精品解析：北京师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中模拟数学试卷

北京师大附中2024—2025学年（下）高二数学期中模拟试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，则公差d的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 2. 已知等比数列前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 4. 若数列满足，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 5. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 一定存极小值点 C. 若，则是函数的极小值点 D. 若，则 10. 已知数列满足，，给出下列三个结论：①不存在a，使得数列单调递减；②对任意的a，不等式对所有的恒成立；③当时，存在常数C，使得对所有的都成立．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_____个． 12. 设函数，已知直线为曲线一条切线，且直线的斜率为，则直线的方程为_____． 13. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____． 14. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______． 15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____． ①函数有3个不动点； ②函数至多有两个不动点； ③若函数没有不动点，则方程无实根； ④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是． 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：是等比数列，并求的通项公式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 设函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求的最大值与最小值． 18. 已知正项数列的前项和为，且，(且). （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 若函数． （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）判断方程解的个数，并说明理由； （3）当，设，求的单调区间． 20. 已知函数，若的最小值为0， （1）求的值; （2）若，证明:存在唯一的极大值点，且. 21. 已知是无穷数列，给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得． ②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． （1）若，判断是否满足性质①，说明理由： （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若是单调递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师大附中2024—2025学年（下）高二数学期中模拟试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，则公差d的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可 【详解】因为等差数列{an}，，,故，故，故 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解，可利用等差数列的性质求解，属于基础题 2. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质列式，由此求得. 【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列， 其中，所以， 所以. 故选：A 3. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法． 故选B． 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的． 4. 若数列满足，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入一一计算即可得到答案. 【详解】，，， . 故选：C. 5. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】解：由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故①错误； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增， 在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C． 6. 已知函数，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 7. 若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，无零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，令，得到关于的不等式，解不等式即可求解. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内只有一个零点， 所以当时，无零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 故选：C 8. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件的定义及等比数列的和与项的关系即可判断. 【详解】若，，则，则为递减数列． 若为递增数列，则，，． 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：B． 9. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 一定存在极小值点 C. 若，则是函数的极小值点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，有两个不等实根，然后由极值点、单调性与的根的关系判断各选项． 【详解】，是极大值点，有两个不等实根， ，即， 设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点．B正确； 由于时，，因此A正确； 若，则，,的两解互为相反数，即，C正确； 时，，，D错． 故选：D． 10. 已知数列满足，，给出下列三个结论：①不存在a，使得数列单调递减；②对任意的a，不等式对所有的恒成立；③当时，存在常数C，使得对所有的都成立．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由即可判断①；由即可判断②；由结合累加法求得即可判断③. 【详解】由，可得，则，，则，都有数列单调递增，故①正确； 由可得，又数列单调递增，则， 则，即，②正确； 由可得，则，， ，，将以上等式相加得， 又，单调递增，则，又由可得， 又，则，即，则，设， ，易得，当时，， 则，，故不存在常数C，使得对所有的都成立，故③错误. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_____个． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有3种，分为是和不为，再安排最高位与其他位,进而求解. 【详解】根据是偶数，则个位为这3种情况， 由于小于，则最高位的数字不是， 当个位数为，则排列有, 当个位数为，则排列有, 当个位数为，则排列有, 这排成位不重复的且小于的偶数有. 故答案为：. 12. 设函数，已知直线为曲线的一条切线，且直线的斜率为，则直线的方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求出切点的横坐标，进而可求出切点坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】因为，则，由可得， 又因为，故切点坐标为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】解：等差数列{an}的公差d为2， 若a1，a3，a4成等比数列， 可得a32＝a1a4， 即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d）， 化为a1d＝﹣4d2， 解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{an}的前n项和Sn＝na1n（n﹣1）d ＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n ＝（n）2， 当n＝4或5时，Sn取得最小值﹣20． 故答案为：﹣6，﹣20． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题． 14. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解. 【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，其公差为3， 所以，解得， 所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9． 故答案为：9 15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____． ①函数有3个不动点； ②函数至多有两个不动点； ③若函数没有不动点，则方程无实根； ④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由不动点的定义，逐项建立方程，并构造函数，根据方程与函数的关系，利用导数研究函数的单调性，可得答案. 【详解】对于①，令，，，当且仅当时取等号， 则函数在上单调递减，而，即函数在上只有一个零点， 所以函数只有一个不动点，故①不正确； 对于②，因为二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，故②正确； 对于③，由题意可得方程无实根，即无实根，则， 当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有， 由，则，即，所以方程无实根； 当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有， 由，则，即，所以方程无实根； 综上所述，方程无实根，故③正确； 对于④，由点在曲线上，则，又，即有， 易知函数在定义域内单调递增，若，则，显然与矛盾， 因此，当时，，即当时，， 对，，可得， 令，，由，而两个等号不能同时取到， 即当时，，则函数在上单调递增，有， 即，则，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：是等比数列，并求的通项公式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）证明见解析 ，，（3） 【解析】 【分析】 （1）列方程求出数列的公差，进而可直接求出其通项公式. （2）利用，可得是等比数列，进而可求其通项公式； （3）代入和，将恒成立，转化为对恒成立，求出的最大值，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，∴， ∴，即； （2）∵，∴， ∴，∴，（常数） 又，也成立， ∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴； （3），∴对恒成立， 即对恒成立， 令，， 当时，，当时，， ∴，故， 即的取值范围为. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前项和公式的应用，恒成立问题的求解，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题. 17. 设函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间是,，单调递减区间是 （2）最大值最小值 【解析】 【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间； （2）利用函数的单调性，列表求函数的最值. 【小问1详解】 ， 当，解得：或，所以函数的单调递增区间是,， 当，解得：，所以函数的单调递减区间是， 所以函数的单调递增区间是,，单调递减区间是； 【小问2详解】 由（1）可得下表 4 单调递减 单调递增 所以函数的最大值是，函数的最小值是 18. 已知正项数列的前项和为，且，(且). （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案； （2）利用裂项相消法即可求出答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又， ∴， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列， ∴，∴， 当时，， 当时，，满足上式， ∴数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，， ， ∴当时，． 19. 若函数． （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）判断方程解的个数，并说明理由； （3）当，设，求的单调区间． 【答案】（1） （2）方程有两个解，理由见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得出，求出，即可得切线方程. （2）利用第一问的导函数判断的单调性，方程解的个数即为函数与的交点个数. （3）求导，分别讨论、和时的单调性. 【小问1详解】 ，，又，所以切线方程为. 【小问2详解】 方程有两个解. 由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，当时，，当时，，所以函数与有两个焦点，所以方程有两个解. 【小问3详解】 ， 当时，，在上单调递增； 当时，，所以时，，单调递减， 和时，，单调递增； 当时，，所以时，，单调递减， 和时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调增区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为和； 当时，的单调减区间为，单调增区间为和. 20. 已知函数，若的最小值为0， （1）求的值; （2）若，证明:存在唯一的极大值点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论求解即可； （2）令，求导后可得在递减，递增，再结合零点存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，从而得是唯一的极大值点. 【小问1详解】 ， 当时，，所以在上递减，则没有最小值， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得最小值，得成立， 下面证为唯一解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以方程有且只有唯一解， 综上，； 【小问2详解】 证明:由（1）知， 令， 当时，，当时，， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点， 所以当或时，，即， 当时，，即， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 即是唯一的极大值点， ， 由，得， 所以， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的单调性，考零点存在性定理，考查导数的综合应用，第（2）问解题的关键是二次求导后结合零点存在性定理确定出函数极值点的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 21. 已知无穷数列，给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得． ②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． （1）若，判断是否满足性质①，说明理由： （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若是单调递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列． 【答案】（1）不满足性质①，理由见解析 （2）满足性质①和性质②，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，根据题意，得到，由为偶数，为奇数，即可得出结论； （2）由，验证性质①②，即可求解； （3）由是递增数列且同时满足性质①和性质②，结合等差数列的性质和数学归纳，即可求解. 【小问1详解】 由，性质①是任意，存在， 令，则要满足， 可得，可得， 其中为偶数，为奇数，所以不成立， 如：当时，，不存在这样的. 【小问2详解】 当时，，所以， 所以存在使得数列满足性质①； 对性质②，取，， 则成立，所以满足性质②. 综上可得，数列同时满足性质①②. 【小问3详解】 由是递增数列，因为满足性质①和性质②，所以，即， 当时，， 已知，所以， 又由，所以，即数列前三项成等差数列. 假设前项成等差数列，即， 则当时，若， 由性质①知，必存在，使得成立， 因为， 所以必有成立， 又由性质②知，， 则与矛盾， 所以成立， 所以数列的前项也成等差数列， 所以数列为等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$