专题11 圆周运动（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一下学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题11 圆周运动 1．（2022·全国竞赛）三个质量皆为的小球a、b、c由三段长度皆为的不可伸长的轻细线、、相继连接，竖直悬挂，并处于静止状态，如图所示。在某一时刻，小球a、b受到水平方向的冲击，分别获得向右、向左的大小为的速度。此时，中间那段细线的张力大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2009·全国竞赛）电脑中用的光盘驱动器，可使光盘以恒定角速度转动。光盘上凸凹不平的小坑就是存贮的数据信息记录。激光头发出激光在扫描这些凸凹不平的小坑的过程中，可读取相应的数据信息。要求激光头在读取数据过程中，每秒读取的数据量相同，那么光盘上凸凹不平的小坑的密集程度应为（　　） A．越靠近内圈越密集 B．越靠近外圈越密集 C．中间位置最密集 D．各处密集程度相同 3．（2022·四川遂宁竞赛）（多）如图甲所示，长为2L的竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为m的小球结上长度均为L不可伸长的两轻质细线a、b，a细线的另一端结在竖直细杆顶点A，细线b的另一端结在杆的中点B。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙。不计空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．当细线b刚好拉直时，杆转动的角速度 B．当细线b刚好拉直时，细线a的拉力=2mg C．从细杆转动开始到细线b刚好拉直时，细线a对小球做功 D．当细线b刚好拉直时，同时剪断细线a、b，小球落地时，小球到竖直杆的距离是 4．（2023·浙江台州竞赛）现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，小球质量为m，速度为v，绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，则（　　） A．小球的运动周期为 B．绳子拉力为 C．小球运动半周，重力的冲量为 D．小球运动半周，绳对小球施加的冲量为 5．（2023·北京强基计划）（多）水杯绕其对称轴匀速旋转过程中，稳定情况下（　　） A．水会由于黏滞阻力而停下 B．水会随着水杯匀角速旋转 C．形成的水面形状为旋转抛物面 D．形成的水面形状为旋转双曲面 E．形成的水面形状为旋转半椭圆面 6．（2007·全国竞赛）如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB =2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用θ表示，θ为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成θ的函数）。 7．（2007·全国竞赛）有一只狐狸以不变速度沿着直线逃跑，一猎犬以不变的速率紧迫，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在处，猎犬在处，，且（如图），试求此时猎犬的加速度的大小。 8．（2020·全国竞赛）球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求： （1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围； （2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。     （可利用不等式：设均为正数，则  等号当且仅当时成立。） 9．（2022·全国竞赛）一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。求： （1）物体在A点的切向加速度大小；（2）轨道的曲率半径。 10．（2007·全国竞赛）一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动。杆最初处在水平位置。杆上距O为a处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态如图所示。若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？ 11．（2007·全国竞赛）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图1所示，已知，绳长为点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小。（珠子与绳子之间无摩擦） 注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度，可以证明，an=，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图2中曲线在A点的曲率半径为，在B点的曲率半径为。 12．（2007·全国竞赛）一质量为m的小球与一长为l的细绳组成一单摆，现将此单摆从与竖直线成的位置静止释放，在摆动的途中，摆绳为一小木柱所阻。木桩与摆的悬挂点相距r，两者的连线与竖直线成β角，如图所示。 （1）若摆绳为小木桩所阻后，小球在继续上升过程中摆绳发生弯曲。试求出在此情况时，r、l、β与α之间应满足的关系式。 （2）若将单摆从适当的α角位置处静止释放，摆绳为小木桩所阻后，小球能击中小木桩，试求此α值（将结果以cosα的形式表示之）。 13．（2024·海口自主招生）一只狼沿半径为R的圆形岛边缘沿逆时针方向匀速跑动，如图所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼.若追击过程中，狼、猎犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的? 14．（2019·全国竞赛）狐狸以不变速度沿着直线AB奔跑，猎夫以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，，且．如图甲所示．试求： （1）此时猎犬运动加速度的大小； （2）猎犬追上狐狸的时间． 15．（2022·全国竞赛）在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为（c为常数），求 （1）质点从0到t时刻走过的路程S（t）； （2）t时刻质点的切向加速度； （3）t时刻质点的法向加速度。 16．（2012·全国竞赛）一质量为的人造卫星在离地面的高度为的高空绕地球做圆周运动，那里的重力加速度。由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降。已知物体在密度为的流体中以速度运动时受到的阻力可表示为，式中是物体的最大横截面积，是拖曳系数，与物体的形状有关，当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数，取卫星的最大横截面积。已知地球的半径为。试由以上数据估算卫星所在处的大气密度。 17．（2022·全国竞赛）一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放。求： （1）放手时棒的角加速度； （2）棒转到水平位置时的角加速度。 18．（2023·河南郑州期末）直线AB以恒定速度在图示平面内沿y方向平动，在此平面内有一半径为r的固定的圆，求在直线越出圆周范围之前因直线与此圆周的交点P的位置变化引起速度和加速度与的函数关系。 19．（2017·北京强基计划）半径为质量为的匀质光滑圆环上套有一质量为的小环，初始给小环一个切向的初速度，试讨论大环圆心的运动及其速率。 20．（2010·全国竞赛）如图所示，、、为三个质点，的质量远远大于、的质量，和的质量相等。已知、之间，、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动： 、、的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点的质量远远大于、的质量，可认为该轴过质点且固定不动；连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等，且，。若之间吸引力的大小，之间吸引力的大小为，其中、分别为、与、之间的距离，为比例系数，不计重力的影响。试问的值在什么范围内，上述运动才能实现？ 21．（2022·全国竞赛）一根长l、质量为m的匀质杆，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度，这时受轴的力的大小为多少？ 22．（2022·全国竞赛）一质点沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长与时间的一次方成正比。试问该质点加速度的大小是越来越大，还是越来越小？（已知法向加速度 ，其中为曲线的曲率半径） 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题11 圆周运动 1．（2022·全国竞赛）三个质量皆为的小球a、b、c由三段长度皆为的不可伸长的轻细线、、相继连接，竖直悬挂，并处于静止状态，如图所示。在某一时刻，小球a、b受到水平方向的冲击，分别获得向右、向左的大小为的速度。此时，中间那段细线的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知球a  、b的加速度分别为 以b为参考系，对c分析 解得 以a为参考系，对b 分析 解得 故选D。 2．（2009·全国竞赛）电脑中用的光盘驱动器，可使光盘以恒定角速度转动。光盘上凸凹不平的小坑就是存贮的数据信息记录。激光头发出激光在扫描这些凸凹不平的小坑的过程中，可读取相应的数据信息。要求激光头在读取数据过程中，每秒读取的数据量相同，那么光盘上凸凹不平的小坑的密集程度应为（　　） A．越靠近内圈越密集 B．越靠近外圈越密集 C．中间位置最密集 D．各处密集程度相同 【答案】A 【详解】同一张光盘，角速度相等，根据 所以内圈外圈的转动周期相同。每一圈的信息量等于周长与小坑数的乘积。每一圈的周长 半径越大，周长越长，由于每秒读取的数据量相同，所以越靠近内圈，周长越短，小坑越密集。 故选A。 3．（2022·四川遂宁竞赛）（多）如图甲所示，长为2L的竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为m的小球结上长度均为L不可伸长的两轻质细线a、b，a细线的另一端结在竖直细杆顶点A，细线b的另一端结在杆的中点B。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙。不计空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．当细线b刚好拉直时，杆转动的角速度 B．当细线b刚好拉直时，细线a的拉力=2mg C．从细杆转动开始到细线b刚好拉直时，细线a对小球做功 D．当细线b刚好拉直时，同时剪断细线a、b，小球落地时，小球到竖直杆的距离是 【答案】BC 【详解】A．当细线b刚好拉直时，小球受合力提供向心力，如图所示，由几何关系可知 F合=mg=mg 由牛顿第二定律可有 A错误； B．当细线b刚好拉直时，细线a的拉力 ==2mg B正确； C．从细杆转动开始到细线b刚好拉直时，小球上升的高度为 h= 小球的线速度为 细线a对小球做功为 C正确； D．当细线b刚好拉直时，同时剪断细线a、b，小球将沿圆周的切线方向做平抛运动，在水平方向有 在竖直方向有 解得 小球落地时，小球到竖直杆的距离是 D错误。 故选BC。 4．（2023·浙江台州竞赛）现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，小球质量为m，速度为v，绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，则（　　） A．小球的运动周期为 B．绳子拉力为 C．小球运动半周，重力的冲量为 D．小球运动半周，绳对小球施加的冲量为 【答案】AD 【详解】B．竖直方向根据受力平衡可得 解得绳子拉力为 故B错误； A．根据牛顿第二定律可得 解得周期为 故A正确； C．小球运动半周，重力的冲量为 故C错误； D．小球运动半周，合外力的冲量为 由 且 可做出如下的矢量关系图 则有 故D正确。 故选AD。 5．（2023·北京强基计划）（多）水杯绕其对称轴匀速旋转过程中，稳定情况下（　　） A．水会由于黏滞阻力而停下 B．水会随着水杯匀角速旋转 C．形成的水面形状为旋转抛物面 D．形成的水面形状为旋转双曲面 E．形成的水面形状为旋转半椭圆面 【答案】BC 【详解】由于黏滞阻力，水最终会随着水杯一起匀速旋转，相对于水杯静止后，水滴只受重力和其他水的支持力，液面截面为抛物面。 故选BC。 6．（2007·全国竞赛）如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB =2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用θ表示，θ为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成θ的函数）。 【答案】； 【详解】由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB．若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得 （1） （2） 因而 （3） 由能量守恒                          （4） 由（3）、（4） 两式及得         （5） （6） 7．（2007·全国竞赛）有一只狐狸以不变速度沿着直线逃跑，一猎犬以不变的速率紧迫，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在处，猎犬在处，，且（如图），试求此时猎犬的加速度的大小。 【答案】 【详解】猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小与方向在不断改变。从所讨论的时刻开始考虑一段很短的时间，在这段时间内猎犬运动的轨迹可近似看作是一段圆弧，设其半径为，则加速度是 ① 其方向与速度的方向垂直。如图6'-7所示，设在这时间内狐狸与猎犬分别到达与，猎犬的速度方向转过的角度为 ② 而狐狸跑过的距离是 ③ （越小，此式越精确。）因而 ④ 此题要求学生能就一个具体问题讨论匀速曲线运动中加速度与速度方向的改变的关系，可检查学生对速度、加速度概念的理解。学生如能采用以下解法就更好。 设猎犬在处时加速度为（图6'-8），则在时间内其速度由（方向指向）变为（方向指向），速度增加了，结果是速度大小不变，方向改变的角度为 （越小，上式越准确。）由此立即可得 如果学生对于曲线运动中速度与加速度关系概念不清，则对此题常无从下手，或乱用公式不得要领。 8．（2020·全国竞赛）球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求： （1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围； （2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。     （可利用不等式：设均为正数，则  等号当且仅当时成立。） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意知，为使球磨机正常工作，钢球不能处于离心状态。即在钢球上升至其最高点点处满足 ① 由此得，球磨机正常工作时圆筒转动的角速度范围为 ② （2）为使钢球对矿石的冲击作用最大，钢球应在圆筒某横截面上处于抛落状态。假设钢球被提升至O点时，小球刚好脱离筒壁做抛体运动。此时，筒壁对钢球的正压力为零，由牛顿第二定律有 ③ 式中，是O点相对于它所在横截面中心C的矢径与竖直方向的夹角，是钢球在O点抛落时的速度（见解题图14a）。 由③式得 ④ 球脱离筒壁做抛体运动，在以O为原点坐标系中有 ⑤ 钢球所在的圆筒截面的圆周方程为 ⑥ 方程组⑤⑥有两个解，其一为，这是抛出点O的坐标；其二是球的落点A的坐标 ⑦ 钢球在A点的速度为 ⑧ 式中，是钢球做抛体运动的最高点相对于A点的高度 ⑨ 设A点相对于C点的矢径与水平方向的夹角为，则由几何关系有 ⑩ 同理有 由⑧⑩式得，钢球在A点垂直于筒壁的速度（打击附在筒壁上的矿粉的速度）为 ⑪ 由④⑪式得 ⑫ ⑪式中的等号当且仅当 时成立，于是有 ⑬ 这时，由⑫式知，小球的径向速度最大，即小球对矿石的冲击作用最大。 [或： 要使小球对矿石的冲击作用最大，必须使小球的径向速度最大，即 ⑫ 解得 ⑬ ] 此时，圆筒的角速度为 ⑭ 钢球对矿石的冲击功为 ⑮ 将⑬式代入⑮式得，钢球对矿石的最大冲击功为 ⑯ 9．（2022·全国竞赛）一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。求： （1）物体在A点的切向加速度大小；（2）轨道的曲率半径。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由图可知，总加速度与切向加速度之间的夹角为60o，则有 （2）沿半径方向的向心加速度为 根据向心加速度公式 解得轨道的曲率半径为 10．（2007·全国竞赛）一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动。杆最初处在水平位置。杆上距O为a处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态如图所示。若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？ 【答案】见解析 【详解】1.当细杆开始以角速度绕О轴转动时，B的速度为零，杆上与B接触处则有线速度，因而B与杆分离，B做自由落体运动，由于B的速度不断增大，有可能追上细杆而与之碰撞。设碰撞时细杆与水平夹角为θ，则θ随的增大而增大。当超过某一数值时，B就可能碰不上细杆而一直坠落；如果很大，细杆可能在转过一圈从后面追上B而与之碰撞。所以本题要按这两种情况进行讨论。 2．求B追上细杆时θ与的关系 设B经过时间t后与细杆在D处相碰（见图a），则有 BD=         ①                    ② 如给定的值，由此二式可求出相应的θ的值。 由于杆长L的限制，要发生碰撞，θ值必须满足一定条件。由图可知，此条件为      ③ 根据这一条件和曲线，可以求出相应的取值应符合的条件。 由式①，②消去t得 或     ④ 从此方程可以看出 （1）θ=0时，； （2）θ很小时：，，随θ的增加而增加； （3）当θ值很大时，由于tgθ增长极快，此时即随θ的增加而减少，所以有一极大值； （4）当θ→时，tgθ→，→0。 下表是θ为特殊角时的值，由此可作出如图所示的曲线。 θ 0 0 0 从此曲线可以看出，达极大值（）时，θ的值（θ0）约在和之间，约为。 从图b可以看出；<时，对每一个值有两个θ值与之相应，即式④有两个解，和，<；=时，θ只有一个解，即θ0；>时，θ没有解。这些结果的物理意义是什么，我们可作如下分析（参阅图c）。 （1）B做自由落体运动，何时到达何处是完全确定的，所以能否发生碰撞主要决定于细杆的角速度和B放在细杆的什么位置上。 （2）开始时B落后于细杆，如果不是太大，B可能赶上，当时B与细杆相遇。 （3）假设B能无阻拦地穿过细杆，只要细杆很长，它一定会从后面追上B而与之相碰，此时的θ即为θ2。实际上B与细杆在处相碰后，它们的运动状态都发生了变化，θ2这个解没有实际意义，要回答本题只要考虑8就可以了，但式④确有这个解。 （4）如果的值增大，B追上OA所需时间就增大，即上右图图中的B1点下移，θ1增大；细杆从后面追上B所需时间则减少，即B2点上移，θ2减小。所以θ1和θ2随的增大而靠拢，最后当等于某一值时，。这就是如图b所表示的物理过程。 至于θ0的值可以通过微积分求极大值的方法求出，也可以通过下面的分析求出。 如果B1能穿过细杆，则B1与细杆相遇时，它的速度（gt）在垂直于细杆方向的分速度（）必须大于此时接触点的切向速度（），参阅图d。当时B刚好能与细杆相遇而不穿过，此时应等于，即           ⑤ 因此时B与细杆相遇，符合式①和式②，故有        ⑥             ⑦ 将此三式相乘，再加以简化，得          ⑧ 由式⑧可求得的数值（用作图法或三角函数表可求出≈54.3°），相应的的值为 如果再增大一点，就大于，B就碰不上OA。 3．在以上关于曲线的讨论中我们没有考虑杆的长度。如果考虑到杆长的限制，取何值时B方能追上细杆？ 如前所述，时，B追上细杆，由于杆长的限制，必须满足下式 下面分两种情况讨论。 （1），即 或 参阅图（a）。 在此情形下，从图可知，只要满足 在OM曲线段上都可找到与之相应的，其数值小于，所以能发生碰撞。 （2），即，此时在OM曲线段上有一与 相应的P点，见图（b）。与之相应的为 因为 上式变为 只要满足在OP曲线段上就能找到相应的，表示B与细杆能发生碰撞。 综上所述，B追上细杆的条件是： （1）时 （2）时 为曲线上达最大值时的值。 4．取何值时细杆转过一圈后追上B？此时相应的公式为 消去t，得 或 在此式中，在从0→的变化过程中tg从0→∞，而2π＋仅从2π变到2.5π。所以，tg对值的影响远大于2π＋的影响，值随tg的增加（相应于的增加）而减少。反之给定一值，与之相应的值随的增大而减小。 当时， 此时细杆与B刚能碰上。如果，与之相对应，细杆能追上B；时，与之相对应，细杆不能追上B。所以细杆追上B的条件是 11．（2007·全国竞赛）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图1所示，已知，绳长为点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小。（珠子与绳子之间无摩擦） 注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度，可以证明，an=，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图2中曲线在A点的曲率半径为，在B点的曲率半径为。 【答案】； 【详解】 1．珠子运动的轨迹 建立如图复解19-7所示的坐标系，原点O在过A点的竖直线与细杆相交处，x轴沿细杆向右，y轴沿向下．当珠子运动到N点处且绳子未断时，小环在B处，垂直于x轴，所以珠子的坐标为 由知 即有，得 （1） 这是一个以y轴为对称轴，顶点位于处，焦点与顶点的距离为的抛物线，如图复解19-7-1所示，图中的为焦点． 2．珠子在N点的运动方程 因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿和方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为 （2） 为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿的角平分线方向． 因为是焦点至N的连线，平行于y轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，N点的法线是的角平分线．故合力F的方向与N点的法线一致． 由以上的论证．再根据牛顿定律和题中的注，珠子在N点的运动方程（沿法线方向）应为 （3） （4） 式中R是N点处轨道曲线的曲率半径；ν为珠子在N处时速度的大小．根据机械能守恒定律可得 （5） 3．求曲车半径R 当绳子断裂时，由（4）式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系，则就可能由（4）、（5）两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y．现提出如下一种办法．做一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如图复解19-7-2所示．由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹．平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程．这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的点处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处抛物线的曲率半径R与y的关系． 设从抛出至落地的时间为t，则有 由此解得（7） 设物体在处的速度为，由机械能守恒定律可得 （8） 物体在处法线方向的运动方程为 （9） 式中R即为处抛物线的曲率半径，从（7）、（8）、（9）式及，可求得 这也等于N点抛物线的曲率半径，，故得（10） 4．求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小 把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得绳子的张力为 （11） 当时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为，由（11）式得 （12） 代入（1）式，得 （13） 绳子断开时珠子速度的大小为 （14） 12．（2007·全国竞赛）一质量为m的小球与一长为l的细绳组成一单摆，现将此单摆从与竖直线成的位置静止释放，在摆动的途中，摆绳为一小木柱所阻。木桩与摆的悬挂点相距r，两者的连线与竖直线成β角，如图所示。 （1）若摆绳为小木桩所阻后，小球在继续上升过程中摆绳发生弯曲。试求出在此情况时，r、l、β与α之间应满足的关系式。 （2）若将单摆从适当的α角位置处静止释放，摆绳为小木桩所阻后，小球能击中小木桩，试求此α值（将结果以cosα的形式表示之）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）取单摆悬挂点为重力势能的零点，由单摆在摆动过程中机械能守恒可列出下式 ① v为小球的速度。摆绳为小木桩所阻后，小球绕小木桩做圆周运动，其运动方程为 ② T为摆绳的张力，θ是摆绳与竖直向下方向的夹角。由①式 代入②式得 当T=0时，摆绳将发生弯曲，由此条件可得 ③ 所以有 ④ 由于只当时绳方会发生弯曲，故有 即 由此得r、l和β、α间应满足的条件为 ⑤ （2）设时小球下落恰好击中小木桩（如图），则有 ⑥ ⑦ 式中为小球在处时的速度社为小球自处出发至击中小木桩所经历的时间，由⑥式 代入⑦式得 由此解得 此须满足下式（令②式中的T=0，） 得 即 （因） 代入③式得 13．（2024·海口自主招生）一只狼沿半径为R的圆形岛边缘沿逆时针方向匀速跑动，如图所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼.若追击过程中，狼、猎犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的? 【答案】轨迹圆周，圆心坐标为（，），半径为 【详解】根据题目的条件有：两者绕O点的角速度相同，有 由上式得 ① 两边对时间求导 因为 ，， 且时，，，所以有 ② 下面用三种方法分别求解。 方法一：用极坐标系 沿OA 方向为极轴，O为坐标原点，建立极坐标系；由①②两式得 为一圆方程，圆心坐标为（，），半径为 。 方法二：用运动的合成与分解 在该平面内沿OA方向为x轴，垂直于OA方向为y轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则有 ， 因为x、y方向的分运动均为简谐运动，且运动方程为 ， 因此轨迹方程为 方法三：用相似三角形法 如图所示 将速度矢量沿径向与横向分解为 和作BD垂直OB 交圆周于 D点，连接OD,设。因为 即 所以与相似，可得 即 则有 即，可见B点始终是的顶点，故轨迹是以OD 为直径的圆周。 14．（2019·全国竞赛）狐狸以不变速度沿着直线AB奔跑，猎夫以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，，且．如图甲所示．试求： （1）．此时猎犬运动加速度的大小； （2）．猎犬追上狐狸的时间． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小与方向都在不断地变化，在所求时刻之后的一段很短的时间内，设猎犬运动轨迹的曲率半径为，则其向心加速度为． 由图甲可知，在时间内，狐狸和猎犬分别到达了和处，猎犬运动方向转过的角度为． 因为很小，所以狐狸运动的距离为 ，即． 所以，． （2）设猎犬追上狐狸的时间为t，某时刻猎犬与狐狸的位置关系如图乙所示，猎犬在与狐狸的连线方向的相对速度为，经过的时间，两者之间接近的距离满足 ． 对整个过程有， 即． 又在AB方向上，有 ， 即． 在上述式子中消除，即可解得，． 15．（2022·全国竞赛）在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为（c为常数），求 （1）质点从0到t时刻走过的路程S（t）； （2）t时刻质点的切向加速度； （3）t时刻质点的法向加速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）速度 可得 积分得 （2）切向加速度 （3）法向加速度 16．（2012·全国竞赛）一质量为的人造卫星在离地面的高度为的高空绕地球做圆周运动，那里的重力加速度。由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降。已知物体在密度为的流体中以速度运动时受到的阻力可表示为，式中是物体的最大横截面积，是拖曳系数，与物体的形状有关，当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数，取卫星的最大横截面积。已知地球的半径为。试由以上数据估算卫星所在处的大气密度。 【答案】 【详解】参考解答： 设一年前、后卫星的速度分别为、，根据万有引力定律和牛顿定律有             （1）             （2） 式中为万有引力恒量，为地球的质量，和分别为一年前、后卫星轨道的半径，即             （3）             （4） 卫星在一年时间内动能的增量             （5） 由（1）、（2）、（5）三式得         （6） 由（3）、（4）、（6）式可知，，表示在这过程中卫星的动能是增加的。 在这过程中卫星引力势能的增量         （7） ，表示在这过程中卫星的引力势能是减少的。卫星机械能的增量             （8） 由（6）、（7）、（8）式得         （9） ，表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由（3）、（4）式可知，因、非常接近，利用             （10）             （11） （9）式可表示为             （12） 卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为的轨道运行一周过程中空气作用于卫星的阻力做的功         （13） 根据万有引力定律和牛顿定律有        （14） 由（13）、（14）式得             （15） （15）式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。卫星绕半径为的轨道运行一周经历的时间             （16） 由（14）、（16）式得             （17） 由于在一年时间内轨道半径变化不大，可以认为是恒量，且             （18） 以表示一年的时间，有         （19） 卫星在一年时间内做圆周运动的次数             （20） 在一年时间内卫星克服空气阻力作的功             （21） 由功能关系有             （22） 由（15）、（18）、（20）、（21）、（22）各式并利用得             （23） 代入有关数据得             （24） 17．（2022·全国竞赛）一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放。求： （1）放手时棒的角加速度； （2）棒转到水平位置时的角加速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据转动定律 有 求得 （2）水平状态，有 解得 18．（2023·河南郑州期末）直线AB以恒定速度在图示平面内沿y方向平动，在此平面内有一半径为r的固定的圆，求在直线越出圆周范围之前因直线与此圆周的交点P的位置变化引起速度和加速度与的函数关系。 【答案】； 【详解】P点做圆周运动，它沿y轴方向的分量与AB的速度相等，即 可得 由于P点做圆周运动，向心加速度 P点有沿切线方向的加速度和向心加速度，由于沿y轴方向做匀速运动，加速度为零，故P点的合加速度沿水平方向，根据几何关系可知 联立解得 19．（2017·北京强基计划）半径为质量为的匀质光滑圆环上套有一质量为的小环，初始给小环一个切向的初速度，试讨论大环圆心的运动及其速率。 【答案】， 【详解】将大圆环和小圆环作为一个整体，质心的速度 另外小圆环和大圆环的圆心作为两个质点，它们绕系统的质心做匀速圆周运动，且角速度 利用质心的定义可知 大圆环的圆心到质心的距离 以初始质心位置为坐标原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，建立直角坐标系，则 20．（2010·全国竞赛）如图所示，、、为三个质点，的质量远远大于、的质量，和的质量相等。已知、之间，、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动： 、、的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点的质量远远大于、的质量，可认为该轴过质点且固定不动；连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等，且，。若之间吸引力的大小，之间吸引力的大小为，其中、分别为、与、之间的距离，为比例系数，不计重力的影响。试问的值在什么范围内，上述运动才能实现？ 【答案】a<0，a>2 【详解】以表示质点的质点，表示连线与竖直方向的夹角，表示转动角速度，表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有 ，        （1） ，        （2） ，        （3） 。        （4） 由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得 。        （5） 考虑到几何关系             （6） 并利用已知和的表示式。可由（5）得到             （7） 又，由（2）、（4）式可得。        （8） 带入已知的和的表达式可得 。            （9） 联立（7）、（9）从而有 。        （10） 如果，则意味着方程             （11） 在区间有两个不同的解，其中为某一合适的常数。这要求函数在区间不能是单调函数，也就是说和不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时，若增大，则应减小；反之，若减小，则应增大，故与同号。因此有             （12） 。            （13） 对，可知在及时均为零，因此在区间一定存在极值点，意味着方程（11）在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。 21．（2022·全国竞赛）一根长l、质量为m的匀质杆，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度，这时受轴的力的大小为多少？ 【答案】 【详解】下摆角时，力矩为 根据转动定律 有 得 利用机械能守恒，设水平位置为势能零点，有 有 设轴对杆的作用力可分解为法向力N1，切向力N2，如图所示。 利用质心定理，法线方向满足 得 切线方向满足 得 受到轴的力的合力为 22．（2022·全国竞赛）一质点沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长与时间的一次方成正比。试问该质点加速度的大小是越来越大，还是越来越小？（已知法向加速度 ，其中为曲线的曲率半径） 【答案】越来越大 【详解】质点走过的弧长与时间的一次方成正比，即 所以质点的速率 即质点的速率不变，所以切向加速度为零，而由图可知质点运动轨迹的曲率半径逐渐减小，则根据可知质点加速度大小越来越大。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$