第10讲 典型应用题（四）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第10讲 典型应用题（四） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．粮店有大米30袋、面粉40袋，共重2500千克，已知1袋大米与2袋面粉一样重，那么每袋大米重（　　）千克 A．30 B．50 C．40 D．60 【答案】B 【分析】根据1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，所以面粉40袋的重量和40÷2=20袋大米的重量相等，所以20袋大米+30袋大米=2500千克，50袋大米的重量=2500千克，所以一袋大米的重量=50千克，据此解答即可． 【解答】解：2500÷（30+40÷2） =2500÷50 =50（千克） 答：一袋大米的重量是50千克． 故选：B． 2．今年6月1日儿童节是星期一，那么今年10月1日是星期（　　） A．三 B．四 C．六 D．二 【答案】B 【分析】先求出6月1日到10月1日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。 【解答】解：30-1+31+31+30+1=122（天） 122÷7=17（周）……3（天） 星期一向后推3天是星期四，那么今年10月1日是星期四。 故选：B。 3．阳光健身中心收费标准是25元/次，如果办月卡只需580元/月，仅限本人使用，当月有效。李老师想办一张月卡，当月最少要去健身（　　）才算合算。 A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据题意，先用580除以25，求出不办月卡去的次数；要使办月卡合算，至少要比不办月卡去的次数多1次，据此解答。 【解答】解：580÷25≈23（次） 23+1=24（次） 答：当月最少要去健身24次才算合算。 故选：C。 4．有两个水龙头，三个一样大的水桶，一个水龙头接满一桶水要用4分钟，接满半桶水要用2分钟，把3桶水都接满最少用（　　）分钟。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先同时接2桶，每个水龙头接1桶，接满需要4分钟，另外一桶接2个水龙头，接满需要2分钟，用加法即可计算出把3桶水都接满最短用多少分钟，再根据计算结果作出选择。 【解答】解：4+2=6（分钟） 答：把3桶水都接满最短用6分钟。 故选：B。 5．某公司运送一批货物，原计划安排18辆小卡车和12辆大卡车刚好运4次，已知2辆大卡车与5辆小卡车装的重量相同，现在只能派出8辆小卡车，需运（　　）次才能把货物运完． A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】D 【分析】已知2辆大卡车与5辆小卡车装的重量相同，12里面有6个2，所以12辆大卡车运的质量相当于6×5=30辆小卡车运的质量，也就是18+30=48辆小卡车运4次可以运完；设每辆小卡车每次运的质量是1，那么这批货物的总质量就是1×48×4=192，用192除以8辆即可求出8辆小卡车需要运的次数． 【解答】解：12÷2=6 6×5=30（辆） 18+30=48（辆） 设每辆小卡车每次运的质量是1 1×48×4=192 192÷8=24（次） 答：需运24次才能把货物运完． 故选：D． 6．为了回馈顾客，商场某品牌的羽毛球做了如下促销计划：每只球拍售价为人民币60元，同时购买者可获得1张奖券；积累3张奖券可兑换1只球拍．由此可见，1张奖券价值为（　　）元． A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【分析】积累3张奖券可兑换1只球拍，也就是买3只球拍就可以赠送1只球拍，每只球拍售价为人民币60元，3只球拍需要60×3=180元，这样可以得到4只球拍，实际1只球拍需要180÷4=45元，这也就是3张奖券的价值，再除以3即可求出1张奖券的价值． 【解答】解：60×3÷4 =180÷4 =45（元） 45÷3=15（元） 答：1张奖券价值为15元． 故选：C。 7．甲、乙、丙三个商店出售一种作业本，每本6元，为了促销，甲店打九折出售，乙店买四送一，丙商店满50返10元现金，王芳要买10本这样的作业本，到（　　）商店买省钱。 A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】B 【分析】分别计算三家商店所需钱数，比较即可得出结论。 【解答】解：甲店： 6×10×90%=54（元） 乙店： 10÷（4+1） =10÷5 =2（本） （10-2）×6 =8×6 =48（元） 丙店： 6×10=60（元） 60-10=50（元） 54＞50＞48 答：到乙商店买省钱。 故选：B。 8．一个循环小数本来有两个循环点，聪聪不小心擦掉了其中一个循环点，变成了0.98765432，原来循环小数的小数点后第21位上的数字是5，那么这个循环小数的另一个循环点在数字（　　）上． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由于0.987654321现有9个小数，5处于倒数第五个数，又小数点后的第21位上的数字是5，设循环节内共有x位小数，根据循环小数的意义可知，9≥x≥5，21位上是5，则第25位上是1，由此可得9+nx=25，即nx=16，所以x只能为8． 【解答】解：设循环节内小数共有x位，由题意可知， 9≥x≥5，21位上是5，则第25位上是1， 由此可得9+nx=25， 即nx=16，n是正整数， 16=1×16=2×8=4×4， 由于循环节最小是5位，所以不能是4×4， 所以只能是2×8=16 所以x只能为8． 即这个循环小数是0.9765432． 答：这个循环小数的另一个循环点在数字8上． 故选：D． 9．有38名同学去公园划船，每条小船限坐4人，每条大船限坐6人，要使每条船都坐满，一共有（　　）种方案。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先考虑租几条大船，大船坐满后，用剩下的人数除以每条小船能坐的人数，就是租小船的条数，如果有余数，说明这样租船不能每条船都刚好坐满，没有余数则可以这样租船。 【解答】解：38÷6=6（条）……2（人） 租大船数量（条） 大船能坐人数（人） 剩余应坐小船人数（人） 租小船数量（条） 小船能坐人数（人） 剩余人数（人） 是否能每条船刚好坐满 6 36 2 1 4 2 不能 5 30 8 2 8 0 能 4 24 14 4 16 2 不能 3 18 20 5 20 0 能 2 12 26 7 28 2 不能 1 6 32 8 32 0 能 0 0 38 10 40 2 不能 答：可以租5条大船和2条小船；也可以租3条大船和5条小船；还可以租1条大船8条小船，一共有3种方案。 故选：B。 10．小时候我们用手指练习数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（　　） A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指 【答案】C 【分析】从左手拇指开始数，拇指为1，9，17，…，可以发现，从左数到右，回来时数到食指，这就算一个周期了，因为下个又是拇指，一共数了8下．8就是周期，所以，左手拇指为8n+1，食指为8n+2和8n,中指为8n+3和8n+7，无名指为8n+4和8n+6，小指为8n+5．用2006除以8求出余数，即可求解． 【解答】解：2006÷8=250…6 答：数到2006时对应的指头是无名指． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．拿衣服去洗要用2分钟，洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用10分钟，浇花要用5分钟，晾衣服要用3分钟。经过合理安排，小强做完这些家务，最少要用 ______分钟。 【答案】25。 【分析】拿衣服去洗→洗衣机洗衣服（同时扫地、浇花）→晾衣服，据此计算时间即可。 【解答】解：2+20+3=25（分钟） 答：最少要用25分钟。 故答案为：25。 12．字母如下排列ABCDEEDCBAABCDE……那么第89个字母是______，前89个字母中共有______个字母“A” 【分析】观察发现：“ABCDEEDCBA”10个字母是一组，每组有2个A，用89除以10求出89个字母里面有多少个这样的一组，还余即几，再根据余数推算即可． 【解答】解：“ABCDEEDCBA”10个字母是一组； 89÷10=8（组）…9（个） 余数是9，余下的9个字母分别是ABCDEEDCB，所以第89个字母是B． 2×8+1=17（个） 答：第89个字母是B，前89个字母中共有17个字母“A”． 故答案为：B，17． 13．一串珠子，按5红、3白；5红、3白…的规律排列，第109个珠子是______色． 【分析】根据题干分析可得，这串珠子的排列规律是：8个珠子一个循环周期，分别按照5红、3白的顺序进行排列，据此计算出第109个珠子是第几个循环周期的第几个． 【解答】解：5+3=8（个） 109÷8=13（个）…5（个） 余数是5，所以第109个珠子是红颜色． 答：第109个珠子是 红色． 故答案为：红． 14．用一个平底锅煎鱼，每次最多只能煎2条，煎一条需要4分钟（正、反两面各2分钟），煎5条鱼至少需要 ______分钟，煎7条鱼至少需要 ______分钟。 【答案】10；14。 【分析】先煎第一条鱼和第二条鱼的正面，需2分钟；再煎第一条鱼和第二条鱼的反面，需2分钟；再煎第三条鱼和第四条鱼的正面，需2分钟；再煎第三条鱼的反面和第五条鱼的正面，需2分钟；再煎第四条鱼和第五条鱼的反面，需2分钟，由此解答本题。 【解答】解：2×5=10（分钟） 煎5条鱼至少需要10分钟。 煎鱼最佳方案：第一次煎2条需要4分钟，第二次煎2条需要4分钟， 剩下的3条鱼分别设A、B、C，先把A、B煎一面，2分钟，取出B放C，同时把A反过来，2分钟，取出A放B，同时把C翻过来，2分钟。 那么煎7条鱼总共需要4+4+2+2+2=14（分钟）。 15．6个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了199瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水______瓶。 【答案】166。 【分析】一开始先买6瓶，喝完后可以换一瓶汽水，之后再买5瓶，即可再换一瓶汽水，依此类推，据此解答。 【解答】解：一开始先买6瓶，喝完后可以换一瓶汽水，之后再买5瓶，即可再换一瓶汽水，依此类推， 买过n次5瓶，可以喝：6+1+6n=6n+7（瓶） 令6n+7=199， 则6n=192 解得：n=32 要买的数量就是： 6+5×32 =6+160 =166（瓶） 答：他们至少要买汽水166瓶。 故答案为：166。 三．应用题（共6小题） 16．信合医院是1路和3路公交车的起点站。1路公交车每8分钟发一辆，3路公交车每5分钟发一辆，8：10两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是什么时间？ 【答案】8时50分。 【分析】先求出5、8的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时刻加这个分钟数就是第二次同时发车时间。 【解答】解：5×8=40（分钟） 8时10分+40分钟=8时50分 答：下一次同时发车是8时50分。 17．某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别是多少元？ 【分析】关系式为：A品牌的化妆品5套需要钱数+B品牌的化妆品6套需要钱数=950；A品牌的化妆品3套需要钱数+B品牌的化妆品2套需要钱数=450；依此可得A品牌的化妆品4套钱数=400，可求A种品牌的化妆品每套进价，进一步得到B种品牌的化妆品每套进价． 【解答】解：设A种品牌的化妆品每套进价是x元，B种品牌的化妆品每套进价是y元，依题意有 5x+6y=950①， 3x+2y=450，即9x+6y=1350②， ②-①得4x=400，x=100； 则300+2y=450，            2y=150              y=75 答：A种品牌的化妆品每套进价是100元，B种品牌的化妆品每套进价是75元． 18．公园里，8个小伙伴在玩传球游戏（如图）。从1号开始按顺时针方向传球，在传球的同时按顺序报数。当报到68时，球传到了几号小伙伴的手上？ 【答案】4号。 【分析】由图可知8个一循环，用68÷8求出经过了几个循环，余数是几就从1开始数几个，据此解答即可。 【解答】解：68÷8=8……4 答：当报到68时，球传到了4号小伙伴的手上。 19．甲买了2千克苹果、3千克梨，共付14.4元；乙买了2千克苹果、5千克梨，共付19.2元．每千克苹果和梨各多少元？ 【分析】根据题意，用2千克苹果和5千克梨的价格减去2千克苹果和3千克梨的价格，求出2千克梨的价格是多少；然后根据单价=总价÷数量，用2千克梨的价格除以2，求出每千克梨的价格是多少，再用每千克梨的价格乘3，求出3千克梨的价格是多少，再用14.4元减去3千克梨的价格求出2千克苹果的价格是多少；最后用2千克苹果的价格除以2，求出每千克苹果多少钱即可． 【解答】解：梨：（19.2-14.4）÷（5-3） =4.8÷2 =2.4（元） 苹果： （14.4-2.4×3）÷2 =（14.4-7.2）÷2 =7.2÷2 =3.6（元） 答：每千克苹果3.6元，每千克梨2.4元． 20．某游泳馆正常收费标准是35元/次。2024年暑假期间，推出了这样一项优惠办卡活动：“每张卡988元，仅限办卡人自己使用，使用期限是2024年7月1日至2024年8月31日。”张老师在2024年7月1日至2024年8月31日这段时间内计划去游泳馆游泳25次，你建议他办张优惠卡吗？写出你的理由。 【答案】不建议。 【分析】先求出按正常收费标准游泳25次的总费用，再与办优惠卡的费用比较即可。 【解答】解：35×25=875（元） 875＜988 答：不建议他办张优惠卡。 21．小军想买一套62元的科普书。他决定利用假期通过帮妈妈做家务赚取零花针买书，妈妈提出两种支付酬劳的方法： ①连续帮忙5天，每天的报酬是12元； ②同样是帮忙5天，第一天是2元，以后每一天都是前一天的2倍。 如果你是小军，你会选择哪种？为什么？ 【答案】如果我是小军，我会选择第②种支付酬劳方法，因为刚好能够买一套62元的科普书。 【分析】根据妈妈提出两种支付酬劳的方法，求出得到的酬劳，然后比较大小即可。 【解答】解：①12×5=60（元） ②第1天：2元； 第2天：2×2=4（元）； 第3天：4×2=8（元）； 第4天：8×2=16（元）； 第5天：16×2=32（元）； 2+4+8+16+32=62（元）； 60＜62； 所以支付酬劳方法②合适。 答：如果我是小军，我会选择第②种支付酬劳方法，因为刚好能够买一套62元的科普书。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 典型应用题（四） 考点目录 1、代换问题 2 2、周期性问题 6 3、最优化问题 10 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 代换问题 ★ ★★★ 周期性问题 ★★ ★★★ 最优化问题 ★★ ★★★ 【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。 热点突破1 关键知识 代换问题 1．代换问题内容： “等量代换”是解决数学问题的一种常用方法．即两个相等的量，可以互相代换．等量代换的思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c．这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是进一步学习数学的基础． 2．代换主要方法： （1）列表消元法 （2）等价条件代换． 典型例题 例1： 例1：如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A=______，数B=______． 【分析】依题意A-3B=51，A+2B=111，然后用第二个算式减去第一个，就变成只含有B的方程，由此解决问题． 【解答】A-3B=51，① A+2B=111，② 由②-①可得： 5B=60， 解得B=12， A=51+12×3=87． 故答案为：87，12． 【点评】这类问题的关键是：把其中的一个未知数消去，变成只含有一个未知数的方程． 例2：假如20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换______只兔子． 【分析】先用兔子的数量代换出1只羊的数量，再代换出1头猪的数量，从而找出1头牛和兔子数之间的关系，进而求出5头牛的数量． 【解答】0只兔子=2只羊，那么： 1只羊=10只兔子， 9只羊=3头猪，那么： 9×10只兔子=3头猪， 90只兔子=3头猪，即 30只兔子=1头猪， 8头猪=2头牛，那么： 8×30只兔子=2头牛， 240只兔子=2头牛，即： 120只兔子=1头牛，那么5头牛就是： 120×5=600（只）； 故答案为：600． 【点评】把羊和猪的数量看成中间量，都用兔子的数量代替，找到兔子和牛之间的关系，再求解． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•双流区）王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元。8本故事书和4本漫画书共（　　）元。 A．80 B．50 C．96 D．128 【答案】D 【分析】4本故事书和8本漫画书共需要136元，将这些书每1本故事书和2本漫画书分成1份，可以分成4份，每一份是34元，那么3本故事书和6本漫画书就是102元。3本故事书和10本漫画书共需要150元，相同的本数的故事书，但相差了48元，48元就是相差的4本漫画书的钱。1本漫画书就是12元。再根据条件求出1本故事的钱。则可以得出8本故事书和4本漫画书的钱。 【解答】解：1本故事书和2本漫画书的钱：136÷4=34（元） 3本故事书和6本漫画书总钱数：34×3=102（元） 1本漫画书的钱： 1本故事书的钱： 10×8+12×4=80+48=128（元） 答：8本故事书和4本漫画书共128元。 故选：D。 【跟踪训练2】（2024•东海县）体育室里有三盒乒乓球（只有橙、白两色），每盒30个，第一盒有是橙色乒乓球，第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同样多，这三盒乒乓球中一共有（　　）个白色乒乓球。 A．30 B．36 C．54 D．84 【答案】C 【分析】把每盒乒乓球的个数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用第一盒乒乓球的个数乘（1-），就是第一盒白乒乓球的个数。第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同样多，说明这两盒乒乓球，白色，橙色的个数相同，即30个白色的，30个橙色的，进而即可求出这三盒乒乓球中白色乒乓球的总个数。 【解答】解：30×（1-）+30 =30×+30 =24+30 =54（个） 答：这三盒乒乓球中一共有54个白色乒乓球。 故选：C。 【跟踪训练3】（2023•源汇区）买2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．已知2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱．葡萄每千克______元，芒果每千克______元． 【分析】2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，买2千克葡萄和3千克芒果就相当于买4千克的芒果，花了40元，用除法就可以求出1千克芒果的价格，进而可求葡萄的价格． 【解答】解：2千克葡萄=1千克芒果， 2千克葡萄+3千克芒果=4千克芒果， 40÷4=10（元）， 10÷2=5（元）； 答：葡萄每千克5元，芒果每千克10元． 故答案为：5，10． 【跟踪训练4】（2024•北碚区）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各2件时，应该付款 ______元。 【答案】400。 【分析】根据题意，写出等量关系系，购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元，可表示为：3甲+2乙+1丙=420；同理，当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，可表示为：2甲+3乙+4丙=580，再根据等式的性质，左边加左边等于右边加右边，由此可得5甲+5乙+5丙等于多少，即可求出1甲+1乙+1丙等于多少；当她购买甲、乙、丙各2件时，再用1甲+1乙+1丙的结果乘上2即可求出应该付款多少元。由此解答。 【解答】解：3甲+2乙+1丙=420        2甲+3乙+4丙=580 5甲+5乙+5丙=420+580 1甲+1乙+1丙：（420+580）÷5 =1000÷5 =200（元） 甲、乙、丙各2件时：200×2=400（元） 答：当她购买甲、乙、丙各2件时，应该付款400元。 故答案为：400。 【跟踪训练5】（2023秋•如皋市校级月考）粮店共有1800千克大米和面粉，其中大米有20袋，面粉有60袋。已知2袋大米的质量和3袋面粉的质量相等，那么每袋大米和每袋面粉各重多少千克？ 【答案】每袋大米重30千克，每袋面粉重20千克。 【分析】已知2袋大米的质量和3袋面粉的质量相等，用现有的20袋大米除以2，可以求出20里面有几个2，再用求出的数值乘3，即可将20袋大米转换成面粉的数量，加上已有的60袋面粉，求出面粉的总数，用1800千克除以面粉的总数，算出每袋面粉的质量，最后求出大米的质量即可。 【解答】解：由分析可得： 20÷2×3 =10×3 =30（袋） 30+60=90（袋） 1800÷90=20（千克） 20×3÷2 =60÷2 =30（千克） 答：每袋大米重30千克，每袋面粉重20千克。 【跟踪训练6】（2022秋•渭滨区期中）学校上学期买了8个足球和4个篮球，一共花了873.6元，这学期又买了2个足球和4个篮球（单价均不变），一共花了474元。每个足球多少钱？ 【答案】66.6元。 【分析】8个足球和4个篮球，一共花了873.6元，而2个足球和4个篮球一共花了474元，这样8个足球和4个篮球比2个足球4个篮球多花了（873.6-474）元，而篮球的个数都是4个，所以多花的钱数就表示是8个足球比2个足球多花了多少钱，再根据单价=总价÷数量即可求出每个足球的钱数。 【解答】解：（873.6-474）÷（8-2） =399.6÷6 =66.6（元） 答：每个足球66.6元。 热点突破2 关键知识 周期性问题 1．周期性问题内容： 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们称为“简单周期问题”． 2．周期性问题解决方法： 这一类问题一般要利用余数的知识来解答． 这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 典型例题 例1： 例1：蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，这口井至少深______厘米． 【分析】由题意知蜗牛1天爬110-40=70厘米，那么4天就是70×4=280厘米，又因为到第5天的白天，晚上不算在内，要保证第5天白天爬出井口，则第4天一定不能爬出井口．井深至少比第四天能够爬出的高度多1厘米．所以这口井的深度是：（110-40）×3+110+1． 【解答】（110-40）×3+110+1 =210+110+1 =321（厘米） 故答案为：321． 【点评】此题属于周期性问题，在列式时要特别注意是“第五天的白天爬到井口”．问“至少”，所以第5天白天爬完1厘米就结束了． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023秋•余庆县期末）（分数化小数）将化成小数后，小数点后第2015位上的数字是（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】分数转化为小数：用分数的分子除以分数的分母。1÷7的商是一个循环小数。循环部分是142857。将这六个数字看成一个循环，2015里面有335组还剩下5个数，则第五个数就是循环节里面的第五的数。 【解答】解：1÷7=0.142857142857…… 2015÷6=335（组）……5（个） 答：小数点后第2015位上的数字是5。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024•郫都区校级模拟）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2021个格子中的数为（　　） ​ A．7 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等得出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，依此可得7、1、2依次循环，再用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解。 【解答】解：因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，所以，数据从左到右依次为7、1、2，……，依次循环，所以，每3个数“7、1、2”为一个循环组依次循环， 20212÷3=673（组）......2（个） 所以第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同。 答：第2021个格子中的数为1。 故选：B。 【跟踪训练3】（2024秋•泗阳县期末）在AABCAABCAABC……中，第48个字母是______；如果A有50个，B最多有______个． 【分析】（1）根据题干可得，此题排列规律是：4个字母一个循环周期，分别按照“AABC”依次循环排列，由此计算出第48个是第几个周期的第几个；然后结合余数即可解答问题． （2）每个周期有2个A，先求出周期数，即至少有50÷2=25个周期；要使B最多，那么最后一个周期里一定要有1个B；据此解答即可． 【解答】解：（1）这组图形的排列特点是：4个字母一个循环周期， 48÷4=12 所以第48个字母是第12周期的第4个图形，是C． （2）每个周期有2个A，那么至少有50÷2=25个周期；要使B最多，那么最后一个周期里一定要有1个B； 所以，B最多有25个． 答：第48个字母是 C；如果A有50个，B最多有 25个． 故答案为：C；25． 【跟踪训练4】（2023秋•鹿城区期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，接下来几天还是按计划去义诊。丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ______。 【答案】三。 【分析】这是一道关于周期循环的逻辑推理题，解题关键在于确定丁每次义诊的周期规律，再结合已知的第一次义诊时间来推算第八次义诊的星期数。 【解答】解：正常四位医生轮流义诊，周期为4。但丙第3次应去时丁代替，所以丁第1次到第3次义诊间隔为天数为：4×2-1=7（天）（原本丙的一次义诊时间被丁提前占用）。 即丁第3次义诊和第1次义诊的星期数相同，都是星期四。 所以从第4次义诊开始，甲、乙、丙、丁四位医生轮流义诊，周期为4，即第4次义诊甲是星期五，乙是星期六，丙是星期日，丁是星期一。 （8-4）×4=16（天） 16÷7=2（周）……2（天） 1+2=3，即第8次义诊丁是星期三。 答：当丁第8次去义诊时，是星期三。 故答案为：三。 【跟踪训练5】（2024秋•烟台期末）国庆节期间，胜利街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在胜利街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的。那么胜利街这一边从这个路口开始的第131盏灯是什么颜色的？ 【答案】黄色。 【分析】彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的，因此可将2+1+3=6盏灯看成1组，然后用灯的总数除以6，计算出的商就是得到的组数，余数就表示剩下的盏数，再根据计算出的余数确定出第131盏灯的颜色即可。 【解答】解：2+1+3 =3+3 =6（盏） 131÷6=21（组）……5（盏），即按二红一绿三黄的规律排列，第131盏灯是1组里的第5盏灯，是黄色的灯。 答：第131盏灯是黄色。 【跟踪训练6】（2024春•昌乐县期末）国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？ 【答案】绿色。 【分析】根据题干可知，彩灯照颜色特点排列规律是一红二绿三黄，1+2+3=6，即6盏一个循环周期，由此用除法计算出第123是第几个周期的第几盏即可。 【解答】解：123÷（1+2+3） =123÷6 =20……3（盏） 余数是3，按照一红二绿三黄的顺序，第三盏是绿色。 答：第123盏灯是绿色的。 热点突破3 关键知识 最优化问题 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 典型例题 例1： 例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（　　）分． A、45            B、38           C、30 【分析】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题． 【解答】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜， 所以最小需要30分钟即可完成． 故选：C． 【点评】较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序． 例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（　　）瓶汽水． A、30          B、25           C、28          D、24 【分析】根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5=5瓶，所以只买：30-5=25瓶，据此解答． 【解答】30-1×[30÷（5+1）]， =30-5， =25（瓶）； 答：只需要买25汽水． 故选：B． 【点评】本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•万柏林区期中）张老师要给班里购买20个篮球，甲、乙两个商店的篮球单价相同。甲商店所有商品打八折，乙商店所有商品“买五送一”，张老师到（　　）商店购买比较省钱。 A．甲 B．乙 C．一样 【答案】A 【分析】单价是一样的，最后的总价可以不考虑单价的影响，现在就是数量的问题了，都买20个，看在哪个商店购买花的钱少即可。 【解答】解：八折=80% 在甲商店买20个篮球，需要花费：20×80%=16（个）篮球的价钱； 在乙商店买20个篮球，送20÷（5+1）=3......2（个），需要花费：20-3=17（个）篮球的价钱； 16＜17 所以到甲商店购买比较省钱。 故选：A。 【跟踪训练2】（2024秋•东莞市期末）“美丽天使”舞蹈队有20名演员需要租车去参加演出。已知每辆面包车限客6人，每辆小轿车限客4人，恰好每辆车都坐满的租车方案是（　　） A．1辆面包车和3辆小轿车 B．2辆面包车和2辆小轿车 C．3辆面包车和1辆小轿车 D．4辆面包车 【答案】B 【分析】把20拆分为几个6与几个4的和，即可解决问题。 【解答】解：20=6×2+4×2=4×5 所以租2辆面包车和2辆小轿车，或租5辆小轿车。 故选：B。 【跟踪训练3】（2025春•泉山区期中）果园里有13吨水果要用货车搬运。载重量3吨的货车每次运费100元，载重量2吨的货车每次运费80元，要想全部运完，运费最少花费 ______元。 【答案】460。 【分析】先算每吨的运费，比较大小，选择运费便宜的车，且尽量满载比较省钱；据此解答即可。 【解答】解：100÷3=33（元）……1（元） 80÷2=40（元） 33＜40 所以尽量多用载重量3吨的货车， 13÷3=4（次）……1（吨） 4-1=3（次） （3+1）÷2=2（次） 所以用3次3吨的货车和2次2吨的货车， 100×3+80×2 =300+160 =460（元） 答：运费最少花费460元。 故答案为：460。 【跟踪训练4】（2025春•信都区校级期中）李阿姨要买8双男士袜和10双女士袜，某商城有两种购买方案：①男士袜17元/双，女士袜13元/双；②15元/双（购买10双及以上），方案 ______更省钱，她至少要付 ______元。 【答案】①；266。 【分析】分别计算出每种方案需要的钱，然后再比较并填空即可。方案①：一共需要的钱=男士袜的数量×男士袜的单价+女士袜的数量×女士袜的单价；方案②：一共需要的钱=男士袜与女士袜的数量之和×单价。 【解答】解：方案①： 17×8+13×10 =136+130 =266（元） 方案②： （8+10）×15 =18×15 =270（元） 266元＜270元 即方案一①省钱，她至少要付266元。 故答案为：①；266。 【跟踪训练5】（2025春•未央区期中）段老师要买60个足球，现有3家体育用品商店举行促销活动，优惠情况如下，甲店每买10个送2个，乙店打8折销售，丙店购物每满200元减30元。这三家店同种品牌足球的单价都是25元，你认为段老师到哪家店买最划算？ 【答案】乙店。 【分析】甲店：买50个，送10个刚好60个，即求花买50个足球的钱即可； 乙店：每个足球25×80%=20（元），再用20乘60即可求出需要的钱数； 丙店：先算出买60个球花60×25=1500（元），1500÷200≈7（个），减30×7=210（元），用花的总钱数减去减的钱数即可。 最后比较这三个商店需要钱数的大小即可解答。 【解答】解：甲店：买50个可以赠送10个， 50×25=1250（元） 乙店：25×80%=20（元） 20×60=1200（元） 丙店：60×25=1500（元） 1500÷200≈7（个） 30×7=210（元） 1500-210=1290（元） 1200元＜1250元＜1290元 答：我认为段老师到乙店买最划算。 【跟踪训练6】（2025春•龙岗区期中）妈妈为了增加王丽的早餐营养，打算为她订购一年的牛奶。有以下两种订购方案： 方案一：按季度订（一年有4个季度），每个季度108元。 方案二：按月订，每月40元。 怎样订比较便宜？写出计算过程。 【答案】按季度订。 【分析】按两种方法计算：每个季度价钱×4；或每月价钱乘一年12个月，计算出后比较哪种更便宜即可。 【解答】解：108×4=432（元） 40×12=480（元） 432＜480 答：按季度订比较便宜。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 典型应用题（四） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．粮店有大米30袋、面粉40袋，共重2500千克，已知1袋大米与2袋面粉一样重，那么每袋大米重（　　）千克 A．30 B．50 C．40 D．60 2．今年6月1日儿童节是星期一，那么今年10月1日是星期（　　） A．三 B．四 C．六 D．二 3．阳光健身中心收费标准是25元/次，如果办月卡只需580元/月，仅限本人使用，当月有效。李老师想办一张月卡，当月最少要去健身（　　）才算合算。 A．22 B．23 C．24 D．25 4．有两个水龙头，三个一样大的水桶，一个水龙头接满一桶水要用4分钟，接满半桶水要用2分钟，把3桶水都接满最少用（　　）分钟。 A．4 B．6 C．8 D．12 5．某公司运送一批货物，原计划安排18辆小卡车和12辆大卡车刚好运4次，已知2辆大卡车与5辆小卡车装的重量相同，现在只能派出8辆小卡车，需运（　　）次才能把货物运完． A．15 B．18 C．21 D．24 6．为了回馈顾客，商场某品牌的羽毛球做了如下促销计划：每只球拍售价为人民币60元，同时购买者可获得1张奖券；积累3张奖券可兑换1只球拍．由此可见，1张奖券价值为（　　）元． A．20 B．18 C．15 D．12 7．甲、乙、丙三个商店出售一种作业本，每本6元，为了促销，甲店打九折出售，乙店买四送一，丙商店满50返10元现金，王芳要买10本这样的作业本，到（　　）商店买省钱。 A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 8．一个循环小数本来有两个循环点，聪聪不小心擦掉了其中一个循环点，变成了0.98765432，原来循环小数的小数点后第21位上的数字是5，那么这个循环小数的另一个循环点在数字（　　）上． A．5 B．6 C．7 D．8 9．有38名同学去公园划船，每条小船限坐4人，每条大船限坐6人，要使每条船都坐满，一共有（　　）种方案。 A．2 B．3 C．4 D．6 10．小时候我们用手指练习数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（　　） A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指 二．填空题（共5小题） 11．拿衣服去洗要用2分钟，洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用10分钟，浇花要用5分钟，晾衣服要用3分钟。经过合理安排，小强做完这些家务，最少要用 ______分钟。 12．字母如下排列ABCDEEDCBAABCDE……那么第89个字母是______，前89个字母中共有______个字母“A” 13．一串珠子，按5红、3白；5红、3白…的规律排列，第109个珠子是______色． 14．用一个平底锅煎鱼，每次最多只能煎2条，煎一条需要4分钟（正、反两面各2分钟），煎5条鱼至少需要 ______分钟，煎7条鱼至少需要 ______分钟。 15．6个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了199瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水______瓶。 三．应用题（共6小题） 16．信合医院是1路和3路公交车的起点站。1路公交车每8分钟发一辆，3路公交车每5分钟发一辆，8：10两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是什么时间？ 17． 某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别是多少元？ 18．公园里，8个小伙伴在玩传球游戏（如图）。从1号开始按顺时针方向传球，在传球的同时按顺序报数。当报到68时，球传到了几号小伙伴的手上？ 18． 甲买了2千克苹果、3千克梨，共付14.4元；乙买了2千克苹果、5千克梨，共付19.2元．每千克苹果和梨各多少元？ 19． 某游泳馆正常收费标准是35元/次。2024年暑假期间，推出了这样一项优惠办卡活动：“每张卡988元，仅限办卡人自己使用，使用期限是2024年7月1日至2024年8月31日。”张老师在2024年7月1日至2024年8月31日这段时间内计划去游泳馆游泳25次，你建议他办张优惠卡吗？写出你的理由。 21．小军想买一套62元的科普书。他决定利用假期通过帮妈妈做家务赚取零花针买书，妈妈提出两种支付酬劳的方法： ①连续帮忙5天，每天的报酬是12元； ②同样是帮忙5天，第一天是2元，以后每一天都是前一天的2倍。 如果你是小军，你会选择哪种？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 10 讲 典型应用题（四） 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．粮店有大米 30袋、面粉 40袋，共重 2500千克，已知 1袋大米与 2袋面粉一样 重，那么每袋大米重（　　）千克 A．30 B．50 C．40 D．60 2．今年 6月 1日儿童节是星期一，那么今年 10月 1日是星期（　　） A．三 B．四 C．六 D．二 3．阳光健身中心收费标准是 25元/次，如果办月卡只需 580元/月，仅限本人使 用，当月有效。李老师想办一张月卡，当月最少要去健身（　　）才算合算。 A．22 B．23 C．24 D．25 4．有两个水龙头，三个一样大的水桶，一个水龙头接满一桶水要用 4分钟，接满 半桶水要用 2分钟，把 3桶水都接满最少用（　　）分钟。 A．4 B．6 C．8 D．12 5．某公司运送一批货物，原计划安排 18辆小卡车和 12辆大卡车刚好运 4次，已 知 2辆大卡车与 5辆小卡车装的重量相同，现在只能派出 8辆小卡车，需运 （　　）次才能把货物运完． A．15 B．18 C．21 D．24 6．为了回馈顾客，商场某品牌的羽毛球做了如下促销计划：每只球拍售价为人民 币 60元，同时购买者可获得 1张奖券；积累 3张奖券可兑换 1只球拍．由此可 见，1张奖券价值为（　　）元． A．20 B．18 C．15 D．12 7．甲、乙、丙三个商店出售一种作业本，每本 6元，为了促销，甲店打九折出 售，乙店买四送一，丙商店满 50返 10元现金，王芳要买 10本这样的作业本，到 （　　）商店买省钱。 A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 8．一个循环小数本来有两个循环点，聪聪不小心擦掉了其中一个循环点，变成了 0.98765432 ˙ 1，原来循环小数的小数点后第 21位上的数字是 5，那么这个循环小数 的另一个循环点在数字（　　）上． A．5 B．6 C．7 D．8 9．有 38名同学去公园划船，每条小船限坐 4人，每条大船限坐 6人，要使每条船 都坐满，一共有（　　）种方案。 A．2 B．3 C．4 D．6 10．小时候我们用手指练习数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到 2006时对应的指头是（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小 指）（　　） A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指 二．填空题（共 5 小题） 11．拿衣服去洗要用 2分钟，洗衣机洗衣服要用 20分钟，扫地要用 10分钟，浇花 要用 5分钟，晾衣服要用 3分钟。经过合理安排，小强做完这些家务，最少要用 ______分钟。 12．字母如下排列 ABCDEEDCBAABCDE……那么第 89个字母是______，前 89个字母 中共有______个字母“A” 13．一串珠子，按 5红、3白；5红、3白…的规律排列，第 109个珠子是______ 色． 14．用一个平底锅煎鱼，每次最多只能煎 2条，煎一条需要 4分钟（正、反两面各 2分钟），煎 5条鱼至少需要 ______分钟，煎 7条鱼至少需要 ______分钟。 15．6个空瓶可以换 1瓶汽水，某班同学喝了 199瓶汽水，其中有一些是用喝剩下 来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水______瓶。 三．应用题（共 6 小题） 16．信合医院是 1路和 3路公交车的起点站。1路公交车每 8分钟发一辆，3路公 交车每 5分钟发一辆，8：10两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是 什么时间？ 17．某化妆品店老板到厂家选购 A、B两种品牌的化妆品，若购进 A品牌的化妆品 5套，B品牌的化妆品 6套，需要 950元；若购进 A品牌的化妆品 3套，B品牌的 化妆品 2套，需要 450元．求 A、B两种品牌的化妆品每套进价分别是多少元？ 18．公园里，8个小伙伴在玩传球游戏（如图）。从 1号开始按顺时针方向传球， 在传球的同时按顺序报数。当报到 68时，球传到了几号小伙伴的手上？ 18．甲买了 2千克苹果、3千克梨，共付 14.4元；乙买了 2千克苹果、5千克梨， 共付 19.2元．每千克苹果和梨各多少元？ 19．某游泳馆正常收费标准是 35元/次。2024年暑假期间，推出了这样一项优惠 办卡活动：“每张卡 988元，仅限办卡人自己使用，使用期限是 2024年 7月 1日 至 2024年 8月 31日。”张老师在 2024年 7月 1日至 2024年 8月 31日这段时间 内计划去游泳馆游泳 25次，你建议他办张优惠卡吗？写出你的理由。 21．小军想买一套 62元的科普书。他决定利用假期通过帮妈妈做家务赚取零花针 买书，妈妈提出两种支付酬劳的方法： ①连续帮忙 5天，每天的报酬是 12元； ②同样是帮忙 5天，第一天是 2元，以后每一天都是前一天的 2倍。 如果你是小军，你会选择哪种？为什么？ 第 1 页 共 9 页 第 10 讲 典型应用题（四） 1、代换问题.........................................................2 2、周期性问题.......................................................5 3、最优化问题.......................................................7 热点考点 考查频率 考点难度 代换问题 ★ ★★★ 周期性问题 ★★ ★★★ 最优化问题 ★★ ★★★ 【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解 能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工 程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。 考点目录 热点透析 热点突破 1 考情透析 第 2 页 共 9 页 代换问题 1．代换问题内容： “等量代换”是解决数学问题的一种常用方法．即两个相等的量，可以互相代换．等量代 换的思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果 a=b，b=c，那么 a=c．这种数学 思想方法不仅有着广泛的应用，而且是进一步学习数学的基础． 2．代换主要方法： （1）列表消元法 （2）等价条件代换． 例 1： 例 1：如果数 A 减去数 B 的 3 倍，差是 51；数 A 加上数 B 的 2 倍，和是 111，那么数 A=______，数 B=______． 【分析】依题意 A-3B=51，A+2B=111，然后用第二个算式减去第一个，就变成只含有 B的方 程，由此解决问题． 【解答】A-3B=51，① A+2B=111，② 由②-①可得： 5B=60， 解得 B=12， A=51+12×3=87． 故答案为：87，12． 【点评】这类问题的关键是：把其中的一个未知数消去，变成只含有一个未知数的方程． 例 2：假如 20只兔子可换 2只羊，9只羊可换 3头猪，8头猪可换 2头牛，那么用 5头牛可 换______只兔子． 【分析】先用兔子的数量代换出 1 只羊的数量，再代换出 1 头猪的数量，从而找出 1 头牛 和兔子数之间的关系，进而求出 5头牛的数量． 关键知识 典型例题 第 3 页 共 9 页 【解答】0只兔子=2只羊，那么： 1只羊=10只兔子， 9只羊=3头猪，那么： 9×10只兔子=3头猪， 90只兔子=3头猪，即 30只兔子=1头猪， 8头猪=2头牛，那么： 8×30只兔子=2头牛， 240只兔子=2头牛，即： 120只兔子=1头牛，那么 5头牛就是： 120×5=600（只）； 故答案为：600． 【点评】把羊和猪的数量看成中间量，都用兔子的数量代替，找到兔子和牛之间的关系， 再求解． 【跟踪训练 1】（2024•双流区）王老师去买书，买 4本故事书和 8本漫画书共需 136元，买 同样的 3本故事书和 10本漫画书共需 150元。8本故事书和 4本漫画书共（　　）元。 A．80 B．50 C．96 D．128 【跟踪训练 2】（2024•东海县）体育室里有三盒乒乓球（只有橙、白两色），每盒 30个，第 一盒有 1 5 是橙色乒乓球，第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同样多，这三盒乒乓球中 一共有（　　）个白色乒乓球。 A．30 B．36 C．54 D．84 【跟踪训练 3】（2023•源汇区）买 2千克葡萄和 3千克芒果，共付 40元．已知 2千克葡萄的 价钱等于 1千克芒果的价钱．葡萄每千克______元，芒果每千克______元． 【跟踪训练 4】（2024•北碚区）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内 选择 3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为 420元；当购物车内选择 2件甲、3件乙、4件 丙时显示的价格为 580元，则当她购买甲、乙、丙各 2件时，应该付款 ______元。 【跟踪训练 5】（2023秋•如皋市校级月考）粮店共有 1800千克大米和面粉，其中大米有 20 跟踪训练 第 4 页 共 9 页 袋，面粉有 60袋。已知 2袋大米的质量和 3袋面粉的质量相等，那么每袋大米和每袋面粉各 重多少千克？ 【跟踪训练 6】（2022秋•渭滨区期中）学校上学期买了 8个足球和 4个篮球，一共花了 873.6元，这学期又买了 2个足球和 4个篮球（单价均不变），一共花了 474元。每个足球 多少钱？ 热点突破 2 关键知识 第 5 页 共 9 页 周期性问题 1．周期性问题内容： 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的 12生肖，一年有春夏秋冬 四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们称为“简单周期问题”． 2．周期性问题解决方法： 这一类问题一般要利用余数的知识来解答． 这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数， 然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 例 1： 例 1：蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬 110厘米，夜里向下滑 40厘米，若要第五天的白 天爬到井口，这口井至少深______厘米． 【分析】由题意知蜗牛 1天爬 110-40=70厘米，那么 4天就是 70×4=280厘米，又因为到第 5天的白天，晚上不算在内，要保证第 5天白天爬出井口，则第 4天一定不能爬出井口．井 深至少比第四天能够爬出的高度多 1厘米．所以这口井的深度是：（110-40）×3+110+1． 【解答】（110-40）×3+110+1 =210+110+1 =321（厘米） 故答案为：321． 【点评】此题属于周期性问题，在列式时要特别注意是“第五天的白天爬到井口”．问“至 少”，所以第 5天白天爬完 1厘米就结束了． 【跟踪训练 1】（2023秋•余庆县期末）（分数化小数）将1 7 化成小数后，小数点后第 2015位 上的数字是（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【跟踪训练 2】（2024•郫都区校级模拟）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格 子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第 2021个格子 中的数为（　　） 跟踪训练 典型例题 第 6 页 共 9 页 A．7 B．1 C．2 D．无法确定 【跟踪训练 3】（2024秋•泗阳县期末）在 AABCAABCAABC……中，第 48个字母是______；如 果 A有 50个，B最多有______个． 【跟踪训练 4】（2023秋•鹿城区期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但 计划有所改变，当丙要第 3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，接下来几天 还是按计划去义诊。丁第 1次义诊是在星期四，当丁第 8次去义诊时，是星期 ______。 【跟踪训练 5】（2024秋•烟台期末）国庆节期间，胜利街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站 在胜利街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的。那么胜利街 这一边从这个路口开始的第 131盏灯是什么颜色的？ 【跟踪训练 6】（2024春•昌乐县期末）国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在 新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一 边从这个路口开始的第 123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？ 第 7 页 共 9 页 最优化问题 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提 下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉 及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增 强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 例 1： 例 1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服 30分，扫地擦地 15分， 洗菜 8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（　　）分． A、45 B、38 C、30 【分析】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要 30分钟，同时可以扫地擦地和洗 菜，据此即可解答问题． 【解答】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要 30分钟，同时可以扫地擦地和洗 菜， 所以最小需要 30分钟即可完成． 故选：C． 【点评】较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序． 例 2：汽水买 5送 1，某班 30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（　　）瓶汽水． A、30 B、25 C、28 D、24 【分析】根据“买 5 送 1”可知买 5 瓶实际得到 6 瓶，30 名同学可以买（30÷6）5 个 5 瓶， 送 1×5=5瓶，所以只买：30-5=25瓶，据此解答． 【解答】30-1×[30÷（5+1）]， =30-5， 热点突破 3 关键知识 典型例题 第 8 页 共 9 页 =25（瓶）； 答：只需要买 25汽水． 故选：B． 【点评】本题关键是求出买 30瓶能送几瓶汽水． 【跟踪训练 1】（2025春•万柏林区期中）张老师要给班里购买 20个篮球，甲、乙两个商店 的篮球单价相同。甲商店所有商品打八折，乙商店所有商品“买五送一”，张老师到 （　　）商店购买比较省钱。 A．甲 B．乙 C．一样 【跟踪训练 2】（2024秋•东莞市期末）“美丽天使”舞蹈队有 20名演员需要租车去参加演 出。已知每辆面包车限客 6人，每辆小轿车限客 4人，恰好每辆车都坐满的租车方案是 （　　） A．1辆面包车和 3辆小轿车 B．2辆面包车和 2辆小轿车 C．3辆面包车和 1辆小轿车 D．4辆面包车 【跟踪训练 3】（2025春•泉山区期中）果园里有 13吨水果要用货车搬运。载重量 3吨的货 车每次运费 100元，载重量 2吨的货车每次运费 80元，要想全部运完，运费最少花费 ______元。 【跟踪训练 4】（2025春•信都区校级期中）李阿姨要买 8双男士袜和 10双女士袜，某商城 有两种购买方案：①男士袜 17元/双，女士袜 13元/双；②15元/双（购买 10双及以上）， 方案 ______更省钱，她至少要付 ______元。 【跟踪训练 5】（2025春•未央区期中）段老师要买 60个足球，现有 3家体育用品商店举行 促销活动，优惠情况如下，甲店每买 10个送 2个，乙店打 8折销售，丙店购物每满 200元减 30元。这三家店同种品牌足球的单价都是 25元，你认为段老师到哪家店买最划算？ 跟踪训练 第 9 页 共 9 页 【跟踪训练 6】（2025春•龙岗区期中）妈妈为了增加王丽的早餐营养，打算为她订购一年的 牛奶。有以下两种订购方案： 方案一：按季度订（一年有 4个季度），每个季度 108元。 方案二：按月订，每月 40元。 怎样订比较便宜？写出计算过程。 第10讲 典型应用题（四） 考点目录 1、代换问题 2 2、周期性问题 5 3、最优化问题 7 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 代换问题 ★ ★★★ 周期性问题 ★★ ★★★ 最优化问题 ★★ ★★★ 【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。 热点突破1 关键知识 代换问题 1．代换问题内容： “等量代换”是解决数学问题的一种常用方法．即两个相等的量，可以互相代换．等量代换的思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c．这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是进一步学习数学的基础． 2．代换主要方法： （1）列表消元法 （2）等价条件代换． 典型例题 例1： 例1：如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A=______，数B=______． 【分析】依题意A-3B=51，A+2B=111，然后用第二个算式减去第一个，就变成只含有B的方程，由此解决问题． 【解答】A-3B=51，① A+2B=111，② 由②-①可得： 5B=60， 解得B=12， A=51+12×3=87． 故答案为：87，12． 【点评】这类问题的关键是：把其中的一个未知数消去，变成只含有一个未知数的方程． 例2：假如20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换______只兔子． 【分析】先用兔子的数量代换出1只羊的数量，再代换出1头猪的数量，从而找出1头牛和兔子数之间的关系，进而求出5头牛的数量． 【解答】0只兔子=2只羊，那么： 1只羊=10只兔子， 9只羊=3头猪，那么： 9×10只兔子=3头猪， 90只兔子=3头猪，即 30只兔子=1头猪， 8头猪=2头牛，那么： 8×30只兔子=2头牛， 240只兔子=2头牛，即： 120只兔子=1头牛，那么5头牛就是： 120×5=600（只）； 故答案为：600． 【点评】把羊和猪的数量看成中间量，都用兔子的数量代替，找到兔子和牛之间的关系，再求解． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•双流区）王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元。8本故事书和4本漫画书共（　　）元。 A．80 B．50 C．96 D．128 【跟踪训练2】（2024•东海县）体育室里有三盒乒乓球（只有橙、白两色），每盒30个，第一盒有是橙色乒乓球，第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同样多，这三盒乒乓球中一共有（　　）个白色乒乓球。 A．30 B．36 C．54 D．84 【跟踪训练3】（2023•源汇区）买2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．已知2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱．葡萄每千克______元，芒果每千克______元． 【跟踪训练4】（2024•北碚区）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各2件时，应该付款 ______元。 【跟踪训练5】（2023秋•如皋市校级月考）粮店共有1800千克大米和面粉，其中大米有20袋，面粉有60袋。已知2袋大米的质量和3袋面粉的质量相等，那么每袋大米和每袋面粉各重多少千克？ 【跟踪训练6】（2022秋•渭滨区期中）学校上学期买了8个足球和4个篮球，一共花了873.6元，这学期又买了2个足球和4个篮球（单价均不变），一共花了474元。每个足球多少钱？ 热点突破2 关键知识 周期性问题 1．周期性问题内容： 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们称为“简单周期问题”． 2．周期性问题解决方法： 这一类问题一般要利用余数的知识来解答． 这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 典型例题 例1： 例1：蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，这口井至少深______厘米． 【分析】由题意知蜗牛1天爬110-40=70厘米，那么4天就是70×4=280厘米，又因为到第5天的白天，晚上不算在内，要保证第5天白天爬出井口，则第4天一定不能爬出井口．井深至少比第四天能够爬出的高度多1厘米．所以这口井的深度是：（110-40）×3+110+1． 【解答】（110-40）×3+110+1 =210+110+1 =321（厘米） 故答案为：321． 【点评】此题属于周期性问题，在列式时要特别注意是“第五天的白天爬到井口”．问“至少”，所以第5天白天爬完1厘米就结束了． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023秋•余庆县期末）（分数化小数）将化成小数后，小数点后第2015位上的数字是（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【跟踪训练2】（2024•郫都区校级模拟）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2021个格子中的数为（　　） ​ A．7 B．1 C．2 D．无法确定 【跟踪训练3】（2024秋•泗阳县期末）在AABCAABCAABC……中，第48个字母是______；如果A有50个，B最多有______个． 【跟踪训练4】（2023秋•鹿城区期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，接下来几天还是按计划去义诊。丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ______。 【跟踪训练5】（2024秋•烟台期末）国庆节期间，胜利街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在胜利街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的。那么胜利街这一边从这个路口开始的第131盏灯是什么颜色的？ 【跟踪训练6】（2024春•昌乐县期末）国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？ 热点突破3 关键知识 最优化问题 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 典型例题 例1： 例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（　　）分． A、45            B、38           C、30 【分析】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题． 【解答】根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜， 所以最小需要30分钟即可完成． 故选：C． 【点评】较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序． 例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（　　）瓶汽水． A、30          B、25           C、28          D、24 【分析】根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5=5瓶，所以只买：30-5=25瓶，据此解答． 【解答】30-1×[30÷（5+1）]， =30-5， =25（瓶）； 答：只需要买25汽水． 故选：B． 【点评】本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•万柏林区期中）张老师要给班里购买20个篮球，甲、乙两个商店的篮球单价相同。甲商店所有商品打八折，乙商店所有商品“买五送一”，张老师到（　　）商店购买比较省钱。 A．甲 B．乙 C．一样 【跟踪训练2】（2024秋•东莞市期末）“美丽天使”舞蹈队有20名演员需要租车去参加演出。已知每辆面包车限客6人，每辆小轿车限客4人，恰好每辆车都坐满的租车方案是（　　） A．1辆面包车和3辆小轿车 B．2辆面包车和2辆小轿车 C．3辆面包车和1辆小轿车 D．4辆面包车 【跟踪训练3】（2025春•泉山区期中）果园里有13吨水果要用货车搬运。载重量3吨的货车每次运费100元，载重量2吨的货车每次运费80元，要想全部运完，运费最少花费 ______元。 【跟踪训练4】（2025春•信都区校级期中）李阿姨要买8双男士袜和10双女士袜，某商城有两种购买方案：①男士袜17元/双，女士袜13元/双；②15元/双（购买10双及以上），方案 ______更省钱，她至少要付 ______元。 【跟踪训练5】（2025春•未央区期中）段老师要买60个足球，现有3家体育用品商店举行促销活动，优惠情况如下，甲店每买10个送2个，乙店打8折销售，丙店购物每满200元减30元。这三家店同种品牌足球的单价都是25元，你认为段老师到哪家店买最划算？ 【跟踪训练6】（2025春•龙岗区期中）妈妈为了增加王丽的早餐营养，打算为她订购一年的牛奶。有以下两种订购方案： 方案一：按季度订（一年有4个季度），每个季度108元。 方案二：按月订，每月40元。 怎样订比较便宜？写出计算过程。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$