专题14 优化问题（模块三 典型应用题）知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共40题-2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲练测（学生版+教师版）

2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲义（模块三 典型应用题） 专题14 优化问题（小升初复习讲义） （知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共40题） 同学你好，恭喜你进入小升初冲刺阶段！首先预祝你考出理想成绩！该份讲义涵盖内容非常全面，细分专题，精选高频考点，精雕细琢。包含知识梳理，考点讲练，难度分层训练三大部分，题型新颖，解析版解题思路清晰。优选常考题，易错题，压轴题等类型题等，非常贴合考纲要求，适合拿来大练手笔，讲义难度中上，适合所有学生使用！ 知识点梳理01:沏茶问题 核心目标：合理安排工序，缩短总时间 知识点： 1. 工序流程图：列出所有步骤及所需时间（如烧水8分钟、洗杯2分钟、找茶叶1分钟等）。 2. 并行处理：分辨哪些步骤可同时进行（如烧水时可洗杯、找茶叶）。 3. 关键路径：确定不可缩短的关键步骤（如烧水必须完成才能沏茶）。 4. 总时间计算：总时间 = 关键路径时间 + 并行任务中较长时间的叠加。 例题：烧水（8分钟），洗水壶（1分钟），洗茶杯（2分钟），找茶叶（1分钟），沏茶（1分钟）。最短总时间？ 解： 洗水壶（1分钟）→ 烧水（8分钟，期间洗杯、找茶叶）→ 沏茶（1分钟）。 总时间 = 1 + 8 + 1 =10分钟。 知识点梳理02:烙饼问题 核心目标：利用锅的容量最大化，减少烙饼次数 知识点： 1. 锅的容量限制：如每次最多烙2张饼，每面需3分钟。 2. 交替烙法：通过交替翻面避免锅空闲（如烙3张饼时，分3次：A正+B正→A反+C正→B反+C反）。 3. 公式推导： 总时间 = 饼数 × 每面时间 / 锅容量（适用于偶数张饼）。 奇数张饼时，按偶数计算后加一次交替烙的时间。 例题：烙5张饼，每面3分钟，锅最多2张。最短时间？ 解： 前4张按2张一组，每组6分钟 → 2组×6=12分钟。 第5张与第4张交替烙：3+3=6分钟。 总时间 = 12 + 6 =18分钟。 知识点梳理03:田忌赛马问题 核心目标：通过策略性排列组合，以弱胜强 知识点： 1. 对策论思想：牺牲局部劣势换取全局优势（如用下等马消耗对方上等马）。 2. 排列组合分析：对比所有可能的对阵结果（如下表）。 知识点梳理04:租船问题 核心目标：组合不同船型，最小化总租金 知识点： 1. 单价与整租比较：大船单价低但需整租（如大船限6人/10元，小船4人/8元）。 2. 余数处理：优先租大船，剩余人数租小船，但需比较余数对应的费用。 3. 临界值调整：当余数接近小船容量时，减少1艘大船改用小船可能更省钱。 例题：44人租船，大船6人/10元，小船4人/8元。最少费用？ 解： 大船数量：44 ÷ 6 = 7艘余2人 → 需7大船+1小船 → 费用7×10+1×8=78元。 优化：6大船（36人）余8人 → 8÷4=2小船 → 费用6×10+2×8=76元（更优）。 知识点梳理05:购票问题 核心目标：平衡团体票与个人票，总费用最低 知识点： 1. 临界人数计算：比较团体票均价比个人票低的人数临界点（如团体票5人/30元，个人票7元，临界值：30/5=6元 <7元 → 5人以上选团体）。 2. 分段组合：超出团体票人数部分，需拆分计算（如8人可买1团体+3个人，或2团体）。 例题：6人购票，团体票5人/30元，个人票7元。最少费用？ 解： 方案1：1团体（5人） +1个人 → 30+7=37元。 方案2：全部个人 →6×7=42元。 最优：37元。 考点讲练01：沏茶问题 【典例精讲】雯雯星期天想帮妈妈做下面的事情：洗衣机洗衣服用20分钟，扫地用6分钟，擦家具用10分钟，晾衣服用5分钟。经过合理安排，她做完这些事情至少要用( )分钟。 【变式训练01】星期日丽丽打算做的家务及所用时间如下：洗衣机洗衣服20分钟，拖地要用7分钟，擦家具要用9分钟，晾衣服要用4分钟。经过合理安排，她做完这些家务至少要用（    ）分钟。 A．20 B．24 C．40 D．29 【变式训练02】小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，泡茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要花（    ）分钟才能使客人喝上茶。 A．7 B．8 C．9 【变式训练03】王师傅要修理甲、乙、丙3台机器，需要的时间分别为10分、30分、60分，一台机器停产1分钟造成经济损失5元，按（    ）的顺序修能使损失最小。 A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲 C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙 考点讲练02：烙饼问题 【典例精讲】妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 分钟。 【变式训练01】妈妈用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放2个鸡蛋，煎一面需要2分钟，两面都要煎，煎3个鸡蛋至少需要（    ）分钟。 A．4 B．6 C．8 D．12 【变式训练02】林林家的电饼铛煎一个鸡蛋需要4分钟（两面煎，每面需2分钟），一次最多可同时煎2个鸡蛋，林林想煎5个鸡蛋，最少需要（    ）分钟。 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练03】平底锅烙饼，每次能放2张饼，每张饼要烙两面，每面要烙2分钟，烙5张饼至少需要（    ）分钟。 A．8 B．10 C．12 D．20 考点讲练03：田忌赛马问题 【典例精讲】在生物学中，细胞分裂会产生新的细胞。一个细胞经过第一次分裂会变成两个细胞，经过第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，依此类推。某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，经过（    ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．20 B．120 C．140 D．200 【变式训练01】学校围棋队有30名队员（含队长），暑假突然有一个紧急比赛，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分，通知30名队员共需要多少分？（用画一画、写一写的方法得出答案） 【变式训练02】学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 【变式训练03】下面四句话中，正确的是（    ）。 A．小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用6分钟 B．27瓶口香糖中有一瓶是次品，次品稍微轻一些，则用天平至少称4次才能保证找到次品 C．六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日 D．老师用打电话的方式通知学生，1分钟通知1人，则4分钟最多能通知16人 考点讲练04：租船问题 【典例精讲】一个旅游团共25人到宾馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），一共有多少种不同的安排？在表中填一填。 3人间个数 2人间个数 如果一个3人间每天的住宿费是240元，一个2人间每天的住宿费是200元，这个旅游团每天的住宿费最少是多少元？ 【变式训练01】光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了( )辆大车，( )辆小车。 【变式训练02】某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的国家足球队加油。可租用的汽车有两种：A种每辆可乘8人，B种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。 （1）请写出3种不同的租车方案。 （2）若A种车子的租金是300元每天，B种车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。 【变式训练03】游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 考点讲练05：购票问题 【典例精讲】为加强爱国主义教育，提高思想道德素质，某校六年级220名师生要到武乡八路军太行纪念馆开展研学活动。 学校计划租用运输公司车辆，现有两种车辆可供选择： A．限乘50人的大巴车，每辆租金是1200元。 B．限乘35人的中巴车，每辆租金为1050元。 请你根据以上信息为本次活动的师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。 【变式训练01】笑笑家与淘气家一共有6个成人和4个儿童，他们都准备在采摘园吃午饭。餐厅提供了以下两种午餐标准。怎样最省钱？最少花了多少钱？ （1）算一算，比一比。 （2）选一选，比一比。在正确的答案下面画“√”。 标准二与标准一相比，每个成人少花10元，每个儿童多花10元。成人的数量比儿童的数量（多/少），所以标准二的总价比标准一的总价（多/少）。 （3）想一想，比一比。如果把标准一与标准二合起来用，会不会更省钱呢？最少花多少钱？ 【变式训练02】国际影城的影片告示如表所示： 片名 《战狼3》 购票方式 成人票100元/人 儿童票40元/人 团体5人以上（含5人）70元/人 现在有成人6人，儿童4人，请你算一算，怎样购票最省钱？ 【变式训练03】某校老师带领该班学生去旅游，A旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠。B旅行社说：包括老师在内按六折优惠。若每张全票价是280元，则（1）学生数多少时，两家旅行社收费一样多？（2）该校老师今年准备带5名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因。 基础夯实巩固练 1．小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（    ）分钟。 A．21 B．25 C．26 2．煮一个鸡蛋需要8分钟，一口锅一次最多可以煮20个鸡蛋，那么煮14个鸡蛋至少要（    ）分钟。 A．72 B．280 C．160 D．8 3．小明要给爸爸沏杯茶，烧水8分钟，洗茶杯1分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶要1分钟，要让爸爸尽快喝到茶至少要（    ）分钟才能把茶沏好。 A．9 B．10 C．11 4．假期的一天，小红想帮妈妈做家务：用洗衣机洗衣服（20分钟），扫地（6分钟），擦家具（10分钟），晾衣服（5分钟）。经过合理安排，她做完这些事情至少要用( )分钟。 5．东东放学后帮妈妈做以下几件事：收衣服3分钟，洗菜4分钟，烧水8分钟，泡茶2分钟。他做完这些事至少需要( )分钟。 6．东方旅行社在六一儿童节期间，推出下面两种优惠方案。 第一种：景园一日游 大人每位160元 小孩每位40 第二种：景园一日游 团体5人以上（含5人） 每位100元 下列情况选哪种方案省钱？ （1）3个大人，2个小孩。 （2）1个大人，7个小孩。 （3）6个大人，3个小孩。 7．李老师全家7人在火锅店用餐，人均消费80元，该火锅店推出两种优惠方式： 方式一：在某App平台购买68元抵100元的代金券，不满100元的部分按实际支付。（如消费340元，其中300元可用代金券，其余40元不享受任何优惠） 方式二：店内现金支付享八折优惠。 请通过计算说明李老师一家选择哪种优惠方式更划算。 8．某品牌的旅游鞋搞促销活动，在A商场按“每满100元减40元”的方式销售，在B商场打六折销售，妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋。 （1）在A、B两个商场买各应付多少钱？ （2）选择哪个商场更省钱？A、B两个商场的价格相差多少钱？ 9． 王老师家的冰箱旧了，想换一台。他到商场看中了一款新冰箱，标价2490元。同时他了解到商场有一个活动叫“家电下乡，以旧换新”，这款冰箱正好参与这个活动。活动办法：商场将王老师家的旧冰箱折价40元回收，同时新冰箱的价格打九折。如果旧冰箱不回收，则不享受任何优惠政策。王老师回家后又去问了旧货市场，得知他这台冰箱可以卖250元。你觉得王老师选择什么方案比较好？ 10．森林运动会比赛采取三局两胜制，下表是两组选手在障碍跑中各自组内的成绩排名。乙组要想获胜，应该按（    ）策略安排比赛顺序。 第一名 第二名 第三名 甲组 猎豹0.9秒 鹿9.5秒 狗9.9秒 乙组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子—狗；羚羊—鹿；狮子—猎豹 B．兔子—鹿；羚羊—狗；狮子—猎豹 C．兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—鹿 D．兔子—猎豹；羚羊—鹿；狮子—狗 培优拔高强化练 11．旅行社推出“××风景区一日游”活动，如果小芸和小丽跟各自爸爸妈妈两个家庭六人一起去旅游，下面几种价格中最便宜的是第（    ）种。 A．双人游188元 B．家庭游275元（3人） C．成人票100元/张，学生票半价 D．团体游480元（6人） 12．有一种传染性极强的病毒，携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过20分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．81 B．120 C．31 D．16 13．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要 分钟。 14．（如图）四年级180人去参加植树活动，现有大、小两种车型可以选择，租( )辆大客车和( )辆小客车最省钱。 15．学校举行数学知识竞赛，老师要通知学生一个重要信息，每1分通知一个人，接到通知的人继续通知下去，如此这样下去，通知28名同学需要( )分。 16．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 （1）李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 17．小明和妈妈去逛商场，发现某品牌的裤子标价200元，裙子标价230元，篮球鞋标价250元，跑步鞋标价180元。 A、B两个商场都在搞促销活动： A商场：打六折销售； B商场：“满100元减50元” 妈妈要买一双这种品牌的跑步鞋，小明要买一双篮球鞋。 （1）妈妈选的鞋子在A、B两个商场分别需要多少钱？ （2）这两双鞋怎样购买最省钱？ 18．“孔融让梨”体现了中华民族友爱孝悌，谦让待人的传统美德。一种游戏叫“孔融让梨”：有38根小棒，两人轮流拿，每次只能拿2根或3根，谁拿到最后一根谁获胜。如果让你先拿，为了确保获胜，第一次应该怎样拿？接下来应该怎样拿？ 19．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 20．亮亮在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。某天亮亮逛街，恰好赶上超市促销，超市A所有的商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返25元现金，（不足100元不返），但他只带了400元，若两家都可以选择，买一个随身听在哪一家购买较省钱？为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲义（模块三 典型应用题） 专题14 优化问题（小升初复习讲义） （知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共40题） 同学你好，恭喜你进入小升初冲刺阶段！首先预祝你考出理想成绩！该份讲义涵盖内容非常全面，细分专题，精选高频考点，精雕细琢。包含知识梳理，考点讲练，难度分层训练三大部分，题型新颖，解析版解题思路清晰。优选常考题，易错题，压轴题等类型题等，非常贴合考纲要求，适合拿来大练手笔，讲义难度中上，适合所有学生使用！ 知识点梳理01:沏茶问题 核心目标：合理安排工序，缩短总时间 知识点： 1. 工序流程图：列出所有步骤及所需时间（如烧水8分钟、洗杯2分钟、找茶叶1分钟等）。 2. 并行处理：分辨哪些步骤可同时进行（如烧水时可洗杯、找茶叶）。 3. 关键路径：确定不可缩短的关键步骤（如烧水必须完成才能沏茶）。 4. 总时间计算：总时间 = 关键路径时间 + 并行任务中较长时间的叠加。 例题：烧水（8分钟），洗水壶（1分钟），洗茶杯（2分钟），找茶叶（1分钟），沏茶（1分钟）。最短总时间？ 解： 洗水壶（1分钟）→ 烧水（8分钟，期间洗杯、找茶叶）→ 沏茶（1分钟）。 总时间 = 1 + 8 + 1 =10分钟。 知识点梳理02:烙饼问题 核心目标：利用锅的容量最大化，减少烙饼次数 知识点： 1. 锅的容量限制：如每次最多烙2张饼，每面需3分钟。 2. 交替烙法：通过交替翻面避免锅空闲（如烙3张饼时，分3次：A正+B正→A反+C正→B反+C反）。 3. 公式推导： 总时间 = 饼数 × 每面时间 / 锅容量（适用于偶数张饼）。 奇数张饼时，按偶数计算后加一次交替烙的时间。 例题：烙5张饼，每面3分钟，锅最多2张。最短时间？ 解： 前4张按2张一组，每组6分钟 → 2组×6=12分钟。 第5张与第4张交替烙：3+3=6分钟。 总时间 = 12 + 6 =18分钟。 知识点梳理03:田忌赛马问题 核心目标：通过策略性排列组合，以弱胜强 知识点： 1. 对策论思想：牺牲局部劣势换取全局优势（如用下等马消耗对方上等马）。 2. 排列组合分析：对比所有可能的对阵结果（如下表）。 知识点梳理04:租船问题 核心目标：组合不同船型，最小化总租金 知识点： 1. 单价与整租比较：大船单价低但需整租（如大船限6人/10元，小船4人/8元）。 2. 余数处理：优先租大船，剩余人数租小船，但需比较余数对应的费用。 3. 临界值调整：当余数接近小船容量时，减少1艘大船改用小船可能更省钱。 例题：44人租船，大船6人/10元，小船4人/8元。最少费用？ 解： 大船数量：44 ÷ 6 = 7艘余2人 → 需7大船+1小船 → 费用7×10+1×8=78元。 优化：6大船（36人）余8人 → 8÷4=2小船 → 费用6×10+2×8=76元（更优）。 知识点梳理05:购票问题 核心目标：平衡团体票与个人票，总费用最低 知识点： 1. 临界人数计算：比较团体票均价比个人票低的人数临界点（如团体票5人/30元，个人票7元，临界值：30/5=6元 <7元 → 5人以上选团体）。 2. 分段组合：超出团体票人数部分，需拆分计算（如8人可买1团体+3个人，或2团体）。 例题：6人购票，团体票5人/30元，个人票7元。最少费用？ 解： 方案1：1团体（5人） +1个人 → 30+7=37元。 方案2：全部个人 →6×7=42元。 最优：37元。 考点讲练01：沏茶问题 【典例精讲】雯雯星期天想帮妈妈做下面的事情：洗衣机洗衣服用20分钟，扫地用6分钟，擦家具用10分钟，晾衣服用5分钟。经过合理安排，她做完这些事情至少要用( )分钟。 【答案】25 【思路引导】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6＋10＝16分钟，然后晾衣服，所以做完这件事至少需要20＋5＝25分钟，据此解答即可。 【规范解答】根据题干分析可得： 20＋5＝25(分钟) 所以做完这些事至少需要25分钟。 【考点评析】本题考查合理安排时间，解答本题的关键是找到洗衣机洗衣服的同时可以同时做其他事情。 【变式训练01】星期日丽丽打算做的家务及所用时间如下：洗衣机洗衣服20分钟，拖地要用7分钟，擦家具要用9分钟，晾衣服要用4分钟。经过合理安排，她做完这些家务至少要用（    ）分钟。 A．20 B．24 C．40 D．29 【答案】B 【思路引导】洗衣机洗衣服的同时去拖地、擦家具，做完这两项家务后，休息会等待衣服洗好。衣服洗好后晾衣服。所以，将洗衣服用的时间加上晾衣服用的时间，即可解题。 【规范解答】7＋9＝16（分钟） 16＜20 20＋4＝24（分钟） 所以，经过合理安排，她做完这些家务至少要用24分钟。 故答案为：B 【变式训练02】小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，泡茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要花（    ）分钟才能使客人喝上茶。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【思路引导】要想花的时间最少，则接水1分钟，烧水的时候可以洗茶杯那茶叶，最后泡茶，据此解答即可。 【规范解答】1＋6＋1 ＝7＋1 ＝8（分钟） 至少要8分钟才能使客人喝上茶。 故答案为：B 【变式训练03】王师傅要修理甲、乙、丙3台机器，需要的时间分别为10分、30分、60分，一台机器停产1分钟造成经济损失5元，按（    ）的顺序修能使损失最小。 A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲 C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙 【答案】A 【思路引导】要是经济损失最少，那么总停产时间要最短；先修理时间短的，再修理时间长的才能使总停产时间最短。 10分＜30分＜60分，甲的修理时间最短，丙的修理时间最长；那么先修理甲机器需要10分钟，这时乙和丙两台机器各等了10分钟；修理乙机器需要30分钟，这时丙机器等了30分钟，最后修理丙机器需要60分钟；这样总停产时间最短，造成的损失最小。 【规范解答】10×3＋30×2＋60 ＝30＋60＋60 ＝150（分钟） 5×150＝750（元） 总停产时间150分钟最短，经济损失最小是750元。 所以，按甲、乙、丙的顺序修能使损失最小。 故答案为：A 考点讲练02：烙饼问题 【典例精讲】妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 分钟。 【答案】15 【思路引导】当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，最少需要的时间＝烙一面需要的时间×张数；依此计算并填空。 【规范解答】（分钟） 妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要15分钟。 【变式训练01】妈妈用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放2个鸡蛋，煎一面需要2分钟，两面都要煎，煎3个鸡蛋至少需要（    ）分钟。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【思路引导】由题意得，要使煎鸡蛋的时间最少，那么每一次煎鸡蛋时锅里面都必须有2个鸡蛋。煎3个鸡蛋时，第一次：煎第1个鸡蛋的正面和第2个鸡蛋的正面，用时2分钟。第二次：煎第1个鸡蛋的反面和第3个鸡蛋的正面，用时2分钟。第三次：煎第2个鸡蛋的反面和第3个鸡蛋的反面，用时2分钟。所以一共需要3个2分钟。 【规范解答】3×2＝6（分钟），即煎3个鸡蛋至少需要6分钟。 故答案为：B 【变式训练02】林林家的电饼铛煎一个鸡蛋需要4分钟（两面煎，每面需2分钟），一次最多可同时煎2个鸡蛋，林林想煎5个鸡蛋，最少需要（    ）分钟。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【思路引导】把5个鸡蛋编号，可以这样煎：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反； 一共煎5次，每次2分钟，最少需要（2×5）分钟。 【规范解答】2×5＝10（分钟） 最少需要10分钟。 故答案为：C 【变式训练03】平底锅烙饼，每次能放2张饼，每张饼要烙两面，每面要烙2分钟，烙5张饼至少需要（    ）分钟。 A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【思路引导】当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，最少需要的时间＝烙一面需要的时间×张数；依此计算并选择。 【规范解答】2×5＝10（分钟） 即烙5张饼至少需要10分钟。 故答案为：B 【考点评析】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 考点讲练03：田忌赛马问题 【典例精讲】在生物学中，细胞分裂会产生新的细胞。一个细胞经过第一次分裂会变成两个细胞，经过第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，依此类推。某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，经过（    ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．20 B．120 C．140 D．200 【答案】C 【思路引导】第1次分裂后细胞有：1×2＝2（个）； 第2次分裂后细胞有：2×2＝4（个）； 第3次分裂后细胞有：4×2＝8（个）； 第4次分裂后细胞有：8×2＝16（个）； 第5次分裂后细胞有：16×2＝32（个）； 第6次分裂后细胞有：32×2＝64（个）； 第7次分裂后细胞有：64×2＝128（个）。 这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞，经过了7次分裂，平均每20分会分裂一次，则经过了（7×20）分钟，据此解答。 【规范解答】由分析得：7×20＝140（分） 即经过140分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 故答案为：C 【变式训练01】学校围棋队有30名队员（含队长），暑假突然有一个紧急比赛，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分，通知30名队员共需要多少分？（用画一画、写一写的方法得出答案） 【答案】画一画、写一写见详解；4分钟 【思路引导】（1）根据题意，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人，据此画图表示联络广式。 （2）从表中可知，第1分钟通知2名队员；第2分钟增加4名队员，共通知到2＋4＝6名队员；第3分钟增加8名队员，共通知到2＋4＋8＝14名队员；据此发现：增加的队员4是2的2倍，8是4的2倍；从第2分钟开始共通知到的队员人数关系6×2＋2＝14；按此规律填表。 （3）根据上一题得出的规律，继续往下写，即可得解。 【规范解答】（1）如图： （2）我发现的规律 第1分钟通知到2人； 第2分钟增加4人，通知到2＋4＝6（人） 第3分钟增加8人，通知到2＋4＋8＝14（人） ①  时间每增加I分，增加的人数是前一次通知人数的2倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的2倍还多2人； （3）第4分钟增加16人，通知到2＋4＋8＋16＝30（人）。 答：通知30名队员共需要4分。 【变式训练02】学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 【答案】（1）见详解 （2）①2；②2；2 （3）4分；5分 【思路引导】（1）根据题意，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人，据此画图表示联络方式。 （2）从表中可知，第1分钟通知2名队员；第2分钟增加4名队员，共通知到2＋4＝6名队员；第3分钟增加8名队员，共通知到2＋4＋8＝14名队员；据此发现：增加的队员4是2的2倍，8是4的2倍；从第2分钟开始共通知到的队员人数关系6×2＋2＝14；按此规律填表。 （3）根据上一题得出的规律，继续往下写，即可得解。 【规范解答】（1） 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 2 2 2＋4＝6 3 2＋4＋8＝14 （2）我发现的规律： 第1分钟通知到2人； 第2分钟增加4人，通知到2＋4＝6（人） 第3分钟增加8人，通知到2＋4＋8＝14（人） …… ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的2倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的2倍还多2人。 （3）第4分钟增加16人，通知到2＋4＋8＋16＝30（人） 第5分钟增加32人，通知到2＋4＋8＋16＋32＝62（人） 答：通知30名队员共需要4分。如果有62名队员，需要5分才能通知完。 【变式训练03】下面四句话中，正确的是（    ）。 A．小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用6分钟 B．27瓶口香糖中有一瓶是次品，次品稍微轻一些，则用天平至少称4次才能保证找到次品 C．六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日 D．老师用打电话的方式通知学生，1分钟通知1人，则4分钟最多能通知16人 【答案】C 【思路引导】A．层数＝楼数－1，一楼走到三楼，只需要走（3－1）层，用的时间÷走的层数＝走一层的时间，一楼走到六楼，需要走（6－1）层，走一层的时间×一楼走到六楼的层数＝需要的时间； B．找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1； C．抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体； D．第1分钟通知1人，接到通知的学生可以同时去通知其他学生，第2分钟通知1＋2＝3（人），第3分钟通知3＋4＝7（人），以此类推，即可得到4分钟最多能通知的人数。 【规范解答】A．3÷（3－1）×（6－1） ＝3÷2×5 ＝7.5（分钟） 小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用7.5分钟，选项说法错误； B．将27瓶分成（9、9、9），称（9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9瓶；将9瓶分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3瓶；将3瓶分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中1瓶，用天平至少称3次才能保证找到次品，选项说法错误； C．45÷12＝3……9 3＋1＝4（人） 六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日，说法正确； D．第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 4分钟最多能通知15人，选项说法错误。 正确的是六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日。 故答案为：C 考点讲练04：租船问题 【典例精讲】一个旅游团共25人到宾馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），一共有多少种不同的安排？在表中填一填。 3人间个数 2人间个数 如果一个3人间每天的住宿费是240元，一个2人间每天的住宿费是200元，这个旅游团每天的住宿费最少是多少元？ 【答案】4种，填表见详解； 2080元 【思路引导】根据题目要求，利用一一列举的方法，从尽量住3人间，不够的才住2人间开始，排除房间有空床的情况，再根据，对各种住房情况进行统计，找到合适的住宿方案即可。 【规范解答】方案一： （间） 方案二： （间） 方案三： （间） 方案四： （间） 填表如下： 3人间个数 7 5 3 1 2人间个数 2 5 8 11 方案一： （元） 方案二： （元） 方案三： （元） 方案四： （元） 答：这个旅游团每天住7个3人间和2个2人间最省钱，需要2080元。 【变式训练01】光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了( )辆大车，( )辆小车。 【答案】 2 1 【思路引导】分析题目，先用老师的人数加上少先队员的人数求出总人数，再设租了x辆大车，租了y辆小车，根据等量关系式：大车的数量×36＋小车的数量×24＝总人数列出方程，并进一步求出x和y的关系式，最后依次代入可能的x值求出对应的y值，再根据x、y都大于0且为整数解答即可。 【规范解答】94＋2＝96（人） 解：设租了x辆大车，租了y辆小车。 36x＋24y＝96 36x÷12＋24y÷12＝96÷12 3x＋2y＝8 当x＝1时， 3×1＋2y＝8 3＋2y＝8 2y＝8－3 2y＝5 2y÷2＝5÷2 y＝2.5 因为x和y都必须是整数，所以不符合条件，舍去； 当x＝2时， 3×2＋2y＝8 6＋2y＝8 2y＝8－6 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 因为x和y都是整数，所以符合条件，即租了2辆大车，1辆小车。 光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了2辆大车，1辆小车。 【变式训练02】某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的国家足球队加油。可租用的汽车有两种：A种每辆可乘8人，B种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。 （1）请写出3种不同的租车方案。 （2）若A种车子的租金是300元每天，B种车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。 【答案】（1）方案1：租4辆A车1辆B车； 方案2：租3辆A车3辆B车； 方案3：租2辆A车5辆B车。（答案不唯一） （2）租4辆A车1辆B车；采用这种租车方案的花费是四种方案中最省钱的。 【思路引导】（1）先假设都租A车，需要A、B车各几辆；再每次减少1辆A车，并且满足车子不留空位的条件下，需要B车几辆，据此分析出租车的方案； （2）根据（1）中的方案，计算租金，比较出最省钱的方案。 【规范解答】（1）36÷8＝4（辆）……4（人） 所以可以租4辆A车1辆B车； 若租3辆A车，还需要B车（36－8×3）÷4 ＝（36－24）÷4 ＝12÷4 ＝3（辆） 所以可以租3辆A车3辆B车； 若租2辆A车，还需要B车（36－8×2）÷4 ＝（36－16）÷4 ＝20÷4 ＝5（辆） 所以可以租2辆A车5辆B车； 若租1辆A车，还需要B车（36－8×1）÷4 ＝（36－8）÷4 ＝28÷4 ＝7（辆） 所以可以租1辆A车7辆B车。 故方案1：租4辆A车1辆B车；方案2：租3辆A车3辆B车；方案3：租2辆A车5辆B车。（答案不唯一） （2）4×300＋1×200 ＝1200＋200 ＝1400（元） 3×300＋3×200 ＝900＋600 ＝1500（元） 2×300＋5×200 ＝600＋1000 ＝1600（元） 1×300＋7×200 ＝300＋1400 ＝1700（元） 因为1700＞1600＞1500＞1400，所以最省钱的租车方案是租4辆A车1辆B车。 【变式训练03】游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 【答案】（1）年卡；过程见详解 （2）15次 【思路引导】（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳2×12＝24次。 方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量＝总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用； 方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费10元，那么游泳24次需另收费24×10＝240元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用； 再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算。 （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等；等量关系：单次卡每次的费用×次数＝年卡的费用＋每次游泳另外的收费×次数，据此列出方程，并求解。 【规范解答】（1）爸爸一年游泳：2×12＝24（次） 单次卡： 30×24＝720（元） 年卡： 300＋24×10 ＝300＋240 ＝540（元） 720＞540 答：年卡更划算。 （2）解：设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等。 30＝300＋10 30－10＝300 20＝300 ＝300÷20 ＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 考点讲练05：购票问题 【典例精讲】为加强爱国主义教育，提高思想道德素质，某校六年级220名师生要到武乡八路军太行纪念馆开展研学活动。 学校计划租用运输公司车辆，现有两种车辆可供选择： A．限乘50人的大巴车，每辆租金是1200元。 B．限乘35人的中巴车，每辆租金为1050元。 请你根据以上信息为本次活动的师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。 【答案】租3辆大巴车，2辆中巴车最省钱；5700元 【思路引导】根据单价＝总价÷数量，用每辆车的租金除以限乘的人数求出平均一人的价格，优先选择价钱少的车乘坐；即1200÷50＝24（元），1050÷35＝30（元），优先选择大巴车，总共220名，用220除以50求出能坐几辆大巴车，即220÷50＝4（辆）……20（人）剩下20人坐中巴车，计算出总价格；由于上一种中巴车还空15个座位，那么当大巴车减少一辆，租3辆，此时的人数是50×3＝150（人），220－150＝70（人），这时租两辆中巴车正好完全坐下，之后求出此时的价格，再比较即可。 【规范解答】1200÷50＝24（元） 1050÷35＝30（元） 30＞24，优先选择大巴车； 220÷50＝4（辆）……20（人） 即4辆大巴车，1辆中巴车，此时的价格： 4×1200＋1050 ＝4800＋1050 ＝5850（元） 50×3＝150（人） 220－150＝70（人） 70÷35＝2（辆） 当租3辆大巴车，2辆中巴车，此时的价格： 3×1200＋2×1050 ＝3600＋2100 ＝5700（元） 5700＜5850 答：租3辆大巴车，2辆中巴车最省钱；总租金是5700元。 【变式训练01】笑笑家与淘气家一共有6个成人和4个儿童，他们都准备在采摘园吃午饭。餐厅提供了以下两种午餐标准。怎样最省钱？最少花了多少钱？ （1）算一算，比一比。 （2）选一选，比一比。在正确的答案下面画“√”。 标准二与标准一相比，每个成人少花10元，每个儿童多花10元。成人的数量比儿童的数量（多/少），所以标准二的总价比标准一的总价（多/少）。 （3）想一想，比一比。如果把标准一与标准二合起来用，会不会更省钱呢？最少花多少钱？ 【答案】（1）（2）见详解 （3）会；260元 【思路引导】（1）只选标准一的午餐总价＝成人的人数×成人的费用＋儿童的人数×儿童的费用；只选标准二的午餐总价＝团体费用×成人和儿童的总人数；依此计算出需要的钱数并比较即可解答。 （2）标准二与标准一相比，每个成人少花10元，每个儿童多花10元。因为成人有6人，儿童有4人，成人数量比儿童数量多，成人节省的总费用大于儿童多花的总费用，所以标准二的总价比标准一的总价少。 （3）把标准一与标准二合起来用，让6个成人组成团体，按标准二收费，花费6×30＝180（元），剩下的儿童，按标准一儿童价收费，花费4×20＝80（元）， 总共花费180＋80＝260（元），与标准二相比看会不会更省钱。 【规范解答】 （1） （2）标准二与标准一相比，每个成人少花10元，每个儿童多花10元。成人的数量比儿童的数量，所以标准二的总价比标准一的总价。 （3）6×30＝180（元） 4×20＝80（元） 180＋80＝260（元） 260＜300 答：会更省钱，最少花260元。 【变式训练02】国际影城的影片告示如表所示： 片名 《战狼3》 购票方式 成人票100元/人 儿童票40元/人 团体5人以上（含5人）70元/人 现在有成人6人，儿童4人，请你算一算，怎样购票最省钱？ 【答案】见详解 【思路引导】团体票要比成人票价便宜，又比儿童票贵，所以有3种购票方式：①直接购买，用成人的人数乘成人票价加上儿童的人数乘儿童票价即可；②全买团体票，用总人数乘团体票价即可；③6个成人买团体票，用6乘团体票价求出这6人的门票钱，4个儿童买儿童票，团体票和儿童票的门票钱相加即可；最后比较3种购票方式哪个最省钱即可。 【规范解答】①6×100＋4×40 ＝600＋160 ＝760（元） ②（6＋4）×70 ＝10×70 ＝700（元） ③6×70＋4×40 ＝420＋160 ＝580（元） 580＜700＜760 答：6个成人购买团体票，4个儿童买儿童票最省钱，一共要付580元。 【考点评析】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 【变式训练03】某校老师带领该班学生去旅游，A旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠。B旅行社说：包括老师在内按六折优惠。若每张全票价是280元，则（1）学生数多少时，两家旅行社收费一样多？（2）该校老师今年准备带5名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因。 【答案】（1）4人 （2）A旅行社 【思路引导】（1）半折就是50%，六折就是60%，设学生人数是人时，两旅行社收费一样，由题意可知等量关系式一张全票价＋全票价×50%×学生人数＝全票价×60%×（学生人数＋1），据此列方程并求解即可。 （2）当时，分别计算两家旅行社的费用，比较大小即可得解。 【规范解答】（1）解：设学生人数是人时，两旅行社收费一样。 答：学生数4人时，两家旅行社收费一样多。 （2） （元） （元） 答：选择A旅行社便宜。 【考点评析】考查方程的应用，关键找出等量关系，列方程，再求解。 基础夯实巩固练 1．小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（    ）分钟。 A．21 B．25 C．26 【答案】B 【思路引导】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地、擦家具，可节约6＋10＝16分钟，然后再晾衣服，所以做完这件事至少需要（20＋5）分钟，据此解答。 【规范解答】根据分析：20＋5＝25（分钟），所以做完这些至少要花费25分钟。 故答案为：B 【考点评析】本题考查了优化问题，要明白哪些事情要先做，哪些事情可以同时做。 2．煮一个鸡蛋需要8分钟，一口锅一次最多可以煮20个鸡蛋，那么煮14个鸡蛋至少要（    ）分钟。 A．72 B．280 C．160 D．8 【答案】D 【思路引导】一口锅一次最多可以煮20个鸡蛋，14个鸡蛋可以一次煮完，据此解答。 【规范解答】14＜20 煮一个鸡蛋需要8分钟，一口锅一次最多可以煮20个鸡蛋，一次同时煮14个鸡蛋是同样的时间，至少需要8分钟。 故答案为：D 【考点评析】本题考查优化问题，理解14个鸡蛋是同时煮的，从而得解。 3．小明要给爸爸沏杯茶，烧水8分钟，洗茶杯1分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶要1分钟，要让爸爸尽快喝到茶至少要（    ）分钟才能把茶沏好。 A．9 B．10 C．11 【答案】B 【思路引导】由题意可知，洗茶杯和找茶叶共需1＋1＝2（分钟），烧水的过程需要8分钟，因此可在等待烧水的过程中完成洗茶杯与找茶叶这两项任务。据此即可求解。 【规范解答】1（接水）＋8（烧水、洗茶杯、找茶叶）＋1（沏茶）＝10（分钟） 故答案为：B 【考点评析】此题为时间优化问题，最主要找到烧水的同时洗茶杯、找茶叶即可达到最优化状态。 4．假期的一天，小红想帮妈妈做家务：用洗衣机洗衣服（20分钟），扫地（6分钟），擦家具（10分钟），晾衣服（5分钟）。经过合理安排，她做完这些事情至少要用( )分钟。 【答案】25 【思路引导】根据题意，洗衣机洗衣服的同时，可以扫地、擦家具，最后晾衣服，由于扫地和搬家具用的时间比洗衣机洗衣服的时间要短，所以做完这些事情至少要用的时间只需计算洗衣机洗衣服的时间加上晾衣服的时间。 【规范解答】20＋5＝25（分钟） 经过合理安排，她做完这些事情至少要用25分钟。 【考点评析】本题考查优化问题，合理安排时间要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 5．东东放学后帮妈妈做以下几件事：收衣服3分钟，洗菜4分钟，烧水8分钟，泡茶2分钟。他做完这些事至少需要( )分钟。 【答案】10 【思路引导】东东帮妈妈做的这几件事，其中烧水所需要的时间最多，所以东东可以先烧水，在烧水期间可以洗衣服和洗菜，最后再泡茶，这样可以节约时间，据此解答。 【规范解答】根据分析题目可得：先烧水，烧水的同时收衣服、洗菜，最后泡茶，这样至少用的时间为：8＋2＝10（分钟），所以他做完这些事至少需要10分钟。 【考点评析】本题主要考查的是合理安排时间问题，解答本题的关键是要把握既节约时间又不使每道工序相矛盾。 6．东方旅行社在六一儿童节期间，推出下面两种优惠方案。 第一种：景园一日游 大人每位160元 小孩每位40 第二种：景园一日游 团体5人以上（含5人） 每位100元 下列情况选哪种方案省钱？ （1）3个大人，2个小孩。 （2）1个大人，7个小孩。 （3）6个大人，3个小孩。 【答案】（1）方案二省钱； （2）方案一省钱； （3）方案二省钱。 【思路引导】第一种方案，根据单价×数量＝总价，分别计算出大人票和小孩票需要的钱，再相加得出一共需要的钱。 第二种方案，团体5人以上（含5人），按每人100元，观察题中3＋2＝5（人），1＋7＝8（人），6＋3＝9（人），即都满足方案二条件，根据单价×数量＝总价，直接计算出一共需要的钱。 将两种方案需要的钱数计算出来比大小，钱少的也就是更省钱。 【规范解答】（1）方案一：160×3＋40×2＝480＋80＝560（元） 方案二：100×（3＋2）＝100×5＝500（元） 500元＜560元 答：方案二省钱。 （2）方案一：1×160＋7×40＝160＋280＝440（元） 方案二：100×（1＋7）＝100×8＝800（元） 440元＜800元 答：方案一省钱。 （3）方案一：160×6＋40×3＝960＋120＝1080（元） 方案二：100×（6＋3）＝100×9＝900（元） 900元＜1080元 答：方案二省钱。 7．李老师全家7人在火锅店用餐，人均消费80元，该火锅店推出两种优惠方式： 方式一：在某App平台购买68元抵100元的代金券，不满100元的部分按实际支付。（如消费340元，其中300元可用代金券，其余40元不享受任何优惠） 方式二：店内现金支付享八折优惠。 请通过计算说明李老师一家选择哪种优惠方式更划算。 【答案】方式一更划算 【思路引导】人均80元，一共有7人，所以一共消费560元，按第一种方式结算可以买5个68元的代金券，额外再支付60元即可；第二种方式结算就是按560元的80%支付，分别计算两种方式的付款金额，比较大小即可知道哪种方式更加优惠了。 【规范解答】方案一：（元） （元） 方案二：（元） （元） 所以方案一更划算。 【考点评析】考查折扣的相关知识，要会计算打折后的价格。 8．某品牌的旅游鞋搞促销活动，在A商场按“每满100元减40元”的方式销售，在B商场打六折销售，妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋。 （1）在A、B两个商场买各应付多少钱？ （2）选择哪个商场更省钱？A、B两个商场的价格相差多少钱？ 【答案】（1）A商场：80元；B商场：72元； （2）B商场；8元 【思路引导】（1）A商场：按“每满100元减40元”的方式销售，买一双标价120元的旅游鞋，已满100元，用120元减去40元，即是优惠后的价格； B商场：六折相当于60%，用标价120元乘60%，即可求出优惠后的价格。 （2）比较两个商场优惠后的价格，即可求出在B商场买旅游鞋更省钱，再用A商场买旅游鞋优惠后的价格减去在B商场买旅游鞋优惠后的价格，即可求出A、B两个商场的价格相差多少钱。 【规范解答】（1）A商场：120－40＝80（元） B商场：120×60%＝72（元） 答：在A商场买旅游鞋应付80元，在B商场买旅游鞋应付72元。 （2）80元＞72元 选择B商场。 80－72＝8（元） 答：选择B商场更省钱，A、B两个商场的价格相差8元。 【考点评析】最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出两种方案优惠后的价格，再进行比较。 9．王老师家的冰箱旧了，想换一台。他到商场看中了一款新冰箱，标价2490元。同时他了解到商场有一个活动叫“家电下乡，以旧换新”，这款冰箱正好参与这个活动。活动办法：商场将王老师家的旧冰箱折价40元回收，同时新冰箱的价格打九折。如果旧冰箱不回收，则不享受任何优惠政策。王老师回家后又去问了旧货市场，得知他这台冰箱可以卖250元。你觉得王老师选择什么方案比较好？ 【答案】选择回收旧冰箱的方案 【思路引导】方案一：九折＝90%，用新冰箱的原价×折扣求出打折后的价格，再减去旧冰箱折价后价钱40元，即可求出买新冰箱所花的钱； 方案二：将旧冰箱卖出，用新冰箱的原价减去250元，即是买新冰箱所花的钱；再进行比较即可得出更省钱的方案。 【规范解答】方案一：2490×90%－40 ＝2241－40 ＝2201（元） 方案二：2490－250＝2240（元） 2201元＜2240元 答：王老师选择将旧冰箱进行回收这个方案更划算。 【考点评析】最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出两种方案优惠后的价格，再进行比较。 10．森林运动会比赛采取三局两胜制，下表是两组选手在障碍跑中各自组内的成绩排名。乙组要想获胜，应该按（    ）策略安排比赛顺序。 第一名 第二名 第三名 甲组 猎豹0.9秒 鹿9.5秒 狗9.9秒 乙组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子—狗；羚羊—鹿；狮子—猎豹 B．兔子—鹿；羚羊—狗；狮子—猎豹 C．兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—鹿 D．兔子—猎豹；羚羊—鹿；狮子—狗 【答案】C 【思路引导】要想使第二组获胜的可能性更大，则应让乙组中第三名的兔子和甲组中的第一名猎豹比赛，让乙组中的第二名羚羊和甲组中的第三名狗比赛，让第二组中的第一名狮子和甲组中第二名鹿比赛，据此选择。 【规范解答】根据分析可知，乙组要想获胜，应该按兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—鹿策略安排比赛顺序。 故答案为：C 培优拔高强化练 11．旅行社推出“××风景区一日游”活动，如果小芸和小丽跟各自爸爸妈妈两个家庭六人一起去旅游，下面几种价格中最便宜的是第（    ）种。 A．双人游188元 B．家庭游275元（3人） C．成人票100元/张，学生票半价 D．团体游480元（6人） 【答案】D 【思路引导】分别计算出几种价格的实际总钱数，比较即可。 A．总人数÷2×双人游价格＝总钱数； B．家庭数×家庭游价格＝总钱数； C．成人数×成人票单价＋学生数×学生票单价＝总钱数； D．团体游6人共480元。 【规范解答】A．6÷2×188 ＝3×188 ＝564（元） B．2×275＝550（元） C．4×100＋2×（100÷5） ＝400＋2×50 ＝400＋100 ＝500（元） D．480元 480＜500＜550＜564 最便宜的是团体游480元（6人）。 故答案为：D 12．有一种传染性极强的病毒，携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过20分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．81 B．120 C．31 D．16 【答案】A 【思路引导】5分钟传染一次，20分钟可以传染次；第一个5分钟，从携带者传染开始，传染2人，这样共有3个传染源；第二个5分钟，3个传染源又传染给6个人，这个一共有9个传染源；依次类推，从而计算出第4个5分钟会有多少人感染。 【规范解答】病毒携带者1人； 第一次：2人，加上病毒携带者共3人； 第二次：6人，加上已感染者3人共9人； 第三次：18人，加上已感染者9人共27人； 第四次，54人，加上已感染者27人共81人。 由此可见，经过20分钟就会有81人感染这种病毒。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了创新意识与探索能力，开动脑筋认真思考，积极寻找解决问题的突破口，难题就会迎刃而解。 13．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要 分钟。 【答案】12 【思路引导】接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第2分钟通知1位老师，第4分钟通知1＋2＝3（位）老师，第6分钟通知3＋4＝7（位）老师，以此类推，通知到的人数大于或等于48即可。 【规范解答】第2分钟：1位 第4分钟：1＋2＝3（位） 第6分钟：3＋4＝7（位） 第8分钟：7＋8＝15（位） 第10分钟：15＋16＝31（位） 第12分钟：31＋32＝63（位） 63＞48 至少需要12分钟。 14．（如图）四年级180人去参加植树活动，现有大、小两种车型可以选择，租( )辆大客车和( )辆小客车最省钱。 【答案】 3 2 【思路引导】大客车限乘40人，租金是每辆1000元，每人平均1000÷40＝25（元）。小客车限乘30人，租金是每辆900元，每人平均900÷30＝30（元）。要想最省钱，应在保证满座的情况下尽量多的租大客车。用总人数除以每辆大客车限乘人数，求出租大客车数量，再结合余数判断是否租小客车，租几辆，据此分析。 【规范解答】1000÷40＝25（元） 900÷30＝30（元） 25＜30，所以租大客车划算。 180÷40＝4（辆）……20（人） 剩下的20人租一辆小客车，不能坐满。可以租3辆大客车。 180－40×3 ＝180－120 ＝60（人） 60÷30＝2（辆） 租3辆大客车和2辆小客车能全部坐满，最省钱。 15．学校举行数学知识竞赛，老师要通知学生一个重要信息，每1分通知一个人，接到通知的人继续通知下去，如此这样下去，通知28名同学需要( )分。 【答案】5 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个学生，第二分钟由老师和第一个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共1＋2＝3（个）学生，第三分钟可以推出通知的一共3＋4＝7（个）学生，以此类推，第四分钟通知的一共7＋8＝15（个）学生，第五分钟共通知（个）学生，31＞28，所以通知28名同学需要5分钟，由此问题解决。 【规范解答】第一分钟通知：1个 第二分钟通知：1＋2＝3（个） 第三分钟通知：3＋4＝7（个） 第四分钟通知：7＋8＝15（个） 第五分钟通知：15＋16＝31（个） 31＞28 所以通知28名同学需要5分。 16．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 （1）李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】（1）方式二 （2）15次 【思路引导】（1）分别计算出两种方式的实际钱数，比较即可。一年有12个月，方式一：单价×数量＝总价，每月次数×月数＝总次数，单价×总次数＝实际钱数；方式二：每次另外收费钱数×总次数，然后再加上240元的会员费是实际钱数。 （2）两种方式，游泳次数相同，每次相差16元，240元里面有几个16元，就有几次。 【规范解答】（1）方式一：30×（12×2） ＝30×24 ＝720（元） 方式二：240＋14×（12×2） ＝240＋14×24 ＝240＋336 ＝576（元） 720＞576 答：他选择方式二更划算。 （2）240÷（30－14） ＝240÷16 ＝15（次） 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 17．小明和妈妈去逛商场，发现某品牌的裤子标价200元，裙子标价230元，篮球鞋标价250元，跑步鞋标价180元。 A、B两个商场都在搞促销活动： A商场：打六折销售； B商场：“满100元减50元” 妈妈要买一双这种品牌的跑步鞋，小明要买一双篮球鞋。 （1）妈妈选的鞋子在A、B两个商场分别需要多少钱？ （2）这两双鞋怎样购买最省钱？ 【答案】（1）A商场108元；B商场130元 （2）两双鞋都在B商场购买 【思路引导】（1）A商场：将标价看作单位“1”，打六折销售就是按标价的60%销售，标价×折扣＝需要的钱数；B商场：求出跑步鞋标价包含几个100元，就用标价减去几个50元是实际需要的钱数。 （2）分别求出两双鞋子在两个商场实际需要的钱数，比较即可。A商场：将篮球鞋标价看作单位“1”，根据标价×折扣＝实际需要的钱数，求出A商场篮球鞋的实际钱数，与A商场跑步鞋的实际钱数相加，求出需要的总钱数；B商场：跑步鞋标价＋篮球鞋标价，求出两双鞋子的应付总钱数，再求出应付总钱数包含几个100元，就用应付总钱数减去几个50元是需要的总钱数。因为单独买跑步鞋是A商场便宜，再算一下在两个商场单独买篮球鞋的钱数，验证一下两双鞋分开买是否更便宜。 【规范解答】（1）A商场：180×60% ＝180×0.6 ＝108（元） B商场：180÷100＝1（个）……80（元） 180－50＝130（元） 答：在A商场买鞋子需要108元，在B商场需要130元。 （2）A商场：108＋250×60% ＝108＋250×0.6 ＝108＋150 ＝258（元） B商场：（250＋180）÷100 ＝430÷100 ＝4（个）……30（元） 430－50×4 ＝430－200 ＝230（元） 230＜258 单独买篮球鞋： A商场：250×60%＝250×0.6＝150（元） B商场：250÷100＝2（个）……50（元） 250－50×2 ＝250－100 ＝150（元） 单独买篮球鞋，两个商场钱数一样。因此将两双鞋都在B商场买，多一个“满100元减50元”更省钱。 答：两双鞋都在B商场购买最省钱。 18．“孔融让梨”体现了中华民族友爱孝悌，谦让待人的传统美德。一种游戏叫“孔融让梨”：有38根小棒，两人轮流拿，每次只能拿2根或3根，谁拿到最后一根谁获胜。如果让你先拿，为了确保获胜，第一次应该怎样拿？接下来应该怎样拿？ 【答案】3根；接下来应该怎样拿见详解 【思路引导】由题意可知，每次只能拿2根或3根，则先用38除以（2＋3），计算出商和余数，第一次我就拿余数所对应的根数，接下来只要使两个人拿的根数和为5根，那么就能保证最后一根是我拿的，依此解答。 【规范解答】（根） （次）……3（根） 答：第一次应该拿3根，接下来如果对手拿2根，我就拿3根；如果对手拿3根，我就拿2根，这样一定可以保证每次我拿的小棒数与对手拿的小棒数的和为5，我就可以拿到最后一根，从而获胜。 19．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【答案】（1）60平方米 （2）4天 （3）9名徒弟；1755元 【思路引导】（1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积－每名徒弟每天粉刷的面积＝每名师傅比徒弟一天多刷的面积，其中每名师傅每天粉刷的面积＝，每名徒弟每天粉刷墙面的面积＝，据此列出方程，并求解。 （2）由上一题分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，然后用总面积除以3名师傅和3名徒弟每天粉刷的面积和，即可求出所需的天数。 （3）先求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，再根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费。 【规范解答】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是平方米。 －＝20 ×12－×12＝20×12 3（8－40）－18＝240 24－120－18＝240 6－120＝240 6－120＋120＝240＋120 6＝360 6÷6＝360÷6 ＝60 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米。 （2）每名师傅每天粉刷墙面的面积为： ＝ ＝110（平方米） 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：110－20＝90（平方米） 40个这样的房间粉刷墙面需用时： （40×60）÷（110×3＋90×3） ＝2400÷（330＋270） ＝2400÷600 ＝4（天） 答：需要4天完成。 （3）40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： 40×60÷3 ＝2400÷3 ＝800（平方米） 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： 800÷110＝7（名）……30（平方米） 师傅需：7＋1＝8（人） 一天的费用：85×8＝680（元） 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： 800÷90＝8（名）……80（平方米） 徒弟需：8＋1＝9（人） 一天的费用：65×9＝585（元） 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （800－110×4）÷90 ＝（800－440） ÷90 ＝360÷90 ＝4（名） 一天的费用： 85×4＋65×4 ＝340＋260 ＝600（元） 585＜600＜680 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： 585×3＝1755（元） 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元。 【考点评析】（1）考查列方程解决问题，从题目中找出等量关系，按等量关系列出方程。 （2）求出每名师傅和每名徒弟的工作效率是解题本题的关键。 （3）先求出每天规定的工作量，再安排方案，根据每天的花费找出最佳方案。 20．亮亮在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。某天亮亮逛街，恰好赶上超市促销，超市A所有的商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返25元现金，（不足100元不返），但他只带了400元，若两家都可以选择，买一个随身听在哪一家购买较省钱？为什么？ 【答案】超市B；见详解 【思路引导】假设书包的单价是x元，根据数量关系：随身听的单价＝书包的单价×4－8，用字母表示随身听的单价，再根据随身听的单价＋书包的单价＝452，据此列出方程，解方程分别求出书包和随身听的单价。超市A：八折相当于80%，用随身听的单价乘80%求出超市A优惠后的价格；超市B：计算随身听的单价里面有多少个100元，就返多少个25元，用原价减去返还的现金，即可求出超市B优惠后的价格。比较两家超市优惠后价格即可得解。 【规范解答】解：设书包的单价是x元，则随身听的单价是（4x－8）元， 4x－8＋x＝452 5x－8＋8＝452＋8 5x＝460 5x÷5＝460÷5 x＝92 452－92＝360（元） 即随身听的单价是360元。 超市A：360×80%＝288（元） 超市B：360÷100≈3（个） 360－3×25 ＝360－75 ＝285（元） 285元＜288元 288－285＝3（元） 答：买一个随身听在超市B购买较省钱，因为在超市B购买比在超市A购买便宜3元。 【考点评析】此题主要考查通过数量关系列出方程，求出随身听的价格，同时考查了折扣问题，最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出两种方案优惠后的价格，再进行比较。 2 / 2 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