精品解析：湖南省邵东市第四中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

邵东四中2025年上学期高一期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分，各题有唯一正确答案） 1. 设z1、z2∈C,则“z+z=0”是“z1=z2=0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 20海里 3. 在正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 不重合的两条直线和不重合的两个平面，下面的几个命题： ①若，且，则； ②若与平面成等角，则； ③若，且，则； ④若，则； ⑤若异面，且均与平面和平行，则. 在这5个命题中，真命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D 等边三角形 8. 平面直角坐标系中若动点P组成的区域面积为32，则a等于（ ） A B. 3 C. 2 D. 二､多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分） 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 10. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中错误的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，则有二解 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 如图，在正三棱台中，，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 该棱台的高是 D. 该棱台的表面积是 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 13. 已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14. 已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 四､解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分） 15 用向量方法证明： （1）两角差的余弦公式： （2）柯西不等式： 16. 如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径. （1）计算球的表面积和体积； （2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 18. 已知长方体，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥体积； （2）求证：平面平面． 19 已知函数，其中 （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，分别是角的对边，且，求的值； （3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东四中2025年上学期高一期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分，各题有唯一正确答案） 1. 设z1、z2∈C,则“z+z=0”是“z1=z2=0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．若 ，满足 ，但 不成立，若 ，则 成立，故 是 的必要不充分条件，故选B 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 2. 位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 20海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 3. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 4. 不重合的两条直线和不重合的两个平面，下面的几个命题： ①若，且，则； ②若与平面成等角，则； ③若，且，则； ④若，则； ⑤若异面，且均与平面和平行，则. 在这5个命题中，真命题的个数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，平面与平面的关系对五个命题分别进行判断即可. 【详解】命题①，若，且，则，可以平行、相交或异面，所以是假命题； 命题②，若与平面成等角，则，可以平行、相交或异面，所以是假命题； 命题③，如图，因为直线，所以平面，内可以找到一条直线平行于， 设在平面内，在平面内，则，，所以， 而，，所以，因为，，所以， 而，所以，所以是真命题； 命题④，若，则平面和可能平行，也可能相交，所以是假命题； 命题⑤，过空间内一点作异面直线，的平行线，从而可以确定一个平面， 根据条件可得，，从而得到，所以是真命题. 故选：A. 5. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积 【详解】由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为（）， 故选：C 6. 在中，，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，利用共线条件建立方程，求解即可. 【详解】 因为点在上，所以设， 则 . 又，则，解得. 故选：A. 7. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D 8. 平面直角坐标系中若动点P组成的区域面积为32，则a等于（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，利用向量的运算，确定满足条件的动点P的区域，结合平行四边形的面积公式进行求解即可. 【详解】显然， 不妨设， 如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得， 作， 则四边形均为平行四边形. 由题意可知：点组成的区域为图中的四边形EFGH及其内部. ， ， ， 则， 则， 又，故，，三种情况下， 动点P组成的区域和组成的区域相同，面积相等， 四边形的面积为其中的，即， 则四边形的面积 即，则，得或0（舍去）. 故选：C. 二､多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分） 9 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断A、B、C，再根据复数代数形式的乘法运算判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 所以的实部是，虚部为，，，故A、B、C正确； ，故D错误. 故选：ABC 10. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中错误的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，则有二解 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据锐角三角形，得到，其中，利用正弦函数单调性，得到；B选项，利用向量数量积公式计算出；C选项，由正弦定理得到或，均满足要求，C为正确命题；D选项，由正弦定理和二倍角公式得到或，则是等腰三角形或直角三角形. 【详解】A选项，是锐角三角形，，， 则，其中， 因为在上单调递增， 所以, 故，A为正确命题； B选项，是边长为1的正三角形， 则，B为错误命题； C选项，由正弦定理得，即， 解得， 故或，经检验，均满足要求，C为正确命题； D选项，，由正弦定理得， 即，故， 所以或，故或， 则是等腰三角形或直角三角形，D为错误命题. 故选：BD 11. 如图，在正三棱台中，，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 该棱台的高是 D. 该棱台的表面积是 【答案】AD 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，求出棱锥的高，即可判断C，根据面面平行证明A，根据异面直线所成角判断B，根据棱台的表面积公式判断D； 【详解】解：如图将棱台补全为棱锥，依题意可得，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点， 则，所以， 所以棱台的高是，故C错误； 取的中点，连接、，所以，平面，平面，所以平面，同理可证平面， ，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确； 取的中点，连接、，所以，则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为， ， ， 显然，即，故B错误； 如图棱台的一个侧面中，，过点作， 则， 所以，， ， 所以棱台的表面积是，故D正确； 故选：AD 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， ，所以表示向量的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题. 13. 已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，计算在方向上的投影，进而得在方向上的投影向量． 【详解】因为，所以，为单位向量，， 又因为，所以， 即，在方向上的投影数量为， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 14. 已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故答案为： 四､解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分） 15. 用向量方法证明： （1）两角差的余弦公式： （2）柯西不等式： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可； （2）用坐标表示向量，再利用平面向量数量积的定义以及三角函数的有界性证明即可. 【小问1详解】 如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B． 则 由向量数量积的坐标表示，有： 设的夹角为θ，则 另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，，于是. 所以，也有， 所以，对于任意角有：. 【小问2详解】 设， ，则， 又 16. 如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径. （1）计算球的表面积和体积； （2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）球的表面积为，体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积和体积. （2）由得，为异面直线与所成的角（或补角），连接，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可. 【小问1详解】 连接，由题意得，截面圆的半径为， 在中，，，由勾股定理得， 所以，球的表面积为：，体积为. 【小问2详解】 连接，因为、分别为、的中点，所以， 所以，为异面直线与所成的角（或补角）. 中，，，则， 连接，在中，， 由余弦定理知：， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 18. 已知长方体，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥体积； （2）求证：平面平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平面，可得结合题干条件，即得解； （2）先证明平面，平面，结合面面平行的判断定理，即得证 【小问1详解】 由题意可知：平面，，为的中点， ，， ， ； 【小问2详解】 ∵ABCD-A1B1C1D1是长方体 ∴AD//BC且AD=BC ∵点E、F分别为CC1和BB1的中点 ∴EF//BC且EF=BC ∴AD//EF且AD=EF ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AF//DE ∵平面，平面 ∴平面 又，分别是线段，的中点 平面，平面 平面 又 平面平面． 19. 已知函数，其中 （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，分别是角的对边，且，求的值； （3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，最小值为 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积运算法则和两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性即可得出； （2）利用两角和差的正弦公式，正弦定理，正弦函数的单调性即可得出； （3）利用余弦定理，三角形的面积计算公式，基本不等式即可得出. 【小问1详解】 ， 由，解得， 又，因此函数的单调递增区间为. 其最小值为 【小问2详解】 由，可得，化简得， 由，得，令，解得. 由正弦定理可得 【小问3详解】 由（2）可知：. ，当且仅当时取等号. 的面积， 因此，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $