比（用字母表示数 vs 方程） 项目 用字母表示数 方程 核心区别 目的 表示数量、关系、公式等（静态表达） 求未知数的值（动态求解） 前者是表达，后者是求解过程 是否含等号 不含（如） 必须含等号（如） 等号是方程的必要条件 应用场景 公式推导、数量关系抽象 解决“求未知量”的实际问题 后者需通过等量关系建立等式 核心考点精讲 核心考点一：用字母表示数 【典型例题】 一本书有a页，明明第一天读了全书的，第一天明明读了( )页。第二天他从第( )页开始读。 【答案】 a a＋1 【分析】分析题目，把这本书的总页数看作单位“1”，用总页数乘即可求出第一天一共读了多少页，第二天应该从（第一天看了的页数＋1）页开始读起，据此解答。 【解析】×a＝a（页） 一本书有a页，明明第一天读了全书的，第一天明明读了a页。第二天他从第（a＋1）页开始读。 【通关练习】 1．甲、乙两地相距a千米，一辆汽车从甲地开往乙地，时速是b千米/时，行驶2小时后，距乙地还有( )千米。 【答案】a－2b 【分析】分析题目，先根据路程＝速度×时间算出2小时一共行驶了多少千米，再用总路程减去已经行驶了的路程即可得到距离乙地还有多少千米。 【解析】a－b×2＝（a－2b）千米 甲、乙两地相距a千米，一辆汽车从甲地开往乙地，时速是b千米/时，行驶2小时后，距乙地还有（a－2b）千米。 2．姐姐有一捆彩带长a米，做1个中国结用b米。做4个中国结用( )米，还剩( )米。 【答案】 4b a－4b 【分析】一共需要彩带的长度＝做1个中国结需要彩带的长度×做中国结的个数，剩下彩带的长度＝彩带的总长度－用去彩带的长度，字母和数字相乘中间的乘号可以省略，把数字写在字母的前面，据此解答。 【解析】分析可知，姐姐有一捆彩带长a米，做1个中国结用b米。做4个中国结用4b米，还剩（a－4b）米。 3．一张长方形的纸，剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形（如图），则原来长方形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 4a＋6 a2＋3a 【分析】根据题意，长方形的纸剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形，根据正方形的特征可知，正方形的边长是acm；则原来长方形的长是（a＋3）cm，宽是acm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，求出原来长方形的周长和面积。 【解析】（a＋3＋a）×2 ＝（2a＋3）×2 ＝2a×2＋3×2 ＝（4a＋6）cm （a＋3）×a ＝ a×a＋3×a ＝（a2＋3a）cm2 则原来长方形的周长是（4a＋6）cm，面积是（a2＋3a）cm2。 4．一个两位数x，还有一个两位数y，若把两位数y放在两位数x的前面，组成一个四位数，则这个四位数表示为( )。 【答案】100y＋x 【分析】根据两个两位数x和y，把两位数y放在x的前面，组成一个四位数，相当于把y扩大了100倍，再加上x即可，据此解答。 【解析】根据分析，两位数y放在两位数x的前面，y变成了100y，与x组成的四位数为100y＋x。 核心考点二：含字母式子的化简与求值 【典型例题】 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 【答案】 2025 2020 【分析】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【解析】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 【通关练习】 1．明明在计算时，错算成了，得到的结果与正确结果相差( )。 【答案】 【分析】采用赋值法进行分析，假设a＝1，将a＝1分别代入和，分别计算出结果，求差即可。 【解析】假设a＝1。 －＝＝ 得到的结果与正确结果相差。 2．猎豹是世界上跑的最快的动物，比大象的2倍还多30千米，大象每小时跑n千米，猎豹每小时跑( )千米，当n＝40时，猎豹每小时跑( )千米。 【答案】 2n＋30 110 【分析】根据题意可知，大象的速度×2＋30千米/时＝猎豹的速度，据此代入字母即可用字母表示出猎豹的速度；然后将n＝40代入式子，即可求出猎豹的速度。 【解析】n×2＋30＝（2n＋30）千米 当n＝40时， 2n＋30 ＝2×40＋30 ＝80＋30 ＝110（千米） 大象每小时跑n千米，猎豹每小时跑（2n＋30）千米，当n＝40时，猎豹每小时跑110千米。 3．按照下图用小棒摆图形的规律，摆第10个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 21 2n＋1 【分析】观察图形可知，摆第1个图形需要3根小棒，摆第2个图形需要5根小棒，摆第3个图形需要7根小棒……发现规律：每增一个图形，小棒就增加2根，据此找到规律并解答。 【解析】摆第1个图形需要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆第2个图形需要5根小棒，3＝2×2＋1； 摆第3个图形需要7根小棒，3＝3×2＋1； 摆第4个图形需要9根小棒，3＝4×2＋1； …… 规律：摆第n个图形需要（2n＋1）根小棒。 当n＝10时 2n＋1 ＝10×2＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 填空如下： 摆第10个图形需要（21）根小棒，摆第n个图形需要（2n＋1）根小棒。 核心考点三：等式的意义和基本性质 【典型例题】 已知a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出a＝( )。 【答案】45 【分析】已知a＝b＋b＋b，即a＝3×b，把它代入到a＋b＝60，利用等式的性质，即可求出b的值，继而求出a的值。据此解答。 【解析】a＝b＋b＋b 即a＝3×b＝3b 代入到a＋b＝60中，可得 3b＋b＝60 4b＝60 4b÷4＝60÷4 b＝15 a＝60－15＝45。 【总结】此题主要考查等量代换，通过等式的性质，求出a的值。 【通关练习】 1．如图，阴影部分的面积是大长方形面积的，是小长方形面积的，大长方形面积和小长方形的面积的比是( )。 【答案】6∶5 【分析】根据题可知，大正方形面积的是阴影部分的面积，则大正方形面积×＝阴影部分面积；小正方形面积的也是阴影部分面积，即小正方形的面积×＝阴影部分面积；由此即可知道大正方形面积×＝小正方形面积×，根据等式的性质2两边同时除以小正方形的面积再同时除以即可求出大正方形和小正方形的面积的比是多少。 【解析】大正方形面积×＝小正方形面积× 大正方形的面积÷小正方形的面积＝÷ 大正方形的面积∶小正方形的面积＝＝6∶5 【总结】本题主要考查求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，同时要注意分子相当于比的前项，分母相当于比的后项。 2．已知A÷B＝C，A＋B＋C＝340；如果C＝10，A＝( )。 【答案】300 【分析】根据题意，A÷B＝C，A＋B＋C＝340；C＝10；即A÷B＝10，由此可知A＝10×B；A＋B＋10＝340，再把A＝10×B，带入A＋B＋10＝340，求出B的值，进而求出A的值。 【解析】因为C＝10；A＋B＝C 所以A÷B＝10 A＝10×B A＋B＋C＝340 10×B＋B＋10＝340 11×B＝340－10 11×B＝330 B＝330÷11 B＝30 A＝10×30＝300 【总结】利用等量代换解答本题，根据题意，找出代替的量，再根据等式的性质，进行解答。 3．因为，所以( )。，( )（填比值）。 【答案】 35∶4 【分析】根据等式的性质2，等式两边先同时除以，再同时除以B，得到A÷B＝7÷，再根据比与除法的关系可知：，进行化简比即可； 根据比与除法的关系：转化为，那么根据等式的性质2，等式两边先同时乘3，再同时除以求出的值即可。 【解析】由分析可知： ＝ ＝（7×5）∶（） ＝35∶4 ＝ ＝ ＝ 因为，所以35∶4。，。 【总结】掌握比和除法的关系和求比值的方法是解题的关键，另外还要注意两个数的比表示一种关系，而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 4．已知△和☆分别表示两个自然数，并且，( )。 【答案】5 【分析】根据等式性质2，两边同时乘上55，等式依然成立，则11△＋5☆＝37，根据等式可以看出△不可能大于3，据此解答即可。 【解析】11△＋5☆＝37 因为△不可能大于3，且△和☆分别表示两个自然数， 所以当△＝3时，等式不成立； 当△＝2时，☆＝3，等式成立。 当△＝1时，等式不成立； 即△＋☆＝2＋3＝5。 核心考点四：方程与解方程 【典型例题】 计算下面各题。 ①           ② 【答案】①；② 【分析】①先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； ②先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【解析】① 解： ② 解： 【通关练习】 1．解方程。          【答案】x＝；x＝40；x＝ 【分析】先把方程左边化简为x，两边再同时乘； 先把方程左边化简为0.3x，两边再同时除以0.3； 方程两边同时乘，两边再同时乘。 【解析】x＋x＝ 解：x＋x＝ x＝ ×x＝× x＝ 40%x－x＝12 解：0.4x－0.1x＝12 0.3x＝12 0.3x÷0.3＝12÷0.3 x＝40 x÷＝14 解：x÷×＝14× x＝2 ×x＝2× x＝ 2．解方程。            【答案】；； 【分析】第一个：根据等式的性质1，等式两边同时加上8，再根据等式的性质2，等式两边同时除以3即可求解； 第二个：根据等式的性质2，等式两边同时除以5，再根据等式的性质1，等式两边同时加上0.4即可求解； 第三个：先化简等号左边的式子，即原式变为：，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可求解。 【解析】 解： 解： 解： 3．解方程。                           【答案】；； 【分析】，根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可； ，根据减法各部分的关系，可得，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可； ，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去，再同时除以8即可。 【解析】 解： 解： 解： 核心考点五：列方程解含一个未知数的应用题 【典型例题】 深中通道通车后，深圳到中山的车程仅需30分钟，比原来的车程节省了75%，原来的车程是多少分钟？（先画图表示等量关系，再列方程解决问题） 【答案】图见解析； 120分钟 【分析】把原来的车程看作单位“1”，那么现在的车程比原来节省了，现在的车程也就是原来的，据此画图；设原来的车程为分钟，则现在的车程是分钟，再根据现在的车程是30分钟列方程解答；运用等式的性质2解方程，等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【解析】如图： 解：设原来的车程是分钟，则现在的车程是分钟 答：原来的车程是120分钟。 【通关练习】 1．声音在不同介质中的传播速度不同。声音在空气中的传播速度约是每秒340米，比在水中传播速度的少35米，声音在水中的传播速度约每秒多少米？ 【答案】1500米 【分析】设声音在水中的传播速度约每秒为x米，根据题意，声音在空气中的传播速度比在水中传播速度的少35米，即声音在水中的传播速度×－35米＝声音在空气中传播的速度，列方程：x－35＝340，解方程，即可解答。 【解析】解：设声音在水中的传播速度约每秒x米。 x－35＝340 x＝340＋35 x＝375 x＝375÷ x＝375×4 x＝1500 答：声音在水中的传播速度约每秒1500米。 2．聪聪要到武汉的姑姑家玩儿，乘坐汽车需要小时，比乘坐火车所用的时间多。乘坐火车到达武汉需要多长时间？（列方程解答） 【答案】小时 【分析】已知乘坐汽车需要小时，比乘坐火车所用的时间多，把乘坐火车所用的时间看作单位“1”，则乘坐汽车所用的时间是乘坐火车的；等量关系：乘坐火车所用的时间乘坐汽车所用的时间，据此列出方程，并求解。 【解析】解：设乘坐火车到达武汉需要小时。 答：乘坐火车到达武汉需要小时。 3．张大爷养了150只鹅，比鸭的还少30只。张大爷养了多少只鸭？（用方程解） 【答案】240只 【分析】将鸭的只数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法，比一个数少几就减几，设张大爷养了x只鸭，根据鸭的只数×－30＝鹅的只数，列出方程解答即可。 【解析】解：设张大爷养了x只鸭。 x－30＝150 x－30＋30＝150＋30 x＝180 x÷＝180÷ x＝180× x＝240 答：张大爷养了240只鸭。 核心考点六：列方程解含两个未知数的应用题 【典型例题】 甲、乙两个健身器材厂共有跑步机1300台，从甲健身器材厂运走库存的，从乙健身器材厂运走库存的，两个器材厂剩下的跑步机数量相等，两个健身器材厂原来各有多少台跑步机？ 【答案】甲健身器材厂：800台；乙健身器材厂：500台 【分析】设甲健身器材厂原来有x台跑步机，则乙健身器材厂原来有（1300－x）台跑步机。把甲健身器材厂原来有跑步机的数量看作单位“1”，从甲健身器材厂运走库存的，还剩下（1－），还剩下（1－）x台跑步机；把乙健身器材厂库存跑步机的台数看作单位“1”，乙健身器材厂运走库存的，还剩（1－），还剩下（1300－x）×（1－）台，两个器材厂剩下的跑步机数量相等，列方程：（1－）x＝（1300－x）×（1－），解方程，即可解答。 【解析】解：设甲健身器材厂原来有x台跑步机，则乙健身器材厂有（1300－x）台跑步机。 （1－）x＝（1300－x）×（1－） x＝（1300－x）× x＝1300×－x x＋x＝520 x＋x＝520 x＝520 x＝520÷ x＝520× x＝800 乙健身器材厂：1300－800＝500（台） 答：甲健身器材厂原来有800台跑步机，乙健身器材厂原来有500台跑步机。 【通关练习】 1．新学期学校购买60套课桌椅，一共花了16800元。已知一把椅子的价钱是一张桌子价钱的，桌子和椅子的单价分别是多少？（用方程解） 【答案】桌子：200元；椅子：80元 【分析】设一张桌子的价格是x元，则一把椅子的价格是（）元，根据数量关系：60张桌子的总价＋60把椅子的总价＝16800，列方程解方程，据此解答。 【解析】解：设一张桌子的价格为x元，则一把椅子的价格为（）元。 （元） 答：桌子的单价是200元，椅子的单价是80元。 2．学校美术组与音乐组的人数比是5∶3。现在音乐组补充了15名学员，于是学校又购进20台口风琴，美术组与音乐组的人数比变为了4∶3，这时音乐组共有多少名学员？ 【答案】75名 【分析】根据题意可知，学校原来美术组与音乐组的人数比是5∶3，可以设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。音乐组补充了15名学员后，音乐组人数变为（3x ＋ 15）名。此时美术组与音乐组的人数比变为4∶3，即此时美术组人数是音乐组人数的；再根据比和除法的关系，可列出方程式5x÷ （3x ＋ 15） ＝。解方程得到x ＝ 20，进而得出音乐组现在的人数。 【解析】解：设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。 5x÷ （3x ＋ 15） ＝ 5x＝×（3x ＋ 15） 5x＝×3x＋ ×15 5x＝4x＋20 5x－4x＝20 x ＝20 3×20＋15 ＝60＋15 ＝75（名） 答：这时音乐组共有75名学员。 3．中国二十四节气中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天。这一天，北京的黑夜时长约是白昼时长的，白昼是多少小时？ 若设白昼时长为x小时，求白昼时长的等量关系是： 。 【答案】10小时；白昼时长＋白昼时长×＝24小时 【分析】已知黑夜时长约是白昼时长的，若设白昼时长为x小时，则黑夜时长为x小时，一天的总时长为白昼加黑夜，即24小时。所以等量关系为白昼时长x小时＋黑夜时长x小时＝24小时，据此列出方程即可解答。 【解析】等量关系：白昼时长＋白昼时长×＝24小时。 解：设白昼时长为x小时， x＋x＝24 x＝24 x÷＝24÷ x＝24× x＝10 答：白昼时长为10小时。 核心考点七：列方程解稍复杂的实际问题 【典型例题】 某冬令营把学员分成A、B两队，A队人数是B队的，若把B队人数的调到A队后，则B队的人数比A队少12人。这个冬令营一共有多少学员？ 【答案】156人 【分析】把B队人数看作单位“1”，A队人数是B队的，把B队人数的调到A队后，A队现在的人数是B队原来人数的（＋），B队现在人数是原来人数的（1－）。这时B队的人数比A队少12人，据此可得：A队现有人数－B队现有人数＝12人。设B队原来有x人，根据等量关系式可列出方程：（＋）x－（1－）x＝12，解出方程即可求出B队原有人数，继而求出A队原有人数和冬令营总人数。 【解析】解：设B队原来有x人。 （＋）x－（1－）x＝12 （＋）x－x＝12 x－x＝12 x－x＝12 x＝12 x×8＝12×8 x＝96 A队：96×＝60（人） 96＋60＝156（人） 答：这个冬令营一共有学员156人。 【通关练习】 1．某商场运来一批空调，第一天卖出总数的多5台，第二天卖出的台数比第一天多，还剩下43台没卖，这批空调一共有多少台？ 【答案】120台 【分析】第一天卖出总数的多5台，是将总数看成单位“1”，且是未知量。可以设这批空调一共有x台，则第一天就是台。第二天卖出的台数比第一天多，是将第一天卖出的台数看成单位“1”，则第二天卖出的台数是第一天的（1＋），即根据一个数的几分之几用乘法，得出第二天卖出的台数，最后根据数量关系式：总台数－第一天卖的台数－第二天卖的台数＝43，解方程得出总台数。注意：计算分数除法时除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【解析】解：设这批空调一共有x台。 答：这批空调一共有120台。 2．商场新进一批服装，把进价提高20%作为售价，但是销量并不好，于是又降价20%销售，结果每件亏损6元。这批服装原来的售价是每件多少元？ 【答案】180元 【分析】设这批服装原来的进价是每件x元，将进价看作单位“1”，把进价提高20%作为原来的售价，原来的售价是进价的（1＋20%）；再将原来的售价看作单位“1”，又降价20%销售，是原来的售价的（1－20%），进价×原来的售价对应百分率×降价后对应百分率＝最终售价，根据进价－最终售价＝亏损钱数，列出方程求出x的值是进价。进价×原来的售价对应百分率＝原来的售价，据此列式解答。 【解析】解：设这批服装原来的进价是每件x元。 x－x×（1＋20%）×（1－20%）＝6 x－ x×1.2×0.8＝6 x－0.96x＝6 0.04x＝6 0.04x÷0.04＝6÷0.04 x＝150 150×（1＋20%） ＝150×1.2 ＝180（元） 答：这批服装原来的售价是每件180元。 【总结】关键是确定单位“1”，找到等量关系用方程解答，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。 3．甲、乙两筐苹果共重120千克，如果从甲筐拿出到乙筐中，这时乙筐苹果的重量是甲筐的2倍。求甲、乙两筐苹果各重多少千克。 【答案】甲筐重量是50千克，乙筐重量是70千克 【分析】根据题意可知，设甲筐重量是x千克，乙筐重量是（120－x）千克，根据分数乘法的意义，从甲筐拿出到乙筐中，也就是拿出x千克；这时乙筐苹果的重量是甲筐的2倍，据此可知（原来甲筐的重量－x千克）×2＝原来乙筐的重量＋x千克，列方程为（x－x）×2＝120－x＋x，然后解出方程即可，进而求出乙筐重量。 【解析】解：设甲筐重量是x千克，乙筐重量是（120－x）千克。 （x－x）×2＝120－x＋x x×2＝120－x＋x x＝120－x＋x x＋x＝120＋x x＋x－x＝120 x＝120 x＝120÷ x＝120× x＝50 120－50＝70（千克） 答：甲筐重量是50千克，乙筐重量是70千克。 【总结】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 真题演练 一、填空题 1．（2017·新疆喀什·小升初真题）比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )，当a＝2.4时，这个式子的值是( )。 【答案】 3a＋1.8 9 【分析】先用乘法求出a的3倍是多少，再加上多的1.8，即可用含字母的式子表示这个数；再将a＝2.4代入式子中，计算出得数即可。 【解析】a×3＋1.8＝3a＋1.8 当a＝2.4时 3×2.4＋1.8 ＝7.2＋1.8 ＝9 用含有字母的式子表示是3a＋1.8，当a＝2.4时，这个式子的值是9。 2．（2024·河南三门峡·小升初真题）一辆小汽车的牌照是豫M8L○□Δ，已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，Δ＋Δ＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 【答案】241 【分析】已知○＋○＝□，把○＋□＋□＋5＝15中的□用2个○代替，则算式变成5○＋5＝15，进而求出○的值； 把○的值代入○＋○＝□中，求出□的值；把○的值代入Δ＋Δ＝○中，求出Δ的值； 据此得出牌照“豫M8L○□Δ”后面的三位数。 【解析】因为○＋○＝□，那么： ○＋□＋□＋5＝15 ○＋○＋○＋○＋○＋5＝15 5○＋5＝15 5○＝15－5 5○＝10 ○＝10÷5 ○＝2 □＝○＋○＝2＋2＝4 Δ＋Δ＝○，则Δ＝○÷2＝2÷2＝1 所以，牌照是豫M8L○□Δ的后三位数是241。 3．（2017·全国·小升初真题）一个两位数，它十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数可以表示为( )。 【答案】10a＋b 【分析】一个两位数可以表示为十位上的数字乘10，再加上个位上的数字，如：23＝2×10＋3，据此解答即可。 【解析】由分析可知： 一个两位数，它十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数可以表示为10a＋b。 4．（2024·海南海口·小升初真题）学校合唱队男生有m人，女生人数是男生的4倍，学校合唱队一共有( )人；如果男生有6人，则学校合唱队一共有( )人。 【答案】 5m 30 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数，据此用m×4求出学校合唱队女生有多少人，再加上男生人数就是合唱队一共有多少人；把男生人数代入上一步求出的关系式进行计算即可。 【解析】4×m＝4m（人） 4m＋m＝5m（人） 当m＝6时， 5m＝5×6＝30（人） 所以学校合唱队一共有5m人；如果男生有6人，则学校合唱队一共有30人。 5．（2024·河南周口·小升初真题）一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为 ( )千米。 【答案】960 【分析】分析题目，把火车现在的速度看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，用火车现在的速度乘即可得到火车原来的速度，设原来用了x小时，则现在用了（x－4）小时，根据等量关系式：火车原来的速度×原来用的时间＝火车现在的速度×现在的时间列出方程120×（x－4）＝120×x，再进一步解出方程即可得到火车原来用的时间，最后用火车原来的时间乘原来的速度即可得到A，B两地的全程。 【解析】解：设原来用了x小时，则现在用了（x－4）小时。 120×（x－4）＝120×x 120x－480＝80x 120x－80x＝480 40x＝480 40x÷40＝480÷40 x＝12 12×（120×） ＝12×80 ＝960（千米） 一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为960千米。 6．（2022·河南郑州·小升初真题）李老师带领舞蹈队9名女生和8名男生去郑州大剧院演出，需购买学生舞蹈服，已知女生舞蹈服每件a元，男生舞蹈服每件b元，男生和女生购买舞蹈服一共需要( )元（用含有字母的式子表示）。如果a＝40元，b＝35元，一共花了( )元。 【答案】 9a＋8b 640 【分析】根据女生舞蹈服单价×女生人数＋男生舞蹈服单价×男生人数＝总价，即列出带字母的式子：9a＋8b，再把具体数据代入含字母的式子中，求值即可。 【解析】男生和女生购买舞蹈服一共需要（9a＋8b）元 9×40＋35×8 ＝360＋280 ＝640（元） 【总结】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母a、b所表示的意义，再进一步解答。 7．（2024·河北保定·小升初真题）玉兰为中国特有植物，因其“色白微碧、香味似兰”而得名。如果一棵玉兰栽种时树高为45厘米，以后每年可以长高35厘米，x年后这棵树的高度是( )厘米，当x＝3时，这棵树的高度是( )厘米。 【答案】 45＋35x 150 【分析】根据题意可得出数量关系：玉兰栽种时的树高＋以后每年长高的高度×年数＝x年后这棵树的高度，据此用含字母的式子表示数量关系；把x＝3代入式子中，计算出得数即可。 【解析】x年后这棵树的高度是（45＋35x）厘米； 当x＝3时 45＋35x ＝45＋35×3 ＝45＋105 ＝150（厘米） x年后这棵树的高度是（45＋35x）厘米，当x＝3时，这棵树的高度是（150）厘米。 8．（2022·河南商丘·小升初真题）图书馆新进故事书和科技书共650本，故事书的和科技书的相等。新进故事书( )本，科技书( )本。 【答案】 400 250 【分析】根据“故事书的和科技书的相等”，可以提炼这道题的等量关系是：故事书的本数×＝科技书的本数×，根据这个等量关系，列方程解答。 【解析】解：设故事书有x本，则科技书有（650－x）本。 x＝400 650－400＝250（本） 【总结】本题用方程解答比较简便，解题关键是找出题目中的等量关系：故事书的本数×＝科技书的本数×。 9．（2022·安徽滁州·小升初真题）甲、乙两人同时从A、B两地开车相向而行，经过2小时在距中点21千米处相遇。甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，乙的平均速度为( )千米小时；已知，那么A、B两地相距( )千米。 【答案】 x－6 198 【分析】根据题意，甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，所以乙的平均速度为（x－6）千米/小时；根据总路程＝速度和×相遇时间，已知，把数据代入行程公式解答即可。 【解析】由分析可知： 甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，所以乙的平均速度为（x－6）千米/小时； 当x＝60时，A、B两地相距： （60＋×60－6）×2 ＝（60＋45－6）×2 ＝99×2 ＝198（千米） 【总结】本题考查了用字母表示数和行程问题，根据题意解答即可。 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·小升初真题）按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 【答案】 21 51 5n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【解析】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 二、选择题 11．（2020·江苏苏州·小升初真题）如图所示，在图1中互不重叠的三角形共有4个。在图2中互不重叠的三角形共有7个。在图3中互不重叠的三角形共有10个，……，则在图6中互不重叠的三角形共有（    ）。 A．10个 B．15个 C．19个 D．22 个 【答案】C 【分析】图一：1×3＋1＝4个 图二：2×3＋1＝7个 图三：3×3＋1＝10个 由此可以得出结论 图n：n×3＋1＝3n＋1 求图6中互不重叠的三角形共有几个，即把n＝6代入计算即可。 【解析】图n中有：n×3＋1＝3n＋1个三角形 当n＝6时 3n＋1＝3×6＋1＝19（个） 故答案为：C 【总结】此题主要考查学生的观察能力和总结能力，对于找规律的题目要哪些部分发生了什么变化，是按照什么规律变化的，最后直接用规律求解。 12．（2022·浙江宁波·小升初真题）当a＞0时，下列式子中，得数最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数的混合运算，先化简各选项的算式，再根据分数的大小比较方法进行解答即可。 【解析】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 则＞＞＞ 故答案为：D 【总结】本题考查分数的计算法则和字母表示数的化简，熟练掌握，进行解答即可。 13．（2017·江西吉安·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别为a米、b米、h米，如果高增加2米，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C．ab（h＋2） D．abh＋22 【答案】A 【分析】根据题意可知，长、宽不变，高增加2米，所以增加的体积是长为a米、宽为b米、高为2米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，用a×b×2即可求出增加的体积。 【解析】a×b×2＝2ab（立方米） 新的长方体体积比原来增加2ab立方米。 故答案为：A 14．（2024·福建莆田·小升初真题）下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】2a＋6表示2个相同的数量a与6的和，长方形周长是长的2倍与宽的2倍的和，面积等于长乘宽，据此逐项分析解答。 【解析】A．整条线段长是三小段线段长度的和2＋a＋6化简后是a＋8； B．整条线段长是三小段线段长度的和a＋6＋6化简后是a＋12； C．长方形的周长是2a＋3×2化简后是2a＋6； D．长方形的面积是2×a＋3×a化简后是5a。 故答案为：C 15．（2015·河北衡水·小升初真题）一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 【答案】B 【分析】根据圆周长的一半加上一条直径等于半圆的周长，列式为：2πr÷2＋2r，再进行计算即可得出答案。 【解析】2πr÷2＋2r＝πr＋2r 据分析可知，一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（πr＋2r）厘米。 故答案为：B 16．（2024·河南郑州·小升初真题）张老师买回185根跳绳分给四年级x个班，每个班分12根后还剩下5根。下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，找出合适的等量关系，根据等量关系列出方程。 【解析】A．根据等量关系：跳绳总数－每班分的跳绳数量×班级数量＝剩下的数量，可列出方程：，符合题意，方程正确； B．根据等量关系：（跳绳总数－剩下的数量）÷班级数量＝每班分的跳绳数量，可列出方程：，符合题意，方程正确； C．根据等量关系：每班分的跳绳数量×班级数量＋剩下的数量＝跳绳总数，可列出方程：，符合题意，方程正确； D．，其中不是分给四年级个班的跳绳数量，不符合题意，方程错误。 故答案为：D 三、计算题 17．（2024·四川成都·小升初真题）解方程。                  【答案】；； 【分析】根据等式的性质： 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，据此解方程即可。 【解析】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 四、解答题 18．（2020·湖北黄冈·小升初真题）王叔叔开一辆小货车从邹城去济南进货。去时空车每小时行90千米，2小时到达。返回时由于载货，每小时只能行60千米，需要多少小时返回邹城？（用比例知识解） 【答案】3小时 【分析】设平均每小时行x千米，根据题意总路程不变，速度和时间成反比例，由此列式解答即可。 【解析】解：设平均每小时行x千米。 60x＝90×2 60x＝180 60x÷60＝180÷60 x＝3 答：需要3小时返回邹城。 19．（2024·浙江杭州·小升初真题）有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是600毫升，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米，那么现在瓶内现有多少毫升饮料？ 【答案】500毫升 【分析】设瓶子的底面积是x平方厘米；饮料高度为20厘米，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，饮料的体积为20x毫升；空余部分的容积为4x毫升；饮料体积＋空余部分的容积＝瓶子的容积，列方程：20x＋4x＝600，解方程，求出瓶子的底面积，进而求出饮料有多少毫升。 【解析】解：设瓶子的底面积是x平方厘米。 20x＋4x＝600 24x＝600 x＝600÷24 x＝25 25×20＝500（毫升） 答：现在瓶内现有500毫升饮料。 20．（2024·河南开封·小升初真题）小学毕业考试结束那天，爸爸、妈妈带着小欣（身高1.52米）和妹妹（身高1.25米），买门票共用去455元，已知身高1.20～1.50米的儿童享受半价票。一张全价票多少钱？（列方程解答） 【答案】130元 【分析】设一张半价票为x元，则一张全价票为2x元；爸爸、妈妈和小欣购买的是全价票，妹妹购买的是半价票，根据数量关系：半价票总价＋全价票总价＝455，据此列出方程，解方程即可解答。 【解析】解：设一张半价票为x元，则一张全价票为2x元。 一张全价票：65×2＝130（元） 答：一张全价票为130元。 21．（2024·河南周口·小升初真题）阳光小学五、六年级共有学生324人，五年级中男生占，六年级中男生占，两个年级的女生人数相等。问：两个年级各有多少人？（用方程解） 【答案】五年级：190人；六年级：134人 【分析】五年级学生人数为未知数x，则六年级学生人数为（342－x）人。把五、六年级的总人数分别看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，五年级女生人数为x×（1－），六年级女生人数为（342－x）×（1－），根据等量关系：五年级女生人数＝六年级女生人数，列方程再利用等式的性质解方程即可。 【解析】解：设五年级学生有x人，则六年级学生人数为（342－x）人。 x×（1－）＝（342－x）×（1－） x＝（342－x）× x＝190－x x＋x＝190－x＋x x＝190 324－190＝134（人） 答：五年级学生有190人，六年级学生有134人。 22．（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 【答案】1200元 【分析】设每台空调的进价为x元，根据“将进价加35%定价”，知道定价为（1＋35%）x元，按定价打九折出售，意思是按定价的90%出售，卖价为即（1＋35%）x×90%元，由数量关系：卖价－进价－50＝208，即可列出方程解决问题。 【解析】解：设每台空调的进价为x元。 （1＋35%）x×90%－x－50＝208 1.35x×0.9－x＝258 1.215x－x＝258 0.215x＝258 x＝258÷0.215 x＝1200 答：每台空调的进价是1200元。 23．（2023·四川成都·小升初真题）一个盒子里有红、黄、白三种颜色的球，红球占总数的，黄球比不是红色的少4个，其余都是白球，如果白球比红球多12个，那么黄球有多少个？ 【答案】20个 【分析】题目中的红、黄、白球的个数都是未知的，总数是一定的。可以假设总数是x个，那么红球是个，根据“黄球比不是红色的少4个”可知，黄球的个数是个，最后根据“白球比红球多12个”列方程解答。 【解析】解：设球的总数是x个，红球是个，黄球是个，则 黄球： 答：黄球有20个。 学科网（北京）股份有限公司 $$