精品解析：湖南省祁阳市浯溪第二中学2025年中考模拟数学试卷（二）

湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考模拟数学试卷（二） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（　　） A. 2025 B. C. 或 D. ﹣2025 2. 如图所示几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. 16 B. 4 C. D. 4. 中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 5. 若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为( ) A. 和3 B. 2和 C. 2和3 D. 和 6. 如图，由AD∥BC可以得到的是（　　） A. ∠1＝∠2 B. ∠3+∠4＝90° C. ∠DAB+∠ABC＝180° D. ∠ABC+∠BCD＝180° 7. 如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 垂直平分 8. 如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 10. 如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 方程的解是________． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 14. 小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 15. 如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． 16. “差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 17. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____． 18. 刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：______． ①只有两个数字正确且位置正确； ②只有两个数字正确但位置都不正确； ③四个数字都不正确； ④只有三个数字正确但位置都不正确． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； （4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 22. 如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是矩形． 23. 为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和W95口罩． （1）计划W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同，求普通口罩和W95口罩每包售价； （2）已知普通口罩每包进价6元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为640元，求此时普通口罩每包售价． 24. 台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为． （参考数据：，，，） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 25. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式； （2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m； （3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考模拟数学试卷（二） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（　　） A. 2025 B. C. 或 D. ﹣2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 如图所示几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视图，这是常考知识点，需掌握．找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】主视图是含虚线的两个矩形；故不符合题意； 主视图是圆；故不符合题意； 主视图是三角形；故符合题意； 主视图是矩形；故不符合题意； 故选：C． 3. 已知，，则的值为（ ） A. 16 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 4. 中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值；据此求解即可． 【详解】解：， 故选：． 5. 若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为( ) A. 和3 B. 2和 C. 2和3 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“关于原点对称的两个点，其横、纵坐标分别互为相反数”这一性质． 明确关于原点对称的点的坐标规律：若点与点关于原点对称，则，结合点与关于原点对称，列出a与、3与b的关系；求解得出a和b的值，选出正确选项． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称，又关于原点对称的两个点，其横、纵坐标分别互为相反数， ∴，即，． 故选：B． 6. 如图，由AD∥BC可以得到的是（　　） A. ∠1＝∠2 B. ∠3+∠4＝90° C. ∠DAB+∠ABC＝180° D. ∠ABC+∠BCD＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】依据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠3=∠4，∠DAB+∠ABC=180°， 故选：C． 7. 如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】A、利用多边形的内角和公式结合正五边形的每条边都相等得，推出，即不垂直于； B、利用A选项得，，得； C、如图，连接、，证得、可得，推出，得即可求解； D、由得，利用垂直平分线的判定即可求解． 【详解】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形， 内角和为，，， ， ， ， 不垂直于，此选项错误，但符合题意； B、由A选项得， ， ， ，此选项正确，但不符合题意； C、如图，连接、， 五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形， ，， ， ∴； 同理可证， ∴， ， ， 由B选项得， ， ， 是等腰三角形． 此选项正确，但不符合题意； D、， ， ∵， 是的垂直平分线． 此选项正确，但不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，正五边形和等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握各种判定和性质是解题关键． 8. 如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，则，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵ ， ∴， 设， ， 在中， ， ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9. 某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数， ∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 10. 如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切的定义，二次函数的性质等相关知识，过点作轴于点，设，证明得出，，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出时，取得最小值，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ ∴，， ∵， 在中， ∴时，取得最小值，即有最小值 ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴5x-1≥0， 解得，x≥， 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 化系数为1，得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系是解题的关键； 利用根的定义得到的值，借助根与系数的关系求出的值并代入计算． 【详解】∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴即， ， ∴． 故答案为：3． 14. 小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为：． 15. 如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过B作于P，连接，由作图知：，根据平行四边形的性质，等角对等边等知识可得出，进而求出，，证明，求出，根据平行线的性质，等边对等角并结合已知可证明，根据勾股定理求出，根据等积法求出，即可求解． 【详解】解：过B作于P，连接， 由作图知：， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 16. “差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1． 17. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18. 刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：______． ①只有两个数字正确且位置正确； ②只有两个数字正确但位置都不正确； ③四个数字都不正确； ④只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【详解】解：由③可知，3、5、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、5、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或4在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 21. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； （4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 补充条形统计图如下： （3）这名学生中有人参加了篮球社团 （4） 【解析】 【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生； （2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意，画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：∵D所占扇形的圆心角为， ∴这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，C组人数为：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这名学生中有人参加了篮球社团， 【小问4详解】 解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下： ∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种， ∴． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键． 22. 如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到，由相似比变形即可得证； （2）由题中条件，结合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质得到，根据四边形是平行四边形，由矩形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和W95口罩． （1）计划W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同，求普通口罩和W95口罩每包售价； （2）已知普通口罩每包进价6元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为640元，求此时普通口罩每包售价． 【答案】（1）普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元. （2）普通口罩每包10元 【解析】 【分析】(1)设普通口罩每包的售价为x元，W95口罩每包的售价为y元，根据“W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设普通口罩每包售价为m元，则普通口罩每包 的销售利润为(m- 6)元，日均销售量为 (360 -20m)包，利用总利润=每包的销售利润 ×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程, 解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设普通口罩每包x元，N95口罩每包售价y元， 根据题意，， 解方程组，得 故普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元． 【小问2详解】 设普通口罩每包x元，则每包的利润为(x－6)元，销售的数量为，根据题意，得 解得， ∵秉承让利于民的原则， 故：普通口罩每包10元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24. 台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为． （参考数据：，，，） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，高度为10米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得可得，由，得，继而求得； （2）过点作，可得，设为，则，由，得，继而可得，求得，即可得到值，即树的高度． 【小问1详解】 解：由题意得，， 所以， 因为，所以． 因此． ∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角． 【小问2详解】 解：能，计算如下， 过点作 ， 因为，所以， 设为，则， 又因为，所以， 因为，所以，解得， 所以， ∴大树顶端A距离地面的高度为10米． 25. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式； （2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m； （3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； （2）； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解； （3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线， ∴点， ∵点， ∴点， ∴，，， 由题意得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：作轴，轴，垂足分别为，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得（舍去正值）， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得即轴， ∵点， ∴点纵坐标为6， 解方程，得， ∴点或， 当点时，， ∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为， 当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 当点时，， ∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $