精品解析：2025年上海市松江区中考数学二模试卷　

2025年上海市松江区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列单项式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 2. 某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数以及方差．根据题意，商店老板最应关注的销售数据是众数． 【详解】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数． 故选：B． 3. 某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意． 故选：A． 5. 已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设 与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点 ， ，连接 ，，，，，设 与相交于点 ，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 6. 我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（ ） A. 如果，那么△是直角三角形 B. 如果，那么△有一内角为 C. 如果△是直角三角形，那么 D. 如果△有一内角为，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，再利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形的特征值求出三角形的两的角的度数，或根据等腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断各选项的正误即可． 【详解】解：A选项：当时，可设腰长为，则底长为， ， △是直角三角形是直角三角形， 故 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过 作于点 ， ， 设，则， ，且， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，，， ， ， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为时，由选项 可知，此时， 当顶角为时， 如下图所示，，， 过 作于点， 在△中，设，则，， ， 在△中，， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和积的乘方，熟知运算法则是关键．利用二次根式的乘法运算和积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 8. 因式分解a2－a－6＝_____． 【答案】(a＋2)(a－3) 【解析】 【分析】利用公式 公式进行因式分解. 【详解】解： ， 故填（a-3）（a+2） 【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 9. 方程组的解是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了高次方程，因为，，求出，得到新的方程组：，求出x、y即可． 【详解】解：因为，， 所以， 即， 得， 此时得到新的方程组： ， ①②得：，， 将代入①得：， 所以方程组的解是：． 故答案为： 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时． 根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11. 如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过点，可知函数图象经过第二象限，根据函数图象与轴的交点在原点右侧，可知函数图象经过第一象限，所以可知该函数图象经过第一、二、四象限，所以函数值随自变量的值增大而减小． 【详解】解： 一次函数的图象经过点， 函数图象经过第二象限， 函数图象与轴的交点在原点右侧， 函数图象经过第一象限， 一次函数的图象不经过第三象限， 该函数图象经过第一、二、四象限， 函数值随自变量的值增大而减小． 故答案为：减小． 12. 去年我国成为全球第一大汽车出口国，全年共出口汽车约辆，平均每月约出口汽车__ 辆．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：平均每月约出口汽车：（辆． 故答案为： 13. 一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据题意找到事件中的部分和整体，利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：， 故答案为：． 14. 已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解： 抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 15. 如图，在中， 、 分别在 、 上，，．设，那么向量可用表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．先根据相似三角形的判定与性质可得，由可得，再根据向量的加法即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 【答案】360 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到 的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 17. 如图，正八边形的对角线 、交于点，那么的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，得出，运用勾股定理表示，因为，证明△△，则，即可作答． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点 ，连接、、， 则， ， 、 、 三点在同一条直线上， 点 在上， 连接、 ， 则， ， ， ， 则， ， ， ∴， △△， ， 故答案为：． 18. 如图，矩形 中， ，，点 在边 上，将△沿直线 翻折，点 落在点 处，联结 、．如果△是以 为腰的等腰三角形，那么的长是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是，由折翻折得，所以，过点F作于点G，交于点H，则，四边形是矩形，所以，，求得，则，由勾股定理得，求得；二是，连接，过点F作于点Q，交 于点P，则，四边形是矩形，所以，可证明垂直平分 ，则，所以，则，所以，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，△是以 为腰的等腰三角形，且， 四边形 是矩形， ，， ，， 将△沿直线 翻折，点 落在点 处， ， ， 过点 作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，且，， ， 解得； 如图2，△是以 为腰的等腰三角形，且， 连接，过点 作于点，交 于点 ，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 垂直平分 ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分数指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及分数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为： 21. 如图，在中，，，点 在边上，以O为圆心，为半径的圆与边 交于点 ，与边 相切于点E． （1）当时，求 的半径长； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接 、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：与 边相切于点 ， ， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． 【小问2详解】 解：连接 、，则， ，， ， △是等边三角形， ，, ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 22. 图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座 的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线 与展板 垂直时，称点 为“最佳观察点”． （1）求：展板最低点B到地面 的距离； （2）如果，当点 为“最佳观测点”时，求点 到的距离．（参考数据：） 【答案】（1）展板最低点 到地面 的距离为； （2）当点 为“最佳观测点”时，求点 到的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）过 作于，过 点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过 点作于 点，作于 点，设，则，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图2，过 作于，过 点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点 到地面 的距离为； 【小问2详解】 如图，过 点作于 点，作于 点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点 为“最佳观测点”时，求点 到的距离为． 23. 已知：如图，四边形 是菱形， 是对角线 上一点，连结、并延长，分别与边 、 交于点 、 ． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：（1） 四边形 是菱形， ， 垂直平分 ， ， 点 在 上， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：设 交 于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知， 垂直平分 ，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于 、 两点，（点 在点 的右侧）与轴正半轴交于点 ，顶点为 ． （1）求 的长； （2）当时，求抛物线的表达式； （3）将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点 ，如果点与点 关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、 的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、 的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线 的表达式为：，则点，代入点 ，求得 ，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点 、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点、 ，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线 的表达式为：， ∴点， 将点 的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴点， ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 25. 已知 是半圆 的直径， 是弦 延长线上一点． （1）联结与半圆交于点 ． ①如图1，如果点 是弧 的中点，且，求 的长； ②如图2，如果点 是弧 的中点，且，求的值． （2）设是弦 的中点，如果以点 为圆心、为半径的圆与 相切，以点 为圆心、为半径的圆与直线 相切，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，过点 作于点 ，求出，设，则，由求出，得到，，，则，即可求出答案；②连接， ， ，证明△△，得到，得到，则．设，，则，证明△△，得到，即可求出答案． （2）设为半径的圆与直线 相切于点 ，连接，，证明△△，得到，设，证明△△，得到，则，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①连接，过点 作于点 ，如图， 是半圆 的直径，点 是弧 的中点， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，，， ， ． ②连接， ， ，如图， 点 是弧 的中点， ， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ． 设，，则， △△， ， ． （负数不合题意，舍去）， ， ； 【小问2详解】 设为半径的圆与直线 相切于点 ，连接，，如图， 点 为圆心、为半径的圆与 相切， 点 为切点， ， 设，则， 是弦 的中点， ，， 为半径的圆与直线 相切于点 ， ，， 在△和△中， ， △△， ， 设， ，， △△， ， ，， ，， ， ， ， ， ． ， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市松江区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列单项式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 2. 某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（ ） A. B. C. 10 D. 12 6. 我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（ ） A. 如果，那么△是直角三角形 B. 如果，那么△有一内角为 C. 如果△是直角三角形，那么 D. 如果△有一内角为，那么 二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算______． 8. 因式分解a2－a－6＝_____． 9. 方程组的解是__． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 11. 如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 12. 去年我国成为全球第一大汽车出口国，全年共出口汽车约辆，平均每月约出口汽车__ 辆．（用科学记数法表示） 13. 一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 14. 已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 15. 如图，在中， 、 分别在 、 上，，．设，那么向量可用表示为__． 16. 某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 17. 如图，正八边形的对角线 、交于点，那么的值为__． 18. 如图，矩形 中， ，，点 在边 上，将△沿直线 翻折，点 落在点 处，联结 、．如果△是以 为腰的等腰三角形，那么的长是_______． 三、解答题（本大题共7题） 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 如图，在中，，，点 在边上，以O为圆心，为半径的圆与边 交于点 ，与边 相切于点E． （1）当时，求 的半径长； （2）求的值． 22. 图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座 的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足 在的延长线上，当视线 与展板 垂直时，称点 为“最佳观察点”． （1）求：展板最低点B到地面 的距离； （2）如果，当点 为“最佳观测点”时，求点 到的距离．（参考数据：） 23. 已知：如图，四边形 是菱形， 是对角线 上一点，连结、并延长，分别与边 、 交于点 、 ． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、 两点，（点在点 的右侧）与轴正半轴交于点 ，顶点为 ． （1）求 的长； （2）当时，求抛物线的表达式； （3）将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点 ，如果点与点 关于原点对称，且，求△的面积． 25. 已知 是半圆 的直径， 是弦 延长线上一点． （1）联结与半圆交于点 ． ①如图1，如果点 是弧 的中点，且，求 的长； ②如图2，如果点 是弧 的中点，且，求的值． （2）设是弦 的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与 相切，以点 为圆心、为半径的圆与直线 相切，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $