专题13 动能与势能（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一下学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题13 动能与势能 1．（2024·北京朝阳竞赛）一个质量为m的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为r，内径和外径之比为。当薄板在水平冰面上以角速度ω匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河南郑州期末）一均匀细杆可绕垂直它而离其一端（l为杆长）的水平固定轴O在竖直平面内转动，杆的质量为m，当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度，如杆恰能持续转动而不作往复摆动（一切摩擦不计）[已知细杆绕轴O的转动惯量]则需要（　　） A． B． C． D． 3．（2023·湖南邵阳竞赛）从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知取无穷远处为零势点，质量为m的物体（1）在距离地心处具有的引力势能为；（2）在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为；式中G为引力常量，M为地球质量。地球表面的重力加速度大小=。 （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）； （2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 4．（2022·全国竞赛）位力定理的证明 （1）我们定义这样一个量：求和是对整个多质点的系统进行的，其中是第个质点的动量，是第个质点的位置矢量。我们把对时间求导，我们假设这个系统是处于周期性的稳态下的，求对时间的导数的时间平均值。 （2）我们假设这个系统的相互作用势能的形式如下。那么请讨论系统总动能和总势能之间满足的数学关系。 （3）接上小问，请求出在天体系统和弹簧系统中的数学关系。 （4）本小问讨论位力定理在热力学系统中的应用。 ①利用上一问的结论，请推导出理想气体压强和分子平均动能，分子数密度的关系。我们假设理想气体分子之间没有任何的相互作用。 ②接上小问，请推出光子气体系统中的压强和分子平均动能，分子数密度的关系 5．（2018·全国竞赛）一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动.  杆在水平状态由静止开始下摆， （1）令表示细杆质量线密度.  当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 式中，为待定的没有单位的纯常数.  已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出、和的值. （2）已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值。 （3）试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为。 提示：如果是的函数，而是的函数，则对的导数为 例如，函数对自变量的导数为 6．（2022·全国强基计划）LIGO探测器在2015年首次探测到了黑洞合并所辐射出的引力波，从而验证了爱因斯坦广义相对论的预言。在本问题中，我们将根据一个简化的物理模型来展示如何通过对引力波的观测来估计双黑洞系统的特征质量。 （1）假定有两个相距为r的黑洞其质量分别为和。在牛顿力学框架下，求两个黑洞绕其质心旋转的圆频率，结果用以下变量表达：万有引力常数G，r，约化质量，以及总质量。 （2）在牛顿力学框架下，求系统的总能量。 （3）根据广义相对论，这样的两个绕质心旋转的黑洞体系会辐射出引力波，从而损失能量。在简化分析下，对应于引力波的辐射功率P具有如下形式的表达式，这里，而。求常数，，。 （4）假定，求两个黑洞绕质心旋转的角度频率的时间变化率。结果以如下变量表达：G，，以及啁啾质量M。这里的啁啾质量。从本命题中你会发现，可以通过对引力波的频率及其时间变化率的观测来得到黑洞系统的啁啾质量。 7．（2017·北京竞赛）轻且不可伸长的线悬挂质量为的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力作用下移至图2中位置，试分析整个过程中系统受力及做功，并求圆柱体的速度，线长，不计摩擦． 8．（2022·全国竞赛）一物体按规律x = ct3做直线运动，式中c为常数，t为时间。 设介质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为ｋ。 试求物体由运动到，阻力所作的功。 9．（2019·全国竞赛）两个质量同为m的小球，用长为2L的轻绳连接后放在光滑的水平面上，绳恰好处于伸直状态，如图甲所示．设有一个沿水平面且与绳长方向垂直的恒力F作用于绳的中点，两小球因此运动．试问：在两小球第一次相碰前瞬间，各自在垂直于F作用线方向上的分速度大小和沿着F作用线方向上的分速度大小分别为多大？ 数学参考：． 10．（2022·全国竞赛）如图所示，有一在坐标平面内做圆周运动的质点受一力的作用。 求该质点从坐标原点运动到（0，2R）位置过程中，力对它所作的功。 11．（2022·全国竞赛）一个力F作用在质量为1.0 kg的质点上，使之沿x轴运动。 已知在此力作用下质点的运动方程为（SI）。 求在0到4s的时间间隔内： （1）力F的冲量大小I； （2）力F对质点所作的功 12．（2017·北京竞赛）质量为的卡车上载一质量为的木箱，以速度沿平直路面行驶，因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了距离，卡车滑行的距离为．已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车轮和地面的每动摩擦系数为． （1）如果和已知，试分别以木箱、卡车和地面为参考系讨论木箱和卡车间的摩擦力、，所做的功及其做功之和，试说明摩擦力做功的特点． （2）求和． 13．（2019·全国竞赛）如图甲所示，滑轮与绳间无摩擦，变力F使A点以水平匀速运动，其他参量已标出，求F的功率P． 14．（2019·全国竞赛）一质量为m、半径为r的匀质圆环在水平直轨道上做纯滚动，环心的速度为v，求图甲所示那一时刻圆环的动能． 15．（2019·全国竞赛）长l、质量为m的匀质细绳团放在地面上，以竖直向上的恒力F拉绳的一端，当绳的另一端刚好离地时，速度为v，试求F． 16．（2019·全国竞赛）如图所示的装置中，重物质量为m，开始时车静止在A点，且绳已经绷直，然后车加速向左运动，过B点时的速度为，已知，求车从A移动到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功． 17．（2017·北京强基计划）一盛水的容器绕竖直中心轴匀速转动，问容器中水面形状。 18．（2019·全国竞赛）质量m=1.6kg的物体用劲度系数k=250N/m的弹性橡皮绳挂在天花板上．突然推一下使物体具有竖直向上的初速度．求物体上升的最大高度（从起点算起，g取）． 19．（2010·全国竞赛）如图所示是医生给病人输液用的普通输液器．在输液时，A管与大气相通，B管下面连接一小容器C，然后再用皮管经调节器连接到注射针头．药液沿皮管向下流，到容器C中被隔断（C内有少量空气），并以液滴形式下滴，再经皮管和注射针头进入人体． （1）试分析容器C的作用 （2）设输液瓶口到注射针头D的平均高度h=70cm，人体血管内血液的平均压强约为1.0atm，普通注射针头的内壁直径为0.30mm．假设通过调节输液管上的调节器，使得从瓶口到针头间的液体在流动过程中受到的粘滞阻力为其所受重力的9/10，试估算按上述条件输500mL药液所需的时间． 20．（2020·全国竞赛）为了提高风力发电的效率，我国目前正逐步采用变桨距（即调节风机叶片与风轮平面之间的夹角，当风速小时使叶片的迎风面积增大，当风速超过一定限度时使叶片的迎风面积减小，以稳定其输出功率）控制风力发电机替代定桨距控制风力发电机。图a所示中风力发电机每片叶片长度为54 m，定桨距风机和变桨距风机的功率与风速的对应关系如图b所示，所处地域全天风速均为7.5 m/s，空气密度为1.29 kg/m3，煤的燃烧值为2.9×107 J/kg。每小时进入一台变桨距控制风力发电机的风的初始动能与完全燃烧 kg煤所放出的热量相当，变桨距控制风力发电机将风能转化成电能的效率为 %。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题13 动能与势能 1．（2024·北京朝阳竞赛）一个质量为m的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为r，内径和外径之比为。当薄板在水平冰面上以角速度ω匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将空心环形薄板视为由无数个半径不同的细圆环组成。设空心环形薄板内径r1 = r，外径，其面密度 取半径为r，宽度为dx的细圆环，其质量 细圆环转动惯量 则空心环形薄板转动惯量为 则根据转动动能公式 带入空心环形薄板转动惯量得 故选A。 2．（2023·河南郑州期末）一均匀细杆可绕垂直它而离其一端（l为杆长）的水平固定轴O在竖直平面内转动，杆的质量为m，当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度，如杆恰能持续转动而不作往复摆动（一切摩擦不计）[已知细杆绕轴O的转动惯量]则需要（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】恰好到达最高点时，重心升高 ,在转动的过程中，满足机械能守恒 解得 若做完整的圆周运动，应满足。 故选A。 3．（2023·湖南邵阳竞赛）从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知取无穷远处为零势点，质量为m的物体（1）在距离地心处具有的引力势能为；（2）在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为；式中G为引力常量，M为地球质量。地球表面的重力加速度大小=。 （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）； （2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 【答案】（1）72km/s，与OC夹角；（2）7.4km/s 【详解】（1）这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面（此平面是C点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度v）必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考查椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上。已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴a的关系为 （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径是R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 （2） 设发射时导弹的速度为v，则有 （3） 解（1）、（2）、（3）式得 （4） 因 （5） 比较（4）、（5）两式得 （6） 代入有关数据得 v=7．2 km/s（7） 速度的方向在C点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP，从图中可看出，速度方向与OC的夹角 （8） （2）由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为 （9） 式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600 s=86400 s，故 （10） C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（C点）的发射速度应有一大小等于vC，方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为 （11） 代入有关数据得 （12） 它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。 4．（2022·全国竞赛）位力定理的证明 （1）我们定义这样一个量：求和是对整个多质点的系统进行的，其中是第个质点的动量，是第个质点的位置矢量。我们把对时间求导，我们假设这个系统是处于周期性的稳态下的，求对时间的导数的时间平均值。 （2）我们假设这个系统的相互作用势能的形式如下。那么请讨论系统总动能和总势能之间满足的数学关系。 （3）接上小问，请求出在天体系统和弹簧系统中的数学关系。 （4）本小问讨论位力定理在热力学系统中的应用。 ①利用上一问的结论，请推导出理想气体压强和分子平均动能，分子数密度的关系。我们假设理想气体分子之间没有任何的相互作用。 ②接上小问，请推出光子气体系统中的压强和分子平均动能，分子数密度的关系 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析 【详解】（1）根据动量定理和速度的定义 考虑到系统做周期运动，一个周期后还原不变，所以有 所以有 （2）根据势能的定义 #4 考虑到非相对论情形下物体动能为 所以有 带入上一问的结论后就有 （3）对于天体 对于弹簧 ①系统受力仅仅来自于器壁的压强 所以有 所以有 ②对于光子 所以有 或者 为光子气体的内能密度。 5．（2018·全国竞赛）一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动.  杆在水平状态由静止开始下摆， （1）令表示细杆质量线密度.  当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 式中，为待定的没有单位的纯常数.  已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出、和的值. （2）已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值。 （3）试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为。 提示：如果是的函数，而是的函数，则对的导数为 例如，函数对自变量的导数为 【答案】（1）；（2）；（3），。 【详解】（1）当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其动能是独立变量、和的函数，按题意 可表示为 ① 式中，为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为、和（它们可视为相互独立的基本单位），则、、和的单位分别为 ② 在一般情形下，若表示物理量的单位，则物理量可写为 ③ 式中，表示物理量在取单位时的数值，这样①式可写为 ④ 在由②表示的同一单位制下，上式即 ⑤ ⑥ 将②中第四 式代入⑥式得 ⑦) (2)式并未规定基本单位、和的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的、和均成立，于是 ⑧ 所以 ⑨ （2）由题意，杆的动能为 ⑩ 其中 (11) 注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能为 (12) 将⑩、 (11)、 (12)式代入⑩式得 (13) 由此解得(14) 于是(15) （3）以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒 (16) 由(15)、(16)式得 (17) 以在杆上距点为处的横截面外侧长为的那一段为研究对象，该段质量为，其质心速度为 (18) 设另一段对该段的切向力为(以增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为(以指向点方向为正向)，由质心运动定理得 (19) (20) 式中，为质心的切向加速度的大小 (21) 而为质心的法向加速度的大小 (22) 由(19)、(20)、(21)、(22)式解得 (23) (24) 6．（2022·全国强基计划）LIGO探测器在2015年首次探测到了黑洞合并所辐射出的引力波，从而验证了爱因斯坦广义相对论的预言。在本问题中，我们将根据一个简化的物理模型来展示如何通过对引力波的观测来估计双黑洞系统的特征质量。 （1）假定有两个相距为r的黑洞其质量分别为和。在牛顿力学框架下，求两个黑洞绕其质心旋转的圆频率，结果用以下变量表达：万有引力常数G，r，约化质量，以及总质量。 （2）在牛顿力学框架下，求系统的总能量。 （3）根据广义相对论，这样的两个绕质心旋转的黑洞体系会辐射出引力波，从而损失能量。在简化分析下，对应于引力波的辐射功率P具有如下形式的表达式，这里，而。求常数，，。 （4）假定，求两个黑洞绕质心旋转的角度频率的时间变化率。结果以如下变量表达：G，，以及啁啾质量M。这里的啁啾质量。从本命题中你会发现，可以通过对引力波的频率及其时间变化率的观测来得到黑洞系统的啁啾质量。 【答案】（1）；（2）；（3），，；（4） 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 联立可得 （2）在牛顿力学框架下，系统的总能量 （3）根据量纲法 对比 可得 ，， 则 （4）根据 ， 联立可得 7．（2017·北京竞赛）轻且不可伸长的线悬挂质量为的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力作用下移至图2中位置，试分析整个过程中系统受力及做功，并求圆柱体的速度，线长，不计摩擦． 【答案】 【详解】设线长，圆柱体质量为，框架的质量为，以和构成质点系，设在图示位置圆柱体的速度为，框架的速度为． 质点系所受外力中，水平力做功 ， 圆柱体重力做功 ； 轻线拉力、框架重力和框架所受框架槽的支持力均不做功（力与受力质点位移垂直）.质点系内力是和间的相互作用力，它们与受力质点相对位移垂直做功之和为零. 方法一： 根据质点系动能定理，有 由于，则 解得 方法二: 圆柱：   （1） 框架： =   （2） 关联：   （3） + 解得 8．（2022·全国竞赛）一物体按规律x = ct3做直线运动，式中c为常数，t为时间。 设介质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为ｋ。 试求物体由运动到，阻力所作的功。 【答案】 【详解】阻力 阻力做功     因 =3ct2，且 dx=3ct2dt   x=0时，t=0；x=l时， 有 9．（2019·全国竞赛）两个质量同为m的小球，用长为2L的轻绳连接后放在光滑的水平面上，绳恰好处于伸直状态，如图甲所示．设有一个沿水平面且与绳长方向垂直的恒力F作用于绳的中点，两小球因此运动．试问：在两小球第一次相碰前瞬间，各自在垂直于F作用线方向上的分速度大小和沿着F作用线方向上的分速度大小分别为多大？ 数学参考：． 【答案】     【详解】（两小球、一轻绳）体系的质心参考系：如图乙所示，据质心系质点系动能定理，有 ，． 两小球第一次相碰前瞬间，，则． 轻绳中心参考系：如图丙所示，由运动学关联，有 ， 为小球相对O点运动的速度． 得． 转过所需时间． 转过所需时间． 地面参考系： 据动量定理，有， 得． 10．（2022·全国竞赛）如图所示，有一在坐标平面内做圆周运动的质点受一力的作用。 求该质点从坐标原点运动到（0，2R）位置过程中，力对它所作的功。 【答案】 【详解】由功的定义可得 11．（2022·全国竞赛）一个力F作用在质量为1.0 kg的质点上，使之沿x轴运动。 已知在此力作用下质点的运动方程为（SI）。 求在0到4s的时间间隔内： （1）力F的冲量大小I； （2）力F对质点所作的功 【答案】（1）16Ns；（2）176J 【详解】（1）由速度和位移的关系可得 可知初速度和4s末的速度为 由动量定理可得 （2）由动能定理可得 12．（2017·北京竞赛）质量为的卡车上载一质量为的木箱，以速度沿平直路面行驶，因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了距离，卡车滑行的距离为．已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车轮和地面的每动摩擦系数为． （1）如果和已知，试分别以木箱、卡车和地面为参考系讨论木箱和卡车间的摩擦力、，所做的功及其做功之和，试说明摩擦力做功的特点． （2）求和． 【答案】（1） 参照物 f的功 f′的功 一对力功之和 木箱 -μ1mgl 0 -μ1mgl 卡车 0 -μ1mgl -μ1mgl 地面 μ1mgl -μ1mg（l+L） -μ1mgl 由上面计算发现，摩擦力既可以做正功也可以做负功，但是一对摩擦力做功之和一定是负功，大小与物体间的相对位移相关． （2）， 【详解】（1）分别对卡车和木箱进行受力分析 参照物 f的功 f′的功 一对力功之和 木箱 -μ1mgl 0 -μ1mgl 卡车 0 -μ1mgl -μ1mgl 地面 μ1mgl -μ1mg（l+L） -μ1mgl 由上面计算发现，摩擦力既可以做正功也可以做负功，但是一对摩擦力做功之和一定是负功，大小与物体间的相对位移相关． （2）方法一 根据质点动能定理 对：    （1） 对：   （2） 得： ， 方法二: 根据质点系动能定理 外力做的功： 内力做功：利于相对位移的标积    （3） 解（3）和（1）或（3）和（2）得： ， 13．（2019·全国竞赛）如图甲所示，滑轮与绳间无摩擦，变力F使A点以水平匀速运动，其他参量已标出，求F的功率P． 【答案】 【详解】如图乙所示，设绳与竖直方向的夹角为，则 ． 再设绳的拉力为T，m上升的加速度为，显然，． m做加速运动，所以 ． 由于A点做匀速运动，其加速度为零，故沿绳的方向上的加速度也为零，所以，与速度对应的沿绳向上的向心加速度与沿绳的方向向下的加速度相等，而绳的方向上的加速度与m上升的加速度一样，且等于，则 ． ∴， ∴ ． 14．（2019·全国竞赛）一质量为m、半径为r的匀质圆环在水平直轨道上做纯滚动，环心的速度为v，求图甲所示那一时刻圆环的动能． 【答案】 【详解】在环上取与竖直直径交角的一条直径两端的两弧元，这两弧元的速度分别为、，如图乙所示，则这两弧元的动能为 ， ． 上式中，这实质上就是柯尼希定理． 15．（2019·全国竞赛）长l、质量为m的匀质细绳团放在地面上，以竖直向上的恒力F拉绳的一端，当绳的另一端刚好离地时，速度为v，试求F． 【答案】 【详解】由质心运动定理，有． 可假想地处理成质点系合外力作用于质心（质点）的“牛顿第二定律”，由此可导得质心动能定理： ，， 其中是合外力对质心所做的“功”．本题将采用这一“定理”来求解F． 如图所示，上升绳段长为x时，整条细绳的质心C距离地面的高度为 ． 细绳再上升高度，质心C相应的上升量为 ． 细绳所受外力中，除F外，还有x绳段所受重力，地面上余下绳段受重力和受地面向上的支持力，这两个力相互抵消．于是在质心上升的元过程中，合外力对质心所做“元功”为 ． 从开始到绳下端离开地面的全过程，有 ． 由此解得． 16．（2019·全国竞赛）如图所示的装置中，重物质量为m，开始时车静止在A点，且绳已经绷直，然后车加速向左运动，过B点时的速度为，已知，求车从A移动到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功． 【答案】 【详解】设车运动到B点时，重物的速度为v，由速度关联有 ． 对重物，由动能定理：． 而， 由此可得． 17．（2017·北京强基计划）一盛水的容器绕竖直中心轴匀速转动，问容器中水面形状。 【答案】水面形状为抛物线，方程为 【详解】以水凹面的低端为坐标原点，建立h—r坐标系，稳定后，水面上任意位置的处的质量为m的小水滴，重力势能和离心势能的和保持不变，因此 解得 又由于凹面的低端为坐标原点，因此 故水面形状为抛物线，方程为 18．（2019·全国竞赛）质量m=1.6kg的物体用劲度系数k=250N/m的弹性橡皮绳挂在天花板上．突然推一下使物体具有竖直向上的初速度．求物体上升的最大高度（从起点算起，g取）． 【答案】82mm 【详解】弹性橡皮绳子不同于弹簧，它只有在拉伸状态才有弹力作用，因此，在解答本题时，应确定物体上升的高度是否越过了橡皮绳原长的位置． 设所求高度为h，弹性橡皮绳初伸长量为，重力势能从物体初始位置算起，从物体平衡条件得出 ， 即：． 假设物体上升的高度超出了橡皮绳原长位置，则有 ， 解得  ，假设成立． 即物体从起点处上升的高度为82mm． 19．（2010·全国竞赛）如图所示是医生给病人输液用的普通输液器．在输液时，A管与大气相通，B管下面连接一小容器C，然后再用皮管经调节器连接到注射针头．药液沿皮管向下流，到容器C中被隔断（C内有少量空气），并以液滴形式下滴，再经皮管和注射针头进入人体． （1）试分析容器C的作用 （2）设输液瓶口到注射针头D的平均高度h=70cm，人体血管内血液的平均压强约为1.0atm，普通注射针头的内壁直径为0.30mm．假设通过调节输液管上的调节器，使得从瓶口到针头间的液体在流动过程中受到的粘滞阻力为其所受重力的9/10，试估算按上述条件输500mL药液所需的时间． 【答案】(1)小容器C是用来观察输液的快慢  (2)所需的时间为 【详解】（1）液体在皮管内连续流动，它的速度是很难观察的，而液滴下落的快慢是很容易观察的．因此，小容器C是用来观察输液的快慢．开始输液时，医生总是先观察C中液滴下落的快慢，并通过适当的调节以控制输液的速度． （2）因为瓶口处和针头接触的血液处压强近似相等，液体的流动近似看作只受重力和阻力作用下的运动，由功能关系得 即，代入数据得 针头内的横截面积为 每秒注入液体的体积为 故所需的时间为 20．（2020·全国竞赛）为了提高风力发电的效率，我国目前正逐步采用变桨距（即调节风机叶片与风轮平面之间的夹角，当风速小时使叶片的迎风面积增大，当风速超过一定限度时使叶片的迎风面积减小，以稳定其输出功率）控制风力发电机替代定桨距控制风力发电机。图a所示中风力发电机每片叶片长度为54 m，定桨距风机和变桨距风机的功率与风速的对应关系如图b所示，所处地域全天风速均为7.5 m/s，空气密度为1.29 kg/m3，煤的燃烧值为2.9×107 J/kg。每小时进入一台变桨距控制风力发电机的风的初始动能与完全燃烧 kg煤所放出的热量相当，变桨距控制风力发电机将风能转化成电能的效率为 %。 【答案】 3.1×102 16 【详解】[1][2]在一个小时内空气进入发电机的总质量为 则空气的总动能为 则等效燃烧的煤的质量为 则进风的原始功率为 由图可知当前风速的实际功率为，因此效率为 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$