精品解析：河北省沧州市运东五校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章~第八章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. C. D. 60 5. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 2.16 D. 2.52 6. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 7. 某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ） A. B. C. D. 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 文心一言是百度全新一代知识增强大语言模型，是文心大模型家族的新成员，能够与人对话互动，回答问题，协助创作，高效便捷地帮助人们获取信息、知识和灵感.某公司在使用文心一言对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.9；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.2.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，文心一言的回答是否正确相互独立.小张想挑战一下文心一言，小张和文心一言各自从给定的8个问题中随机抽取6个作答，已知在这8个问题中，小张能正确作答其中的6个.则下列结论正确的是（ ） A. 小张答对4题的概率是 B. 小张答对题数的期望是5 C. 一个问题能被文心一言正确回答的概率为0.83 D. 文心一言答对题数的期望是4.98 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 13. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 14. 已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题） （1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； （2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数. 16. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球，一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球. （1）求第二次抽到红球的概率； （2）若第二次抽到红球，求它来自黄色盒子的概率. 17. 某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． （1）估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 18. 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． （1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； （2）消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 19. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章~第八章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的公式求解，即可得出答案. 【详解】由条件概率公式可得， . 故选：B. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. C. D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中的常数项为. 故选：D 5. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 2.16 D. 2.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知列出的分布列，根据期望公式求解得出，进而代入方差公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，的分布列为 0 3 所以，， . 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法计算. 【详解】令，得①， 令，得②， ①+②，得， 所以. 故选：B. 7. 某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜” 前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率； 前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率. 所以，. 故选：A. 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 文心一言是百度全新一代知识增强大语言模型，是文心大模型家族的新成员，能够与人对话互动，回答问题，协助创作，高效便捷地帮助人们获取信息、知识和灵感.某公司在使用文心一言对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.9；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.2.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，文心一言的回答是否正确相互独立.小张想挑战一下文心一言，小张和文心一言各自从给定的8个问题中随机抽取6个作答，已知在这8个问题中，小张能正确作答其中的6个.则下列结论正确的是（ ） A. 小张答对4题的概率是 B. 小张答对题数的期望是5 C. 一个问题能被文心一言正确回答的概率为0.83 D. 文心一言答对题数的期望是4.98 【答案】ACD 【解析】 【分析】设小张答对的数目为随机变量，则服从超几何分布，求出的分布列，计算即可判断A、B；根据全概率公式计算可判断C；设文心一言答对题数为随机变量，则，根据二项分布即可求出答案. 【详解】对于A、B项，设小张答对的数目为随机变量，则可取4，5，6. 且服从超几何分布， 则，，， 所以，. 故A正确，B错误； 对于C项，根据全概率公式可知，一个问题能被文心一言正确回答的概率为.故C正确； 对于D项，设文心一言答对题数为随机变量，则， 所以.故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 根据正态分布的对称性可知. 又，所以. 故答案为：. 13. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 14. 已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知求出的值，比较得出大于的个数，进而得出可能取值情况，根据超几何分布概率公式求出分布列，根据期望公式得出，进而代入方差公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题） （1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； （2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数； （2）用分类法或排除法求排法种数. 【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种. （2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类： ①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法； ②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 16. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球，一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球. （1）求第二次抽到红球的概率； （2）若第二次抽到红球，求它来自黄色盒子的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别记事件第一次先从红色盒子内取出红球为，取出黄球为，取出绿球为，第二次抽到红球为，则.然后求出各个事件的概率以及条件概率，利用全概率公式计算即可得出答案； （2）利用条件概率公式以及贝叶斯公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 分别记事件第一次先从红色盒子内取出红球为，取出黄球为，取出绿球为，第二次抽到红球为，则. 由已知可得，，， 所以， . 【小问2详解】 由已知可得，第一次取到黄球， 所以第二次抽到红球，求它来自黄色盒子的概率为. 17. 某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． （1）估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【小问1详解】 设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． 【小问2详解】 由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 18. 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． （1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； （2）消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】（1）分布列： （2），， 【解析】 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【小问1详解】 ，，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； 【小问2详解】 由题意可得， 则 ， ，. 19. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？ 【答案】（1）X的分布列为 X 10 15 20 35 40 65 70 90 P ，40 （2）①减少了；②增加了【解析】 【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望； （2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加． 【小问1详解】 由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90． ，， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 10 15 20 35 40 65 70 90 P 【小问2详解】 ①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元， 举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了． ②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为． 不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为， 举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $