第一章：数的认识（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

该小学数学讲义聚焦小升初数的认识核心模块，涵盖整数、小数、因数倍数、分数、百分数及正负数等18个考点，通过知识点系统梳理、典例深度讲解、变式分层练习、真题实战演练四环节，帮助学生构建完整知识体系，掌握读写、比较、互化等关键技能。 亮点在于以核心素养为导向，如用计数器拨珠子理解整数组成培养抽象能力，借助短除法推导最大公因数发展推理意识，结合数轴表示正负数强化几何直观。真题演练贴合考情，教师可通过分层设计精准把握学生薄弱点，有效提升复习效率与应试能力。

2026年小升初数学复习讲练测 第一章：数的认识 （18大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 整数的认识 2 知识点02 小数的认识 3 知识点03 因数与倍数 5 知识点04 分数的认识 6 知识点05 百分数的认识 7 知识点06 正、负数的认识 8 （二）重难点题型讲解 考点01 整数的组成与读写法 8 考点02 整数的改写与近似数 10 考点03 整数的大小比较 12 考点04 因数与倍数 13 考点05 最大公因数与最小公倍数 15 考点06 2、5、3的倍数 16 考点07 奇数与偶数 18 考点08 质数与合数 20 考点09 小数的组成、读写法与分类 21 考点10 小数的性质 23 考点11 小数点的移动规律 24 考点12 分数的读写法、分类与大小比较 26 考点13 分数的基本性质 28 考点14 约分 29 考点15 通分 31 考点16 倒数 32 考点17 百分数的意义及读写法 34 考点18 百分数、小数和分数的互化及大小比较 35 考点19 负数的意义及读写法 37 考点20 正、负数在直线上的表示 39 （三）真题演练 真题演练 41 知识点01：整数的认识 1.整数的意义：像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。 2.整数的分类：整数包括正整数、0和负整数。 3.自然数：正整数和0统称自然数。 4.整数的组成 （1）整数由数位、计数单位、数级三部分组成，遵循十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是10。 （2）计数单位：表示数的大小的单位，如个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿… （3）数位：计数单位所占的位置，如个位、十位、百位、千位… （4）位数：一个整数有几个数位，就是几位数。 5.整数的读法和写法 （1）读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。 （2）写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 6.整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。 7.数的改写 （1）整万数改写：去掉末尾4个0，在后面加“万”字； （2）整亿数改写：去掉末尾8个0，在后面加“亿”字。 改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。 8.求近似数 （1）省略万位后面的尾数，看千位；省略亿位后面的尾数，看千万位。 （2）用“四舍五入法”判断：尾数最高位上的数＜5，直接舍去尾数，添上“万”/“亿”字；尾数最高位上的数≥5，向前一位进1，再舍去尾数，添上“万”/“亿”字。 【易错点拨】 （1）最小的正整数是1。 （2）最小的自然数是0。 （3）数的改写只改变书写形式，不改变数的大小；求近似数改变数的大小，只保留近似值。 知识点02：小数的认识 1.小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。 2.小数的组成 （1）小数的计数单位：小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……，相邻两个计数单位间的进率是10（十进制）。 （2）小数的数位顺序：小数点右边第一位是十分位，计数单位是0.1；第二位是百分位，计数单位是0.01；第三位是千分位，计数单位是0.001…… 3.小数的分类 根据小数部分，可以将小数划分为： ①有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 ②无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 ③循环小数：如果从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这个小数就是循环小数。依次不断重复出现的一个或几个数字，就是这个循环小数的循环节。 4.小数的读法和写法 （1）读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作 “点”，小数部分依次读出每一位上的数字。 （2）写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一位上的数字。 5.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，再比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位相同，再比较百分位，依次类推。 6.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 7.小数点的移动引起小数大小变化规律： （1）小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小为原来的、…… （2）小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大为原来的10倍、100倍、1000倍…… 8.小数的近似数和改写 （1）四舍五入法：看“要保留的数位的下一位”，判断舍或进。 （2）具体步骤： ①确定“保留的数位”； ②找到“保留数位的下一位”（保留一位小数，看百分位；保留两位小数，看千分位）； ③判断：下一位数字＜5，直接舍去末尾的数；下一位数字≥5，向前一位进1，再舍去末尾的数。 【易错点拨】 （1）改写和化简都不改变小数的大小，仅改变小数的书写形式。 （2）小数点移动时，若位数不够，用0占位。 （3）保留的小数位数中，末尾的0表示精确程度，不能随意去掉。 知识点03：因数与倍数 1.因数和倍数的概念：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2.因数和倍数的特征 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.2、3、5的倍数特征 （1）2的倍数的特征：自然数中个位上是0，2，4，6，8的数。 （2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数。 （3）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数。 （4）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （5）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （6）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （7）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 6.奇数和偶数 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 （3）奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 7.质数与合数 （1）质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （2）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （3）100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 8.最大公因数和最小公倍数 （1）公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 （2）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 （3）求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）0是最小的偶数；1是最小的奇数。 （3）最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 知识点04：分数的认识 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 3.分数的读法和写法 （1）读法：先读分母，再读分数线，最后读分子。带分数先读整数部分，再读分数部分。 （2）写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。带分数先写整数部分，再写分数部分。 4.分数与除法的关系：两个数相除，它们的商可以用分数表示，即。 5.分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 （2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 （3）带分数：由整数部分和真分数部分组成的分数叫做带分数。 6.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 7.约分和通分 （1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 约分时，把分数的分子、分母同时除以它们的公因数。 （2）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用几个分母的最小公倍数作公分母。 （3）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。 8.倒数 （1）定义：乘积是1的两个数互为倒数。 （2）求倒数的方法 ①分数的倒数：直接把分子和分母互换位置；带分数先化成假分数，再求倒数。 ②整数的倒数（0除外）：把整数看作分母是1的分数，再互换分子分母。 【易错点拨】 （1）分母（除数）不能为0，因为0不能作除数，分数中分母为0无意义。 （2）1的倒数是它本身。 （3）0没有倒数。 知识点05：百分数的认识 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而用“%”来表示。 2.百分数的读法：百分数先读分母，再读分子。百分号％读作“百分之”，不能读作“一百分之”。 3.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来分子的后面加上“％”来表示。 4.分数、小数、百分数的互化 （1）分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，在后面添上百分号。 （3）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （4）百分数化成分数：先把百分数改写成小数，再把小数化成分数，能约分的要约成最简分数。 【易错点拨】百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，无单位名称。 知识点06：正、负数的认识 1.负数的意义：为了表示相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等，引入了负数。负数是小于0的数，通常在数字前面加上“−”号表示。 2.正数与负数的定义 （1）大于0的数叫正数。正数有无数个，包括正整数，正分数和正小数。 （2）小于0的数叫负数。负数有无数个，包括负整数，负分数和负小数。 3.正负数的读、写方法 （1）读法：“＋”读作正，“－”读作负。读正数和负数时，按照从左到右的顺序，先读“正”或“负”，再读后面的数。如果正数前面的“＋”省略没写，那么读数时也不读出“正”字。 （2）写法：写正数和负数时，按照从左到右的顺序，先写“＋”或“－”，再写后面的数。通常情况下，“＋”可以省略不写，但“－”不能省略。 2.正、负数在直线上的位置规律 （1）正数：在0的右侧，距离原点几个单位长度，就表示正几； （2）负数：在0的左侧，距离原点几个单位长度，就表示负几； （3）所有数都能在直线上找到唯一对应的点（一一对应关系）。 （4）用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。 3.正、负数的大小比较 （1）负数＜0＜正数。 （2）两个负数比较大小，数字大的反而小。 【易错点拨】0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 考点01：整数的组成与读写法 【典型例题】如图，如果在计数器上再拨1颗珠子就可以得到数5000，计数器上原来的数不可能是（     ）。 A．3999 B．4990 C．4900 D．4000 【变式训练1】用三个0、三个8组成一个六位数，下列只要读出一个0的数是（     ）。 A．808080 B．800808 C．888000 D．808800 【变式训练2】一个五位数，最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，个位上的数字是十位上的数字的3倍，前三个数字之和与后三个数字之和都是11。这个五位数是多少？ 考点02：整数的改写与近似数 【典型例题】《哪吒之魔童闹海》的票房表现已刷新多项历史纪录，成为中国电影工业的里程碑式作品。截至2025年6月3日，影片全球累计票房已突破15859000000元，横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿。 【变式训练1】69☐689≈69万，☐里最大填（ ）。6☐5658919≈7亿，☐里最小填（ ）。 【变式训练2】地球上最大的海洋是太平洋，它的面积是179968000平方千米，横线上的数读作（ ），改写成“亿”作单位并保留一位小数约是（ ）亿平方千米。 考点03：整数的大小比较 【典型例题】4☐698＜45000，☐里可以填（ ）。442亿＜4☐8亿，☐里最小填（ ）。 【变式训练1】香港迪士尼乐园的占地面积是126公顷，北京故宫的占地面积是72万平方米，厦门鼓浪屿的占地面积是1.91平方千米。下列景点占地面积最大的是（     ）。 A．香港迪士尼乐园 B．北京故宫 C．厦门鼓浪屿 【变式训练2】用2、3、5这3个数字和3个0组成不同的六位数，组成的最大数与最小数之间的差是（     ）。 A．297000 B．331965 C．331947 考点04：因数与倍数 【典型例题】儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 【变式训练1】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是（ ）。 【变式训练2】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 考点05：最大公因数与最小公倍数 【典型例题】韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵（ ）人。 【变式训练1】36和20的最大公因数是（ ），15和9的最小公倍数是（ ）。 【变式训练2】把一张长60cm、宽48cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个这样的正方形？ 考点06：2、5、3的倍数 【典型例题】382至少加上（ ）就能被5整除，至少减去（ ）就能被2、3、5整除。 【变式训练1】由4，5，6三个数字可以组成（ ）个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是（ ），是5的倍数的是（ ），同时是3和5的倍数的是（ ）。 【变式训练2】▲表示一个不为0的数字，■表示0。下面组成的数字中，一定是2、3、5的公倍数的是（     ）。 A．▲▲▲■ B．▲■▲■ C．▲■■▲ D．▲■▲▲ 考点07：奇数与偶数 【典型例题】用分别写有数字1，2，3的三张卡片摆出一个三位数，是奇数的可能性（ ）是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 【变式训练1】六年级150名同学排成4排做体操，如果前3排的人数都是奇数，那么第4排的人数是奇数还是偶数？ 【变式训练2】找规律：1，1，2，3，5，8，13，（ ）……，前100个数中奇数有（ ）个。 考点08：质数与合数 【典型例题】甲乙两数的和是11，甲数是一个质数，乙数是一个合数，甲乙两数的乘积最小是（ ）。 【变式训练1】一个五位数，从高位到低位依次是最小的质数，最小的自然数，最小的合数，3的最小倍数，6的最大因数。这个数是（ ）。 【变式训练2】没有猜想就没有数学的发展。“孪生质数猜想”是著名数学猜想：如果两个质数的差是2，那么这两个质数称为孪生质数。下面四组数中，（     ）是孪生质数。 A．1和3 B．5和11 C．17和19 D．23和25 考点09：小数的组成、读写法与分类 【典型例题】一个数由3个1、5个0.01和7个0.001组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数保留一位小数约是（ ）。 【变式训练1】经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期国内游客出游总花费一千八百零二点六九亿元。横线上的数写作（ ）亿元，用四舍五入法省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿元。 【变式训练2】循环小数1.023482348…用简便方法记作（ ），它的小数部分第34位上的数字是（ ）。 考点10：小数的性质 【典型例题】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个（ ），右边的“3”表示3个（ ）。不改变253.3的大小，改写成三位小数是（ ）。 【变式训练1】3.5和3.50（     ）。 A．大小相等，计数单位相同 B．计数单位不同，大小也不相等 C．大小相等，计数单位不同 【变式训练2】不改变数的大小，下列各数中所有的“0”都能去掉的是（     ）。 A．0.600 B．3.50 C．12.030 D．160 考点11：小数点的移动规律 【典型例题】甲数的小数点向左移动一位后就与乙数的相等，甲、乙两数的差是16.9，甲、乙两数的和是（ ）。 【变式训练1】一个小数，如果把它的小数点向右移动一位，就比原来多1.98。这个小数是多少？ 【变式训练2】海海在计算一个一位小数减5.2时，把这个一位小数的小数点看漏了得到的结果是75.8，正确的结果应是多少？ 考点12：分数的读写法、分类与大小比较 【典型例题】一瓶牛奶，已经喝了，还剩升。喝了的与剩下的相比较，（     ）。 A．喝了的多 B．剩下的多 C．一样多 D．无法比较 【变式训练1】把吨的沙子平均分成5份，每份是这堆沙子的，每份重吨。 【变式训练2】a、b、c都大于0，且a×＝b×＝c÷，把a、b、c从大到小的顺序排列是（ ）。 考点13：分数的基本性质 【典型例题】不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？ 【变式训练1】若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 【变式训练2】一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就（     ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 考点14；约分 【典型例题】一个最简分数，分子缩小为原来的，分母扩大到原来的3倍，化简后得。这个最简分数是多少？ 【变式训练1】把50克糖放在1千克水中，糖占糖水的（     ）。 A． B． C． 【变式训练2】a和b是小于100的两个不同的正整数。那么的最大值是（ ）。 考点15；通分 【典型例题】在括号里填上符合要求的最大整数。              ＜1 【变式训练1】先通分再比较大小。 和         和         和 【变式训练2】今天的语文作业是背诵古诗《山居秋暝》《渔歌子》和《枫桥夜泊》。背会这三首诗，淘气用了时，笑笑用了时，妙想用了时，（     ）背得最快。 A．淘气 B．笑笑 C．妙想 D．无法确定 考点16；倒数 【典型例题】若a、b互为倒数，则2025－2ab＝（ ）；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2025－2ab＝（ ）。 【变式训练1】1.25的倒数是（ ），最小的合数的倒数的倒数是（ ）。 【变式训练2】如果m与n互为倒数，那么（ ）。 考点17：百分数的意义及读写法 【典型例题】甲数由3个0.1和8个1%组成，甲数用百分数表示是（ ），读作（ ）。 【变式训练1】某超市为筹备店庆活动，提前采购了一批应季商品。其中香蕉的实际采购量是计划采购量的95%，苹果的实际采购量是计划采购量的百分之一百三十，95%读作（ ），百分之一百三十写作（ ）。 【变式训练2】我国用长征五号遥五运载火箭成功发射嫦娥五号探测器，并将其顺利送入预定轨道。长征五号遥五运载火箭的起飞总质量约870吨，其中嫦娥五号探测器质量约占1%，1%表示（ ）。 考点18：百分数、小数和分数的互化及大小比较 【典型例题】根据图中阴影部分与整个图形的关系填写下面的等式： ＝6∶（     ）＝（     ）%＝（     ）÷24。 【变式训练1】（     ）（填小数）（     ）。 【变式训练2】在、0.3、33.3%、3.3这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 考点19：负数的意义及读写法 【典型例题】牛奶盒上标有“360mL±5mL”。下面说法正确的是（     ）。 ①每盒牛奶都是360mL        ②最多和最少相差10mL ③一盒345mL的牛奶符合要求    ④一盒牛奶最多365mL A．①②③ B．①②④ C．②④ D．③④ 【变式训练1】下面说法不正确的是（     ）。 A．﹣读作负二分之三 B．﹣12℃比﹣3℃的温度低 C．在﹣1和﹣5之间只有3个负数 【变式训练2】教育局在进行全县四年级数学抽测成绩分析时，把全县平均分78分记作0，那么A校平均分是69分应该记作（ ）分，B校平均分是92分应该记作（ ）分。 考点20：正、负数在直线上的表示 【典型例题】如下图，直线上有三个点A，B，C。 （1）点B表示的数是（ ）。 （2）A，B，C三个点表示的数按从小到大的顺序排列是（ ）。（填字母） （3）若将点A向右移动2个单位长度，这时点A表示的数是（ ）。 （4）若将点C先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点C表示的数是（ ）。 【变式训练1】在下图所示的直线上，点A到0的距离为2，点A表示的数可能是（ ）或（ ）；点B到0的距离为3，点A与点B的距离可能是（ ）。 【变式训练2】小乌龟以0为起点，向东为正，向西为负，直线上每格代表1m。 （1）小乌龟向西爬行了2m到达大象家。请用“△”标出大象家的位置。 （2）小乌龟又从大象家出发，向东爬行了7m到达小狗家。请用“○”标出小狗家的位置。 一、选择题 1．下面各图的涂色部分不能用表示的是（    ）。 A． B． C． D． 2．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（     ）。 A．加上20 B．加上6 C．扩大到原来的2倍 D．增加3倍 3．宁德市东侨文化体育馆预计在2027年第三季度建成，总投资数额巨大，省略亿位后面的尾数约是4亿元。这个数额可能是（     ）。 A．A B．B C．C D．D 4．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（     ）。 A． B． C． D． 5．如果把10吨规定为标准质量，11吨记作为﹢1吨，则下列说法中错误的是（     ）。 A．8吨记作﹢8 B．15吨记作﹢5吨 C．6吨记作﹣4吨 D．5 吨记作﹣5吨 6．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（     ）。 A．加上20 B．加上2 C．扩大到原来的2倍 D．增加3倍 7．a和b是两个大于0的整数，a是b的4倍，a和b的最小公倍数是（     ）。 A．2 B．b C．4 D．a 8．一个小数，如果小数点向右移动一位，比原数多9.45，原数是（     ）。 A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 9．在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（     ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 10．下面4个分数中，分数值最大的是（     ）。（其中x是不为0的自然数） A． B． C． D． 二、填空题 11．地球表面陆地面积是149000000平方千米，把这个数改写成用“亿”作单位的数是（ ）亿平方千米；海洋面积是361000000平方千米，把这个数省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿平方千米。 12．把一袋重2千克的糖果平均分给5个小朋友，每人分得这袋糖果的，是（     ）千克。 13．如果汽车前进200m记为﹢200m，那么后退150m记作（ ）m。 14．的分数单位是（ ），加上（ ）个这样的分数单位后正好是最小的质数。 15．作为“中原粮仓”的河南省，2023年夏小麦总产量为三千五百四十九万七千三百吨，占全省粮食年产量的五成四。 （1）文中横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万吨，保留整数约是（ ）万吨。 （2）文中画波浪线上的数改写成百分数是（ ）。 （3）如果某粮仓买入100吨小麦，记作﹢100吨，那么粮仓卖出200吨小麦记作（ ）吨。 16．八亿六千五百万平方千米，写作（ ）平方千米，改写成用亿平方千米为单位的数是（ ）平方千米，省略亿后面的尾数大约是（ ）平方千米。 17．某地某日的气温为﹣4～5℃，这一天的温差是（ ）℃。 18．7∶（     ）＝21÷（     ）＝＝0.875＝（     ）%。 19．把87.5%、、和0.869这四个数按从大到小的顺序排列。排在第二位的数是（ ）。 20．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是（ ）。 21．已知是质数，也是质数，则（ ）。 22．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是（ ）。 23．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是（ ）月（ ）日。 24．已知，＝（ ）。 25．已知（a、b、c均不为0），a、b、c这三个数中最小的是（ ）。 三、解答题 26．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 27．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 28．对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公因数的差，定义为a☆b，即a☆b＝[a，b]－（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公因数是2，那么10☆14＝70－2＝68。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆x＝27，求x的值。 29．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（     ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（     ），点B所表示的数是（     ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 30．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层。4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话。” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯。” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话。” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯。” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯。那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第一章：数的认识 （18大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 整数的认识 2 知识点02 小数的认识 3 知识点03 因数与倍数 5 知识点04 分数的认识 6 知识点05 百分数的认识 7 知识点06 正、负数的认识 8 （二）重难点题型讲解 考点01 整数的组成与读写法 8 考点02 整数的改写与近似数 10 考点03 整数的大小比较 12 考点04 因数与倍数 13 考点05 最大公因数与最小公倍数 15 考点06 2、5、3的倍数 16 考点07 奇数与偶数 18 考点08 质数与合数 20 考点09 小数的组成、读写法与分类 21 考点10 小数的性质 23 考点11 小数点的移动规律 24 考点12 分数的读写法、分类与大小比较 26 考点13 分数的基本性质 28 考点14 约分 29 考点15 通分 31 考点16 倒数 32 考点17 百分数的意义及读写法 34 考点18 百分数、小数和分数的互化及大小比较 35 考点19 负数的意义及读写法 37 考点20 正、负数在直线上的表示 39 （三）真题演练 真题演练 41 知识点01：整数的认识 1.整数的意义：像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。 2.整数的分类：整数包括正整数、0和负整数。 3.自然数：正整数和0统称自然数。 4.整数的组成 （1）整数由数位、计数单位、数级三部分组成，遵循十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是10。 （2）计数单位：表示数的大小的单位，如个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿… （3）数位：计数单位所占的位置，如个位、十位、百位、千位… （4）位数：一个整数有几个数位，就是几位数。 5.整数的读法和写法 （1）读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。 （2）写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 6.整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。 7.数的改写 （1）整万数改写：去掉末尾4个0，在后面加“万”字； （2）整亿数改写：去掉末尾8个0，在后面加“亿”字。 改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。 8.求近似数 （1）省略万位后面的尾数，看千位；省略亿位后面的尾数，看千万位。 （2）用“四舍五入法”判断：尾数最高位上的数＜5，直接舍去尾数，添上“万”/“亿”字；尾数最高位上的数≥5，向前一位进1，再舍去尾数，添上“万”/“亿”字。 【易错点拨】 （1）最小的正整数是1。 （2）最小的自然数是0。 （3）数的改写只改变书写形式，不改变数的大小；求近似数改变数的大小，只保留近似值。 知识点02：小数的认识 1.小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。 2.小数的组成 （1）小数的计数单位：小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……，相邻两个计数单位间的进率是10（十进制）。 （2）小数的数位顺序：小数点右边第一位是十分位，计数单位是0.1；第二位是百分位，计数单位是0.01；第三位是千分位，计数单位是0.001…… 3.小数的分类 根据小数部分，可以将小数划分为： ①有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 ②无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 ③循环小数：如果从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这个小数就是循环小数。依次不断重复出现的一个或几个数字，就是这个循环小数的循环节。 4.小数的读法和写法 （1）读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作 “点”，小数部分依次读出每一位上的数字。 （2）写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一位上的数字。 5.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，再比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位相同，再比较百分位，依次类推。 6.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 7.小数点的移动引起小数大小变化规律： （1）小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小为原来的、…… （2）小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大为原来的10倍、100倍、1000倍…… 8.小数的近似数和改写 （1）四舍五入法：看“要保留的数位的下一位”，判断舍或进。 （2）具体步骤： ①确定“保留的数位”； ②找到“保留数位的下一位”（保留一位小数，看百分位；保留两位小数，看千分位）； ③判断：下一位数字＜5，直接舍去末尾的数；下一位数字≥5，向前一位进1，再舍去末尾的数。 【易错点拨】 （1）改写和化简都不改变小数的大小，仅改变小数的书写形式。 （2）小数点移动时，若位数不够，用0占位。 （3）保留的小数位数中，末尾的0表示精确程度，不能随意去掉。 知识点03：因数与倍数 1.因数和倍数的概念：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2.因数和倍数的特征 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.2、3、5的倍数特征 （1）2的倍数的特征：自然数中个位上是0，2，4，6，8的数。 （2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数。 （3）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数。 （4）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （5）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （6）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （7）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 6.奇数和偶数 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 （3）奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 7.质数与合数 （1）质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （2）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （3）100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 8.最大公因数和最小公倍数 （1）公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 （2）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 （3）求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）0是最小的偶数；1是最小的奇数。 （3）最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 知识点04：分数的认识 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 3.分数的读法和写法 （1）读法：先读分母，再读分数线，最后读分子。带分数先读整数部分，再读分数部分。 （2）写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。带分数先写整数部分，再写分数部分。 4.分数与除法的关系：两个数相除，它们的商可以用分数表示，即。 5.分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 （2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 （3）带分数：由整数部分和真分数部分组成的分数叫做带分数。 6.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 7.约分和通分 （1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 约分时，把分数的分子、分母同时除以它们的公因数。 （2）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用几个分母的最小公倍数作公分母。 （3）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。 8.倒数 （1）定义：乘积是1的两个数互为倒数。 （2）求倒数的方法 ①分数的倒数：直接把分子和分母互换位置；带分数先化成假分数，再求倒数。 ②整数的倒数（0除外）：把整数看作分母是1的分数，再互换分子分母。 【易错点拨】 （1）分母（除数）不能为0，因为0不能作除数，分数中分母为0无意义。 （2）1的倒数是它本身。 （3）0没有倒数。 知识点05：百分数的认识 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而用“%”来表示。 2.百分数的读法：百分数先读分母，再读分子。百分号％读作“百分之”，不能读作“一百分之”。 3.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来分子的后面加上“％”来表示。 4.分数、小数、百分数的互化 （1）分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，在后面添上百分号。 （3）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （4）百分数化成分数：先把百分数改写成小数，再把小数化成分数，能约分的要约成最简分数。 【易错点拨】百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，无单位名称。 知识点06：正、负数的认识 1.负数的意义：为了表示相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等，引入了负数。负数是小于0的数，通常在数字前面加上“−”号表示。 2.正数与负数的定义 （1）大于0的数叫正数。正数有无数个，包括正整数，正分数和正小数。 （2）小于0的数叫负数。负数有无数个，包括负整数，负分数和负小数。 3.正负数的读、写方法 （1）读法：“＋”读作正，“－”读作负。读正数和负数时，按照从左到右的顺序，先读“正”或“负”，再读后面的数。如果正数前面的“＋”省略没写，那么读数时也不读出“正”字。 （2）写法：写正数和负数时，按照从左到右的顺序，先写“＋”或“－”，再写后面的数。通常情况下，“＋”可以省略不写，但“－”不能省略。 2.正、负数在直线上的位置规律 （1）正数：在0的右侧，距离原点几个单位长度，就表示正几； （2）负数：在0的左侧，距离原点几个单位长度，就表示负几； （3）所有数都能在直线上找到唯一对应的点（一一对应关系）。 （4）用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。 3.正、负数的大小比较 （1）负数＜0＜正数。 （2）两个负数比较大小，数字大的反而小。 【易错点拨】0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 考点01：整数的组成与读写法 【典型例题】如图，如果在计数器上再拨1颗珠子就可以得到数5000，计数器上原来的数不可能是（     ）。 A．3999 B．4990 C．4900 D．4000 【答案】A 【分析】逐项计算5000与该选项数字的差，如差是1、10、100、1000的即再拨1颗珠子就可以得到数5000。 【详解】A．，差是1001得再拨2颗珠子，所以计数器上原来的数不可能是3999。 B．，差是10在十位上再拨1颗珠子就可以得到数5000。 C．，差是100在百位上再拨1颗珠子就可以得到数5000。 D．，差是1000在千位上再拨1颗珠子就可以得到数5000。 故答案为：A 【变式训练1】用三个0、三个8组成一个六位数，下列只要读出一个0的数是（     ）。 A．808080 B．800808 C．888000 D．808800 【答案】A 【分析】亿以内数的读法：先读万级，再读个级，万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字，每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0，依此读出每个选项的数即可。 【详解】A.808080读作：八十万八千零八十，读了一个0，符合题意； B.800808读作：八十万零八百零八，读了两个0，不符合题意； C.888000读作：八十八万八千，一个0也不读，不符合题意； D.808800读作：八十万八千八百，一个0也不读，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练2】一个五位数，最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，个位上的数字是十位上的数字的3倍，前三个数字之和与后三个数字之和都是11。这个五位数是多少？ 【答案】44326 【分析】一个五位数，最高位是万位，最低位是个位，已知最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，即万位上是4、个位上是6；个位上的数字是十位上的数字的3倍，个位上数字除以3即可求出十位上的数字；前三个数字之和与后三个数字之和都是11，即个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝百位上的数字＋千位上的数字＋万位上的数字＝11，据此即可求出百位和千位上的数字，据此解答。 【详解】已知万位：4，个位：6， 十位： 百位： 千位： 答：这个五位数是44326。 考点02：整数的改写与近似数 【典型例题】《哪吒之魔童闹海》的票房表现已刷新多项历史纪录，成为中国电影工业的里程碑式作品。截至2025年6月3日，影片全球累计票房已突破15859000000元，横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿。 【答案】 1585900 159 【分析】将末尾有多于4个零的数改写成用“万”作单位，需要去掉末尾的四个零，再加上万字即可；省略“亿”后面的尾数，需要看千万位上的数字，根据四舍五入法求近似数。 【详解】15859000000＝1585900万，则横线上的数改写成用“万”作单位的数是1585900万。 原数15859000000的亿位是8，千万位是5，千万位上的数字等于5，根据四舍五入法，向亿位进1，亿位8变成9，则省略“亿”后面的尾数约是159亿。 【变式训练1】69☐689≈69万，☐里最大填（ ）。6☐5658919≈7亿，☐里最小填（ ）。 【答案】 4 5 【分析】第一空，是四舍五入到万位，需看千位上的数字。由于近似后是69万，说明千位上的数字小于5，因此☐里可填0、1、2、3、4，最大填4。第二空，是四舍五入到亿位，需看千万位上的数字。由于近似后是7亿，说明千万位上的数字大于或等于5，因此☐里可填5、6、7、8、9，最小填5。 【详解】（1）四舍五入到万位，看千位上的数字，近似后是69万，即690000，因此千位上的数字必须小于5，即☐＜5，可填0、1、2、3、4，所以☐里最大填4。 （2）四舍五入到亿位，看千万位上的数字，近似后是7亿，即700000000，因此千万位上的数字必须大于或等于5，即☐≥5，可填5、6、7、8、9，所以☐里最小填5。 【变式训练2】地球上最大的海洋是太平洋，它的面积是179968000平方千米，横线上的数读作（ ），改写成“亿”作单位并保留一位小数约是（ ）亿平方千米。 【答案】 一亿七千九百九十六万八千 1.8 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级都按照个级的读法来读，读完亿级读一个亿字，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 改写成“亿”作单位的数，在亿位的右下角点个小数点，并去掉末尾的0，同时末尾加个亿字，保留一位小数，看百分位上的数，百分位上的数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去。 【详解】179968000读作一亿七千九百九十六万八千；179968000≈1.8亿； 即地球上最大的海洋是太平洋，它的面积是179968000平方千米，横线上的数读作一亿七千九百九十六万八千，改写成“亿”作单位并保留一位小数约是1.8亿平方千米。 考点03：整数的大小比较 【典型例题】4☐698＜45000，☐里可以填（ ）。442亿＜4☐8亿，☐里最小填（ ）。 【答案】 0、1、2、3、4 4 【分析】根据题意，比较两个五位数4☐698和45000，从高位开始，万位相同，千位☐必须小于5才能使4☐698小于45000。比较442亿和4☐8亿，实际比较数字442和4☐8，两者都是三位数，百位相同，十位☐必须大于或等于4才能使442小于4☐8，因此最小填4。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 4☐698＜45000，☐里可以填0、1、2、3、4。442亿＜4☐8亿，☐里最小填4。 【变式训练1】香港迪士尼乐园的占地面积是126公顷，北京故宫的占地面积是72万平方米，厦门鼓浪屿的占地面积是1.91平方千米。下列景点占地面积最大的是（     ）。 A．香港迪士尼乐园 B．北京故宫 C．厦门鼓浪屿 【答案】C 【分析】1公顷＝10000平方米，1平方千米＝1000000平方米，1万平方米＝10000平方米，将各景点面积都换算成平方米后，即可比较大小。据此解答。 【详解】A．香港迪士尼乐园的占地面积是126公顷，126×10000＝1260000（平方米），所以126公顷＝1260000平方米； B．北京故宫的占地面积是72万平方米，72×10000＝720000（平方米），所以72万平方米＝720000平方米； C．厦门鼓浪屿的占地面积是1.91平方千米，1.91×1000000＝1910000（平方米），所以1.91平方千米＝1910000平方米。 1910000平方米＞1260000平方米＞720000平方米 所以景点占地面积最大的是厦门鼓浪屿。 故答案为：C 【变式训练2】用2、3、5这3个数字和3个0组成不同的六位数，组成的最大数与最小数之间的差是（     ）。 A．297000 B．331965 C．331947 【答案】B 【分析】要组成最大的六位数，需将最大的数字放在最高位，依次排列，得到532000；组成最小的六位数时，需将最小的非零数字放在最高位，然后尽可能将较小的数字（包括0）放在高位，得到200035。最后将最大的数与最小的数相减即可。 【详解】532000－200035＝331965 用2、3、5这3个数字和3个0组成不同的六位数，组成的最大数与最小数之间的差是331965。 故答案为：B 考点04：因数与倍数 【典型例题】儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 【答案】3种；分法见详解 【分析】先把36写成两个因数的积，求出36的所以因数，根据每组人数不少于4人，不多于10人，其中大于或等于4而小于或等于10的因数就是一组的人数，再用36分别除以每组的人数确定有几种分法即可。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36； 其中大于或等于4小于或等于10的因数有4、6、9； 36÷4＝9（组） 36÷6＝6（组） 36÷9＝4（组） 答：有3种分法；分法为：每组4人，分9组；每组6人，分6组；每组9人，分4组。 【变式训练1】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是（ ）。 【答案】5 【分析】因为15＝3×5，所以15的倍数的特征是个位是0或5，且各位上的数的和是3的倍数，1＋7＋5＝13，13不是3的倍数，13＋5＝18，18是3的倍数，1755是15的倍数，则添加的数是5。 【详解】1＋7＋5＝13 13＋5＝18 18÷3＝6 据分析可知，“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是5。 【变式训练2】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【详解】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 考点05：最大公因数与最小公倍数 【典型例题】韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵（ ）人。 【答案】633 【分析】题目中 “每五人一排余三人、每六人一排余三人、每七人一排余三人”，说明兵的总数减去 3 后，是 5、6、7 的公倍数。先求出 5、6、7 的最小公倍数，再找到 600 至 700 之间符合条件的数，最后加 3 得到兵的总数。 【详解】5，6，7的最小公倍数是210 （人） 韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵633人。 【变式训练1】36和20的最大公因数是（ ），15和9的最小公倍数是（ ）。 【答案】 4 45 【分析】解答这道题需明确：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的一个叫最大公因数；几个数公有的倍数叫公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。可以用短除法求出几个数的最大公因数和最小公倍数。据此解答。 【详解】根据分析： 36和20的最大公因数： 因为，所以36和20的最大公因数是4。 15和9的最小公倍数： 因为，所以15和9的最小公倍数是45。 【变式训练2】把一张长60cm、宽48cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个这样的正方形？ 【答案】（1）12厘米 （2）20个 【分析】 （1）要把长方形纸剪成大小相等且没有剩余的正方形，正方形的边长必须是60和48的公因数，求最长边长就是求60和48的最大公因数. （2）用长方形的长和宽分别除以最大公因数，再将所得的商相乘，即可求出可以剪多少个这样的正方形。 【详解】（1）60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 60和48的最大公因数是12。 答：正方形的边长最长是12厘米。 （2） （个） 答：可以剪20个这样的正方形。 考点06：2、5、3的倍数 【典型例题】382至少加上（ ）就能被5整除，至少减去（ ）就能被2、3、5整除。 【答案】 3 22 【分析】（1）能被5整除的数的特征是个位上是0或5。需要找到比382大，且个位是0或5的最小数； （2）能同时被2、3、5整除的数的特征是个位是0且各位数字之和是3的倍数，即能被30整除（2、3、5的最小公倍数是30）。需要找到比382小且是30的倍数的最大数。 【详解】（1）根据分析：比382大的，个位是0的数为390，个位是5的数为385；因为385＜390，所以最小的数是385；至少加上385－382＝3。 （2）比382小，且是30的倍数： 30×12＝360，30×13＝390；因为390＞382，所以最大的30的倍数是360；至少减去382－360＝22。 因此，382至少加上3就能被5整除，至少减去22就能被2、3、5整除。 【变式训练1】由4，5，6三个数字可以组成（ ）个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是（ ），是5的倍数的是（ ），同时是3和5的倍数的是（ ）。 【答案】 6 54、46、64、56 45，65 45 【分析】枚举法，不重不漏列举出所有组成的两位数， 5的倍数特点：个位上的数是5或0。 2的倍数特点：个位上的数是0、2、4、6、8。 3的倍数特点：各位上数的和是3的倍数。根据2、3、5倍数的特征对列举出的数进行分类。 【详解】组成两位数是：45、54、46、64、56、65； 个位是0、2、4、6、8的是：54、46、64、56，是2的倍数； 个位上的数是5或0的是：45、65； 个位上的数是5或0，同时各位上数的和一定是3的倍数的是：45。 由4，5，6三个数字可以组成6个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是54、46、64、56，是5的倍数的是45、65，同时是3和5的倍数的是45。 【变式训练2】▲表示一个不为0的数字，■表示0。下面组成的数字中，一定是2、3、5的公倍数的是（     ）。 A．▲▲▲■ B．▲■▲■ C．▲■■▲ D．▲■▲▲ 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．▲▲▲■的个位是0，且有3个▲，所以这个数一定是2、3、5的公倍数，符合题意； B．▲■▲■的个位是0，但只有2个▲，所以这个数是2、5的倍数，不是3的倍数，不符合题意； C．▲■■▲的个位不是0，且只有2个▲，所以这个数不是2、3、5的公倍数，不符合题意； D．▲■▲▲的个位不是0，有3个▲，所以这个数是3的倍数，不是2、5的倍数，不符合题意。 故答案为：A 考点07：奇数与偶数 【典型例题】用分别写有数字1，2，3的三张卡片摆出一个三位数，是奇数的可能性（ ）是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】奇数和偶数的定义（个位为1、3的数是奇数，个位为2的数是偶数）、排列组合、可能性大小比较。先列举1、2、3组成的所有三位数，区分奇偶性后统计数量，通过数量占比比较可能性大小。 【详解】所有三位数：123、132、213、231、312、321（共6个）； 奇数（个位为1、3）：123、213、231、321（共4个）；偶数（个位为2）：132、312（共2个）； 可能性计算： 奇数可能性： 偶数可能性： 因为，所以奇数的可能性大于偶数的可能性。 【变式训练1】六年级150名同学排成4排做体操，如果前3排的人数都是奇数，那么第4排的人数是奇数还是偶数？ 【答案】第4排的人数是奇数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数；偶数－偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。据此结合题意分析解答即可。 【详解】前3排的人数之和是：奇数＋奇数＋奇数＝奇数 150是偶数，第4排的人数是：偶数－奇数＝奇数 答：第4排的人数是奇数。 【变式训练2】找规律：1，1，2，3，5，8，13，（ ）……，前100个数中奇数有（ ）个。 【答案】 21 67 【分析】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【详解】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 考点08：质数与合数 【典型例题】甲乙两数的和是11，甲数是一个质数，乙数是一个合数，甲乙两数的乘积最小是（ ）。 【答案】18 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 一个质数，一个合数，它们的和是11，可能是9和2，8和3，7和4，6和5，求出它们的积，然后找出最小的即可。 【详解】2×9＝18 3×8＝24 4×7＝28 5×6＝30 18＜24＜28＜30 所以甲乙两数的乘积最小是18。 【变式训练1】一个五位数，从高位到低位依次是最小的质数，最小的自然数，最小的合数，3的最小倍数，6的最大因数。这个数是（ ）。 【答案】20436 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数，最小的质数是2； 最小的自然数是0； 合数是除了1和它本身还有其他因数的数，一位数中最小的合数是4； 3的最小倍数是3； 6的最大因数是6；据此解答。 【详解】根据分析可得：一个五位数，从高位到低位依次是最小的质数，最小的自然数，最小的合数，3的最小倍数，6的最大因数。这个数是20436。 【变式训练2】没有猜想就没有数学的发展。“孪生质数猜想”是著名数学猜想：如果两个质数的差是2，那么这两个质数称为孪生质数。下面四组数中，（     ）是孪生质数。 A．1和3 B．5和11 C．17和19 D．23和25 【答案】C 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。1既不是质数也不是合数；据此逐项分析。 【详解】A．1不是质数，不符合题意； B．5和11都是质数，但两个数的差不是2，不符合题意； C．17和19都是质数，两个数的差还是2，符合题意； D．25不是质数，不符合题意。 17和19是孪生质数。 故答案为：C 考点09：小数的组成、读写法与分类 【典型例题】一个数由3个1、5个0.01和7个0.001组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数保留一位小数约是（ ）。 【答案】3.057；三点零五七；3.1 【分析】3个1是3，5个0.01是0.05，7个0.001是0.007，即可写出这个小数是3.057； 读小数，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字； 保留一位小数，看小数点后面第二位小数（百分位），运用“四舍五入法”进行取近似值即可． 【详解】 一个数由3个1、5个0.01和7个0.001组成，这个数写作3.057，读作三点零五七，把这个数保留一位小数约是3.1。 【变式训练1】经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期国内游客出游总花费一千八百零二点六九亿元。横线上的数写作（ ）亿元，用四舍五入法省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿元。 【答案】 1802.69 1803 【分析】小数的写法：整数部分按整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一个数位上的数字。 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期国内游客出游总花费一千八百零二点六九亿元。横线上的数写作：1802.69亿元，用四舍五入法省略“亿”后面的尾数约是1803亿元。 【变式训练2】循环小数1.023482348…用简便方法记作（ ），它的小数部分第34位上的数字是（ ）。 【答案】 2 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 这个循环小数的循环节是2348，即周期，因为十分位上的0不在周期内，（总位数－1）÷周期，余数是几就是周期的第几个数字。 【详解】（34－1）÷4 ＝33÷4 ＝8……1 循环小数1.023482348…用简便方法记作，它的小数部分第34位上的数字是2。 考点10：小数的性质 【典型例题】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个（ ），右边的“3”表示3个（ ）。不改变253.3的大小，改写成三位小数是（ ）。 【答案】 一 十分之一 253.300 【分析】分析题目，根据数位知识可知：各个数位上的数字是几，就表示几个这样的计数单位，从小数点左边起，第一位是个位，计数单位是一（个），第二位是十位，计数单位是十，第三位是百位，计数单位是百……，小数点右边起第一位是十分位，计数单位是十分之一，第二位是百分位，计数单位是百分之一，第三位是千分位，计数单位是千分之一……然后根据小数的性质：在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，据此把253.3改写成三位小数即可。 【详解】253.3＝253.300 盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个一，右边的“3”表示3个十分之一。不改变253.3的大小，改写成三位小数是253.300。 【变式训练1】3.5和3.50（     ）。 A．大小相等，计数单位相同 B．计数单位不同，大小也不相等 C．大小相等，计数单位不同 【答案】C 【分析】小数的性质是小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；一位小数的计数单位是0.1，两位小数的计数单位是0.01，依此判断。 【详解】3.5＝3.50，3.5的计数单位是0.1，3.50的计数单位是0.01，所以3.5和3.50的大小相等，但计数单位不相同。 故答案为：C 【变式训练2】不改变数的大小，下列各数中所有的“0”都能去掉的是（     ）。 A．0.600 B．3.50 C．12.030 D．160 【答案】B 【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上或者去掉0，小数的大小不变。据此解答。 【详解】A．把0.600的所有的“0”都去掉，变成了6，6＞0.600； B．把3.50的所有的“0”都去掉，变成了3.5，3.5＝3.50； C．把12.030的所有的“0”都去掉，变成了12.3，12.3＞12.030； D．把160的所有的“0”都去掉，变成了16，16＜160； 不改变数的大小，下列各数中所有的“0”都能去掉的是3.50。 故答案为：B 考点11：小数点的移动规律 【典型例题】甲数的小数点向左移动一位后就与乙数的相等，甲、乙两数的差是16.9，甲、乙两数的和是（ ）。 【答案】22.1 【分析】甲数的小数点向左移动一位相当于甲数除以10，即甲÷10，除以一个数等于乘这个数的倒数，因此甲÷10＝甲×；已知甲数的小数点向左移动一位后就与乙数的相等，乙数的表示为乙×，因此甲×＝乙×； 根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得甲∶乙＝∶，根据比的基本性质，前项和后项同时乘20，将其化简为最简单的整数比，即甲∶乙＝15∶2； 已知甲、乙两数的差是16.9，即对应15－2＝13份，计算出1份的数值为16.9÷13＝1.3；甲、乙两数的和总共是15＋2＝17份，因此用1份的数乘17计算出17份的数值，即为甲、乙两数的和。 【详解】由题可知：甲×＝乙×，因此甲∶乙＝∶ ∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶2 16.9÷（15－2） ＝16.9÷13 ＝1.3 1.3×（15＋2） ＝1.3×17 ＝22.1 因此，甲、乙两数的和是22.1。 【变式训练1】一个小数，如果把它的小数点向右移动一位，就比原来多1.98。这个小数是多少？ 【答案】0.22 【分析】把一个小数的小数点向右移动一位即所得的数是原来的10倍，由题意知比原来多了1.98，也就是原数的（）倍是1.98，求原来的数用除法可求出答案。 【详解】 答：这个小数是0.22。 【变式训练2】海海在计算一个一位小数减5.2时，把这个一位小数的小数点看漏了得到的结果是75.8，正确的结果应是多少？ 【答案】2.9 【分析】根据题意，用5.2加上75.8，求出错误的被减数，然后再把错误的被减数的小数点向左移动一位，求出正确的被减数，再减去5.2即可。 【详解】 81的小数点向左移动一位得到正确的被减数是8.1。 答：正确的结果应该是2.9。 考点12：分数的读写法、分类与大小比较 【典型例题】一瓶牛奶，已经喝了，还剩升。喝了的与剩下的相比较，（     ）。 A．喝了的多 B．剩下的多 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【分析】把这瓶牛奶的总量看作单位“1”，已经喝了，则还剩下这瓶牛奶的（1－），比较喝了的与剩下的，得出结论。 【详解】还剩下这瓶牛奶的：1－＝ ＜ 喝了的与剩下的相比较，剩下的多。 故答案为：B 【变式训练1】把吨的沙子平均分成5份，每份是这堆沙子的，每份重吨。 【答案】， 【分析】求每份是这堆沙子的几分之几，平均分的是单位“1”，表示把单位“1”平均分成5份，求的是每一份占的分率；求每份的吨数，平均分的是具体的数量吨，表示把吨平均分成5份，求的是每一份的具体的数量；都用除法计算。 【详解】1÷5＝ ÷5 ＝× ＝（吨） 所以把吨的沙子平均分成5份，每份是这堆沙子的，每份重吨。 【变式训练2】a、b、c都大于0，且a×＝b×＝c÷，把a、b、c从大到小的顺序排列是（ ）。 【答案】c＞b＞a 【分析】观察发现三个算式的得数相等，可以设它们的得数都等于1；然后根据“因数＝积÷另一个因数”、“被除数＝商×除数”，分别求出a、b、c的值，比较大小，再按从大到小的顺序排列。 【详解】设a×＝b×＝c÷＝1； a＝1÷＝1×＝ b＝1÷＝1×＝ c＝1×＝ ＞＞，即c＞b＞a。 把a、b、c从大到小的顺序排列是（c＞b＞a）。 考点13：分数的基本性质 【典型例题】不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？ 【答案】5 【分析】表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，⋯都是自然数。0也是自然数，所有的自然数都是整数。 先将两个分数通分，使它们的分母是100，比较分数的大小，再确定方框中的数。 【详解】 因为 所以 所以□×5＜28 28÷5＝5.6 因为□是自然数，那么□最大填5。 【变式训练1】若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 【答案】30 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数不变；分子2加上12再除以2即可求出相当于乘几，用5乘这个数减去5即可求出分母应该加上几。 【详解】（2＋12）÷2 ＝14÷2 ＝7 5×7－5 ＝35－5 ＝30 即若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上30。 【变式训练2】一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就（     ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，当一个分数分母不变，分子缩小到原来的几分之一，那么分数值就缩小到原来的几分之一。据此解答。 【详解】一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就缩小到原来的。 故答案为：B 考点14；约分 【典型例题】一个最简分数，分子缩小为原来的，分母扩大到原来的3倍，化简后得。这个最简分数是多少？ 【答案】 【分析】可以采用倒推法来求解，从变化后的分数出发，逐步还原出原来的最简分数。已知分子缩小为原来的，分母扩大到原来的3倍，化简后得，那么要得到原最简分数，需要将变化过程逆向操作：首先，计算，这一步是将分母扩大3倍的操作倒推； 然后，用变化后得到的分数，这一步是将分子缩小为原来的操作倒推。 【详解】 这个最简分数是 【变式训练1】把50克糖放在1千克水中，糖占糖水的（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据“1千克＝1000克”，将单位进行统一；求糖占糖水的几分之几，把糖水的质量看作单位“1”，根据“求一个数占另一个数的几分之几，用除法”进行计算，用糖的质量除以糖水的质量，即可求出糖占糖水的几分之几。据此解答。 【详解】1千克＝1000克 50÷（1000＋50） ＝50÷1050 ＝ 即糖占糖水的。 故答案为：C 【变式训练2】a和b是小于100的两个不同的正整数。那么的最大值是（ ）。 【答案】/0.98 【分析】该分数的值取决于a和b的大小关系。当a ＞ b时，分数为正，且a与b的比值越大，分数值越大。因此，为使分数最大，a应取最大值，b应取最小值，且a≠b。 【详解】 的最大值是。 考点15；通分 【典型例题】在括号里填上符合要求的最大整数。              ＜1 【答案】15；5 【分析】先根据分数乘法计算出的值为，，分子相同，分母越小分数越大；据此求出括号内的最大值； 因为，要使结果＜1，所以要小于，根据分数的基本性质，分子分母同时乘5，分母相同时，分子大的数就大；据此求出括号内的最大值。 【详解】因为，，所以括号内最大整数为15； 因为，所以；，，所以，即，所以括号内最大整数为5； 【变式训练1】先通分再比较大小。 和         和         和 【答案】，，；，；，， 【分析】把异分母分数分别化为与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分；先找到分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质进行通分。之后根据同分母分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，据此解答即可 【详解】； 因为，所以； 因为，所以； ； 因为，所以。 【变式训练2】今天的语文作业是背诵古诗《山居秋暝》《渔歌子》和《枫桥夜泊》。背会这三首诗，淘气用了时，笑笑用了时，妙想用了时，（     ）背得最快。 A．淘气 B．笑笑 C．妙想 D．无法确定 【答案】C 【分析】通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 根据题意，比较、、的大小即可。异分母分数比较大小，先通分，再比较大小。谁用的时间最短，谁背得最快。 【详解】＝，＝，＝； 因为＜＜即＜＜，所以妙想背得最快。 故答案为：C 考点16；倒数 【典型例题】若a、b互为倒数，则2025－2ab＝（ ）；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2025－2ab＝（ ）。 【答案】 2023 2025 【分析】乘积为1的两个数互为倒数， 0没有倒数，1的倒数是它本身，据此解答。 【详解】若a、b互为倒数，则ab＝1， 2025－2ab ＝2025－2×1 ＝2025－2 ＝2023 若a没有倒数，b的倒数是它本身，a＝0，b＝1。 2025－2ab ＝2025－2×0×1 ＝2025－0 ＝2025 所以若a、b互为倒数，则2025－2ab＝2023；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2025－2ab＝2025。 【变式训练1】1.25的倒数是（ ），最小的合数的倒数的倒数是（ ）。 【答案】 4 【分析】本题考查倒数的概念。倒数定义为两个数相乘等于1，这两个数互为倒数。第一个空需要求1.25的倒数，先将1.25化为分数，再求倒数为；第二个空需要先确定最小的合数是4，然后求其倒数，再求的倒数，即4本身。 【详解】1.25的倒数是，最小的合数的倒数的倒数是4。 【变式训练2】如果m与n互为倒数，那么（ ）。 【答案】 【分析】先根据m与n互为倒数得出mn＝1，接着将​转化为分数除法运算​，计算分数除法时需要转化为分数乘法​，最后将mn＝1代入式子，计算得出最终结果​。 【详解】＝÷＝＝ 因为m与n互为倒数，即mn＝1 所以，＝＝。 考点17：百分数的意义及读写法 【典型例题】甲数由3个0.1和8个1%组成，甲数用百分数表示是（ ），读作（ ）。 【答案】 38% 百分之三十八 【分析】3个0.1是0.3，8个1%是8个0.01，也就是0.08，那么甲数可以写成一个小数，这个小数的个位是0，十分位是3，百分位是8，也就是0.38，把小数的小数点向右移动两位，末尾再添上百分号“%”，由此把小数转化为百分数，百分数的读法：先读分母，再读分子，读作“百分之……”，据此解答。 【详解】分析可知，甲数由3个0.1和8个1%组成，则甲数是0.38，甲数用百分数表示是38%，读作百分之三十八。 【变式训练1】某超市为筹备店庆活动，提前采购了一批应季商品。其中香蕉的实际采购量是计划采购量的95%，苹果的实际采购量是计划采购量的百分之一百三十，95%读作（ ），百分之一百三十写作（ ）。 【答案】 百分之九十五 130% 【分析】百分数的写法，先写出百分之后面的数，之后在这个数后面加%。 百分数的读法，先读“百分之”，再读百分号前面的数，百分号前面的数是整数的，按照整数读法来读；有小数点的，先读整数部分，再读点，再依次读出小数点后面的数。据此解答。 【详解】95%读作百分之九十五；百分之一百三十写作130%。 【变式训练2】我国用长征五号遥五运载火箭成功发射嫦娥五号探测器，并将其顺利送入预定轨道。长征五号遥五运载火箭的起飞总质量约870吨，其中嫦娥五号探测器质量约占1%，1%表示（ ）。 【答案】嫦娥五号探测器质量占火箭起飞总质量的百分之一 【分析】将火箭起飞总质量870吨看作单位“1”，1%表示嫦娥五号探测器质量占单位“1”的1%，即占火箭起飞总质量的百分之一。 【详解】长征五号遥五运载火箭的起飞总质量约870吨，其中嫦娥五号探测器质量约占1%，1%表示嫦娥五号探测器质量占火箭起飞总质量的百分之一。 考点18：百分数、小数和分数的互化及大小比较 【典型例题】根据图中阴影部分与整个图形的关系填写下面的等式： ＝6∶（     ）＝（     ）%＝（     ）÷24。 【答案】；16；37.5；9 【分析】设每个方格的边长为1，则整个长方形的长是4，宽是2，阴影三角形的两条直角边分别为3和2。 根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，求出阴影部分的面积和整个长方形的面积。 用阴影三角形的面积除以整个长方形的面积，求出阴影部分面积占整个图形面积的几分之几。再根据分数、比、除法、百分数之间的关系即可解答。 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。 分数化成小数，用分子除以分母即可。 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。 【详解】设每个方格的边长为1。 1×3＝3 1×2＝2 1×4＝4 阴影三角形的面积：3×2÷2＝3 整个图形的面积：4×2＝8 3÷8＝ ＝＝，＝6∶16 3÷8＝0.375＝37.5% ＝＝，＝9÷24 即＝6∶16＝37.5%＝9÷24。 【变式训练1】（     ）（填小数）（     ）。 【答案】9；30；0.6；60 【分析】根据分数与除法的关系，把3÷5写成分数形式，即3÷5＝；再根据分数的基本性质，分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不变来解答。 （1）分母由5变成15，15÷5＝3，相当于乘3，要使分数值不变，那分子也需要乘3，即3×3＝9； （2）分子由3变成18，18÷3＝6，相当于乘6，要使分数值不变，那分母也需要乘6，即5×6＝30； （3）分数化成小数，用分子除以分母即可； （4）小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时末尾加上百分号。 【详解】3÷5＝ （1）15÷5＝3 3×3＝9 （2）18÷3＝6 5×6＝30 （3）＝3÷5＝0.6 （4）0.6＝60% 因此，（0.6）（填小数）（60）%。 【变式训练2】在、0.3、33.3%、3.3这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【答案】 3.3 0.3 【分析】先把分数和百分数都化成小数，再根据小数比较大小的方法：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，依次比较下去，直到比较出大小为止；最后找出最大数和最小数即可。 【详解】＝3÷5＝0.6 33.3%＝0.333 因为3.3＞0.6＞0.333＞0.3，所以3.3＞＞33.3%＞0.3。 在、0.3、33.3%、3.3这四个数中，最大的数是3.3，最小的数是0.3。 考点19：负数的意义及读写法 【典型例题】牛奶盒上标有“360mL±5mL”。下面说法正确的是（     ）。 ①每盒牛奶都是360mL        ②最多和最少相差10mL ③一盒345mL的牛奶符合要求    ④一盒牛奶最多365mL A．①②③ B．①②④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据360mL±5mL的含义，表示这盒牛奶最多是（360＋5）mL，最少是（360－5）mL。据此分析四句话，找出正确即可。 【详解】360＋5＝365（mL） 360－5＝355（mL） 牛奶最少是355 mL，最多是365 mL。 ①每盒牛奶都是360mL ，是错误的，不一定每盒牛奶都是这个毫升数。 ②365－355＝10（mL），最多和最少相差10mL，是正确的。 ③345＜355，一盒345mL的牛奶符合要求，是错误的。 ④一盒牛奶最多365mL，是正确的。 所以说法正确的是②④。 故答案为：C 【变式训练1】下面说法不正确的是（     ）。 A．﹣读作负二分之三 B．﹣12℃比﹣3℃的温度低 C．在﹣1和﹣5之间只有3个负数 【答案】C 【分析】A．负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读； B．比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小； C．在﹣1和﹣5之间除了负整数﹣2、﹣3、﹣4以外，还有负小数、负分数，所以在﹣1和﹣5之间有无数个负数。 【详解】A．﹣读作负二分之三，原说法正确； B．12＞3，则﹣12＜﹣3，所以﹣12℃比﹣3℃的温度低，原说法正确； C．在﹣1和﹣5之间有无数个负数，原说法不正确。 故答案为：C 【变式训练2】教育局在进行全县四年级数学抽测成绩分析时，把全县平均分78分记作0，那么A校平均分是69分应该记作（ ）分，B校平均分是92分应该记作（ ）分。 【答案】 ﹣9 ﹢14/14 【分析】这道题的关键是理解“以全县平均分78分为基准记作0”的含义：以78分为基准，高于该分数的部分用正数表示，低于该分数的部分用负数表示，需要通过计算实际分数与基准数的差值来确定正负数。A校需用（）计算差值，B校需用（）计算差值。据此解答。 【详解】A校平均分69分，低于全县平均分，用负数表示。 （分） B校平均分92分，高于全县平均分，用正数表示。 （分） 所以A校平均分69分应该记作﹣9分，B校平均分92分应该记作﹢14分。 考点20：正、负数在直线上的表示 【典型例题】如下图，直线上有三个点A，B，C。 （1）点B表示的数是（ ）。 （2）A，B，C三个点表示的数按从小到大的顺序排列是（ ）。（填字母） （3）若将点A向右移动2个单位长度，这时点A表示的数是（ ）。 （4）若将点C先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点C表示的数是（ ）。 【答案】（1）﹣2 （2） （3）﹣1 （4）3 【分析】数学上，经常用带箭头的直线上的点表示数。右边的数是正数，左边的数是负数。 （1）点B表示的数在的左边，且在和正中间，即表示； （2）点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，0左边的数，离0越远，数字越小，据此比较大小即可； （3）点A表示的数是，向右移动2个单位长度，就到数的位置，即为此时A表示的数； （4）点C表示的数是2，向左移动4个单位到数的位置，再向右移动5个单位，又到数3的位置，即为此时点C表示的数；据此解答。 【详解】根据分析可得：（1）点B表示的数是 。 （2），则A，B，C三个点表示的数按从小到大的顺序排列是。 （3）若将点A向右移动2个单位长度，这时点A表示的数是。 （4）若将点C先向左移动4个单位长度，再向右移动个单位长度，这时点C表示的数是。 【变式训练1】在下图所示的直线上，点A到0的距离为2，点A表示的数可能是（ ）或（ ）；点B到0的距离为3，点A与点B的距离可能是（ ）。 【答案】 2 ﹣2 1或5 【分析】点A可能在原点的左侧，也可能在原点的右侧，所以点A表示的数可能是2或－2；A、B两点可能在原点的同侧，也可能在原点的两侧。 【详解】 所以点A到0的距离为2，点A表示的数可能是2或－2；点B到0的距离为3，点A与点B的距离可能是1或5。 【变式训练2】小乌龟以0为起点，向东为正，向西为负，直线上每格代表1m。 （1）小乌龟向西爬行了2m到达大象家。请用“△”标出大象家的位置。 （2）小乌龟又从大象家出发，向东爬行了7m到达小狗家。请用“○”标出小狗家的位置。 【答案】（1）、（2）见详解 【分析】（1）找准出发点（以0为起点），根据向西为负以及移动的距离2m，确定大象家的位置。 （2）找准出发点（从大象家出发），根据向东为正以及移动的距离7m，确定小狗家的位置。 【详解】（1）已知小乌龟以0为起点，向西为负，直线上每格代表1m，向西爬行了2m，那么大象家的位置就是0左边2格处，即﹣2的位置。在直线上找到﹣2对应的位置，标上“△”。 （2）大象家在﹣2处，小乌龟又从大象家出发，现在向东爬行7m，向东为正，直线上每格代表1m，那么小狗家的位置是0右边5格处。在直线上找到5对应的位置，标上“○”。 作图如下： 一、选择题 1．下面各图的涂色部分不能用表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数的意义，将一个图形平均分成4份，其中1份占这个图形的。据此逐项分析解答。 【详解】A.涂色部分表示； B．涂色部分表示，化简后是； C．涂色部分表示。 D．由于不是把这个图形平均分，涂色的1份不能用表示。 故答案为：D 2．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（     ）。 A．加上20 B．加上6 C．扩大到原来的2倍 D．增加3倍 【答案】A 【分析】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。先算出分子的变化情况（分子扩大的倍数），再根据分数基本性质确定分母的变化，进而得出分母应如何改变才能使分数大小不变。 【详解】计算分子变化倍数：原分子是3，分子加上6后变为3＋6＝9，9÷3＝3，即分子扩大到原来的3倍；确定分母的变化：根据分数基本性质，分母也应扩大到原来的3倍，原分母是10，扩大3倍后为10×3＝30。计算分母应增加的数：30－10＝20，即分母应该加上20。 故答案为：A 3．宁德市东侨文化体育馆预计在2027年第三季度建成，总投资数额巨大，省略亿位后面的尾数约是4亿元。这个数额可能是（     ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据题意，明确4亿＝400000000，一个数省略亿位后面的尾数约是4亿，最大是千万位上的数舍去得到的，舍去的数中4是最大的，其它数位上都是最大的一位数9即可，最小是千万位上的数进一得到的，进一的数中5是最小的，其它数位上都是最的小自然数0即可，进而找出这个数的取值范围，再进一步解答即可。 【详解】根据分析可知：4亿＝400000000 一个数省略亿位后面的尾数约是4亿，那么这个数最大是449999999，这个数最小是350000000，根据数轴上的数可得： A．A小于350000000，错误； B．B大于350000000，小于400000000，正确； C．C大于449999999，错误； D．D大于449999999，错误； 省略亿位后面的尾数约是4亿元。这个数额可能是B。 故答案为：B 4．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】质数是指只能被1和它本身整除的数，偶数是指个位上是0、2、4、6、8的数。据此依次分析选项得出答案。 【详解】A．，1不是质数，所以不符合。 B．，7是奇数，所以不符合。 C．，3和7都是质数，10是大于2的偶数，所以本选项符合哥德巴赫猜想。 D．，12是大于2的偶数，但9是合数，所以不符合。 故答案为：C 5．如果把10吨规定为标准质量，11吨记作为﹢1吨，则下列说法中错误的是（     ）。 A．8吨记作﹢8 B．15吨记作﹢5吨 C．6吨记作﹣4吨 D．5 吨记作﹣5吨 【答案】A 【分析】根据正负数的意义及应用，如果把10吨规定为标准质量，比10吨多记作正数，比10吨少记作负数，结合减法一一判断各个选项的正误即可。 【详解】A．10－8＝2（吨），8吨记作﹣2吨，原说法正确。 B．15－10＝5（吨），15吨记作﹢5吨，原说法错误。 C．10－6＝4（吨），6吨记作﹣4吨，原说法错误。 D．10－5＝5（吨），5吨记作﹣5吨，原说法错误。 故答案为：A 6．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（     ）。 A．加上20 B．加上2 C．扩大到原来的2倍 D．增加3倍 【答案】A 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；用分子加上6，求出和再除以分子，求出分子扩大的原来的倍数，则分母也要扩大到原来的倍数；再用分母乘扩大到的倍数，再减去原来的分母，求出分母应加上的数，据此解答。 【详解】（3＋6）÷3 ＝9÷3 ＝3 分母扩大到原来的3倍。 10×3－10 ＝30－10 ＝20 的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应扩大到原来的3倍或分母加上20。 故答案为：A 7．a和b是两个大于0的整数，a是b的4倍，a和b的最小公倍数是（     ）。 A．2 B．b C．4 D．a 【答案】D 【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题。 【详解】由a是b的4倍可知，a与b为倍数关系且a＞b，所以a和b最小公倍数是a。 故答案为：D 8．一个小数，如果小数点向右移动一位，比原数多9.45，原数是（     ）。 A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 【答案】B 【分析】小数点向右移动一位，相当于把原数乘10，小数就扩大到原来的10倍。那么原数是1倍，得到的新数是10倍，9.45相当于原数的（10－1）倍。 【详解】9.45÷（10－1） ＝9.45÷9 ＝1.05 所以，原数是1.05。 故答案为：B 9．在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（     ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除； 5的倍数特征：一个数的末尾是0或5的数，能被5整除。 21□0的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为2＋1＋□的和是3的倍数，据此分析即可。 【详解】2＋1＋□＝3＋□，且□里只填一个数字，有如下几种情况： 当□＝0时，3＋□＝3＋0＝3，3是3的倍数； 当□＝3时，3＋□＝3＋3＝6，6是3的倍数； 当□＝6时，3＋□＝3＋6＝9，9是3的倍数； 当□＝9时，3＋□＝3＋9＝12，12是3的倍数； 所以在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 10．下面4个分数中，分数值最大的是（     ）。（其中x是不为0的自然数） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把各选项中的4个分数化简，再比较数值大小，可以把分数化成小数，用分子除以分母即可，再根据小数大小的比较方法进行比较，找出分数值最大的选项。 【详解】A．， B． C．， D．， 所以，分数值最大的是。 故答案为：B 二、填空题 11．地球表面陆地面积是149000000平方千米，把这个数改写成用“亿”作单位的数是（ ）亿平方千米；海洋面积是361000000平方千米，把这个数省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿平方千米。 【答案】 1.49 4 【分析】把149000000平方千米改写成用“亿平方千米”作单位的数，在亿位的右下角点上小数点，把末尾的0去掉同时在后面写上“亿”字；把361000000平方千米省略亿位后面的尾数求近似数约是多少亿平方千米，因为361000000平方千米的千万位上的数字是6大于5，所以用“五入”法保留近似数。 【详解】149000000平方千米＝1.49亿平方千米 361000000平方千米≈4亿平方千米 所以地球表面陆地面积是149000000平方千米，把这个数改写成用“亿”作单位的数是1.49亿平方千米；海洋面积是361000000平方千米，把这个数省略“亿”后面的尾数约是4亿平方千米。 12．把一袋重2千克的糖果平均分给5个小朋友，每人分得这袋糖果的，是（     ）千克。 【答案】； 【分析】把一袋重2千克的糖果平均分给5个小朋友，根据分数的意义，即将这袋重2千克的糖果看作单位“1”平均分成5份，则每份是这袋糖果的1÷5＝；对于“每人分得多少千克”，是把2千克糖果平均分成5份，求每份的重量，用总重量2千克除以小朋友人数5即可。 【详解】1÷5＝ 2÷5＝（千克） 所以每人分得这袋糖果的，是千克。 13．如果汽车前进200m记为﹢200m，那么后退150m记作（ ）m。 【答案】﹣150 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。根据题意前进记为正，则后退就记为负，直接得出结论即可。 【详解】如果汽车前进200m记作﹢200m，那么后退150m记作﹣150m。 14．的分数单位是（ ），加上（ ）个这样的分数单位后正好是最小的质数。 【答案】 4 【分析】分析题目，分数的分母是几，则这个分数的分数单位就是几分之一，最小的质数是2，根据整数化分数的方法把2化成分母是5的分数，再用得到的分子减去给出的分数的分子6即可得到加上几个这样的分数单位后正好是最小的质数。 【详解】2＝ 10－6＝4 的分数单位是，加上4个这样的分数单位后正好是最小的质数。 15．作为“中原粮仓”的河南省，2023年夏小麦总产量为三千五百四十九万七千三百吨，占全省粮食年产量的五成四。 （1）文中横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万吨，保留整数约是（ ）万吨。 （2）文中画波浪线上的数改写成百分数是（ ）。 （3）如果某粮仓买入100吨小麦，记作﹢100吨，那么粮仓卖出200吨小麦记作（ ）吨。 【答案】（1） 35497300 3549.73 3550 （2）54% （3）﹣200 【分析】（1）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。 根据小数近似数的求法，保留整数，就是精确到个位，要看下一位，即十分位上的数是几，利用“四舍五入”法求出近似数。 （2）成数表示一个数是另一个数的十分之几或百分之几十，通称“几成”。几成几就是百分之几十几。 （3）正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定买入记为正，那么卖出就记为负。 【详解】（1）三千五百四十九万七千三百写作：35497300 35497300＝3549.73万≈3550万 文中横线上的数写作35497300，改写成用“万”作单位的数是3549.73万吨，保留整数约是3550万吨。 （2）五成四＝54% 文中画波浪线上的数改写成百分数是54%。 （3）如果某粮仓买入100吨小麦，记作﹢100吨，那么粮仓卖出200吨小麦记作﹣200吨。 16．八亿六千五百万平方千米，写作（ ）平方千米，改写成用亿平方千米为单位的数是（ ）平方千米，省略亿后面的尾数大约是（ ）平方千米。 【答案】 865000000 8.65亿 9亿 【分析】（1）分析题目，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个单位也没有，就在这个数位上写0，据此写出给出的数； （2）改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字； （3）省略“亿”位后面的尾数就是先根据千万位上的数字进行“四舍五入”，再把千万位后面的数字去掉，在数的后面加上一个“亿”字，据此解答。 【详解】八亿六千五百万写作：865000000； 865000000＝8.65亿 865000000≈9亿 八亿六千五百万平方千米，写作：865000000平方千米，改写成用亿平方千米为单位的数是8.65亿平方千米，省略亿后面的尾数大约是9亿平方千米。 17．某地某日的气温为﹣4～5℃，这一天的温差是（ ）℃。 【答案】9 【分析】在气温表示中，﹣4℃表示零下4摄氏度，5℃表示零上5摄氏度；温差是指最高气温与最低气温的差值，可以分两步看：从﹣4℃到0℃，温度上升了4℃；从0℃到5℃，温度又上升了5℃，所以总的温差就是这两部分上升温度之和，即4＋5＝9℃。 【详解】4＋5＝9（℃） 所以这一天的温差是9℃。 18．7∶（     ）＝21÷（     ）＝＝0.875＝（     ）%。 【答案】8；24；28；87.5 【分析】小数化成分数，三位小数先化成分母为1000的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。 【详解】0.875＝＝ ＝7∶8 ＝＝，＝21÷24 ＝＝ 0.875＝87.5% 即7∶8＝21÷24＝＝0.875＝87.5%。 19．把87.5%、、和0.869这四个数按从大到小的顺序排列。排在第二位的数是（ ）。 【答案】 【分析】根据百分数化小数的方法：小数点向左移动两位小数，再去掉百分号；分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；先把百分数、分数化成小数。根据把循环小数的循环节展开，化成普通小数的形式，再比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的小数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大，这样依次比较，直到比较出大小为止，再按照小数比较大小的方法比较即可。 【详解】87.5%＝0.875 即 把87.5%、、和0.869这四个数按从大到小的顺序排列。排在第二位的数是。 20．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是（ ）。 【答案】258，259，260 【分析】分别能被3和7整除的最小两个连续自然数是6和7，下一个连续自然数是8。3和7的最小公倍数是21，所以考虑8加上21的整数倍所得的数能被13整除。因为要求的三个连续自然数在200至300之间，所以只有21×12＋8＝260能被13整除，那么258、259、260这三个连续自然数依次分别能被3、7、13整除。 【详解】21×12＋8 ＝252＋8 ＝260 260÷13＝20，能被13整除，符合题意； （260－1）÷7 ＝259÷7 ＝37，能被7整除，符合题意； （259－1）÷3 ＝258÷3 ＝86，能被3整除，符合题意。 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是258，259，260。 21．已知是质数，也是质数，则（ ）。 【答案】2058 【分析】由于N是质数，且N²＋1也是质数，当N为大于2的质数时，N为奇数，则N²为奇数，N²＋1为大于2的偶数，因此是合数，不满足条件。唯一满足条件的质数是N＝2，此时N²＋1＝5是质数。因此N＝2，代入N⁵＋2026计算即可。 【详解】因为N是质数，且N²＋1也是质数。 若N为大于2的质数，则N为奇数，N²为奇数，N²＋1为偶数且大于2，因此N²＋1是合数，与条件矛盾。 所以N只能是2。 当N＝2时，N²＋1＝4＋1＝5，5是质数，满足条件。 因此，N⁵＋2026＝2⁵＋2026＝32＋2026＝2058。 22．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是（ ）。 【答案】40 【分析】合数：指自然数中除了能被1和它本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”“1”既不是质数也不是合数。最小的合数是4。质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 【详解】c是最小的合数是4，16－c＝16－4＝12； 2a＋b＝16－c＝12，则b＝12－2a； 因为2a一定是偶数，（12－2a）也一定是偶数 即b是偶数，由题知b是质数，既是质数又是偶数的只有2，所以b＝2 2a＋2＝12 解：2a＝10 a＝5 a×b×c＝5×2×4＝40 所以的积是40。 23．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是（ ）月（ ）日。 【答案】 3 18 【分析】根据题意可知，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。他们于2019年1月5日这一天在图书馆相遇，那么距离下一次他们一起到图书馆相遇的天数应该是6、8、9的最小公倍数。即找到6天，8天，9天的最小公倍数，即可知道他们一起到图书馆是几天之后，用1月5日加上这个天数即可求得下一次他们一起到图书馆相遇的时间。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 24．已知，＝（ ）。 【答案】6 【分析】根据题意可知：、、。根据比例的基本性质，将方程变为、、，分别求出a、b、c的值。再将a、b、c的值代入到计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝6 已知，＝6。 25．已知（a、b、c均不为0），a、b、c这三个数中最小的是（ ）。 【答案】b 【分析】根据题意，设＝1（a、b、c均不为0），分别求出a、b、c的值，然后进行比较即可。 【详解】设＝1 a×＝1 a＝1÷ a＝1× a＝ b÷62.5%＝1 b＝1×62.5% b＝0.625 b＝ c×＝1 c＝1÷ c＝1× c＝ 因为＞＞ 所以c＞a＞b a、b、c这三个数中最小的是b 三、解答题 26．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 【答案】是；见详解 【分析】先找出28的所有因数，然后把除了28以外的其它因数相加，和等于28，就是完美数；否则不是完美数。 【详解】28的因数有1、2、4、7、14、28； 答：28是完美数。 27．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的总个数比5和6的公倍数还多2； 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些鸡蛋的总个数。 【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 28．对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公因数的差，定义为a☆b，即a☆b＝[a，b]－（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公因数是2，那么10☆14＝70－2＝68。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆x＝27，求x的值。 【答案】（1）81 （2）x＝15 【分析】（1）用分解质因数的方法分别求出12和21的最小公倍数和最大公因数，再用最小公倍数减去最大公因数即可解答； （2）由于运算没有直接表达式，解这个方程我们设法逐步缩小探索范围：已知6☆x＝27，其中27是6和x最小公倍数与最大公因数的差，所以6与x的最小公倍数不小于（27＋1）且不大于（27＋6），即在28到33中找到6的倍数，再根据“两个数的最小公倍数与最大公因数的积等于这两个数的积”列方程求解出x。 【详解】（1）12＝2×2×3 21＝3×7 所以12和21的最小公倍数是2×2×3×7＝84，最大公因数是3。 所以12☆21＝84－3＝81。 （2）因为6与x的最小公倍数不小于27＋1＝28，不大于27＋6＝33，而28和33之间，只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30，因此，它们的最大公因数是30－27＝3。 6x＝30×3 解：6x＝90 6x÷6＝90÷6 x＝15 所以x的值是15。 29．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（     ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（     ），点B所表示的数是（     ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）5 （2）10；15 （3）75岁 【分析】（1）根据题意和图意可知，5～20相当于木棒AB长度的3倍，据此用除法求出木棒AB的长度。 （2）图中点A所表示的数等于5加上AB的长度，点B表示的数是20减去AB的长度。 （3）把A点看作小红的年龄，B点看作爷爷的年龄，那么AB的长度就是小红与爷爷的年龄差。 “若爷爷是小红现在年龄”看作B点移动到A点，“小红还要35年才出生”，则小红的年龄向左移动与AB相等的长度，因为还未出生，所以此时小红的年龄对应的数是﹣35； “若小红是爷爷现在的年龄”看作A点移动到B点，“爷爷已经130岁”，则此时爷爷的年龄向右移动与AB相等的长度，此时爷爷的年龄对应的数是130； 那么﹣35与130相差（130＋35），相当于AB长度的3倍，据此用除法求出AB的长度，也就是爷爷比小红大的年龄，再用130减去两人的年龄差，求出爷爷现在的年龄。 【详解】（1）三根木棒长是：20－5＝15（厘米） 木棒长为：15÷3＝5（厘米） 由此可得到木棒长为（5）厘米。 （2）5＋5＝10 20－5＝15 图中点A所表示的数是（10），点B所表示的数是（15）。 （3）爷爷比小红大： （130＋35）÷3 ＝165÷3 ＝55（岁）     爷爷的年龄： 130－55＝75（岁） 答：爷爷现在75岁。 30．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层。4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话。” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯。” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话。” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯。” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯。那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【答案】5672 【分析】根据题干条件，两人说真话且在奇数楼层，两人说假话且在偶数楼层。通过假设甲、丙说真话，乙、丁说假话，结合电梯上行顺序和楼层奇偶性，推导出甲在5层（第二下），乙在6层（第三下），丙在7层（第四下），丁在2层（第一下），满足所有陈述的真假条件。据此解答。 【详解】假设甲、丙说真话，则甲是第二个下电梯的，丙是最后一个下电梯的 又因为说真话的人在奇数层，1~8中奇数有1、3、5、7 所以甲在第3层或者第5层下，丙在第5层或者第7层下。 假设乙、丁说假话，则乙不是最先下电梯的，丁不是第三个下电梯的 所以乙是第三个下电梯的，丁是第一个下电梯的 又因为假话的人在偶数层，1~8中偶数有2、4、6、8 所以丁是第2层下，并且没有人和丁在相邻楼层下电梯 即甲只能在第5层，丙就在第7层 那么乙就在第6层，有人和乙在相邻楼层下电梯 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $