精品解析：2025年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学中考数学模拟试卷（4月份）

2025年新疆乌鲁木齐一中中考数学模拟试卷（4月份） 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图所示，点M表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点的识别，熟悉掌握数轴的知识点是解题的关键． 根据数轴上点的位置作答即可． 【详解】解：由数轴得，点M表示的数是， 故选：C． 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图不是其三视图之一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是， 从左面看，得到的图形是， 从正面看，得到的图形是， 故C选项不是其三视图之一， 故选：C． 3. 年月日，歼与歼中国双隐身战机同台亮相珠海航展．歼是一款中型隐身多任务战斗机，它的隐身性能世界第一，飞行速度也非常快，最大飞行速度为马赫．马赫是描述速度的物理量，马赫约为米/秒．歼的最大飞行速度用科学记数法可表示为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法，即可求解 【详解】解：根据题意，可得（米/秒）， ； 故选：A 4. 下列调查方式中，合适的是（　　） A. 实施中小学生爱眼护牙行动后要了解全疆中小学生的视力情况，采用普查的方式 B. 要了解外地游客对旅游景点“新疆喀什古城”的满意程度，采用抽样调查的方式 C. 要保证“神舟十九号”载人飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式 D. 要了解全疆初中学生的业余爱好，采用普查的方式 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选取，熟悉掌握抽样调查和全面调查的概念是解题的关键． 根据抽样调查和全面调查的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：实施中小学生爱眼护牙行动后要了解全疆中小学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B：要了解外地游客对旅游景点“新疆喀什古城”的满意程度，采用抽样调查的方式，节省人力、物力、财力，是合适的，故本选项符合题意； C：要保证“神舟十九号”载人飞船成功发射，精确度要求高、事关重大，往往选用普查对主要零部件的检查采用全面调查，故本选项不符合题意； D：了解全疆初中学生的业余爱好，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 6. 已知关于x的抛物线y=x-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ） A. (3，4) B. (-2，-8) C. (4，4) D. (，) 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称轴求出的值，从而可得抛物线的解析式，再将各点坐标代入解析式进行检验即可得． 【详解】解：关于的抛物线的对称轴为直线， ，解得， 则抛物线的解析式为， 当时，，则点不在这条抛物线上， 当时，，则点不在这条抛物线上， 当时，，则点不在这条抛物线上， 当时，，则点在这条抛物线上， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，根据对称轴求出二次函数的解析式是解题关键． 7. 小明坐滴滴打车前去高铁站，他可以选择两条不同路线：路线A全程25千米，但交通比较拥堵；路线B比路线A多7千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设走路线A时的平均速度为千米/小时，则走路线B时的平均速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度，结合走路线B比走路线A少用15分钟（即小时），即可得出关于的分式方程． 【详解】解：设走路线A时的平均速度为千米/小时，则走路线B时的平均速度为千米/小时， 由题意可得：， 即． 故选：D． 8. 如图，已知P为☉O外一点，连接OP交☉O于点A，且OA=2AP，求作直线PB，使PB与☉O相切．以下是甲、乙两同学的作法． 甲：作OP的中垂线，交☉O于点B，则直线PB即所求． 乙：取OP的中点M，以M为圆心、OM长为半径画弧，交☉O于点B，则直线PB即所求． 对于两人的作法，下列说法正确的是(　　) A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对． 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，OP的垂直平分线交OP于H，连接OB，设AP=x，则OA=2x，由于BH垂直平分OP，则BO=BP=2x，然后利用勾股定理得逆定理可判断△OBP不是直角三角形，则PB不是☉O的切线，则可判断甲的说法错误； 如图2，连接OB，利用圆周角定理得到∠OBP=90°，则OB⊥PB，于是根据切线的判定定理可判断PB与☉O相切，所以乙的说法正确． 【详解】如图1，作OP的垂直平分线交OP于点H，连接OB， 设AP=x，则OA=2x，OB=2x． ∵BH垂直平分OP， ∴BO=BP=2x． ∵OB2+BP2=(2x)2+(2x)2=8x2，OP2=(3x)2=9x2， ∴△OBP不是直角三角形， ∴PB不是☉O的切线， ∴甲的作法错误． 如图2，连接OB， ∵点M为OP的中点， ∴OP为☉M的直径， ∴∠OBP=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与☉O相切， ∴乙的作法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 9. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若式子有意义，则x的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的概念列式运算即可． 【详解】解：根据题意知， 解得：， 故答案为：． 11. 如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为x，则相邻的内角为2x， 由题意得2x+x＝180°， 解得x＝60°， 360°÷60°＝6． 故n的值是6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键． 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可. 【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果， 掷的点数大于4的概率为. 故答案为. 【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键. 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________． 【答案】-1<x<0或x>1 【解析】 【详解】分析：根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-1，-2），然后观察函数图象，当-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有＞． 详解：∵正比例函数y 1=k 1x与反比例函数y 2=  的图象交于A、B两点，  ∴点A与点B关于原点对称，  ∴B点坐标为（-1，-2），  当-1＜x＜0或x＞1时，y 1＞y 2．  故答案为-1＜x＜0或x＞1． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 14. 现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金__两． 【答案】二 【解析】 【分析】设一牛值金x两，一羊值金y两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，两方程相加除以7，即可求出一牛一羊的价值． 【详解】解：设一牛值金x两，一羊值金y两， 根据题意得： ， （①+②）÷7，得：x+y=2． 故答案为二． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用运算法则进行化简运算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负指数幂，完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 17. （1）解方程：； （2）新疆有一种特产，商家将其分为大囊和小囊两种包装进行销售，大囊的售价为每个5元，小囊的售价为每个3元．若某客户购买了一个大囊和若干个小囊，共花了23元，请问顾客购买了多少个小囊？ 【答案】（1），；（2）个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元一次方程的实际应用，熟练掌握运算法则和列出方程是解题的关键． （1）运用因式分解法运算即可； （2）设顾客购买了个小囊，根据数量关系列出方程即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， 因式分解得：， 则，， 解得：或； （2）设顾客购买了个小囊， 由题意得， 解得：， 答：顾客购买了个小囊． 18. 如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【解析】 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 20. 果子沟大桥是穿越伊犁峡谷高山的空中巨龙，被誉为新疆最美大桥．已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】207.4米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，解直角三角形，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． 根据三角函数的比值关系列式运算即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴主塔的高度约为． 21. 根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 【答案】任务1：，不能；任务2：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，合理分析题意结合二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法列式运算即可； （2）运算出抛物线的解析式后把代入运算求解即可． 【详解】解：任务1．由题意得：抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为， 当时，， ∵， ∴此球不能投至篮圈中心； 任务2．当时，篮球才能投至篮圈中心， 设抛物线解析式为：， ∵过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴， 答：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心． 22. 如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． （1）证明：； （2）用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的性质证出为的垂直平分线，得到即可解答； （2）尺规作图作角平分线即可； （3）连接，判定出，再通过相似三角形的比值关系列式运算即可 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，点E即为所求； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了的圆的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线的尺规作图，三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 23. 如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）． （1）过作，交于，证明：； （2）如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长； （3）如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用角的等量代换证明即可； （2）连接，通过比值关系求出的长，利用判定出，，，推出，通过比值关系求出和的长，再通过勾股定理运算求解即可； （3）分类讨论点的位置，结合相似三角形的性质和勾股定理列出方程运算即可． 【小问1详解】 证明：∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接，如图所示： 在等腰中，， ∴， ∵点是靠近点的三等分点， ∴，； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作于点，则， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ①当点在右侧时，如图， 过作交于点，则， 由（1）知， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； ②当点在左侧时，如图， 过作交于点，则，此时， 同理可得， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上，或． 【点睛】本题为几何综合题，涉及到了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线和利用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新疆乌鲁木齐一中中考数学模拟试卷（4月份） 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图所示，点M表示的数是（　　） A. B. C. D. 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图不是其三视图之一的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月日，歼与歼中国双隐身战机同台亮相珠海航展．歼是一款中型隐身多任务战斗机，它的隐身性能世界第一，飞行速度也非常快，最大飞行速度为马赫．马赫是描述速度的物理量，马赫约为米/秒．歼的最大飞行速度用科学记数法可表示为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 4. 下列调查方式中，合适的是（　　） A. 实施中小学生爱眼护牙行动后要了解全疆中小学生的视力情况，采用普查的方式 B. 要了解外地游客对旅游景点“新疆喀什古城”的满意程度，采用抽样调查的方式 C. 要保证“神舟十九号”载人飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式 D. 要了解全疆初中学生的业余爱好，采用普查的方式 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 6. 已知关于x的抛物线y=x-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ） A. (3，4) B. (-2，-8) C. (4，4) D. (，) 7. 小明坐滴滴打车前去高铁站，他可以选择两条不同路线：路线A全程25千米，但交通比较拥堵；路线B比路线A多7千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知P为☉O外一点，连接OP交☉O于点A，且OA=2AP，求作直线PB，使PB与☉O相切．以下是甲、乙两同学的作法． 甲：作OP的中垂线，交☉O于点B，则直线PB即所求． 乙：取OP的中点M，以M为圆心、OM长为半径画弧，交☉O于点B，则直线PB即所求． 对于两人的作法，下列说法正确的是(　　) A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对． 9. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若式子有意义，则x的取值范围是______ ． 11. 如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_____． 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是______________. 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________． 14. 现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金__两． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. （1）解方程：； （2）新疆有一种特产，商家将其分为大囊和小囊两种包装进行销售，大囊的售价为每个5元，小囊的售价为每个3元．若某客户购买了一个大囊和若干个小囊，共花了23元，请问顾客购买了多少个小囊？ 18. 如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 果子沟大桥是穿越伊犁峡谷高山的空中巨龙，被誉为新疆最美大桥．已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 21. 根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 22. 如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． （1）证明：； （2）用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 23. 如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）． （1）过作，交于，证明：； （2）如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长； （3）如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $