精品解析：2025年河南省南阳市九年级中考一模数学试题

2025年初中毕业班第一次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 据灯塔专业版全球票房榜，截至2025年3月22日21时06分，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）已超过152.81亿，进入全球影史票房榜前5名！将数据“152.81亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线与分别交于点A，B，过点作直线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 假日出游已成为生活新潮，数学活动课上某班同学搜集了河南四个景区的图片，制成四张卡片（除内容外，其余均相同）．若从中随机抽取两张，恰好选中“清明上河园”和“云台山”两张卡片的概率是（ ） A B. C. D. 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 9. 如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使它的图象经过点：______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 13. 某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 14. 如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为______． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 汽车“以旧换新”正在各地如火如荼的进行．小林爸爸准备趁着国家的好政策换购一辆新能源汽车．在预算范围内，他打算从A、B两款汽车中换购一辆．为此，小林和爸爸收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下表： 表一：A、B两款汽车的四项指标得分统计表（满分10分） 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 A款 6 7 8 8 B款 7 8 6 7 表二：A、B两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） A款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 B款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若爸爸认为汽车四项指标的重要程度有所不同，且给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项指标得分的占比为，请你帮爸爸计算A、B两款汽车四项指标得分的平均分． （2）款汽车满意度得分众数为______，中位数为______；款汽车满意度得分的众数为______，中位数为______． （3）结合（1）、（2）的结论，你建议小林爸爸换购哪款汽车？简要说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （3）(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 19. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 20. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 21. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 22 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． （2）进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 23. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中毕业班第一次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 据灯塔专业版全球票房榜，截至2025年3月22日21时06分，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）已超过152.81亿，进入全球影史票房榜前5名！将数据“152.81亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1． 【详解】解：数据“152.81亿”用科学记数法可表示为． 故选：D ． 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是， 故选A． 4. 如图，直线，直线与分别交于点A，B，过点作直线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 5. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由数轴可得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：C． 6. 如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 假日出游已成为生活新潮，数学活动课上某班同学搜集了河南四个景区的图片，制成四张卡片（除内容外，其余均相同）．若从中随机抽取两张，恰好选中“清明上河园”和“云台山”两张卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画出树状图，可知共有 12 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“C”的结果有 2 种，最后由概率公式求解即可．正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：令“清明上河园”、“龙门石窟” 、“云台山”、“老君山”四张卡片“A、B、C、D” 画树状图如下：   共有 12 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“C”的结果数为 2 ， ∴抽到的两张卡片恰好是“A”和“C”的概率为 ． ∴抽到的两张卡片恰好是“清明上河园”和“云台山”的概率为 ， 故选：C． 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被整除， 故选：C ． 9. 如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，扇形的面积公式，解直角三角形等知识，设半圆交于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而得到，，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ， ∵， ， ， 同理可得， ， ， 故选：A． 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】解： A、由图象知，客人距离厨房门口，A选项正确，不符合题意； B、慧慧比聪聪晚出发，B选项正确，不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，C选项不正确，符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴， 解得，， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使它的图象经过点：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据图象经过点直接写出一次函数即可． 【详解】解：它的图象经过点的函数：． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用总数乘以计算即可． 【详解】解：（人） 该校约有240名初中学生最喜爱足球， 故答案为：240 14. 如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握正方形的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握零次幂，二次根式的化简，负指数幂，分式的性质，分式的混合运算法则是关键． （1）先算零次幂，二次根式化简，负指数幂，去绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 汽车“以旧换新”正在各地如火如荼的进行．小林爸爸准备趁着国家的好政策换购一辆新能源汽车．在预算范围内，他打算从A、B两款汽车中换购一辆．为此，小林和爸爸收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下表： 表一：A、B两款汽车的四项指标得分统计表（满分10分） 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 A款 6 7 8 8 B款 7 8 6 7 表二：A、B两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） A款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 B款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若爸爸认为汽车四项指标的重要程度有所不同，且给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项指标得分的占比为，请你帮爸爸计算A、B两款汽车四项指标得分的平均分． （2）款汽车满意度得分众数为______，中位数为______；款汽车满意度得分的众数为______，中位数为______． （3）结合（1）、（2）的结论，你建议小林爸爸换购哪款汽车？简要说明理由． 【答案】（1）7 （2）8；7.5；7；7 （3）建议小林爸爸换购款汽车 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握加权平方数、中位数、众数的计算，根据调查数据作决策是关键． （1）根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数的计算方法求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：款汽车满意度得分的众数为8，中位数为； 款汽车满意度得分的众数为7，中位数为， 故答案为：8，7.5，7，7； 【小问3详解】 解：∵款汽车满意度得分的众数、中位数均高于款汽车，且款汽车四项指标得分的平均分也高于款， ∴建议小林爸爸换购款汽车． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （3）(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：，证明得到，从而证出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：如图，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线； 【小问3详解】 证明：设垂直平分线与OA交于点E， 由作图易知： ， 轴于点， ∴， ， ， 又∵ ， ， ， ∴四边形是菱形. 19. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分． 【小问2详解】 设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 20. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 【答案】3cm 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据三角函数进行计算，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． ． 在中，，， ， ． 答：的长为3cm． 21. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件； （2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 22. 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． （2）进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出顶点坐标进行计算即可； （2）由题意知，，求出函数值进行判断解答即可． 【小问1详解】 解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则抛物线顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将点代入得，，即 解得， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 由题意知， 令，则， 进攻方的石块能飞进防守方城墙， ， 城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙． 23. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，证明，可求得，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$