专题10 平抛运动（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一下学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题10 抛体运动 1．（2016·全国竞赛）从楼顶边缘以大小为的初速度竖直上抛一小球；经过时间后在楼顶边缘从静止开始释放另一小球．若要求两小球同时落地，忽略空气阻力，则的取值范围和抛出点的高度应为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 2．（2014·全国竞赛）在喜庆的夜晚，人们有时要燃放焰火来增加欢乐的气氛。当礼花弹凌空在最高点炸开后，通常我们会看在空中先形成一个五彩缤纷的“火球”并迅速“膨胀”，而后“火球”散落下来（如图）。在一个无风的夜晚放焰火，对于这些“火球”在空中散落下来过程中的形状，若不考虑空气阻力的作用，则图中所给出的情景可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】对爆炸后的每一个亮点都会参与两个运动，即沿着爆炸点沿半径向外的匀速直线运动以及竖直向下的自由落体运动，因爆炸点也会参与向下的自由落体运动，可知每一个亮点相对爆炸点的运动都是匀速直线运动，则在一段时间内无数个亮点形成一个五彩缤纷的“火球”，随着半径的增加迅速“膨胀”，则图中所给出的情景可能正确的是A。 故选A。 3．（多）（2022·温州竞赛）如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞次后，刚好越过挡板并在Q点与地面发生第次碰撞，已知挡板的高度为h。假设球2每次与地面碰撞前、后瞬间水平速度大小、方向均相同，竖直速度大小相同、方向相反，两球所受到的空气阻力均可忽略。则（　　） A．h与H之比可能为 B．h与H之比可能为 C．球1与球2速度之比可能为 D．球1与球2速度之比可能为 【答案】BC 【详解】CD．两小球都能落在Q点，对球1： ， 对球2： ， 可得 球1与球2速度之比可能为3:1、5:1、7:1、…，故C正确，D错误； AB．刚好能过M点，对球1 ， 对球2 ， 其中 可得 利用 代入可解得 当 时，h与H之比为11:36，故A错误，B正确。 故选BC。 4．（2021·榆林竞赛）如图所示，完全相同的三个小球a、b、c从距离地面同一高度处以等大的初速度同时开始运动，分别做平抛、竖直上抛和斜抛运动，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．三个小球不同时落地 B．b、c所能达到的最大高度相同 C．a、c的水平位移相同 D．落地之前，三个小球在任意相等时间内速度的增量相同 【答案】AD 【详解】A．a球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，b球做竖直上抛运动，c球做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，所以落地时间不同，故A正确； B．c球做斜抛运动，竖直方向的分速度小于b球速度，所以b球能到达更大的高度，故B错误； C．a球做平抛运动 水平方向 竖直方向 得 c做斜抛运动，设初速度与水平夹角为θ 水平方向 竖直方向 联立消去θ得 当 xc有最大值为 c球水平位移与抛出点高度和初速度有关，故a、c小球水平位移不一定相同，故C错误； D．三个小球均做抛体运动，加速度均为重力加速度，故落地之前，三个小球在任意相等时间内速度的增量相同，故D正确。 故选AD。 5．（2022·全国竞赛）如图，将质量为m、半径为R的匀质实心球从倾角为的无限长固定斜面上发射，已知球心初速度垂直于斜面，大小为V，球初始的自转角速度为零。为方便描述实心球此后的运动，在斜面参考系中建立如图3a所示的平面直角坐标系，其中x轴沿斜面向下，y轴垂直于斜面向上。假设球与斜面的碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞前、后的瞬间球垂直于斜面的速度大小不变。进一步假设斜面足够粗糙，以至于在球与斜面的碰撞过程中，其间摩擦力足够大、接触点无相对滑动。已知球绕其直径的转动惯量为，求 （1）第1次碰撞前的球心速度和球的自转角速度； （2）第1次碰撞后的球心速度和球的自转角速度； （3）第n次碰撞后球心沿着x轴方向的速度以及球的自转角速度； （4）前n次碰撞过程中斜面对球施加的总冲量。 【答案】（1）；零；（2） ；；（3）见解析所示；（4） 【详解】（1）设重力加速度大小为g。由质心运动定理得到 球从出射到落下期间做抛体运动，球心在时刻t的速度为（以球抛出瞬间为时间零点） 相对于其初始位置的位移为 设球从出射到再次落到斜面所需时间为T，有 由此得 再次落到斜面时球心的速度则为 即垂直于斜面的速度大小不变、方向相反，而沿着斜面的速度的增加为 球在空中运动时，只受重力作用，由于相对于球心的力矩为零，因而由质心系中以质心为参考点的角动量定理知，球在空中运动时角速度不变，仍为零。 （2）设球的角速度和球心在x方向的速度在某次碰撞前分别为和，碰撞后则分别变为了和，这里角速度均以顺时针转动为正。设碰撞过程中摩擦力沿着负x轴方向投影的时间平均值为。由动量定理 以及质心角动量定理 可得 由弹性碰撞过程中动能前后不变 可得 联立得 ， 因为碰撞过程中有静摩擦，故去掉了增根。根据（1）问结果，第1次碰撞前有 将其代入得，第1次碰撞后有 即第1次碰撞后，球心速度为 这里和分别表示沿x轴正向和y轴正向的单位矢量。 （3）设第n次碰后的角速度和球心在x方向的速度分别为和（略去下标f，下同），从第次碰撞后到第n次碰撞前，小球绕球心的角速度不变，为，沿着x方向的速度由增加为。应用于第n次碰撞得 【解法一】将乘某个常数再与相加得 选取满足 符合条件的有两个，分别为 分别将其代入，给出 由此解得 联立后可给出 由此得 ， 因此当n为偶数时 当n为奇数时 ， 【解法二】联立可得 此外，若 可得 考虑到 当n为偶数时 当n为奇数时 （4）第k次碰撞前后，球心在x方向的速度分别为和，因而前n次碰撞过程中斜面对球提供的x方向的总冲量为 求和利用了初始条件 此外每次碰撞过程中斜面给球的y方向的冲量相同，均为，故 因此总冲量为 和代入得 当n为偶数时 当n为奇数时 6．（2019·福建泉州竞赛）如图，一质量为M、长度为L的平板车紧靠水平台阶放置，小车上表面恰好与右台阶等高，一只质量为m的小青蛙蹲在车右端。青蛙奋力向左跳出时，最远只能跳到车的左端。已知重力加速度为g，平板车与地面间的摩擦可忽略。 （1）若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度； （2）若青蛙奋力沿与地面成角的右上方方向跳出，求落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距离； （3）若在右台阶上放置一个球体，为了让青蛙奋力跳出后，能从球体正上方一跃而过，求该球体半径R的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）青蛙奋力向左跳出，做斜抛运动，即竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，设初速度与水平方向夹角为，则 ， 青蛙落回平板车，竖直位移为零，则 所以当时，水平位移最大为L，所以 若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度 （2）设青蛙向右跳离时速度为，小车速度为，运动时间为，则 落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距离 （3）设青蛙恰好能从球体正上方一跃而过时，青蛙向右跳离时速度为，与水平方向夹角为，小车速度为，轨迹与球体相切于B点，此时青蛙速度为，与水平方向夹角为 青蛙从B点运动到最高点C点的时间为，则根据能量守恒定律和动量守恒定律可得 联立解得 当时，该球体半径R为最大值 7．（2020·全国竞赛）球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求： （1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围； （2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。     （可利用不等式：设均为正数，则                  等号当且仅当时成立。） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意知，为使球磨机正常工作，钢球不能处于离心状态。即在钢球上升至其最高点点处满足 ① 由此得，球磨机正常工作时圆筒转动的角速度范围为 ② （2）为使钢球对矿石的冲击作用最大，钢球应在圆筒某横截面上处于抛落状态。假设钢球被提升至O点时，小球刚好脱离筒壁做抛体运动。此时，筒壁对钢球的正压力为零，由牛顿第二定律有 ③ 式中，是O点相对于它所在横截面中心C的矢径与竖直方向的夹角，是钢球在O点抛落时的速度（见解题图14a）。 由③式得 ④ 球脱离筒壁做抛体运动，在以O为原点坐标系中有 ⑤ 钢球所在的圆筒截面的圆周方程为 ⑥ 方程组⑤⑥有两个解，其一为，这是抛出点O的坐标；其二是球的落点A的坐标 ⑦ 钢球在A点的速度为 ⑧ 式中，是钢球做抛体运动的最高点相对于A点的高度 ⑨ 设A点相对于C点的矢径与水平方向的夹角为，则由几何关系有 ⑩ 同理有 由⑧⑩式得，钢球在A点垂直于筒壁的速度（打击附在筒壁上的矿粉的速度）为 ⑪ 由④⑪式得 ⑫ ⑪式中的等号当且仅当 时成立，于是有 ⑬ 这时，由⑫式知，小球的径向速度最大，即小球对矿石的冲击作用最大。 [或： 要使小球对矿石的冲击作用最大，必须使小球的径向速度最大，即 ⑫ 解得 ⑬ ] 此时，圆筒的角速度为 ⑭ 钢球对矿石的冲击功为 ⑮ 将⑬式代入⑮式得，钢球对矿石的最大冲击功为 ⑯ 8．（2007·全国竞赛）在仰角的雪坡上举行跳台滑雪比赛如图所示。运动员从坡上方点开始下滑，到起跳点时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上点，坡上两点距离为此项运动的记录。已知点高于点。忽略各种阻力、摩擦，求最远可跳多少米，此时起跳角为多大？ 【答案】200m， 【详解】建立坐标系如图，运动员在时，从点以速度起跳，的大小可由机械能守恒定律求出， 起跳后做斜抛运动.设时刻落到坡面处，则此时坐标为 它们当然要满足坡面方程 由以上三方程解得 不合题意，故知落地时刻为 而着地点的坐标为 坡面距离为 为求最佳起跳角和最高记录，需把对求最大值.由于 故知，当时，即 时，记录最高为 即最佳起跳角为，最高记录可达. 9．（2022·全国竞赛）一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。求： （1）物体在A点的切向加速度大小； （2）轨道的曲率半径。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由图可知，总加速度与切向加速度之间的夹角为60o，则有 （2）沿半径方向的向心加速度为 根据向心加速度公式 解得轨道的曲率半径为 10．（2007·全国竞赛）质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成α角的方向向前跳跃（如图）。为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出。物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动。 （1）若运动员在跳远的全过程中的某时刻t0把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间； （2）在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离。 【答案】（1）；（2）在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点；沿与轴成45方向跳起，且跳起后立即沿与负轴成45方向抛出物块，则有最大值，此最大值为 【详解】（1）规定运动员起跳的时刻为，设运动员在点（如下图）抛出物块， 以表示运动员到达点的时刻，则运动员在点的坐标、和抛物前的速度的分量、分别为 ，（1） （2） ，（3） （4） 设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度的分量大小分别为、，物块相对运动员的速度的分量大小分别为、，方向分别沿、负方向．由动量守恒定律可知 ，（5） （6） 因的方向与轴负方向的夹角为，故有 （7） （8） 解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得 （9） （10） 抛出物块后，运动员从点开始沿新的抛物线运动，其初速度为、．在时刻（）运动员的速度和位置为 ，  （11） ， （12） ，   （13） （14） 由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得 （15） （16） 运动员落地时， 由式（16）得 ，（17） 方程的根为 （18） 式（18）给出的两个根中，只有当“”取“＋”时才符合题意，因为从式（12）和式（10），可求出运动员从点到最高点的时间为式    而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为 （19） （2）由式（15）可以看出，越大，越小，跳的距离越大，由式（19）可以看出，当 ＝0 时，的值最大，由式（3）和式（4）可知，抛出物块处的坐标为 ， （20） 即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点．由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为 把和代入式（15），可求得跳远的距离，为 （21） 可见，若 ， 即，  （22） 时，有最大值，即沿与轴成45方向跳起，且跳起后立即沿与负轴成45方向抛出物块，则有最大值，此最大值为 （23） 11．（2007·全国竞赛）有一个质量及线度足够大的水平板，它绕垂直于水平板的竖直轴以匀角速度旋转。在板的上方处有一群相同的小球（可视为质点），它们以板的转轴为中心、为半径均匀地在水平面内排成一个圆周（以单位长度内小球的个数表示其数线密度）。现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短；而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向；而在水平方向上则会发生滑动摩擦，动摩擦因数为。 （1）试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值； （2）如果（为重力加速度），且，试求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时的小球数线密度之比值。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】1. 设小球总数为，第一次碰撞时小球数线密度为.在这些小球中任取一个，它与平板相碰前垂直向下的速率为.设碰撞过程历时，平均法向作用力为.根据题设，碰撞后小球垂直向上的速度大小仍为，据动量定理有，式中为小球质量.小球与平板刚接触时尚无水平方向速度，而平板被碰点有切向速度，大小为.这样便会因相对滑动而使小球受到沿相对速度方向的滑动摩擦力，对小球作用的结果是使得小球在内获得水平沿方向的速度，其大小记为，显然，因为一旦达到值，相对运动不再存在，滑动摩擦力也随之而消失.下面分两种情况讨论： （1）在末尾时刻仍小于，即小球与平板被碰点之间的相对速度未能达到零值，那么应有，.式中为时间内的平均值.结合及可得 ① ①式只有在时才成立. （2）在末尾或更早一些时刻已达值，即小球与平板被碰点已相对静止，则，不管取何值，碰撞后恒有 ② 既然，所能提供的自然不能超过在时所能提供的值，因此②式只能在的情况下发生. 以上两种情况发生的条件中，的意义为小球与平板被碰点的相对速度的大小. 第一次碰撞后小球以为垂直方向速度、为水平方向速度做斜抛运动.很容易算得水平射程为 所有小球在第二次落到平板上时形成以 为半径的圆，且小球仍是均匀分布，小球数线密度为.因此本题所求的比值为 2． 如果取⑦式的结果，那么在时，，由，得到，这与题设条件是矛盾的. 如果取⑧式的结果，那么在时，，，得到，这与题设条件相符.因此应取，，将值代入④式得到 ⑨ 由得到 ⑩ 第二次碰撞过程中，每个小球在垂直方向上仍有.碰撞开始时，小球水平方向速度以及平板被碰点的速度如图（a）所示，小球对平板被碰点的相对速度，其大小为 既然相对速度大小也为，那么在的条件下，由第1问的讨论可知，平板为小球提供的摩擦力必朝的反方向，而且能使小球与平板被碰点在结束前已处于相对静止状态.因此第二次碰撞后小球相对地面参照系的水平方向速度即为 ， 它的水平射程为 于是第三次相碰时这群小球对应的圆半径按图（b）可求出为 小球数线密度为，所求比值为 12．（2019·全国竞赛）如图所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点．问：小球以怎样的角度抛出，才能使最小？ 【答案】 【详解】这是典型的斜上抛运动．依题意，要使小球越过B点，有 ， ． 消去t得． 整理中用到关系式：． 上式是关于的一元二次方程，显然，方程应有解，即有 ， 即． 由此得． 当取最小值，即时，有 ， 即． 所以，当小球以抛射角抛出时，小球可以最小的初速度越过墙． 13．（2022·全国竞赛）有一水平飞行的飞机，速度为，在飞机上以水平速度向前发射一颗炮弹，略去空气阻力并设发炮过程不影响飞机的速度，求： （1）以地球为参照系，炮弹的轨迹方程； （2）以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）以地球为参照系，子弹的初始速度大小为，水平方向 竖直方向 消去t得 （2）以飞机为参照系，子弹的初始速度为，水平方向 竖直方向 消去t得 14．（2019·全国竞赛）如图甲所示，在高为h的山顶上向平地放炮，若炮弹出口速度大小为，问：与水平方向的夹角为多大时，炮弹落点最远？ 【答案】 【详解】物体的抛物运动可视为沿初速度方向上的匀速运动与自由落体运动的合成．若设物体从抛出至着陆的时间为t，则物体在上述两个方向上的位移分别为和． 若设物体的射程问x，则由图乙可得 ． 显然，当时，有极值，即x有极值． ． 又， ， 由此可得此时的抛射角为． 15．（2019高一全国竞赛）火炮从掩蔽所下向外发射炮弹，掩蔽所与水平成角，炮位O与掩蔽所顶点P相距l，如图所示，炮弹发射的初速度为w，试求炮弹的最远射程． 【答案】见解析. 【详解】以O点为坐标系原点,取平行于掩蔽所方向为x轴方向,垂直于掩蔽所的方向为y轴方向,如图乙所示. 在此坐标系中,炮弹运动在y方向的初速度和加速度分别为 ． 若炮弹运动轨道与掩蔽所相切,则相切点A的y坐标值为 ， 即． 由上式,可作以下讨论: (1)若,则炮弹的轨道不可能与掩蔽所相切,故只要取,炮弹就可获最大射程,为 ． (2)若,由可知,炮弹发射角取以下值时,其轨道与掩蔽所相切:,所以 (i)若上式表示的,即， 则只要取,炮弹就可获最大射程． (ii)若,即,则炮弹的发射角取,炮弹就可获最大射 ． 16．（2019·全国竞赛）在水平地面上有A、B两点，从A、B两点以同样大小的初速度同时抛出两石块，A石块沿较高曲线飞行，B石块沿较低曲线飞行，两石块都恰好落在对方的抛出点（如图甲所示）．已知A石块的抛射角为， 问：（1）抛出后经过多少时间两石块之间的距离最近？ （2）两石块的最近距离是多少？ （3）在图上标出此刻两石块的大约位置． 【答案】（1）（2）10m（3）见解析 【详解】(1)(2)．如图乙所示，A石块总共飞行时间为． 可知A、B两点之间的距离为． 同理可知，从B点抛出石块的射程为． 因此有，而且，所以又有，． 取自由下落的参考系，两石块均做匀速直线运动． ． 可知当A石块不动时，B石块以图乙中的速度运动，显然，两石块最近的距离即为图乙中的AC． 因为，且，所以 ，，． 两石块运动到它们之间距离最短处所需要的时间为 (3).将图乙中的AC平移到题图中，两石块相距最近时的点、如图丙所示． 17．（2019高一全国竞赛）如图所示，倾角为的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速度为v，抛出方向与斜面交角，． （1）．若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n满足的关系式． （2）．若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后值是碰前值的e倍，．并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n和e满足的关系式． （3）．由2，若其中第r次与斜面相碰时，小球正好与斜面垂直相碰，试证明此时满足关系式：． 【答案】1．        2．    3.见解析 【详解】(1)建立如图所示的直角坐标系.斜上抛的小球在y轴方向上有多次的往复运动,而在x轴方向上只有一次．设为小球第k次与斜面相碰的点,、是小球第k次与斜面相碰后速度在x、y方向上的分量,加速度为     ，． 到的时间满足     ，即． 由此可以得到小球从O点抛出开始,直至抵达所经历的时间为             ． 因为小球与斜面的每次碰撞中并不消耗能量,所以, 所以,． 因斜面是光滑的,再利用x轴方向的分量运动方程,当小球与斜面碰撞n次时有, 即． 联立与(用n替代中的k)可以得到． (2)利用(1)中小球从O点抛出开始,直至抵达所经历的时间， 小球与斜面垂直的分量满足 所以,． 再利用,联立上式,整理可以得到 ． (3)接上问,现小球在第r次与斜面相碰时与斜面垂直,即,而 ， 即． 利用(其中k用r代之),联立,整理后得, 将代入,即可得. 18．（2019高一全国竞赛）迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山，迫击炮到山的水平距离为a，目标到山的水平距离为b．试求为击毁目标，炮弹必须具有的最小初速度以及发射角． 【答案】如果，则，；如果，则， ． 【详解】先讨论没有山的情况下所有通过目标的轨道．如图所示，在图上标出与炮弹最小初速度相对应的轨道，大家知道这条轨道对应发射角．不难确定，位于这条轨道上方或下方的其他轨道所对应的初速度都要大于这个最小初速度．因此，如果山位于这条轨道的下方，那么上述解答是符合实际的，也就是这条轨道满足题意．如果山高出这条轨道，那么上述所求的轨道要越过山的顶部，我们必须重新来求出新的轨道，本题的问题就在于此． 现在我们来作定量的讨论． 选择坐标系：迫击炮位于坐标的原点，x轴为水平线，y轴为竖直线．炮弹的坐标与时间的关系表述如下： ， ． 从这两个方程中消去t，得到地弹的轨道方程 ．    ① 要使这些轨道通过目标，为此令当时． ．    ② 从②式得出式，再代入①式中，得到通过目标的轨道方程 ．        ③ 取为从0到范围内的不同值，得到如图所示的一切轨道，而当时得到标出的轨道．    ④ 现在阐述，在什么条件下这条轨道从山的上方通过，为此求当轨道上这点的高度． ． 由此可见，如果山高，则所求的轨道由④式确定，而与它对应的初速度只要方程②中令即可，由此得． 这是初速度与最大的水平射程之间的一般关系式． 如果山高于标出的轨道：，就得重新确定所求的轨道．在此情况下需要求通过山顶的轨道，即令： 当时③式中． ． 由此． 将值代入公式③，得出所求的轨道方程． 注意，为了回答题目提出的问题，这个方程并不是我们最终的要求，但是，它却提供了进一步研究问题的可能性：炮弹通过哪些点飞向目标？ 为了找到与这条轨道相应的初速度，需要将的值代入方程②中，得． 综上所述，作出解答： 如果，则，； 如果，则， ． 19．（2019高一全国竞赛）如图所示，一盛水容器从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，运动开始时容器下部同时向下漏水，单位时间内向外漏出的水量为，且初速度为0．试计算： （1）.任意时刻，漏水迹线的迹线方程． （2）.任意时刻，漏水迹线中的质量线密度随y坐标的变化关系． 【答案】(1) 直线 (2) 【详解】(1)考虑前某时刻从桶底漏出的水,在时刻的坐标x、y分别为 ， ． 联立消去参数t,可得 ． 如图所示,可见其为一条直线． 如前所述,考虑前某时刻t到时间内从桶中落下的水滴其质量为． 时刻t与时刻从桶中落下的水滴的位置如图乙所示,则   ，   ，   ，   ， 所以，． (注意:上述运算中忽略了高阶小量，同时有) 所以，． 20．（2019·全国竞赛）如图所示，在一次红、蓝两军的对抗模拟演习中，红军飞机在蓝军上空飞行，飞行高度，蓝军一高射炮发现目标．到飞机原飞行路径（直线）在水平面上的投影（直线）的距离为，发射炮弹速度为 （1）要使每炮均击在飞机的原飞行路径上，那么的对准线与平面的交点轨迹是怎样的曲线，定量求之 （2）如果飞机在距最近的处发现了，决定在的平面先做圆周运动再丢下一个和飞机速度相同的炸弹攻击．．试求飞机做圆周运动半径大小 （3）当飞机在处并决定作出（2）中所述行动的同时，也发现了飞机的行动，设此时对准上方，水平角度调整速度，竖直方向调整时间忽略．定量计算并指出高射炮能否在飞机丢炸弹前击下飞机 【答案】(1) 对准点轨迹为一个圆：  (2) (3) 高射炮能在飞机抛炸弹前打下飞机 【详解】（1）如图作坐标系．对于处飞机路径上的点，炮水平偏角，有，设瞄准的高度为，对于抛出的炮弹： 将①式代入②式得出 故对准点轨迹为一个圆： （2）设飞机飞地半径为，于是抛出炸弹走的水平距离为 对于炸弹，有 由此得出 （3）飞机飞到抛炸弹处所用时间为 对于高射炮，只考虑其在一特殊情况下的时间：先对准飞机抛炸弹处再射出炮弹． 调整时间 对于炮弹，有 由上述式子可得取较小的 通过计算得，， 由，高射炮能在飞机抛炸弹前打下飞机 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题10 抛体运动 1．（2016·全国竞赛）从楼顶边缘以大小为的初速度竖直上抛一小球；经过时间后在楼顶边缘从静止开始释放另一小球．若要求两小球同时落地，忽略空气阻力，则的取值范围和抛出点的高度应为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2014·全国竞赛）在喜庆的夜晚，人们有时要燃放焰火来增加欢乐的气氛。当礼花弹凌空在最高点炸开后，通常我们会看在空中先形成一个五彩缤纷的“火球”并迅速“膨胀”，而后“火球”散落下来（如图）。在一个无风的夜晚放焰火，对于这些“火球”在空中散落下来过程中的形状，若不考虑空气阻力的作用，则图中所给出的情景可能正确的是（　　） A．B．C． D． 3．（多）（2022·温州竞赛）如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞次后，刚好越过挡板并在Q点与地面发生第次碰撞，已知挡板的高度为h。假设球2每次与地面碰撞前、后瞬间水平速度大小、方向均相同，竖直速度大小相同、方向相反，两球所受到的空气阻力均可忽略。则（　　） A．h与H之比可能为 B．h与H之比可能为 C．球1与球2速度之比可能为 D．球1与球2速度之比可能为 4．（2021·榆林竞赛）如图所示，完全相同的三个小球a、b、c从距离地面同一高度处以等大的初速度同时开始运动，分别做平抛、竖直上抛和斜抛运动，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．三个小球不同时落地 B．b、c所能达到的最大高度相同 C．a、c的水平位移相同 D．落地之前，三个小球在任意相等时间内速度的增量相同 5．（2022·全国竞赛）如图，将质量为m、半径为R的匀质实心球从倾角为的无限长固定斜面上发射，已知球心初速度垂直于斜面，大小为V，球初始的自转角速度为零。为方便描述实心球此后的运动，在斜面参考系中建立如图3a所示的平面直角坐标系，其中x轴沿斜面向下，y轴垂直于斜面向上。假设球与斜面的碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞前、后的瞬间球垂直于斜面的速度大小不变。进一步假设斜面足够粗糙，以至于在球与斜面的碰撞过程中，其间摩擦力足够大、接触点无相对滑动。已知球绕其直径的转动惯量为，求 （1）第1次碰撞前的球心速度和球的自转角速度； （2）第1次碰撞后的球心速度和球的自转角速度； （3）第n次碰撞后球心沿着x轴方向的速度以及球的自转角速度； （4）前n次碰撞过程中斜面对球施加的总冲量。 6．（2019·福建泉州竞赛）如图，一质量为M、长度为L的平板车紧靠水平台阶放置，小车上表面恰好与右台阶等高，一只质量为m的小青蛙蹲在车右端。青蛙奋力向左跳出时，最远只能跳到车的左端。已知重力加速度为g，平板车与地面间的摩擦可忽略。 （1）若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度； （2）若青蛙奋力沿与地面成角的右上方方向跳出，求落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距离； （3）若在右台阶上放置一个球体，为了让青蛙奋力跳出后，能从球体正上方一跃而过，求该球体半径R的最大值。 7．（2020·全国竞赛）球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求： （1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围； （2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。     （可利用不等式：设均为正数，则                  等号当且仅当时成立。） 8．（2007·全国竞赛）在仰角的雪坡上举行跳台滑雪比赛如图所示。运动员从坡上方点开始下滑，到起跳点时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上点，坡上两点距离为此项运动的记录。已知点高于点。忽略各种阻力、摩擦，求最远可跳多少米，此时起跳角为多大？ 9．（2022·全国竞赛）一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。求： （1）物体在A点的切向加速度大小； （2）轨道的曲率半径。 10．（2007·全国竞赛）质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成α角的方向向前跳跃（如图）。为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出。物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动。 （1）若运动员在跳远的全过程中的某时刻t0把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间； （2）在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离。 11．（2007·全国竞赛）有一个质量及线度足够大的水平板，它绕垂直于水平板的竖直轴以匀角速度旋转。在板的上方处有一群相同的小球（可视为质点），它们以板的转轴为中心、为半径均匀地在水平面内排成一个圆周（以单位长度内小球的个数表示其数线密度）。现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短；而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向；而在水平方向上则会发生滑动摩擦，动摩擦因数为。 （1）试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值； （2）如果（为重力加速度），且，试求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时的小球数线密度之比值。 12．（2019·全国竞赛）如图所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点．问：小球以怎样的角度抛出，才能使最小？ 13．（2022·全国竞赛）有一水平飞行的飞机，速度为，在飞机上以水平速度向前发射一颗炮弹，略去空气阻力并设发炮过程不影响飞机的速度，求： （1）以地球为参照系，炮弹的轨迹方程； （2）以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程。 14．（2019·全国竞赛）如图甲所示，在高为h的山顶上向平地放炮，若炮弹出口速度大小为，问：与水平方向的夹角为多大时，炮弹落点最远？ 15．（2019高一全国竞赛）火炮从掩蔽所下向外发射炮弹，掩蔽所与水平成角，炮位O与掩蔽所顶点P相距l，如图所示，炮弹发射的初速度为w，试求炮弹的最远射程． 16．（2019·全国竞赛）在水平地面上有A、B两点，从A、B两点以同样大小的初速度同时抛出两石块，A石块沿较高曲线飞行，B石块沿较低曲线飞行，两石块都恰好落在对方的抛出点（如图甲所示）．已知A石块的抛射角为， 问：（1）抛出后经过多少时间两石块之间的距离最近？ （2）两石块的最近距离是多少？ （3）在图上标出此刻两石块的大约位置． 17．（2019高一全国竞赛）如图所示，倾角为的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速度为v，抛出方向与斜面交角，． （1）．若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n满足的关系式． （2）．若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后值是碰前值的e倍，．并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n和e满足的关系式． （3）．由2，若其中第r次与斜面相碰时，小球正好与斜面垂直相碰，试证明此时满足关系式：． 18．（2019高一全国竞赛）迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山，迫击炮到山的水平距离为a，目标到山的水平距离为b．试求为击毁目标，炮弹必须具有的最小初速度以及发射角． 19．（2019高一全国竞赛）如图所示，一盛水容器从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，运动开始时容器下部同时向下漏水，单位时间内向外漏出的水量为，且初速度为0．试计算： （1）.任意时刻，漏水迹线的迹线方程． （2）.任意时刻，漏水迹线中的质量线密度随y坐标的变化关系． 20．（2019·全国竞赛）如图所示，在一次红、蓝两军的对抗模拟演习中，红军飞机在蓝军上空飞行，飞行高度，蓝军一高射炮发现目标．到飞机原飞行路径（直线）在水平面上的投影（直线）的距离为，发射炮弹速度为 （1）要使每炮均击在飞机的原飞行路径上，那么的对准线与平面的交点轨迹是怎样的曲线，定量求之 （2）如果飞机在距最近的处发现了，决定在的平面先做圆周运动再丢下一个和飞机速度相同的炸弹攻击．．试求飞机做圆周运动半径大小 （3）当飞机在处并决定作出（2）中所述行动的同时，也发现了飞机的行动，设此时对准上方，水平角度调整速度，竖直方向调整时间忽略．定量计算并指出高射炮能否在飞机丢炸弹前击下飞机 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$