精品解析：2025年河南省商丘市睢县中考一模数学试题

2025年河南省初中学业水平考试全真模拟试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作， 故选：A． 2. 国产五代机歼战斗机，最大航程达．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】解：； 故答案为：B 3. 由8个大小相同的正方体搭成的立体图形如图所示，从上面看这个立体图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的平面图形可得答案，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：从上面观察这个立体图形，得到的平面图形是： 故选：． 4. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先由得到，从而得到，进而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 某中学举办的“大爱河南”演讲比赛中，比赛打分包括以下几项：演讲内容、语言表达、形象效果，若将这三项得分依次按，，的比例计算最终成绩，小明此次比赛的各项成绩如表： 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 90分 92分 则小明的最终成绩为（ ） A 92.6分 B. 92.4分 C. 93分 D. 92分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意可得： 小明的最终比赛成绩为（分）． 故选：A． 6. 如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 7. 如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴四个选项中，只有A选项，符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，． 9. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，点的坐标，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2025次旋转后矩形的位置是解题的关键．由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2025次旋转结束时与矩形点O顺时针旋转的位置一样，先结合相似三角形的判定与性质，求出矩形点的坐标，通过证明，得出点E的坐标，即可作答． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 旋转时与原矩形重合， ， 第2025次旋转结束时与矩形点O顺时针旋转的位置一样， 过点作轴交轴于点，如图所示： 矩形的顶点，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 在第二象限， 点坐标为 设为矩形点O顺时针旋转后的点D的对应点，连接，过做轴，如图所示： ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一象限， ∴ 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，，，长度可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的最小整数解是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及其整数解问题，先求出不等式组的解集，再求最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， ∴不等式组的最小整数解是0， 故答案为：0． 13. 如图是两个可以自由转动的转盘、，转盘分成3个大小相同的扇形，转盘分成4个大小相同的扇形，小明和小亮两个人做游戏，游戏规则如下：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时小明获胜；数字之和为奇数时小亮获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．那么小明获胜的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据画树状图法求概率即可， 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能的结果，其中数字之和为偶数的结果有种， ∴小明获胜概率是， 故答案为：． 14. 如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题关键．设，由可得，垂径定理可知，再勾股定理可得，求出，，由圆的切线可知，再利用列方程求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵，， ∴， ∴， 是的半径，是的弦，， ， 在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去） ∴，， ∴， ∵的切线PB交OA延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形中位线的性质，首先根据点，分别为，的中点，可以求出、、，是的中位线，当点，，恰好在一条直线上时，，利用勾股定理可以求出，再分点与点的位置关系分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，当点，，恰好在一条直线上时， ，，点，分别为，的中点， ， 是的中位线， ，， ， 在中，，，， ， 如下图所示， 当点，，恰好在一条直线上时，， 在中，， ； 如下图所示， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，分式的混合运算， （1）先根据算术平方根、零指数幂和负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）先计算分式的减法，再计算分式的除法； 掌握相应的运算法则，性质，公式及运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 17. 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践及笔试测试，并将成绩按一定权重进行整合汇总（百分制），现从八年级两个班中各随机抽取15名学生的成绩进行分析，过程如下： 【收集数据】 八（1）班：91，74，81，85，83，92，59，99，82，82，92，81，82，85，62． 八（2）班：93，93，84，77，89，83，92，83，81，73，81，84，86，84，47． 【整理数据】 八（1）班 0 1 1 1 8 4 八（2）班 1 0 0 a b 3 【分析数据】 平均数 众数 中位数 八（1）班 82 c 82 八（2）班 82 84 d 【应用数据】 （1）由如表填空：______，______，______，______； （2）若该校八年级有1200名学生，请你估计该校八年级学生在本次测试中成绩在90分以上（含90分）的人数； （3）你认为哪个班的学生劳动课程测试的成绩更好，并说明理由． 【答案】（1）2，9，82，84 （2）280人 （3）八（2）班的成绩更好，见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计表、求众数、中位数、用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义，结合题目中的数据即可求解； （2）先计算测试成绩在90分以上（含90分）的人数占比，再乘以1200即可求解； （3）根据中位数、众数的意义分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意知八（2）班共2人，共9人， ，， 八（1）班82分共有3人， 八（1）班级成绩的众数， 将八（2）班成绩重新排列第8个分数是84分，故． 故答案为：2，9，82，84． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级学生在本次劳动课程测试成绩在90分以上（含90分）的人数为280人． 【小问3详解】 解：八（2）班的成绩更好，理由：两个班的平均成绩相等，而八（2）班的中位数大于八（1）班的中位数，众数也大于八（1）班的众数． 18. 在无人机社团活动中，小明用无人机测量学校家属楼的高度，当无人机飞到点处时，测得家属楼顶端的俯角为，飞行到处时，测得家属楼底端的俯角为，已知无人机的飞行高度为，若点，，，在同一个平面内，求家属楼的高度（答案精确到整数．参考数据：，，）． 【答案】25米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过作，交的延长线于C，设，则，得到，解方程即可求出答案． 【详解】解：过作，交的延长线于C，如图所示： 设，则， ∵，， ∴在中，， 在中，， ， 解得：， 答：家属楼的高度约为25米． 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点，，将点绕点逆时针旋转得到点，点的旋转路径为，点落在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为点． （1）求点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）直接写出图中的阴影部分面积为______． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，全等三角形的判定与性质，求反比例函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，，，则有，，然后证明，再通过线段和差即可求出点的坐标； （）利用待定系数法即可求解； （）由（）得：，，由旋转性质可知，，由勾股定理得，通过即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转性质可知，，， ∵点，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点落在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式； 【小问3详解】 解：由（）得：， ∴， 由旋转性质可知，，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20. 商丘市宁陵县被誉为“中国酥梨之乡”，自古就有“吃了宁陵梨，不思他乡果”的美誉。某网店准备在经销商处购进一批宁陵梨进行网上销售，经调查，小箱宁陵梨单价为元，大箱宁陵梨单价为元，该网店准备先购进箱进行试销． （1）若该网店共花费了元，则大小箱宁陵梨各多少箱? （2）经销商推出会员卡制度，一次性付元．则购买宁陵梨可获八折优惠，该网店购买了会员卡，设购买箱宁陵梨花费元，其中小箱宁陵梨箱，求与之间的函数关系式： （3）在（2）的条件下，该网店共花费元进货，在销售中，小箱宁陵梨的销售价比大箱宁陵梨的销售价少元，每箱宁陵梨需运费元，则小箱宁陵梨定价至少为多少元时才能保证不亏本? (结果取整数) 【答案】（1）该网店购买小箱和大箱宁陵梨分别为箱、箱；（2）y与之间的函数关系式是；（3）小箱宁陵梨每箱定价不低于元时才能保证不亏本，具体过程见解析． 【解析】 【分析】（1）设小箱和大箱宁陵梨分别为x箱、y箱，其中x+y=1000，且进价总共花费22000元，可以列出二元一次方程组，分别求出x、y的值，即可得小箱、大箱宁陵梨的箱数； （2）设购买小箱x箱，则大箱为(1000-x)箱，分别乘以进价，所花费的钱款应等于500元的会员卡费加上进1000箱宁陵梨所花进价的0.8倍（享受八折优惠）； （3）将本题中y=20000代入（2）所得的方程式中，解出x的取值，可分别获得小箱、大箱宁陵梨的数量，再设小箱宁陵梨的售价为z元，则大箱宁陵梨的售价元，将销售价分别乘以小箱、大箱对应的箱数应大于等于购置成本加上运费的开销，即可求出小箱、大箱梨的售价． 【详解】解：（1）设该网店需购买小箱和大箱宁陵梨分别为x箱、y箱， 则 解得 答：该网店购买小箱和大箱宁陵梨分别为箱、箱． （2） ∴y与x之间的函数关系式是． （3）由（2）可得，且本小题中y=20000， 解得x=125，故该网店购买小箱和大箱宁陵梨分别为125箱、875箱， 设小箱宁陵梨的售价为z元，则大箱宁陵梨的售价元，则 ， 解得， ∴小箱宁陵梨每箱定价不低于24元时才能保证不亏本． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的解，解题的关键在于按照题意正确地写出对应的方程式，运算的过程中也要避免运算失误． 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为． （1）尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 【答案】（1）见解析 （2）①；②向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，垂线的尺规作图，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； （2）①根据顶点坐标得到，，则，根据对称性可得，则可求出，，再利用待定系数法求解即可；②设平移后的抛物线解析式为，先求出，在求出直线的解析式为；求出向左平移抛物线，且平移后的抛物线经过时m的值；求出向右平移抛物线时，平移后得到抛物线与线段只有一个公共点时m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； 【小问2详解】 解：①∵顶点D的坐标为，轴 ，， ，， ， ， ，， ，， 把，代入，， 解得：， 抛物线的解析式为； ②设平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 若向左平移抛物线，把代入得：， 解得，（舍去）， ， 若向右平移抛物线，令，整理得：， 当抛物线与线段只有一个公共点时，， 即，解得：， ， 抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位． 22. 问题情境：如图，中，点D为上一个动点，连接，过点D作，交于点E，若，探究线段与线段的关系． 小明根据学习函数的经验，设的长为，线段，，的长分别为，，，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 2.89 3.06 3.52 4.16 4.93 5.77 5 2.64 1.65 1.04 0.51 0 0 1.74 1.89 m 0.82 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） 可测出，m的值为______；（保留一位小数） （2）在如图的平面直角坐标系中，小明已经描绘出，关于x的函数图象，请描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出关于x的函数图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①图中，关于x的函数图象交于点M，可测出点M的横坐标为______，请说出点M的几何意义及此时的度数； ②当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；此时，为等腰直角三角形，；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据得出：当时，，即点D与点C重合时，，当时，，即点D与点A重合时，，当时，，，过点E作于点F，证明，得出，求出，根据，得出，求出结果即可； （2）先描点再连线即可得出答案； （3）①根据函数图象得出点M的横坐标，根据此时，得出点M的几何意义即可； ②先证明为钝角，得出为等腰三角形时，，得出，关于x的函数图象的交点的横坐标为的值，根据函数图象求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：当时，，即点D与点C重合时，， 当时，，即点D与点A重合时，， 当时，，， 过点E作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． 【小问2详解】 解：关于x的函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：①根据函数图象可知点M的横坐标约为， ∵此时， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②∵， ∴为钝角， ∴为等腰三角形时，， ∴，关于x的函数图象的交点的横坐标为的值， 根据函数图象可知，，关于x的函数图象的交点横坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了函数图象中获得信息，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 23. 综合与实践 《矩形折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 【提示】如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省初中学业水平考试全真模拟试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 国产五代机歼战斗机，最大航程达．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 由8个大小相同的正方体搭成的立体图形如图所示，从上面看这个立体图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数（ ） A B. C. D. 5. 某中学举办的“大爱河南”演讲比赛中，比赛打分包括以下几项：演讲内容、语言表达、形象效果，若将这三项得分依次按，，的比例计算最终成绩，小明此次比赛的各项成绩如表： 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 90分 92分 则小明的最终成绩为（ ） A. 92.6分 B. 92.4分 C. 93分 D. 92分 6. 如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，，，长度可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可） 12. 不等式组的最小整数解是______． 13. 如图是两个可以自由转动的转盘、，转盘分成3个大小相同的扇形，转盘分成4个大小相同的扇形，小明和小亮两个人做游戏，游戏规则如下：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时小明获胜；数字之和为奇数时小亮获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．那么小明获胜的概率是______． 14. 如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为______． 15. 如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践及笔试测试，并将成绩按一定权重进行整合汇总（百分制），现从八年级两个班中各随机抽取15名学生成绩进行分析，过程如下： 【收集数据】 八（1）班：91，74，81，85，83，92，59，99，82，82，92，81，82，85，62． 八（2）班：93，93，84，77，89，83，92，83，81，73，81，84，86，84，47． 【整理数据】 八（1）班 0 1 1 1 8 4 八（2）班 1 0 0 a b 3 分析数据】 平均数 众数 中位数 八（1）班 82 c 82 八（2）班 82 84 d 【应用数据】 （1）由如表填空：______，______，______，______； （2）若该校八年级有1200名学生，请你估计该校八年级学生在本次测试中成绩在90分以上（含90分）的人数； （3）你认为哪个班的学生劳动课程测试的成绩更好，并说明理由． 18. 在无人机社团活动中，小明用无人机测量学校家属楼的高度，当无人机飞到点处时，测得家属楼顶端的俯角为，飞行到处时，测得家属楼底端的俯角为，已知无人机的飞行高度为，若点，，，在同一个平面内，求家属楼的高度（答案精确到整数．参考数据：，，）． 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点，，将点绕点逆时针旋转得到点，点的旋转路径为，点落在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为点． （1）求点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）直接写出图中的阴影部分面积为______． 20. 商丘市宁陵县被誉为“中国酥梨之乡”，自古就有“吃了宁陵梨，不思他乡果”的美誉。某网店准备在经销商处购进一批宁陵梨进行网上销售，经调查，小箱宁陵梨单价为元，大箱宁陵梨单价为元，该网店准备先购进箱进行试销． （1）若该网店共花费了元，则大小箱宁陵梨各多少箱? （2）经销商推出会员卡制度，一次性付元．则购买宁陵梨可获八折优惠，该网店购买了会员卡，设购买箱宁陵梨花费元，其中小箱宁陵梨箱，求与之间的函数关系式： （3）在（2）的条件下，该网店共花费元进货，在销售中，小箱宁陵梨的销售价比大箱宁陵梨的销售价少元，每箱宁陵梨需运费元，则小箱宁陵梨定价至少为多少元时才能保证不亏本? (结果取整数) 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为． （1）尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 22. 问题情境：如图，中，点D为上一个动点，连接，过点D作，交于点E，若，探究线段与线段的关系． 小明根据学习函数的经验，设的长为，线段，，的长分别为，，，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 2.89 3.06 3.52 4.16 4.93 5.77 5 2.64 1.65 1.04 0.51 0 0 1.74 1.89 m 0.82 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） 可测出，m的值为______；（保留一位小数） （2）在如图的平面直角坐标系中，小明已经描绘出，关于x的函数图象，请描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出关于x的函数图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①图中，关于x函数图象交于点M，可测出点M的横坐标为______，请说出点M的几何意义及此时的度数； ②当为等腰三角形时，的长为______． 23. 综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $