精品解析：2025年四川省成都市武侯区中考数学二诊试题

2024-2025学年度九年级数学模拟考试试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下面计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 8. 已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，值随值的增大而增大 C. 图象的对称轴是直线 D. 图象经过第一、二、三象限 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：a3－a=______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 11. 在某次射击训练中，一位选手的次射击成绩（单位：环）如图所示，则该选手的这次射击成绩的中位数是______环． 12. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了______度． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上． 15. 年是农历“双春年”（含两个立春节气），并包含“闰六月”，农历天数全年共天．武侯区某校开展“数启双春，智绘华章”系列活动，设置以下四类项目：．习俗调查；．数据分析；．画报制作；．文创设计，现随机选取部分学生进行关于“你最感兴趣的项目”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 项目 人数 根据图表信息，解答下列问题： （1）填空：本次调查的学生共有________人，表格中的值为________； （2）若该校共有学生人，请估计选择项目的学生人数； （3）在参与调查的学生中，选择项目的男生和女生人数相同，现从中随机选取两人在活动总结大会上作交流分享，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率． 16. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，） 17. 如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径及线段的长 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为_____． 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为______． 21. 如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是______． 22. 在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是_____． 23. 如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，点是边上一点（点不与点，重合），连接交于点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为____，且此时线段的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 年，掀起全球热潮，其发布开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 25. 如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． （1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标； （2）在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 26. 关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级数学模拟考试试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟悉相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数可得符合题意的选项． 【详解】解：根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可知：的相反数是． 故选：B． 2. 斗拱是我国古建筑中特有一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．左视图：从左面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，即可． 【详解】解：斗形构件“三才升”的左视图为： 故选：A． 3. 截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：亿， ， 故选：C． 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的性质求得，，再利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． 5. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这些运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，积的乘方，完全平方公式，平方差公式进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，故不符合题意； B、，选项错误，故不符合题意； C、，选项错误，故不符合题意； D、，选项正确，故符合题意； 故选：D． 6. 如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，正多边形的内角和，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．先证明是等边三角形，再证明，利用，求出，同理，即可求解． 【详解】解：∵正六边形，是正三角形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴正六边形的面积是， 故选：D． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键．由 “总重斤”，得，由“体积为立方寸”，得，即可求解． 【详解】解：设玉重两，石重两， 由 “总重斤”，得， 由“体积立方寸”，得， ∴列方程组为， 故选：A． 8. 已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 图象的对称轴是直线 D. 图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项B错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项D错误； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 11. 在某次射击训练中，一位选手的次射击成绩（单位：环）如图所示，则该选手的这次射击成绩的中位数是______环． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数，根据题意先得出该选手次射击的成绩，并按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，即可得出答案．解题的关键是掌握：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：由图可知：该选手次射击的成绩如下： 、、、、、、、、、， 其中排在第、位置的成绩都是环，且， ∴该选手的这次射击成绩的中位数是环． 故答案为：． 12. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 则， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上． 【答案】（1）；（2），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，二次根式，特殊角的三角函数，零指数幂，绝对值，还考查了解不等式组及在数轴上表示其解集，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用算术平方根，特殊角的三角函数，零指数幂，绝对值化简，再进行加减即可； （2）分别解两个一元一次不等式，即可得其解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：， ∴不等式组的解为：． 在数轴上表示为： ． 15. 年是农历“双春年”（含两个立春节气），并包含“闰六月”，农历天数全年共天．武侯区某校开展“数启双春，智绘华章”系列活动，设置以下四类项目：．习俗调查；．数据分析；．画报制作；．文创设计，现随机选取部分学生进行关于“你最感兴趣的项目”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 项目 人数 根据图表信息，解答下列问题： （1）填空：本次调查的学生共有________人，表格中的值为________； （2）若该校共有学生人，请估计选择项目的学生人数； （3）在参与调查的学生中，选择项目的男生和女生人数相同，现从中随机选取两人在活动总结大会上作交流分享，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，统计表，样本估计总体，列表法或树状图求概率，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键． （1）利用项目的人数为，占总体的百分比为，即可求调查总人数；利用项目占总体的百分比为，即可求项目的人数； （2）先求出项目的人数，利用样本估计总体计算即可； （3）先确定男生和女生人数都是人，再列表法或树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：∵项目的人数为，占总体的百分比为， ∴本次调查的学生共有（人）， ∵项目占总体的百分比为， 项目的人数为（人）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：项目的人数（人）， 则估计选择项目的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：∵项目的人数为人，选择项目的男生和女生人数相同， ∴男生和女生人数都是人， 设男生分别为，，女生分别为，， 根据题意列表为： 共有种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的有种， 所以恰好选到一名男生和一名女生的概率为． 16. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设，证明四边形，四边形都是矩形，得， 由，得，求解后计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设， 根据题意，得：，，，，，，， ∴， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， 在，， ∴， 在，，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴（米）， ∴该花树的最高点离地面的距离约为米． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，分式方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数是解题关键． 17. 如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径及线段的长 【答案】（1）见解析 （2）的半径为3，． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理结合等边对等角求得，再利用圆周角定理求得，证得，即可证明是的切线； （2）先证明，利用勾股定理求得，证明，求得，，，再证明，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴且为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为3， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为； （2）点的坐标为； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可求得反比例函数的表达式，联立得，解方程即可求得点的坐标为； （2）求得直线与轴的交点的坐标为，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，且，从而得到是等腰直角三角形，且，，再分两种情况讨论，画出图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立得， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线与轴的交点为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∵， 解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，，， ， ， ， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，且，， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 同理，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算求出，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，为的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．先利用一元二次方程的根与系数的关系得出，结合，求出和，再利用一元二次方程的根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 又∵， 得， 解得：， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，概率公式的应用．设其中，直线的解析式为，求得直线的解析式为，联立得，整理得，根据根与系数的关系求得，据此求解即可． 【详解】解：设其中，直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵该直线与反比例函数的图象有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是． 故答案为：． 22. 在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征得，则，，继而得到，推出，再根据二次函数的最值、并计算当时和当时的函数值，即可得出结论． 【详解】解：∵，，且点在二次函数的图象上， ∴， ∴，， ∴， ∵在内始终为正数， ∴， ∵， ∴函数的图象开口向下， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数与几何结合的综合应用，考查了函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，二次函数的最值等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，点是边上一点（点不与点，重合），连接交于点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为____，且此时线段的长为______． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点，利用点，分别是，的中点，得出，，，，利用，， 求出和，利用点，分别是，的中点，得出，由对称可得，由两点之间线段最短得，求出，利用四边形是矩形，得出，， 则，利用勾股定理即可求解的最小值， 利用，得出，，求出，，设，得出，再利用，列式求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作关于的对称点，连接，，交于点，过点作于点， ∴，， ∵点，分别是，的中点，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 由对称可得， ∴由两点之间线段最短得， ∵， 解得：， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 当取得最小值时如图， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线的性质，三角函数，熟练掌握这些性质与判定，并掌握将军饮马问题是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）小时，小时 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； 【小问2详解】 解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 25. 如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． （1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标； （2）在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】（1）； （2）或或 【解析】 【分析】（1）令即可求点坐标，利用可得顶点坐标； （2）由，得出或，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标，再利用结合点的坐标求出直线解析式，最后联立新的抛物线的解析式即可求出点；②当为时，同理可得； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式即可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时和当时，分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵令，得， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 当为时，如图， 设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴， 解得：， ∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴设， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴； 当为时，如图， 同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点， ∵， ∴，且点在轴负半轴， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时， 得， 解得：； 当时， 得， 解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数的性质，一次函数的解析式，旋转，平行四边形，两点之间的距离公式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握这些性质是解题的关键． 26. 关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）是定值， 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，得出，得出，再证明，利用，求出，设，则，利用，求出，则可求出，利用，求出，则可求出，最后利用勾股定理即可求解； （3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，证明四边形是矩形，得，证明，可得，证明，可得，再证明，求得，则可得，利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 得：， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $