专题12 刚体的平动与定轴转动（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一下学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题12 刚体的平动与定轴转动 1．（2023·北京强基计划）一根质量均匀的细杆斜靠在墙上，地面光滑。初始时杆与墙面夹角为，在杆滑下的过程中，墙对杆的作用力（　　） A．先增大后减小至0 B．先增大后减小，但不会减为0 C．一直增大 D．一直减小 2．（2024·阜阳竞赛）中学阶段一般不考虑滑轮质量，但实际上其质量对研究的问题有影响。如图，滑轮用固定杆竖直吊在天花板上，滑轮质量为m，轻质细线缠绕在滑轮边缘，下方拴一质量为的物体，细线与滑轮间不打滑，滑轮与中心转轴无摩擦。物体释放后，带动滑轮转动。请用所学知识和思想方法判断细线拉力的表达式可能正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2019·福建泉州竞赛）如图，长为L的轻细杆一端通过小铰链连在水平地面上，另一端固定一质量为m的小铁球，杆与地之间放有一质量为M的方形木块。忽略一切摩擦，开始时系统静止，杆与地面间的夹角为，释放后（　　） A．只要m足够大，球与木块就不可能相接触 B．只有M足够大，球与木块才有可能相接触 C．只要足够大，球与木块就不可能相接触 D．无论m、M、多大，球与木块都会相碰 4．（22-23·河南郑州期中）均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是（　　） A．角速度从小到大，角加速度不变 B．角速度从小到大，角加速度从小到大 C．角速度从小到大，角加速度从大到小 D．角速度不变，角加速度为零 5．（2021·全国竞赛）如图所示，粗糙平面上有一个均匀圆柱形线轴，线轴内外半径之比为。下列说法正确的是（　　） A．可适当选取的大小方向使线轴滑动 B．可适当选取的大小方向使线轴静止 C．若，则线轴可能静止 D．若，则线轴可能滑动 E．若，则线轴可能纯滚 6．（2022·全国竞赛）有一小虫子沿正方形盘上的一轨道运动，正方形盘放在一光滑水平面上，正方形盘和虫子的质量分别为，轨迹相对盘为，盘的边长为。如图建立坐标系，虫子从处出发，当然的，在以下的题目中，请把小虫子当做质点。同时有 （1）请写出正方形盘绕z轴的转动惯量。 （2）求出虫子运动到的时候正方形盘转过的角度。你可以保留定积分。 （3）请求出上一问积分的数值解。 7．（2022·全国竞赛） （1）一个半径为R的大圆盘以固定角速度绕过其圆心的竖直轴匀速转动，将另一个半径为r，质量为m的小圆盘放在大圆盘上，小圆盘圆心与大圆盘圆心距离为，施加外力使得小圆盘圆心不动（外力不提供力矩）。求出稳定状态下，小圆盘的转动角速度。两盘间摩擦系数为 （2）一个半径为R，质量为m的圆筒竖直放在水平桌面上，和桌面之间的摩擦系数为。圆筒由一根绳索牵引，绳索自由端速度为v。求出圆筒稳定运动时的质心速度和角速度。 8．（2022·全国竞赛）一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 9．（2019·全国竞赛）某同学特别喜爱造桥游戏，如图所示，用10根一样的轻杆搭了一座桥，杆长l，所有连接的地方均为铰接，在B点挂了小重物，重力大小为P。AG在同一水平高度。 (1)求地面对AG点作用力的竖直分量大小NL，NR； (2)如果每根杆能承受的最大压力或张力均为F，则为了保证桥不塌方最大为多少？ 10．（2007·全国竞赛）顶杆可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速ω转动，见图，在图示的瞬时，，凸轮轮缘与A接触法线n与之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆的速度。 11．（2019·全国竞赛）一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动．在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图甲所示．当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为．求此时竖直杆运动的速度和加速度． 12．（2019·全国竞赛）如图为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图．AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上．BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）．当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置．BC杆与CD杆都与水平方向成角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定．求此时C点加速度的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）． 13．（2022·全国竞赛）如图所示，质量为m1、半径为R1的匀质圆盘A，以角速度ω绕通过其中心的水平光滑轴转动。若此时将其放在质量为m2、半径为R2的静止匀质圆盘B上，A盘的重量由B盘支持，B盘可绕通过其中心的水平光滑轴转动。设两盘间摩擦系数为，A、B盘对各自转轴的转动惯量分别为 和 ，试证：从A盘放到B盘上时起到两盘间没有相对滑动时止，经过的时间为。 14．（2019·全国竞赛）4根长度同为l的细杆，用铰链首尾相连，组成一个菱形ABCD，放在水平面上，如图所示．设A端固定，C端沿着A、C连线方向D运动，当恰为时，C端的速度为v，加速度为a，试求此时B端的速度与加速度的大小． 15．（2019·全国竞赛）如图所示，四个半径为1，且完全相同的均质光滑圆球，将它们摆为上下两层且彼此相切，下层三个球、、质量均为，放置在光滑水平面上，上层球的质量为下边三个球质量之和．试分析： （1）若将下层三个球用一根绳子在球心高度处缠绕，把三个球捆扎在一起，再将第四个球放在上层，问：静止情况下张力为多大？ （2）若在图所示的位置突然剪断绳子，四个球由静止开始运动，问：上下层球在什么位置处开始脱离？ （3）问：上层球第一次落到桌面时，下层三个球的质心运动后所组成等边三角形的边长为多大？ 16．（2019·全国竞赛）两个线圈位于水平面上，其中间部分缠有不可伸长的轻线（如图甲所示）．这条线上的A点与两线圈轴等距离，A点开始竖直向上移动．这时线圈开始做无滑动的滚动，其轴不改变自己的方向，线也不沿线圈滑动，不在线圈上的线段位于垂直线轴的竖直平面内．问：当A点速度等于v，时，两线圈靠近的速率u多大？（线圈中间部分半径与线圈侧板半径的比） 17．（22-23·河南郑州期中）质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。 18．（2019·全国竞赛）如图甲所示，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为，外环半径为，在两环之间分布的小球半径为r，外环以线速度顺时针方向转动，内环也以线速度顺时针方向转动．试求小球中心绕圆环中心转动的线速度v和球自转的角速度．（设小球与圆环之间无滑动发生） 19．（2019·全国竞赛）两相互咬合良好，且导通的金属盘状齿轮、均可绕水平轴无摩擦转动，而由另一个与同轴绝缘滑轮上有细绳，下挂一重物，质量为，、、的半径分别为，，，质量分别为，，，且两轴、间连有电阻，大小为．其他电阻均不计，空间中分布有匀强磁场，大小为，方向垂直于金属盘，试问： （1）对任一时刻（时，下落速度），与流过的总电量满足：，，为常量，试求之 （2）重物下落至匀速时的速度 （3）当时，重物的加速度 20．（2019·福建泉州竞赛）如图，由轻杆构成的等边三角形三个顶点上分别固定一个小球，使三个小球在同一水平面上运动。某时刻A球的速度恰好为，方向与杆垂直，B球的速度为，方向与杆垂直，则此时C球的速度大小为 ，方向与杆夹角为 。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题12 刚体的平动与定轴转动 1．（2023·北京强基计划）一根质量均匀的细杆斜靠在墙上，地面光滑。初始时杆与墙面夹角为，在杆滑下的过程中，墙对杆的作用力（　　） A．先增大后减小至0 B．先增大后减小，但不会减为0 C．一直增大 D．一直减小 【答案】A 【详解】记某时刻杆与墙面夹角为，由机械能守恒可求出此时杆的转动角速度 解得 此时质心的水平速度大小为 对时间求导可得水平加速度 水平加速度由墙的支持力提供 随增加先增大后减小至0。 故选A。 2．（2024·徽阜竞赛）中学阶段一般不考虑滑轮质量，但实际上其质量对研究的问题有影响。如图，滑轮用固定杆竖直吊在天花板上，滑轮质量为m，轻质细线缠绕在滑轮边缘，下方拴一质量为的物体，细线与滑轮间不打滑，滑轮与中心转轴无摩擦。物体释放后，带动滑轮转动。请用所学知识和思想方法判断细线拉力的表达式可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据牛顿运动定律和转动定律列方程，对物体有 对滑轮有 由运动学关系有 联立，解得 将a代入物体牛顿运动定律方程解得 故选D。 3．（2019·福建泉州竞赛）如图，长为L的轻细杆一端通过小铰链连在水平地面上，另一端固定一质量为m的小铁球，杆与地之间放有一质量为M的方形木块。忽略一切摩擦，开始时系统静止，杆与地面间的夹角为，释放后（　　） A．只要m足够大，球与木块就不可能相接触 B．只有M足够大，球与木块才有可能相接触 C．只要足够大，球与木块就不可能相接触 D．无论m、M、多大，球与木块都会相碰 【答案】D 【详解】释放后，木块会在水平面上滑动，杆会绕铰链转动，设当杆转至与水平面夹角为时木块的速度为，小球速度，木块边长为，杆与木块接触点为A，根据杆上A、B两点速率关系可知 在木块与杆的接触点A处，木块的速率和A的速率的关系 解得 所以无论m、M、多大，球与木块都会相碰。 故选D。 4．（22-23·河南郑州期中）均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是（　　） A．角速度从小到大，角加速度不变 B．角速度从小到大，角加速度从小到大 C．角速度从小到大，角加速度从大到小 D．角速度不变，角加速度为零 【答案】C 【详解】如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之力矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关。当棒处于水平位置时，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零。因此在棒下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的角加速度由大到小，而棒的角速度却由小到大（由机械能守恒亦可判断角速度变化情况）。 故选C。 5．（2021·全国竞赛）如图所示，粗糙平面上有一个均匀圆柱形线轴，线轴内外半径之比为。下列说法正确的是（　　） A．可适当选取的大小方向使线轴滑动 B．可适当选取的大小方向使线轴静止 C．若，则线轴可能静止 D．若，则线轴可能滑动 E．若，则线轴可能纯滚 【答案】ABCE 【详解】ABCDEF．受力分析如图所示 判断线轴如何运动，应该以质心为参考点，考虑转动定理和水平方向牛顿第二定律 结合纯滚动条件 解得 这个结论说明，当时，无论多大，线轴都不会发生转动，显然不满足条件。故D错误 同时线轴是否发生滑动主要取决于摩擦因数是否足够大。故ABCEF都有可能。 故选ABCE。 6．（2022·全国竞赛）有一小虫子沿正方形盘上的一轨道运动，正方形盘放在一光滑水平面上，正方形盘和虫子的质量分别为，轨迹相对盘为，盘的边长为。如图建立坐标系，虫子从处出发，当然的，在以下的题目中，请把小虫子当做质点。同时有 （1）请写出正方形盘绕z轴的转动惯量。 （2）求出虫子运动到的时候正方形盘转过的角度。你可以保留定积分。 （3）请求出上一问积分的数值解。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由垂直轴定理 考虑体系动能 其中 （2）同时考虑到角动量守恒后 积分 （3）带入数值后得到 7．（2022·全国竞赛） （1）一个半径为R的大圆盘以固定角速度绕过其圆心的竖直轴匀速转动，将另一个半径为r，质量为m的小圆盘放在大圆盘上，小圆盘圆心与大圆盘圆心距离为，施加外力使得小圆盘圆心不动（外力不提供力矩）。求出稳定状态下，小圆盘的转动角速度。两盘间摩擦系数为 （2）一个半径为R，质量为m的圆筒竖直放在水平桌面上，和桌面之间的摩擦系数为。圆筒由一根绳索牵引，绳索自由端速度为v。求出圆筒稳定运动时的质心速度和角速度。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）小圆盘角速度为。在分析摩擦力作用时，选用大圆盘转动系。小圆盘在此系中做平面平行运动。 当时，很容易得到，瞬心和大圆圆心相距，小圆盘绕瞬心转动角速度为。 （2）小圆盘上每一点受到的摩擦力方向和相对运动方向相反。如图所示 我们考虑两条虚线夹出的小区域。整个条带受到的摩擦力方向都是相同的，但是，很显然，质量线密度从右到左递增。因此这个条带受到的摩擦力关于盘心的力矩非0。而对于圆盘切出的每个条带，都有一样的结论，因此最终圆盘受到的力矩一定非0，不平衡。 因此，只有可能。注意到此时小圆盘相对大圆盘平动，因此摩擦力力矩一定为0，平衡。 由绳索上的速度关联可得 由对称性，摩擦力在竖直方向上的分量为0。而水平方向上的分量应该和绳索的拉力等大反向。而摩擦力提供的力矩和绳索的拉力力矩平衡。如果直接使用积分试图得到摩擦力的合力与合力矩会非常麻烦。考虑到系统具有的对称性，我们可以用微元法进行一些简单的分析。 和上一题用同样的方法，考察圆筒运动的瞬心。 如图所示，考虑左右对称的两点处的质量微元。假设每个质元收到的摩擦力为，这两个质元受到的摩擦力合力为，这一部分被绳上拉力平衡，拉力对圆心的力矩贡献为。而摩擦力对圆心的力矩贡献为。这两个力矩抵消的条件是，根据几何关系，不难证明，当瞬心在圆周上时恒成立。而瞬心在圆周上要求，即 。 8．（2022·全国竞赛）一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意可知，水平位置时，合外力矩为 （2）根据题意，由公式可得，此时的角加速度为 又有 则 9．（2019·全国竞赛）某同学特别喜爱造桥游戏，如图所示，用10根一样的轻杆搭了一座桥，杆长l，所有连接的地方均为铰接，在B点挂了小重物，重力大小为P。AG在同一水平高度。 (1)求地面对AG点作用力的竖直分量大小NL，NR； (2)如果每根杆能承受的最大压力或张力均为F，则为了保证桥不塌方最大为多少？ 【答案】(1)；；(2) 【详解】(1)我们将整个桥视为一个系统，受重物压力P，左右两侧支持力，根据力矩平衡可以解出其大小。分别对左右两个支点计算力矩平衡有 得 得 (2)对于题目中的杆模型来说，其对外作用力T一定沿杆方向，如图所示 我们注意到在其它端点可以依据杆的张力们的竖直分量平衡分别解出BC、CD、DE、EF上的杆的作用力，它们大小都与TFG相等，但方向不同，其中BC和DE为支持力，CD和EF为拉力，继而我们也可以得出剩下的四根水平杆的受力大小，其中 TAC=TDF=TEG=TGF 而剩下的BD杆不同 TED=2TGF 据此我们知道随着重物重力P的增加，AB会最先达到临界 解得 10．（2007·全国竞赛）顶杆可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速ω转动，见图，在图示的瞬时，，凸轮轮缘与A接触法线n与之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆的速度。 【答案】 【详解】方法1：微元法，假设经过的时间凸轮转过角，有 因此有 方法2：速度合成法，取动坐标系固连在凸轮上，定坐标系固连在滑槽K上，动点A（也就是顶杆）相对定坐标系的运动是竖直的直线运动，动点A相对于动坐标系的轨迹就是凸轮的轮廓线。因此，动点A对定坐标系的速度、动点对动坐标系的速度和动坐标系上与动点重合点的速度三者，根据相对运动的速度关系应组成三角形，因此有 11．（2019·全国竞赛）一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动．在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图甲所示．当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为．求此时竖直杆运动的速度和加速度． 【答案】, 【详解】取半圆柱作为参考系，在此参考系中，P点做圆周运动，即的方向沿着圆周上P点的切线方向． 根据题意，的方向只能是竖直向上的，作出、、三者的方向关系如图乙所示． 由此可知：． 在半圆柱参考系中，P点的加速度由切向加速度和法向加速度构成，、、、的方向如图丙所示，其中：． 而为、、的矢量和，由相对运动的公式可知，在方向上有 ， 所以． 12．（2019·全国竞赛）如图为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图．AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上．BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）．当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置．BC杆与CD杆都与水平方向成角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定．求此时C点加速度的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）． 【答案】，的方向与杆CD间的夹角为 【详解】因为B点绕A轴做圆周运动,其速度的大小为 .① B点的向心加速度的大小为 .② 因为是匀角速转动,B点的切向加速度为0,故也是B点的加速度,其方向沿BA方向.因为C点绕D轴做圆周运动,其速度的大小用表示,方向垂直于杆CD,在考查的时刻,由图乙可知,方向沿杆BC方向.因BC是刚性杆,所以B点和C点沿BC方向的速度必相等,故有 ．③ 此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动,C点的法向加速度为 ．④ 由图甲可知,由③④式得 ，⑤ 其方向沿CD方向． 下面来分析C点垂直于杆方向的加速度,即切向加速度.因为是刚性杆,所以C点相对B点的运动只能是绕B点的转动,C点相对B点的速度方向必垂直于杆.令表示其速度的大小,根据速度合成公式有． 由几何关系得 ． 由于C点绕B点做圆周运动，相对B点的向心加速度为 ． 因为， 故有，其方向垂直于杆． 由②式及图可知,B点的加速度沿杆的分量为 , 所以,C点相对A点(或D点)的加速度垂直于杆方向的分量为 ． C点的总加速度为C点绕D点做圆周运动的法向加速度与切向加速度的合加速度,即 ． 的方向与杆间的夹角为 ． 13．（2022·全国竞赛）如图所示，质量为m1、半径为R1的匀质圆盘A，以角速度ω绕通过其中心的水平光滑轴转动。若此时将其放在质量为m2、半径为R2的静止匀质圆盘B上，A盘的重量由B盘支持，B盘可绕通过其中心的水平光滑轴转动。设两盘间摩擦系数为，A、B盘对各自转轴的转动惯量分别为 和 ，试证：从A盘放到B盘上时起到两盘间没有相对滑动时止，经过的时间为。 【答案】见解析 【详解】A、B之间的静摩擦力 对于A轮，摩擦力提供的是阻力矩，对于B轮，摩擦力提供的是动力矩。分别应用动量矩定理，则   （1）   （2） 当两盘无相对滑动时，有              （3） 则由（1）、（2）消去得        （4） 联立（3）、（4）式，有 ， 将结果代入（2）得                14．（2019·全国竞赛）4根长度同为l的细杆，用铰链首尾相连，组成一个菱形ABCD，放在水平面上，如图所示．设A端固定，C端沿着A、C连线方向D运动，当恰为时，C端的速度为v，加速度为a，试求此时B端的速度与加速度的大小． 【答案】 ； 【详解】以A点为原点建立x、y坐标,有      ，，． 若求得，则可得． B绕A做圆弧运动,此时速度恰沿BC杆方向,可得 ． 则圆弧运动的向心加速度的大小为 ． 与、间有下述关系: ． 由此得， 所以,． 15．（2019·全国竞赛）如图所示，四个半径为1，且完全相同的均质光滑圆球，将它们摆为上下两层且彼此相切，下层三个球、、质量均为，放置在光滑水平面上，上层球的质量为下边三个球质量之和．试分析： （1）若将下层三个球用一根绳子在球心高度处缠绕，把三个球捆扎在一起，再将第四个球放在上层，问：静止情况下张力为多大？ （2）若在图所示的位置突然剪断绳子，四个球由静止开始运动，问：上下层球在什么位置处开始脱离？ （3）问：上层球第一次落到桌面时，下层三个球的质心运动后所组成等边三角形的边长为多大？ 【答案】（1）（2）时上下层球开始脱离（3） 【详解】设下层球的质量均为，则上层球的质量为．、、、分别为下层球和上层球的球心，为下层球心组成三角形的形心，为与的夹角，如图所示． （1）系统静止时，由几何关系可知，． 对上层球进行受力分析，如图所示，列方向平衡方程有 ，．        ① 图3 对下层球进行受力分析，如图所示，列方向平衡方程有 ，．        ② 联立式①②，可得系统静止时绳子拉力为． （2）开始时上下层球心的连线与水平方向夹角为，剪断绳子后在位置，设下层球心水平速度为，加速度为，上层球球心下落的速度为，加速度为． 两球脱离前． 由系统的动能定理，有． 整理可得，        ③ 由刚体运动学原理，上下层球脱离前，下层任一球与上层球球心的加速度之间有如下关系： ．            ④ 设上层球与下层三球间的相互作用力为，对上层球分析，由质心运动定理有 ．            ⑤ 对下层任一球进行分析，由质心运动定理有 ．                    ⑥ 由式③⑥，可得上下层球相互作用力为 ．            ⑦ 上下层球脱离条件为，由式⑦得． 即当时上下层球开始脱离 （3）上下层球脱离后，上层与下层球球心的距离始终大于2，上下两层球不再相碰，将代人式③，可以求出脱离时上层球心的速度为 ．            ⑧ 此时，下层球的质心速度为 ．            ⑨ 运动后，下层球心到静正时下层球心围成的等边三角形中心的距离为 ．        ⑩ 上层球心到桌面间的距离为 ．            ⑪ 由式⑧⑪，脱离后上层球接触桌面所需的时间为 ．            ⑫ 由式⑨⑫，下层球心在这段时间内又运动距离为 ．        ⑬ 由式⑩⑬，当上层球第一次与桌面接触时，下层三个球的质心所组成的等边三角形的边长是 16．（2019·全国竞赛）两个线圈位于水平面上，其中间部分缠有不可伸长的轻线（如图甲所示）．这条线上的A点与两线圈轴等距离，A点开始竖直向上移动．这时线圈开始做无滑动的滚动，其轴不改变自己的方向，线也不沿线圈滑动，不在线圈上的线段位于垂直线轴的竖直平面内．问：当A点速度等于v，时，两线圈靠近的速率u多大？（线圈中间部分半径与线圈侧板半径的比） 【答案】 【详解】由于线不可伸长，线上所有点沿线方向分速度相等．因此，当A点以速度v竖直向上运动时，该点左边线段与竖直线成角，如图乙所示，线段AB上各点沿线方向分速度相等，即． 如果用表示左线圈轴运动速度，用表示该线圈相对其轴转动的角速度，考虑到线圈没有相对水平面滑动，那么可以列出，式中，为线圈侧板半径． 据题意，线不沿线圈滑动，所以线圈上B点以及线上B点沿线方向分速度相等，即．因此，左线圈轴运动速度为． 从对称性考虑，左、右线圈轴相对水平面速度大小相等但方向相反，于是所求两线圈靠近的速率为． 17．（22-23·河南郑州期中）质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。 【答案】 【详解】受力分析如图所示 根据题意，有 联立解得 18．（2019·全国竞赛）如图甲所示，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为，外环半径为，在两环之间分布的小球半径为r，外环以线速度顺时针方向转动，内环也以线速度顺时针方向转动．试求小球中心绕圆环中心转动的线速度v和球自转的角速度．（设小球与圆环之间无滑动发生） 【答案】; 【详解】如图乙所示，设小球与外环、内环的接触点分别为A、B点．因为小球与两个圆环之间无相对滑动，所以A、B点的速度分别等于外、内环的线速度．连接AB并延长，与速度矢量箭头连线相交于C点，C即为速度瞬心．令小球绕瞬心C点转动的角速度为，有． 由几何关系得，． 由以上各式得到． 则球自转的角速度． 19．（2019·全国竞赛）两相互咬合良好，且导通的金属盘状齿轮、均可绕水平轴无摩擦转动，而由另一个与同轴绝缘滑轮上有细绳，下挂一重物，质量为，、、的半径分别为，，，质量分别为，，，且两轴、间连有电阻，大小为．其他电阻均不计，空间中分布有匀强磁场，大小为，方向垂直于金属盘，试问： （1）对任一时刻（时，下落速度），与流过的总电量满足：，，为常量，试求之 （2）重物下落至匀速时的速度 （3）当时，重物的加速度 【答案】(1) ，  (2)   (3) 【详解】(1)设轮角速度大小为，则也为，而角速度为，从而 ， 电流 再进行力学分析，电流对，轮产生的力矩分别为 ， 设轮角加速度为，则 其中为、轮切点作用力，为绳中的张力，而，，分别为、，轮的转动惯量． ①③式入②式得．    ④ 又，，即 对上式求和，最终有 故， （2）当重物匀速下降时，有 即，且，解得 所以， （3）当时，从而， 代入④式得所以， 20．（2019·福建泉州竞赛）如图，由轻杆构成的等边三角形三个顶点上分别固定一个小球，使三个小球在同一水平面上运动。某时刻A球的速度恰好为，方向与杆垂直，B球的速度为，方向与杆垂直，则此时C球的速度大小为 ，方向与杆夹角为 。 【答案】 60o 【详解】[1][2]过A、B点分别作v1、v2的垂线，交点为O，该点为整个刚体的瞬心，如图所示 此时C球也绕O点转动，根据几何关系可知 此时C球的速度 方向与OC垂直，即与BC间的夹角为60o。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$