第12讲 平行与垂直(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第12讲 平行与垂直 考点目录 1、平行的概念 2 2、垂直与平行的特征及性质 3 3、过直线外一点作已知直线的平行线 5 4、相交与垂直 7 5、过直线上或直线外一点作直线的垂线 9 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 平行的概念 ★★ ★★ 垂直与平行的特征及性质 ★★★★ ★★ 过直线外一点作已知直线的平行线 ★★★ ★★★ 相交与垂直 ★★★★ ★★★ 过直线上或直线外一点作直线的垂线 ★★★ ★★★ 【考情分析】平行与垂直是小学几何的核心内容，也是初中几何学习的重要基础。在小升初考试中，该部分占比约 10%~15%，题型涵盖 选择题、判断题、作图题、应用题 等，主要考查学生的 空间观念、几何直观和逻辑推理能力。虽然题目难度中等，但容易因概念混淆或作图不规范失分。 热点突破1 关键知识 平行的概念 1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3.定理：平行线间的距离处处相等。 4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 这个需要我们和垂直公理进行辨析。 5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 这个可以用来判定两条直线平行。 典型例题 例1： 例1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．√．（判断对错） 【解答】√ 例2.在一张纸上画甲、乙、丙三条直线，甲和乙都是丙的垂线，那么甲、乙两条直线（　　） A．互相垂直                  B．互相平行                         C．既不垂直又不平行 【解答】B 例3.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行．×．（判断对错） 解：两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内； 【解答】×． 跟踪训练 【跟踪训练1】下面各组直线中，互相平行的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】只有一组平行线的图形是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】（2024秋•法库县月考）火车道上的两条铁轨是互相 ______的。 【跟踪训练4】（2023秋•沈丘县期末）一般情况下，两条路互相 ______的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相 ______的白线组成的斑马线。 【跟踪训练5】（2024秋•番禺区期末）如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小棒一定互相平行______． 【跟踪训练6】（2024•新建区）不相交的两条直线是平行线．______．（判断对错） 热点突破2 关键知识 垂直与平行的特征及性质 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 典型例题 例1： 例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　） A、平行          B、互相垂直          C、互相平行         D、相交 【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可． 【解答】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； 故选：C． 【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质． 例2：不相交的两条直线叫平行线．______．（判断对错） 【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误． 【解答】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内． 故答案为：×． 【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•望花区期末）两条平行线之间的（　　）都相等。 A．线段 B．射线 C．垂直的线段 D．斜线 【跟踪训练2】（2024秋•禅城区期末）在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交 【跟踪训练3】（2024秋•大观区期末）在同一平面内，相交成直角的两条直线互相 ______，垂直于同一条直线的两条直线互相 ______。 【跟踪训练4】（2024秋•长沙期末）在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相 ______。 【跟踪训练5】（2024秋•李沧区期末）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．______．（判断对错） 【跟踪训练6】（2024秋•保康县期末）两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。 ______（判断对错） 热点突破3 关键知识 过直线外一点作已知直线的平行线 1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc． 2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条． 典型例题 例1： 例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A、1条            B、2条            C、无数条 【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条． 【解答】过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的性质． 例2：过A点画出已知直线的平行线． 【分析】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可． 【解答】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线． 【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•白云区期末）（如图）过点P可以画（　　）条b的平行线。 A．0条 B．1条 C．无数条 【跟踪训练2】（2024秋•翔安区期末）画一组平行线，下面画法正确的是（　　） A．①②③ B．①④ C．②④ D．①② 【跟踪训练3】（2024秋•南安市期中）通过一点能画 ______条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画 ______条。 【跟踪训练4】（2023秋•仪征市期末）如图是四边形ABDC。经过点A画BD边的平行线。经过点C向AB边画出垂线，点C到AB边的距离是 ______毫米。 【跟踪训练5】（2024秋•寿光市期末）在点子图上画出已知直线的平行线。 【跟踪训练6】（2024秋•新县期末）过O点分别画AB边的垂线，画AC边的平行线。 热点突破4 关键知识 相交与垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 典型例题 例1： 例1.下列说法中，正确的是（　　） A．平行线就是不相交的两条直线 B．两条直线相交，交点就是垂足 C．垂直是相交的一种特殊情况 【解答】C 例2.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种。______（判断对错） 【解答】× 例3.下列说法错误的是（　　） A．垂直是相交的一种特殊位置 B．平行线是不相交的两条直线 C．同一平面内的两条直线，不平行就一定相交 D．两点之间线段最短 【解答】B 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•阿荣旗期末）在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　） A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交 【跟踪训练2】（2024秋•肥西县期末）数学课本相邻两边互相______，相对的两边互相______． 【跟踪训练3】（2023秋•怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是60°，那么与它相邻的角是 ______。 【跟踪训练4】（2023秋•海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的______最短，它的______叫做这点到直线的______． 【跟踪训练5】（2023秋•新市区期末）在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 ______（判断对错） 【跟踪训练6】（2024秋•长安区校级期中）同一平面内，当两条直线相交成直角时，我们说这两条直线互相垂直。______（判断对错） 热点突破5 关键知识 过直线上或直线外一点作直线的垂线 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 典型例题 例1： 例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画______条． 【分析】直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答． 【解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条． 故答案为：1． 【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况． 例2：过A点画已知直线的垂线． 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． 【解答】根据分析画图如下： 【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•成武县期末）小东想画出直线mn的垂线，以下方法正确的是（　　） A． B． C． 【跟踪训练2】（2024秋•如皋市期末）经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四条线段中有一条线段是垂直线段，那么这一点到已知直线的距离是（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米 【跟踪训练3】（2023秋•尉氏县月考）过直线外一点画这条直线的平行线，可以画 ______条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画 ______条。 【跟踪训练4】（2022秋•新化县期末）在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相 ______。 【跟踪训练5】（2024秋•沛县期末）过A点画直线a的垂线。 【跟踪训练6】（2024秋•丰县期末）如图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 12 讲 平行与垂直 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．同一平面上的三条直线，一条直线既垂直于直线 a也垂直于直线 b,那么直线 a 和直线 b（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 2．从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（　　）的长． A．线段 B．射线 C．直线 D．垂直线段 3．在图中有（　　）组互相平行的线段。 A．0 B．1 C．2 D．3 4．下图是四名同学的跳远示意图，从落地点到起跳线的距离为相应的成绩。 （　　）跳远成绩最好。 A．小羽 B．贝贝 C．月月 D．大力 5．长方形的两条长所在的直线（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行又不垂直 D．无法确定 6．笑笑想画出直线 MN的垂线，以下方法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，A点到直线的距离是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 8．如图的长方形中，互相垂直的线段有（　　）组。 A．4 B．5 C．6 D．8 9．在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长（　　） A．相等 B．不相等 C．互相垂直 D．相交 10．过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A．1条 B．2条 C．0条 D．无数条 二．填空题（共 5 小题） 11．如图中，点 A到直线 a的距离是 ______毫米，过点 A所画直线 b的平行线， 两平行线间的距离是 ______毫米． 12．在两条平行线之间有 4条垂线，这 4条垂线之间的关系是 ______． 13．在同一平面内，若直线 b与直线 a互相平行，直线 b与直线 c互相平行，则直 线 a与直线 c ______。 14．角是由一个 ______和两条 ______组成的。两条直线相交，其中有一个角是 90°，那么其他另外三个角都是 ______角。 15．直线 L1、L2都与直线 L3垂直，那么，直线 L1、L2互相 ______。 三．判断题（共 4 小题） 16．画与已知直线相距 2cm的平行线，只可能画一条．______． 17．两条直线相交，这两条直线就一定互相垂直．______． 18．如图，AD与 AB互相垂直。 ______ 19．在同一平面内，过直线上一点画这条直线的垂线，只能画一条．______． 四．操作题（共 3 小题） 20．（1）画三条互相平行的直线。 （2）画两条互相垂直的直线。 （3）画一个梯形，标出它的上底、下底和高的长度。（相邻两点间长度为 1cm） 21．从如图中分别找出两组互相平行的线段，并用不同的颜色描出来。 22．①在方格纸的左部，画出一组平行线。 ②在方格纸的右部，画出两条互相垂直的直线。 第12讲 平行与垂直 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．同一平面上的三条直线，一条直线既垂直于直线a也垂直于直线b,那么直线a和直线b（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 2．从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（　　）的长． A．线段 B．射线 C．直线 D．垂直线段 3．在图中有（　　）组互相平行的线段。 A．0 B．1 C．2 D．3 4．下图是四名同学的跳远示意图，从落地点到起跳线的距离为相应的成绩。（　　）跳远成绩最好。 A．小羽 B．贝贝 C．月月 D．大力 5．长方形的两条长所在的直线（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行又不垂直 D．无法确定 6．笑笑想画出直线MN的垂线，以下方法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，A点到直线的距离是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 8．如图的长方形中，互相垂直的线段有（　　）组。 A．4 B．5 C．6 D．8 9．在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长（　　） A．相等 B．不相等 C．互相垂直 D．相交 10．过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A．1条 B．2条 C．0条 D．无数条 二．填空题（共5小题） 11．如图中，点A到直线a的距离是 ______毫米，过点A所画直线b的平行线，两平行线间的距离是 ______毫米． 12．在两条平行线之间有4条垂线，这4条垂线之间的关系是 ______． 13．在同一平面内，若直线b与直线a互相平行，直线b与直线c互相平行，则直线a与直线c ______。 14．角是由一个 ______和两条 ______组成的。两条直线相交，其中有一个角是90°，那么其他另外三个角都是 ______角。 15．直线L1、L2都与直线L3垂直，那么，直线L1、L2互相 ______。 三．判断题（共4小题） 16．画与已知直线相距2cm的平行线，只可能画一条．______． 17．两条直线相交，这两条直线就一定互相垂直．______． 18．如图，AD与AB互相垂直。 ______ 19．在同一平面内，过直线上一点画这条直线的垂线，只能画一条．______． 四．操作题（共3小题） 20．（1）画三条互相平行的直线。 （2）画两条互相垂直的直线。 （3）画一个梯形，标出它的上底、下底和高的长度。（相邻两点间长度为1cm） 21．从如图中分别找出两组互相平行的线段，并用不同的颜色描出来。 22．①在方格纸的左部，画出一组平行线。 ②在方格纸的右部，画出两条互相垂直的直线。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平行与垂直 考点目录 1、平行的概念 2 2、垂直与平行的特征及性质 4 3、过直线外一点作已知直线的平行线 7 4、相交与垂直 12 5、过直线上或直线外一点作直线的垂线 14 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 平行的概念 ★★ ★★ 垂直与平行的特征及性质 ★★★★ ★★ 过直线外一点作已知直线的平行线 ★★★ ★★★ 相交与垂直 ★★★★ ★★★ 过直线上或直线外一点作直线的垂线 ★★★ ★★★ 【考情分析】平行与垂直是小学几何的核心内容，也是初中几何学习的重要基础。在小升初考试中，该部分占比约 10%~15%，题型涵盖 选择题、判断题、作图题、应用题 等，主要考查学生的 空间观念、几何直观和逻辑推理能力。虽然题目难度中等，但容易因概念混淆或作图不规范失分。 热点突破1 关键知识 平行的概念 1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3.定理：平行线间的距离处处相等。 4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 这个需要我们和垂直公理进行辨析。 5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 这个可以用来判定两条直线平行。 典型例题 例1： 例1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．√．（判断对错） 【解答】√ 例2.在一张纸上画甲、乙、丙三条直线，甲和乙都是丙的垂线，那么甲、乙两条直线（　　） A．互相垂直                  B．互相平行                         C．既不垂直又不平行 【解答】B 例3.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行．×．（判断对错） 解：两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内； 【解答】×． 跟踪训练 【跟踪训练1】下面各组直线中，互相平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此解答。 【解答】解： 两条直线互相平行。 故选：D。 【跟踪训练2】只有一组平行线的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，而长方形有2组平行线，六边形有3组平行线，三角形没有平行线；据此解答即可。 【解答】解：只有一组平行线的图形是梯形。 故选：B。 【跟踪训练3】（2024秋•法库县月考）火车道上的两条铁轨是互相 ______的。 【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；由此解答即可。 【解答】解：根据平行线的含义可知：火车道上的两条铁轨是互相平行。 故答案为：平行。 【跟踪训练4】（2023秋•沈丘县期末）一般情况下，两条路互相 ______的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相 ______的白线组成的斑马线。 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【解答】解：一般情况下，两条路互相垂直的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相平行的白线组成的斑马线。 故答案为：垂直，平行。 【跟踪训练5】（2024秋•番禺区期末）如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小棒一定互相平行______． 【分析】如果把两根小棒都摆成和第棒垂直，如果两根小棒在第三根小棒的异侧，且它们在互相的反向延长线上，则它们在同一条直线上．据此解答． 【解答】解：根据分析两根小棒的位置可能如图： 故答案为：×． 【跟踪训练6】（2024•新建区）不相交的两条直线是平行线．______．（判断对错） 【答案】× 【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误． 【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线， 故答案为：×． 热点突破2 关键知识 垂直与平行的特征及性质 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 典型例题 例1： 例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　） A、平行          B、互相垂直          C、互相平行         D、相交 【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可． 【解答】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； 故选：C． 【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质． 例2：不相交的两条直线叫平行线．______．（判断对错） 【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误． 【解答】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内． 故答案为：×． 【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•望花区期末）两条平行线之间的（　　）都相等。 A．线段 B．射线 C．垂直的线段 D．斜线 【答案】C 【分析】垂直和平行的性质：两条平行线之间的距离都相等，即垂线段长度相等。进而得出结论。 【解答】解：两条平行线之间的垂直的线段都相等。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024秋•禅城区期末）在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交 【答案】A 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线，垂直于同一条直线的两直线平行。 【解答】解：在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁互相平行。 故选：A。 【跟踪训练3】（2024秋•大观区期末）在同一平面内，相交成直角的两条直线互相 ______，垂直于同一条直线的两条直线互相 ______。 【答案】垂直，平行。 【分析】本题根据直线相交与垂直、平行的相关知识分析作答：同一平面内，两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 【解答】解：在同一平面内，相交成直角的两条直线互相垂直，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 故答案为：垂直，平行。 【跟踪训练4】（2024秋•长沙期末）在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相 ______。 【答案】平行。 【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。 【解答】解：在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相平行。 故答案为：平行。 【跟踪训练5】（2024秋•李沧区期末）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．______．（判断对错） 【答案】见试题解答内容 【分析】同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此解答． 【解答】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知， 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的说法是正确的； 故答案为：√． 【跟踪训练6】（2024秋•保康县期末）两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】直线a与直线c互相垂直，直线b与直线c互相垂直，把直线b与直线a延长后，永不会相交，而在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，由此可知直线b与直线a互相平行。 【解答】解：两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。故原题说法正确。 故答案为：√。 热点突破3 关键知识 过直线外一点作已知直线的平行线 1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc． 2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条． 典型例题 例1： 例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A、1条            B、2条            C、无数条 【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条． 【解答】过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的性质． 例2：过A点画出已知直线的平行线． 【分析】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可． 【解答】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线． 【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•白云区期末）（如图）过点P可以画（　　）条b的平行线。 A．0条 B．1条 C．无数条 【答案】B 【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此解答。 【解答】解：如上图，过点P可以画1条b的平行线。 故选：B。 【跟踪训练2】（2024秋•翔安区期末）画一组平行线，下面画法正确的是（　　） A．①②③ B．①④ C．②④ D．①② 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，据此性质选择解答。 【解答】解：分析可知，画一组平行线，画法正确的是①②③。 故选：A。 【跟踪训练3】（2024秋•南安市期中）通过一点能画 ______条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画 ______条。 【答案】无数，一。 【分析】根据直线的特征，过一点能画无数条直线。根据平行的性质，过直线外一点画已知直线的平行线，有且只有一条直线与已知直线平行，据此解答即可。 【解答】解：过一点能画无数条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画一条。 故答案为：无数，一。 【跟踪训练4】（2023秋•仪征市期末）如图是四边形ABDC。经过点A画BD边的平行线。经过点C向AB边画出垂线，点C到AB边的距离是 ______毫米。 【答案】 19。 【分析】过点A画BD边的平行线：把三角板的一边与BD边重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与BD边重合的一边经过已知点A时，沿这边画直线即可； 过点C向AB边画出垂线：把三角板的一直角边与AB重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点C时，沿这条直角边画直线，最后表上直角符号； 用直尺测量出点C到AB边的垂线段的长度，即为点C到AB边的距离。 【解答】解：画图如下： 点C到AB边的距离是19毫米。 故答案为：19。 【跟踪训练5】（2024秋•寿光市期末）在点子图上画出已知直线的平行线。 【答案】 （画法不唯一）。 【分析】根据平行线的意义，在同一平面内永不相交的两条直线互相平行，即在点子图上画出已知直线的平行线。 【解答】解：画图如下（画法不唯一）： 【跟踪训练6】（2024秋•新县期末）过O点分别画AB边的垂线，画AC边的平行线。 【答案】 【分析】画AB边的垂线把三角板的一条直角边与AB边重合。沿着AB边平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点O。沿着经过点O的直角边，从O点向AB边画一条直线，这条直线就是AB边的垂线。 画AC边的平行线用三角板的一条边与AC边重合。把直尺靠紧三角板的另一条边。固定直尺，然后平移三角板，使三角板原来与AC边重合的边经过点O。沿着这条边经过点O画一条直线，这条直线就是AC边的平行线。 【解答】解： 热点突破4 关键知识 相交与垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 典型例题 例1： 例1.下列说法中，正确的是（　　） A．平行线就是不相交的两条直线 B．两条直线相交，交点就是垂足 C．垂直是相交的一种特殊情况 【解答】C 例2.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种。______（判断对错） 【解答】× 例3.下列说法错误的是（　　） A．垂直是相交的一种特殊位置 B．平行线是不相交的两条直线 C．同一平面内的两条直线，不平行就一定相交 D．两点之间线段最短 【解答】B 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•阿荣旗期末）在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　） A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交 【答案】C 【分析】根据垂直的性质：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；进行解答即可． 【解答】解：在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； 故选：C． 【跟踪训练2】（2024秋•肥西县期末）数学课本相邻两边互相______，相对的两边互相______． 【分析】依据在同一平面内，两条直线的位置关系即可解答． 【解答】解：数学课本相邻两边互相垂直，相对的两边互相平行． 故答案为：垂直，平行． 【跟踪训练3】（2023秋•怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是60°，那么与它相邻的角是 ______。 【答案】120°。 【分析】因为这个已知的角和它相邻的角组成一个平角，所以用180°减去60°即可求出和它相邻的角的度数。 【解答】解：180°-60°=120° 答：与它相邻的角是120°。 故答案为：120°。 【跟踪训练4】（2023秋•海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的______最短，它的______叫做这点到直线的______． 【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短；由此判断即可． 【解答】解：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离； 故答案为：垂线，长度，距离． 【跟踪训练5】（2023秋•新市区期末）在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。据此判断即可。 【解答】解：在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 故原题说法正确。 故答案为：√。 【跟踪训练6】（2024秋•长安区校级期中）同一平面内，当两条直线相交成直角时，我们说这两条直线互相垂直。______（判断对错） 【答案】√ 【分析】根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线；由此解答即可。 【解答】解：根据垂直的性质可得：在同一平面内，当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线。 故答案为：√。 热点突破5 关键知识 过直线上或直线外一点作直线的垂线 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 典型例题 例1： 例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画______条． 【分析】直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答． 【解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条． 故答案为：1． 【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况． 例2：过A点画已知直线的垂线． 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． 【解答】根据分析画图如下： 【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•成武县期末）小东想画出直线mn的垂线，以下方法正确的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】利用三角板的一条直角边与已知直线重合，直角顶点与已知直线上的某一点重合，据此测量。 【解答】解：小东想画出直线MN的垂线，画图方法正确。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024秋•如皋市期末）经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四条线段中有一条线段是垂直线段，那么这一点到已知直线的距离是（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米 【答案】A 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短，它的长度叫作这点到直线的 距离；据此进行解答即可。 【解答】解：经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米，四条线段中有一条线段是垂直线段。 但四条线段中最短的那条，即3厘米，是垂直线段，所以这一点到已知直线的距离是3厘米。 故选：A。 【跟踪训练3】（2023秋•尉氏县月考）过直线外一点画这条直线的平行线，可以画 ______条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画 ______条。 【答案】1；1。 【分析】结合过直线外一点画已知直线的平行线和垂线的方法，过直线外一点画这条直线的平行线，可以画1条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画1条。据此解答即可。 【解答】解：过直线外一点画这条直线的平行线，可以画1条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画1条。 故答案为：1；1。 【跟踪训练4】（2022秋•新化县期末）在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相 ______。 【答案】平行。 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。如图所示： 。 【解答】解：在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相平行。 故答案为：平行。 【跟踪训练5】（2024秋•沛县期末）过A点画直线a的垂线。 【答案】 【分析】把三角板的一直角边靠紧已知直线a,沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是过A点直线a的垂线。 【解答】解：根据题意画图如下： 【跟踪训练6】（2024秋•丰县期末）如图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。 【答案】 。 【分析】作平行线：把三角尺的一条直角边和已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过C点与AB平行的直线。 作垂线：用直角三角尺的一条直角边和AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线，即可画出经点B到AC的垂直线段。 【解答】解：如图所示： 。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 第 12 讲 平行与垂直 1、平行的概念.......................................................2 2、垂直与平行的特征及性质...........................................3 3、过直线外一点作已知直线的平行线...................................5 4、相交与垂直.......................................................7 5、过直线上或直线外一点作直线的垂线.................................9 热点考点 考查频率 考点难度 平行的概念 ★★ ★★ 垂直与平行的特征及性质 ★★★★ ★★ 过直线外一点作已知直线的平行 线 ★★★ ★★★ 相交与垂直 ★★★★ ★★★ 过直线上或直线外一点作直线的 垂线 ★★★ ★★★ 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 11 页 【考情分析】平行与垂直是小学几何的核心内容，也是初中几何学习的重要基础。在小升初考试中，该 部分占比约 10%~15%，题型涵盖 选择题、判断题、作图题、应用题 等，主要考查学生的 空间观 念、几何直观和逻辑推理能力。虽然题目难度中等，但容易因概念混淆或作图不规范失分。 平行的概念 1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两 条平行线之间的距离。 3.定理：平行线间的距离处处相等。 4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 这个需要我们和垂直公理进行辨析。 5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 这个可以用来判定两条直线平行。 例 1： 例 1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．√．（判断对错） 【解答】√ 例 2.在一张纸上画甲、乙、丙三条直线，甲和乙都是丙的垂线，那么甲、乙两条直线（　　） A ． 互 相 垂 直 B ． 互 相 平 行 C．既不垂直又不平行 【解答】B 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 11 页 例 3.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行．×．（判断对错） 解：两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平 面内； 【解答】×． 【跟踪训练 1】下面各组直线中，互相平行的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练 2】只有一组平行线的图形是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练 3】（2024秋•法库县月考）火车道上的两条铁轨是互相 ______的。 【跟踪训练 4】（2023秋•沈丘县期末）一般情况下，两条路互相 ______的路口称为十字路 口，行人在过马路时应走由互相 ______的白线组成的斑马线。 【跟踪训练 5】（2024秋•番禺区期末）如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小 棒一定互相平行______． 【跟踪训练 6】（2024•新建区）不相交的两条直线是平行线．______．（判断对错） 垂直与平行的特征及性质 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条 直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线 AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于 CD”（或“CD 垂直于 AB”）． 跟踪训练 热点突破 2 关键知识 第 4 页 共 11 页 2．垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质 2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作 “AB平行于 CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 例 1： 例 1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　） A 、 平 行 B 、 互 相 垂 直 C 、 互 相 平 行 D、相交 【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； 进而解答即可． 【解答】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； 故选：C． 【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质． 例 2：不相交的两条直线叫平行线．______．（判断对错） 【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误． 【解答】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平 面内． 故答案为：×． 【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交． 典型例题 第 5 页 共 11 页 【跟踪训练 1】（2024秋•望花区期末）两条平行线之间的（　　）都相等。 A．线段 B．射线 C．垂直的线段 D．斜线 【跟踪训练 2】（2024秋•禅城区期末）在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖 直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交 【跟踪训练 3】（2024秋•大观区期末）在同一平面内，相交成直角的两条直线互相 ______，垂直于同一条直线的两条直线互相 ______。 【跟踪训练 4】（2024秋•长沙期末）在同一平面内，直线 a垂直于直线 b,直线 b垂直于直线 c（三条直线均不重合），那么直线 a与直线 c的位置关系是互相 ______。 【跟踪训练 5】（2024秋•李沧区期末）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这 两条直线互相平行．______．（判断对错） 【跟踪训练 6】（2024秋•保康县期末）两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒 互相平行。 ______（判断对错） 过直线外一点作已知直线的平行线 1．画法：设直线外一点为 a，在直线上任取两点 b和 c，以 a为圆心，以 bc为半径作弧；以 b为圆心，以 ac为半径作弧，两弧交于 d点；连接 ad作直线，则 ad必平行于 bc． 2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内 的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条． 例 1： 跟踪训练 热点突破 3 关键知识 典型例题 第 6 页 共 11 页 例 1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A、1条 B、2条 C、无数条 【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条． 【解答】过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画 1条． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的性质． 例 2：过 A点画出已知直线的平行线． 【分析】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和 A 点重合， 用直尺靠紧和 A 点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过 A 点画直线即可． 【解答】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和 A 点重合， 用直尺沿和 A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过 A点画直线． 【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力． 【跟踪训练 1】（2024秋•白云区期末）（如图）过点 P可以画（　　）条 b的平行线。 A．0条 B．1条 C．无数条 【跟踪训练 2】（2024秋•翔安区期末）画一组平行线，下面画法正确的是（　　） 跟踪训练 第 7 页 共 11 页 A．①②③ B．①④ C．②④ D．①② 【跟踪训练 3】（2024秋•南安市期中）通过一点能画 ______条直线。过直线外一点画已知 直线的平行线，这样的平行线可以画 ______条。 【跟踪训练 4】（2023秋•仪征市期末）如图是四边形 ABDC。经过点 A画 BD边的平行线。经 过点 C向 AB边画出垂线，点 C到 AB边的距离是 ______毫米。 【跟踪训练 5】（2024秋•寿光市期末）在点子图上画出已知直线的平行线。 【跟踪训练 6】（2024秋•新县期末）过 O点分别画 AB边的垂线，画 AC边的平行线。 相交与垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线 OA垂直于直线 OB，直线 OB垂直于直线 OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两 条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。） 热点突破 4 关键知识 第 8 页 共 11 页 ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现 90°。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例 1： 例 1.下列说法中，正确的是（　　） A．平行线就是不相交的两条直线 B．两条直线相交，交点就是垂足 C．垂直是相交的一种特殊情况 【解答】C 例 2.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种。______（判断对错） 【解答】× 例 3.下列说法错误的是（　　） A．垂直是相交的一种特殊位置 B．平行线是不相交的两条直线 C．同一平面内的两条直线，不平行就一定相交 D．两点之间线段最短 【解答】B 【跟踪训练 1】（2024秋•阿荣旗期末）在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那 么这两条直线（　　） A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交 【跟踪训练 2】（2024秋•肥西县期末）数学课本相邻两边互相______，相对的两边互相 ______． 【跟踪训练 3】（2023秋•怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是 60°，那么与它相邻的角是 ______。 跟踪训练 典型例题 第 9 页 共 11 页 【跟踪训练 4】（2023秋•海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的______最短，它的 ______叫做这点到直线的______． 【跟踪训练 5】（2023秋•新市区期末）在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交 或平行。 ______（判断对错） 【跟踪训练 6】（2024秋•长安区校级期中）同一平面内，当两条直线相交成直角时，我们说 这两条直线互相垂直。______（判断对错） 过直线上或直线外一点作直线的垂线 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于 A、B两点． 2、分别以 A、B为圆心，以大于 1 2 AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 例 1： 例 1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画______条． 【分析】直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答． 【解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条． 故答案为：1． 【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况． 例 2：过 A点画已知直线的垂线． 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的 热点突破 5 关键知识 典型例题 第 10 页 共 11 页 另一条直角边和 A点重合，过 A沿直角边向已知直线画直线即可． 【解答】根据分析画图如下： 【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力． 【跟踪训练 1】（2024秋•成武县期末）小东想画出直线 mn的垂线，以下方法正确的是 （　　） A． B． C． 【跟踪训练 2】（2024秋•如皋市期末）经过一点到已知直线画了四条线段，分别长 3厘米、 4厘米、5厘米、6厘米。四条线段中有一条线段是垂直线段，那么这一点到已知直线的距离 是（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米 【跟踪训练 3】（2023秋•尉氏县月考）过直线外一点画这条直线的平行线，可以画 ______ 条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画 ______条。 【跟踪训练 4】（2022秋•新化县期末）在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂 直线的关系是互相 ______。 【跟踪训练 5】（2024秋•沛县期末）过 A点画直线 a的垂线。 【跟踪训练 6】（2024秋•丰县期末）如图，过点 C作一条与 AB平行的直线、再画出点 B到 AC的垂直线段。 跟踪训练 第 11 页 共 11 页 第12讲 平行与垂直 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．同一平面上的三条直线，一条直线既垂直于直线a也垂直于直线b,那么直线a和直线b（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂直的性质：垂直于同一条直线的两条直线平行；进行解答即可． 【解答】解：根据垂直和平行的特征可知：一条直线既垂直于直线a也垂直于直线b,那么直线a和直线b平行； 故选：B。 2．从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（　　）的长． A．线段 B．射线 C．直线 D．垂直线段 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离的含义：点到直线的距离指的是直线外一点到这条直线的垂线段的长度；据此解答即可． 【解答】解：从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的垂直线段的长度； 故选：D． 3．在图中有（　　）组互相平行的线段。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【解答】解：图中有3组互相平行的线段。 故选：D。 4．下图是四名同学的跳远示意图，从落地点到起跳线的距离为相应的成绩。（　　）跳远成绩最好。 A．小羽 B．贝贝 C．月月 D．大力 【答案】C 【分析】根据跳远成绩的测量方法，四名同学的落地点到起跳线之间的垂直距离为相应的成绩，由此可知，月月的距离最远。据此选择。 【解答】解：由图可知，月月的跳远成绩最好。 故选：C。 5．长方形的两条长所在的直线（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行又不垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】在同一个平面内，永不相交的两条直线叫作平行线，据此解答。 【解答】解：长方形的两条长所在的直线互相平行。 故选：A。 6．笑笑想画出直线MN的垂线，以下方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角板的一条直角边与已知直线重合，直角顶点与已知直线上的某一点重合，据此测量。 【解答】解：笑笑想画出直线MN的垂线， 测量方法正确。 故选：D。 7．如图，A点到直线的距离是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义进行解答即可。 【解答】解：因为AD⊥BE，所以点A到直线BE的距离是线段AD的长度。 故选：C。 8．如图的长方形中，互相垂直的线段有（　　）组。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 【解答】解：如图的长方形中，互相垂直的线段有8组。 故选：D。 9．在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长（　　） A．相等 B．不相等 C．互相垂直 D．相交 【答案】A 【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，可以画无数条垂线段；平行线之间的距离处处相等。据此即可判断。 【解答】解：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长相等。 故选：A。 10．过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　） A．1条 B．2条 C．0条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据平行的性质：过直线外一点画已知直线的平行线，有且只有一条直线与已知直线平行；据此解答即可。 【解答】解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，只能画1条。 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．如图中，点A到直线a的距离是 ______毫米，过点A所画直线b的平行线，两平行线间的距离是 ______毫米． 【分析】从A分别向直线a和直线b做垂直线段，然后量出各自的长度即可，再过点A所画直线b的平行线． 把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画线段即可． 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 【解答】解： 点A到直线a的距离是15毫米，点A到直线b的距离是20毫米． 故答案为：15，20． 12．在两条平行线之间有4条垂线，这4条垂线之间的关系是 ______． 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，这就说明了两条平行线之间可以作无数条垂线，并且这些垂线互相平行；由此判定即可． 【解答】解：在两条平行线之间有4条垂线，这4条垂线之间的关系是互相平行； 故答案为：互相平行． 13．在同一平面内，若直线b与直线a互相平行，直线b与直线c互相平行，则直线a与直线c ______。 【答案】互相平行。 【分析】根据平行的性质：在同一平面内，两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；由此解答即可。 【解答】解：在同一平面内，若直线b与直线a互相平行，直线b与直线c互相平行，则直线a与直线c互相平行。 故答案为：互相平行。 14．角是由一个 ______和两条 ______组成的。两条直线相交，其中有一个角是90°，那么其他另外三个角都是 ______角。 【答案】顶点，边，直。 【分析】根据角的定义，角是由一个顶点和两条边组成的。根据两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，据此解答即可。 【解答】解：角是由一个顶点和两条边组成的。两条直线相交，其中有一个角是90°，那么其他另外三个角都是直角。 故答案为：顶点，边，直。 15．直线L1、L2都与直线L3垂直，那么，直线L1、L2互相 ______。 【答案】平行。 【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而判断即可。 【解答】解：如图： 因为同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 又因为直线L1、L2都与直线L3垂直， 所以L1、L2互相平行。 故答案为：平行。 三．判断题（共4小题） 16．画与已知直线相距2cm的平行线，只可能画一条．______． 【分析】与已知直线相距2厘米的点能找出2个，在直线的两侧各一个，因为过直线外一点画已知直线答平行线只能画一条，所以经过这两个点可以画出两条平行线，据此即可判断． 【解答】解：如图，距离已知直线的距离为2厘米的点能找出两个，所以能画出两条平行线，原题说法错误． 故答案为：×． 17．两条直线相交，这两条直线就一定互相垂直．______． 【答案】× 【分析】在同一个平面上，当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直；由此可知：在同一平面内，垂直一定相交，但相交，所成的角不一定是直角，所以相交不一定垂直；据此判断． 【解答】解：由分析可知：垂直一定相交，但相交不一定垂直，故本题说法错误； 故答案为：×． 18．如图，AD与AB互相垂直。 ______ 【答案】×。 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 【解答】解：如图，AD与AB相交，不互相垂直，所以原题说法错误。 故答案为：×。 19．在同一平面内，过直线上一点画这条直线的垂线，只能画一条．______． 【分析】过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；由此判断． 【解答】解：过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 原题说法正确． 故答案为：√． 四．操作题（共3小题） 20．（1）画三条互相平行的直线。 （2）画两条互相垂直的直线。 （3）画一个梯形，标出它的上底、下底和高的长度。（相邻两点间长度为1cm） 【分析】（1）在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此画平行线； （2）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，据此画垂直的直线； （3）梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此画图并标出上底、下底和高的长度。 【解答】解：如下图所示（画法不唯一）： 21．从如图中分别找出两组互相平行的线段，并用不同的颜色描出来。 【答案】 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线，据此找出两组互相平行的线段。 【解答】解：如下图所示（红线段互相平行，蓝线段互相平行）： 22．①在方格纸的左部，画出一组平行线。 ②在方格纸的右部，画出两条互相垂直的直线。 【答案】 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 【解答】解：①、②如图： 学科网（北京）股份有限公司 $$