精品解析：福建省厦门市集美区灌口中学（福建省厦门第一中学集美分校）2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期九年级两校联考数学试题 （本试卷共7页，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键． 根据有理数的大小比较法则：（1）正数都大于 0 ；（2）负数都小于 0 ；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，确定的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法，当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数是的值，当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数是的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 3. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为． 故选A． 4. 已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】∵10瓶饮料中有2瓶已过了保质期， ∴从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是. 故选C. 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和完全平方公式运算法则．根据完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意； 故选：C． 6. 如图是脊柱侧弯检测示意图，点E在的角平分线上．在体检时为方便测出的大小，需将转化为与它相等的一角，在利用三角函数求出该角的度数，就可得到的度数．以下使用的数学表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，角平分线的性质，得到，证明，得到，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵点E在的角平分线上，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，； 故只有选项B正确，其它选项均错误； 故选B． 7. 在直角坐标系中，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理，坐标与图形，根据坐标表示出，，再根据列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 解得：， 故选：C． 8. 已知抛物线上有点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，总有 B. 若，总有 C. 若，总有 D. 若，总有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为，抛物线与轴的两个交点之间的距离小于，根据四点的横坐标之间的距离判断它们所对应的值的大小即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，， 抛物线与轴的一个交点的横坐标在到之间， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 如下图所示， ， 当点在对称轴右侧时，如下图所示， 点，之间的距离是， 则有，， 故A选项错误； 当点在对称轴的左侧，点在对称轴右侧时，如下图所示， 、之间的距离是， 则有，， 故B选项错误； ， 如下图所示， 当、时， 由点与点的坐标可知， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 点一定在轴的上方， ， 如下图所示， 当、时， 由点与点的坐标可知， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 点一定在轴的上方， ， 故C选项正确； ， 如下图所示， 当，时， 由点和点的坐标可知， 点在轴的下方， ， 故D选项错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程2x－4=0的解是_____． 【答案】x=2． 【解析】 【详解】根据一元一次方程的解法，移项，系数化为1即可得解： 移项得，2x=4，系数化为1得，x=2． 10. 如图，线段沿方向平移至线段，，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】该题考查了平移的性质和平行线的性质，根据平移的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知反比例函数，若当时随的增大而增大，写出一个符合条件的的整数值：________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及反比例函数图像增减性与常数符号的关系，熟记当时随的增大而增大，则即可得到答案，熟记反比例函数图像增减性与常数符号的关系是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大， ， 一个符合条件的的整数值可取（写出任意负整数即可）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质，每周都会举行一次定点投篮比赛，学校为了解学生定点投篮情况，随机抽取了本次参赛的15名同学的投篮成绩，绘制了如下所示统计图，则这15名同学投进球数的中位数是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是第7个数，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是7个． 故答案为：7． 13. 如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，正多边形的性质，连接，，，根据正多边形和中心对称图形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正八边形正多边形， ∴正八边形是中心对称图形， ∴关于正八边形中心的对称三角形是， 故答案为：． 14. 已知实数a、b满足，则关于x的不等式解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的变形和一元一次不等式的解法．解题的关键是通过已知条件找到和判断．先把分式方程化为整式方程，整理后可以得到，再代入不等式中解不等式即可求解． 【详解】解：， 两边同时乘上，得， 整理得：， 将代入中，得： ，即， ， ， ， ． 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，是在上一点，沿翻折，使点佮好落在边上的点．的面积为，的面积为，设矩形面积为S，将S用表示为．其中S的表达式中所表示的线段可以是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，根据矩形的性质得到，由折叠的性质可得，根据可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴ ， ∴， ∴所表示的线段可以是或或， 故答案为：或或． 16. 如图，一副三角板（三角板含，三角板含）如图1摆放，，将三角板绕点E逆时针旋转，，旋转中与边所在直线交于点M，与边所在直线交于点N，下列说法正确的是_______．（填写序号） ①如图2，当时，与的面积比为； ②无论为何值，点G的路径长总是点F的路径长的倍； ③在三角板旋转过程中，总有； ④当时， 【答案】①②③ 【解析】 【分析】设，由题意可知，，，，当时，可证得，得，故①正确；在中，，则，，根据弧长公式即可判断②正确；过点分别作，，先证明，得，即可判断③正确；当时，过点作，分两种情况：当在线段上时，当在射线上时，可判断④错误． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 由题意可知，，，则， 当时，，则， ∴， ∴，故①正确； 在中，，则， ∴， ∵则点的路径长为，点的路径长为， ∴点的路径长总是点的路径长的倍，故②正确； 过点分别作，，则四边形是矩形，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 当时，过点作， 当在线段上时，， 则，， ∴， ∴，即； 当在射线上时，， 则，， ∴， ∴，即； ∴当时，或，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，弧长公式，勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据绝对值、开平方、负整数指数幂运算法则化简各项，再根据实数的混合运算顺序求解，即可解题． 【详解】解： ． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 和中， ∴， ∴． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 （1）请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ （2）为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】（1）万件 （2）每件衬衣至少需要定价元 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； 【小问2详解】 解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 21. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． （1）求的值，并写出和的数量关系； （2）若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，可得的值，根据对称轴公式可得和的数量关系； （2）根据点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，可得点坐标，结合的面积是的面积的倍，可得抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，把点坐标代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， ， 对称轴为直线， ， 即； 【小问2详解】 解：点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点， ， ， ， 的面积是的面积的倍，顶点为，对称轴为直线， 在抛物线对称轴上的高为，即， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点， ， 即， 抛物线的解析式为． 22. 如图，在正方形中，G是上一点，对角线交的外接圆于点F，连接，并延长交于点E； （1）请用尺规作图作出的外接圆的圆心O的位置；（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，求证：直线是的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形得到为直角三角形，那么直角三角形的外心为斜边中点，只需作出线段的垂直平分线即可； （2）连接，证明，，则，可得，那么，由圆周角定理得到，故，即，即可求证． 【小问1详解】 解：如图：点即为所作： 【小问2详解】 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，正方形的性质，圆的切线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 2025年国产《哪吒2魔童闹海》票房收入位居世界动画票房收入榜第一，哪吒玩偶热销．小丽在网上开设相关周边专卖店，一次，小丽发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少10元，花300元购进A款哪吒玩偶的数量与花600元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）求A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小丽将A款玩偶的销售单价定为a元，将B款玩偶的销售单价定为元，，小丽打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，A款的数量不少于B款的一半，且B款不少于20个，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小丽获得的最大总利润为多少？ 【答案】（1）10元，20元 （2）各购进60件，20件时，获得的最大总利润为560元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，先根据“款数量不小于款的一半，且B款不少于20个，”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款进货单价为元，则 B 款进货单价为元． 根据题意列方程：， 解得：， 故 A 款进货单价为 10 元， B 款进货单价为 20 元． 【小问2详解】 解：设购进款个，则购进款个， 又款的数量不小于款的一半，且B款不少于20个， ， 解得：， 设0总利润0为0，.则， ∵， 要使利润最大，则， 则， ， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小整数解20 时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：当款购进 60 个，款购进 20 个时，最大总利润为560 元． 24. 如图1，市政园林管理处有一辆人工喷水洒水车，车后有一个高压喷水枪固定在支架上，喷水枪头可人工水平往下转动，调整出水方向（喷头转动的过程中离地高度变化忽略不计，高压喷出水轨迹近似抽象为线段）．该车正在沿着道路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控喷水口与绿化带外侧之间的水平距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定开展数据收集：根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． （1）当人工喷水洒水车喷出的水刚好能浇灌到绿化带右上角点F时，测得，求喷水口H与绿化带外侧的水平距离． （2）市政园林管理处引进一辆自动喷水洒水车，如图2，小组发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到．要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． （3）数学小组查阅资料发现该绿化植物每月的长高会随着季节等因素的变化，经收集一年12个月的绿植长高数据，整理制得表： 月数n（单位：个） 3 2 1 4 2 长高（单位：m） 通常洒水车离绿化带内侧的距离要控制在不少于且不超过，绿化带现在的竖直高度高度为．随着绿化带的长高，喷水口也应适当升高，已知与的开口方向与大小不变，请问最迟经过几个月后绿化带需要修剪，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【答案】（1）米 （2） （3）个月 【解析】 【分析】（1）根据，根据相似三角形的性质求解即可； （2）用待定系数法求出函数解析式，令，求出的值，根据平移的特点求出点的坐标，根据点的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设 点，求 出，表示出，得出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ∵，，，， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又 ∵抛物线过点， ， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵对称轴直线， ∴点的对称点为， ∵平移后，仍过点， ∴是由向左平移4米得到的， ∵，点是由点向左平移4米得到的， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得：或（舍去）， ， 当时，随增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：根据表格可得：长高的平均数， 故， 由（2）可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点恰好分别在两条抛物线上， 设点， 则有， 解得：， ， ， 当时，， 即最迟经过个月后绿化带需要修剪． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质和判定，求加权平均数，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 25. 如图1，在平行四边形中，，点E在半径为1的上运动，当点E在上时，与相切． （1）如图1，连接，当点E在上，点F在边上，连接，并延长交的延长线于点G，若点F是中点，，求证：是等边三角形； （2）如图2，，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，请判断点F与的位置关系； （3）如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，设的最大值与最小值分别为m、n，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明即可得出是等边三角形； （2）作于，则，由， ，得到，推出，列得，由此求出，再分当落在右侧时和当落在左侧时两种情况求解即可； （3）作，且，连接，证明，得到，再证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差． 【小问1详解】 ∵点F是中点，， ∴． ∵与相切， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 ∵，点E在半径为1的上运动，当点E在上时，与相切，如图1， ∴， ∴． 作于， 在中，， ∴ ∴ 在， ， ∵ ∴ ， ∵， ， 当落在右侧时，，此时点F在圆外． 当落在左侧时，，此时点F在圆内； 【小问3详解】 如图，作交于点N，则，连接， 在中，，，平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，得，， ∴， 当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定，正确理解各判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级两校联考数学试题 （本试卷共7页，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 6 D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是脊柱侧弯检测示意图，点E在的角平分线上．在体检时为方便测出的大小，需将转化为与它相等的一角，在利用三角函数求出该角的度数，就可得到的度数．以下使用的数学表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线上有点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，总有 B. 若，总有 C. 若，总有 D. 若，总有 二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程2x－4=0的解是_____． 10. 如图，线段沿方向平移至线段，，则_____． 11. 已知反比例函数，若当时随的增大而增大，写出一个符合条件的的整数值：________. 12. 某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质，每周都会举行一次定点投篮比赛，学校为了解学生定点投篮情况，随机抽取了本次参赛15名同学的投篮成绩，绘制了如下所示统计图，则这15名同学投进球数的中位数是_______． 13. 如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心对称三角形是______． 14. 已知实数a、b满足，则关于x的不等式解集为_______． 15. 如图，在矩形中，是在上一点，沿翻折，使点佮好落在边上点．的面积为，的面积为，设矩形面积为S，将S用表示为．其中S的表达式中所表示的线段可以是______． 16. 如图，一副三角板（三角板含，三角板含）如图1摆放，，将三角板绕点E逆时针旋转，，旋转中与边所在直线交于点M，与边所在直线交于点N，下列说法正确的是_______．（填写序号） ①如图2，当时，与的面积比为； ②无论为何值，点G的路径长总是点F的路径长的倍； ③在三角板旋转过程中，总有； ④当时， 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 19. 化简： 20. 大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 （1）请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ （2）为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 21. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． （1）求的值，并写出和的数量关系； （2）若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 22. 如图，在正方形中，G是上一点，对角线交外接圆于点F，连接，并延长交于点E； （1）请用尺规作图作出的外接圆的圆心O的位置；（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，求证：直线是的切线． 23. 2025年国产《哪吒2魔童闹海》票房收入位居世界动画票房收入榜第一，哪吒玩偶热销．小丽在网上开设相关周边专卖店，一次，小丽发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少10元，花300元购进A款哪吒玩偶的数量与花600元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）求A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小丽将A款玩偶的销售单价定为a元，将B款玩偶的销售单价定为元，，小丽打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，A款的数量不少于B款的一半，且B款不少于20个，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小丽获得的最大总利润为多少？ 24. 如图1，市政园林管理处有一辆人工喷水洒水车，车后有一个高压喷水枪固定在支架上，喷水枪头可人工水平往下转动，调整出水方向（喷头转动的过程中离地高度变化忽略不计，高压喷出水轨迹近似抽象为线段）．该车正在沿着道路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控喷水口与绿化带外侧之间的水平距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定开展数据收集：根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． （1）当人工喷水洒水车喷出的水刚好能浇灌到绿化带右上角点F时，测得，求喷水口H与绿化带外侧的水平距离． （2）市政园林管理处引进一辆自动喷水洒水车，如图2，小组发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到．要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． （3）数学小组查阅资料发现该绿化植物每月的长高会随着季节等因素的变化，经收集一年12个月的绿植长高数据，整理制得表： 月数n（单位：个） 3 2 1 4 2 长高（单位：m） 通常洒水车离绿化带内侧的距离要控制在不少于且不超过，绿化带现在的竖直高度高度为．随着绿化带的长高，喷水口也应适当升高，已知与的开口方向与大小不变，请问最迟经过几个月后绿化带需要修剪，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 25. 如图1，在平行四边形中，，点E在半径为1的上运动，当点E在上时，与相切． （1）如图1，连接，当点E在上，点F在边上，连接，并延长交延长线于点G，若点F是中点，，求证：是等边三角形； （2）如图2，，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，请判断点F与的位置关系； （3）如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，设的最大值与最小值分别为m、n，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $