第12讲 平面与平面垂直（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第12讲 平面与平面垂直 课程标准 学习目标 1.理解二面角的概念、会求二面角的大小； 2.了解平面与平面垂直的意义； 3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题. 1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养； 2.借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养. 知识点01二面角 1、二面角的概念 （1）概念：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. （2）图示及记法： 棱为，面分别为和的二面角记作或或或. 2、二面角的平面角： （1）定义：在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角。 （2）图示： （3）范围： （4）规定： ①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小。平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小。 【即学即练1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ． 知识点02 平面与平面垂直定义与判定 1、平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β. 2、面面垂直的判定定理 （1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言： 【即学即练2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 知识点03 面面垂直的性质定理 （1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言： （4）作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 （5）垂直问题转化关系 【即学即练3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为 . 题型01 面面垂直命题的辨析 【典例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4】（24-25高一下·云南昭通·期中）（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 题型02 面面垂直的证明 【典例2】（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； 【变式1】（20-21高一下·全国·课后作业）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）在正方体中，求证：平面平面． 【变式4】（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.求证：平面平面. 【变式5】（24-25高一上·专题训练）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. 求证：平面平面 题型03 面面垂直证线面垂直 【典例3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 【变式2】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 题型04 求二面角 【典例4】（24-25高一下·全国·课后作业）四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．求： （1）二面角A-PD-C的平面角的度数; （2）二面角B-PA-D的平面角的度数; （3）二面角B-PA-C的平面角的度数; （4）二面角B-PC-D的平面角的度数. 【变式1】（24-25高一·全国·课堂练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为 . 【变式3】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小． 【变式4】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．若，求平面与平面所成的二面角的大小． 题型05 已知二面角求值 【典例5】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．的面积为 D． 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）把正方形沿对角线折成直二面角，则是（    ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 题型06 面面垂直相关的探索性问题 【典例6】（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． 设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； 【变式1】（24-25高一下·全国练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【变式2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【变式3】（24-25高一下·山东·期中）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别为BC，AB的中点． (1)求证：MN//平面PAC； (2)求证：平面PBC⊥平面PAM； (3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由． 【变式4】（24-25高二上·辽宁·开学考试）三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，平面，，，为棱上的动点（不包含端点），平面交于点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)试问是否存在点，使得平面平面？并说明理由． 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 2．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 5．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 6．（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 7．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 8．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面平面 B．的取值范围是 C．点P到平面的距离是定值 D． 11．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点为的中点，则（    ） A．四棱锥的体积为8 B．二面角的大小为 C．直线与底面所成的角的大小为，则 D．异面直线与所成的角的大小为，则 三、填空题 12．（24-25高一·全国·假期作业）如图所示，三棱锥中，平面底面ABC，且，则是 三角形． 13．（24-25高二上·四川广安·期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD. 求证：平面PDC⊥平面PAD. 16．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 17．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 19．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平面与平面垂直 课程标准 学习目标 1.理解二面角的概念、会求二面角的大小； 2.了解平面与平面垂直的意义； 3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题. 1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养； 2.借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养. 知识点01二面角 1、二面角的概念 （1）概念：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. （2）图示及记法： 棱为，面分别为和的二面角记作或或或. 2、二面角的平面角： （1）定义：在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角。 （2）图示： （3）范围： （4）规定： ①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小。平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小。 【即学即练1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合正方形的结构特征可知平面与平面ABCD所成二面角为，即可得结果. 【详解】因为平面，平面， 可得，可知平面与平面ABCD所成锐二面角为， 又因为为正方形，可得， 所以平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为. 故答案为：. 知识点02 平面与平面垂直定义与判定 1、平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β. 2、面面垂直的判定定理 （1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言： 【即学即练2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 【答案】C 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 由四边形ABCD为矩形得， 因为， 所以平面PAD． 又平面PCD， 所以平面平面PAD． 故选：C 知识点03 面面垂直的性质定理 （1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言： （4）作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 （5）垂直问题转化关系 【即学即练3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为 . 【答案】6 【解析】由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解. 【详解】解：，O为的中点， . 又平面平面，且交线为， 平面. 平面，， 为直角三角形. ∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个. 故答案为：6. 题型01 面面垂直命题的辨析 【典例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】因为直线平面，平面， 根据面面垂直的判定定理可得，即与的位置关系是垂直. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则； 反之，当时，则相交，记交线为， 又，所以或相交或重合， 若，又，则，所以不一定能得到． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在AB中，可得与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得. 【详解】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 【变式4】（24-25高一下·云南昭通·期中）（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，，则或与是异面直线，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：BD． 题型02 面面垂直的证明 【典例2】（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定推理得证. 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面.    （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【变式1】（20-21高一下·全国·课后作业）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，假设平面平面，过点作，可得平面， 因为平面，所以，又由，且， 所以平面，可得，这与矛盾， 所以平面与平面不垂直，所以C不正确； 对于D中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：ABD. 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【详解】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）在正方体中，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直，即证明平面. 【详解】证明  如图所示， 是正方体，平面， 平面，， 又，，，平面， 平面， 平面，平面平面． 【变式4】（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.求证：平面平面. 【分析】利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面. 【变式5】（24-25高一上·专题训练）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. 求证：平面平面 【详解】如图所示，取中点，连接，， 由四边形为菱形，且， 得，， 又， ， ， ，， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面平面. 题型03 面面垂直证线面垂直 【典例3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【详解】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 【答案】证明见解析 【分析】由几何关系证明BC⊥AC，再由面面垂直的性质BC⊥平面ACD. 【详解】如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足， ∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 【变式2】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】利用等边三角形性质结合面面垂直性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，然后结合题意得到，最后利用线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为为等边三角形，是的中点，所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以． 又因为分别是，的中点，所以． 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面． 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 【答案】互相垂直，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，先根据面面垂直的性质定理得到底面，进一步根据线面垂直得到，再证明，根据线面垂直的判定定理得到平面，最后根据线面垂直的定义可得. 【详解】与互相垂直．证明如下：如图，取的中点，连接，． ，， 又侧面底面，平面平面，平面， 底面， 又平面，． 在和中，，,， 所以：. 所以，， ，， 又，且，平面，平面， 又平面，，即与互相垂直． 题型04 求二面角 【典例4】（24-25高一下·全国·课后作业）四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．求： （1）二面角A-PD-C的平面角的度数; （2）二面角B-PA-D的平面角的度数; （3）二面角B-PA-C的平面角的度数; （4）二面角B-PC-D的平面角的度数. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）可证平面平面，即可求得二面角的平面角为直角； （2）根据二面角的定义，其平面角为，求出角度，则问题得解； （3）根据二面角的定义，其平面角为，求出角度，则问题得接； （4）过作，求得二面角的平面角为，求解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 故， 又四边形为正方形， 故， 又平面， 故平面，又平面， 故平面平面， 则二面角A-PD-C的平面角的度数为. （2）平面平面，又， 且平面平面， 故可得二面角的平面角为， 又四边形为正方形，故. 即二面角B-PA-D的平面角的度数为. （3）因为平面平面， 故可得，又（四边形为正方形）， 又平面， 故平面， 又平面平面， 故即为二面角B-PA-C的平面角. 在正方形中，显然. 故二面角B-PA-C的平面角的度数. （4）不妨设正方形的边长为1， 故可得. 故可得， 过点作，连接，则，连接，如下图所示： 因为平面平面， 又平面平面， 故即为二面角B-PC-D的平面角. 由（3）可知：，故为直角三角形， 故，解得； 又. 故在中： ,， 由余弦定理可得cos. 又，故可得. 故二面角B-PC-D的平面角的度数为. 【变式1】（24-25高一·全国·课堂练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过可求. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O， 则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以. 故选：C 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为 . 【答案】 【分析】取中点，由于三个侧面与底面全等，，可证，则是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，根据余弦定理即可求解． 【详解】取中点，连接 因为，三个侧面与底面全等，则， 所以，故是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，又 所以 由，所以 故答案为： 【变式3】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小． 【答案】． 【分析】首先根据题意易证，，从而得到是二面角的平面角，再求其大小即可. 【详解】由已知平面，平面，所以． 因为是的直径，且点在圆周上，所以． 又因为，平面，所以平面． 又平面，所以． 又因为是二面角的棱， 所以是二面角的平面角． 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以，即二面角的大小是． 【变式4】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．若，求平面与平面所成的二面角的大小． 【答案】45°． 【分析】根据线面垂直得出二面角是，再结合三角形边长求出角即可. 【详解】因为，不在平面内，平面，平面， 平面，平面平面，， 因为平面，平面，所以，，平面， 所以平面，，，平面，平面， 为平面和平面所成二面角的平面角， 因为平面，平面，所以，， 所以． 题型05 已知二面角求值 【典例5】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果. 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．的面积为 D． 【答案】D 【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C. 【详解】依题意，，，所以， 对于A，圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，圆锥的体积为，故B错误； 对于D，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，故D正确 对于C，，所以，故C错误； 故选：D 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）把正方形沿对角线折成直二面角，则是（    ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用正方形及折叠的性质计算的长即可判定. 【详解】设正方形边长为1，与相交于点，则, 所以折成直二面角后，易知，， ， 则是正三角形. 故选：A 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】取的中点，连接， ，，则二面角的平面角为， 二面角的大小为，则， 所以，， 又直三棱柱的体积为8，， 则，， 又平面平面，平面平面， 且平面，平面， 设点到平面的距离为，又， ，解得， 故选：A. 【变式4】（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高． 【详解】如图， 图①中，由题意，， 所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 即， 所以图②中， 设点B到的距离为h， 由等面积法可知， 即， 故答案为：． 题型06 面面垂直相关的探索性问题 【典例6】（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． 设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)存在， 【分析】存在这样的E点；且当时满足，过点F作交AD于点E，则可得，，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论， 【详解】存在这样的E点；且当时 过点F作交AD于点E， ∵△PBC为正三角形， ∴，∵，∴， 又∵， ∴， ∵ ∴AD⊥平面PEF， ∵AD平面PAD， 故平面PAD⊥平面PEF 【变式1】（24-25高一下·全国练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证. （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证. 【详解】（1）连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，即， 所以，又，，平面， 所以平面. （3）当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当为中点时面面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得证； （2）当为中点时，面面，首先证明，由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证. 【详解】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面．    【变式3】（24-25高一下·山东·期中）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别为BC，AB的中点． (1)求证：MN//平面PAC； (2)求证：平面PBC⊥平面PAM； (3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】(1)    根据线面平行得判定定理即可证明； (2)    要证平面PBC⊥平面PAM，先证BC⊥平面PAM.，再由面面垂直判定定理可证； (3)    过点M作ME⊥AC交AC于点E即可证满足条件. 【详解】（1）因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN//AC. 因为MN ⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN//平面PAC. （2）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC. 因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM. 因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM. （3）存在． 过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME⊂平面ABC， 所以PA⊥ME. 因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC. 因为在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，M为BC的中点，所以ME＝ 【变式4】（24-25高二上·辽宁·开学考试）三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，平面，，，为棱上的动点（不包含端点），平面交于点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)试问是否存在点，使得平面平面？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在点，当点为中点时，理由见解析. 【分析】（1）证明平面，即证垂直平面内的两条相交直线即可； （2） 证明，即证平面，即证； （3）证明平面平面，即证平面，即证垂直平面内的两条相交直线即可. 【详解】（1）证明： 由三棱柱的几何特征， 平面，平面，． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）证明：如图， 在三棱柱中，， 平面，平面， 平面． 又平面，平面平面， ． （3）存在点，当点为中点时，平面平面． 证明：，点为中点 ． 平面，平面， ． ，. 又，面,面 平面．平面 平面平面． 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理说明即可. 【详解】由面面垂直的判定定理知，任何过的平面都垂直于平面， 所以这样的平面有无数个． 故选：C 2．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【答案】D 【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系. 【详解】如图所示，平面平面ABC，    当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直， 因为二面角的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定． 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【详解】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 5．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【答案】D 【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【详解】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 6．（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 7．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【详解】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B 8．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D即可. 【详解】因为，为的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以，，所以A，B成立； 又平面，所以平面平面，所以C成立； 若平面平面，且， 而面面，平面， 所以平面，又平面， 则，但此关系不一定成立，故D错误. 故选：ABC 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面平面 B．的取值范围是 C．点P到平面的距离是定值 D． 【答案】ACD 【分析】由面面垂直的判定定理判断A；当P与重合时，，即可判断B；由线面平行即可判断C；由线面垂直的判定及性质即可判断D． 【详解】对于A，连接，，如图所示， 因为平面平面， 所以平面平面，故A正确； 对于B，当P与重合时，，故B错误； 对于C，连接， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点P到平面的距离是定值，故C正确； 对于D，连接， 因为四边形为正方形，所以， 由正方体得，平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点为的中点，则（    ） A．四棱锥的体积为8 B．二面角的大小为 C．直线与底面所成的角的大小为，则 D．异面直线与所成的角的大小为，则 【答案】CD 【分析】连接交于点，证得平面，得到为四棱锥的高，结合锥体的体积公式，可判定A不正确；先证得且，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，可判定B不正确；由平面，得到所以为与底面所成的角，在直角，求得，可判定C正确；取的中点，证得，得到异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在，利用余弦定理求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接交于点， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 所以四棱锥的体积为， 所以A不正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，且平面，所以且， 所以为二面角的平面角， 在直角中，可得，所以B不正确； 对于C中，在正方体 中，可得平面， 所以即为与底面所成的角的大小为， 连接，在直角中，可得, 在直角中，可得，所以C正确； 对于D中，取的中点，连接， 因为分别为的中点，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即为， 在直角中，可得， 在中，， 由余弦定理，可得， 即，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高一·全国·假期作业）如图所示，三棱锥中，平面底面ABC，且，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】利用题中面面垂直以及棱长等量关系证明P点在底面的投影O为底面三角形ABC中AB边的中点,然后由条件易知OA=OB=OC,再结合三角形的外心的性质即可得出答案. 【详解】设P在平面ABC上的射影为O， 平面底面ABC，平面平面， ． ， ， 是的外心，且是AB的中点， 是直角三角形． 故答案为:直角. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质应用,考查了三角形外心的性质特征,属于中档题. 13．（24-25高二上·四川广安·期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】在平面内过作且，根据二面角定义找到对应平面角，再由已知求角的大小即可. 【详解】如下图，在平面内过作且， 由，易知为矩形，连接， 由，则，又，且都在面内， 所以面，面，则， 由，，则， 由，，易知为二面角的平面角， 又，， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一，，等都可） 【分析】先确定所填答案，如，再证明平面平面即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】由题知底面为菱形，则． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD. 求证：平面PDC⊥平面PAD. 【答案】证明见详解 【分析】由PA⊥平面ABCD，推证出；结合，即可证明平面，再由此推证面面垂直即可. 【详解】因为PA⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以PA⊥CD. 因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，平面， 所以CD⊥平面PAD. 因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.即证. 【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及由线面垂直推证面面垂直，属综合基础题. 16．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，可得平面平面. （2）先判断出异面直线与所成角，然后求得所成角的余弦值. 【详解】（1）由于，所以， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面， 所以. 由于平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面． （2）由于，所以是异面直线与所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）则，则，故平面，点到平面的距离为FG，由余弦定理计算即可. 【详解】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． （2）取的中点，连接． 因为为PC的中点，则，且， 所以平面，所以点到平面的距离为FG． 在中，，， 则，即，所以， 即点到平面的距离为． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直； （2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直. 【详解】（1）又已知，则， 为等腰直角三角形， 又为中点， 则， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）    在平面中，过点作直线，使， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，， 即存在直线满足题意. 19．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$