第04讲 复数的乘法与除法（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第04讲 复数的乘法与除法 课程标准 学习目标 1．理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算； 2．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算； 3．会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1．通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素养； 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. 知识点01 复数的乘法 1、复数乘法的运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方 （1）复数乘方的定义：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 【即学即练1】（24-25高三下·河南驻马店·阶段练习）已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 知识点02 复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即学即练2】（24-25高一下·天津武清·阶段练习）已知i是虚数单位，则复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算法则计算即可得结果. 【详解】. 故答案为：. 知识点03 复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 （3）若是方程的虚数根，则也是方程的根，且满足根与系数的关系. 【即学即练3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案为：0 题型01 复数的乘法运算 【典例1】（2025·河北保定·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘法运算即可求解； 【详解】 故选：B. 【变式1】（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 【变式2】（2025·陕西榆林·二模）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】化简后由复数相等的条件可求得结果. 【详解】由，得， 所以，. 故选：C 【变式3】（24-25高三下·山东·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故选：C. 【变式4】（2025高三下·全国·专题练习）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数乘法即可求解. 【详解】，则． 故选：C. 题型02 复数的除法运算 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 【变式1】（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 【变式2】（2025·山东菏泽·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法即可求出复数z，进而求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【变式3】（2025·河北·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式4】（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，为虚数单位，若为实数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得. 【详解】依题意，为实数 所以. 故答案为： 题型03 复数的乘方运算 【典例3】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数乘方运算法则得到，由复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】， 故， 所以虚部为. 故选：B. 【变式1】（2025·江西·二模）若集合（i是虚数单位），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算及交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：B 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 【变式3】（24-25高三下·四川雅安·开学考试）若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 根据及，，即可求解. 【详解】 因为，所以，，． 故选：A. 【变式4】（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据虚数的性质即可求得代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 题型04 根据乘除运算结果求参数 【典例4】（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】求出，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以，解得. 故选：C. 【变式1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）若复数满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由此写出，根据与的关系得到与的关系，从而选出正确选项. 【详解】设，则， 即，即， 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【答案】 【分析】化简原式，根据题意需满足条件，求解即可 【详解】由， 所以满足条件， 故答案为： 【变式4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 题型05 复数的运算性质 【典例5】（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用复数的代数运算计算可判断ABC，利用赋值法计算可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 设，则 ， 所以，故B正确； 设，则，所以， 解得，所以 是纯虚数，故C正确； ， 则 但，故D错误. 故选：ABC. 【变式1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．一定是实数 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，由模的定义判断正误；对于选项B，根据复数的加法计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，由复数模的性质可判断正误. 【详解】对于A：设，则，可得，，故A正确； 对于B：令，由，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】（24-25高一下·山东·阶段练习）设为复数，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD. 【详解】设， 对于A，，则， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，取，，而，D错误. 故选：AB 【变式3】（24-25高二下·山西·阶段练习）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 【变式4】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为虚数 B．若，则 C． D．若，则的最小值为 【答案】CD 【分析】对于A设，即可判断，对于B设，若有，如即可判断，对于C设，计算和即可判断，对于D设，则即可计算出的最小值. 【详解】对于A：设，，，故A错误； 对于B：设，若有， 如满足题意，但，故B错误； 对于C：设，， ，所以，故C正确； 对于D：若，设，则， 所以， 当时，取最小值，故D正确. 故选：CD. 题型06 复数范围内方程的根 【典例6】（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可. 【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误； 对B，根据韦达定理知，故B正确； 对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确； 对D，因为，则，故D正确. 故选：BCD. 【变式1】（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】可根据实系数一元二次方程的根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 【变式2】（多选）（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D. 【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确； 已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以，；解得：，所以，，故B正确； 由得方程，又知道一个根是， 所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：ABC． 【变式3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案为：0 【变式4】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【详解】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 一、单选题 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）复数的虚部为（    ） A． B．i C． D． 【答案】C 【分析】先将给定的复数进行分母实数化，再确定其虚部即可. 【详解】. 所以该复数的虚部为. 故选：C. 2．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算和几何意义，计算即可. 【详解】因为在复平面内对应的点位于轴上， 所以，此时满足题设. 故选：C. 3．（山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求得复数，进而利用复数的乘法运算可求. 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为， 所以. 故选：C. 5．（北京市石景山区2025届高三一模考试数学试题）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，则复数在复平面内对应的点为， 又复数对应的点坐标为，所以. 故选：D 6．（24-25高三上·上海奉贤·期中）设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项. 【详解】令，则，但，故“”不能推出“”. 设，由得， ， 故“”能推出“”. 综上得，是的必要非充分条件. 故选：B. 7．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，根据条件可求得的值，即可得到答案. 【详解】设复数，则， ∴，， ∴，， ∴. 故选：C. 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可. 【详解】设射线为终边的角为，而，则， ，， 向量对应复数， 所以向量的坐标为. 故选：B 二、多选题 9．（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 10．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 【答案】BC 【分析】根据已知有，设且，进而求得，，最后依次判断各项正误. 【详解】由题设，令且， 所以，即， 所以，则，可得， 所以，，则，A错，B对； ，C对； 若是方程的一个根， 则，，故，D错. 故选：BC 11．（2025高三·全国·专题练习）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得出模长判断D. 【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确； 对于选项B，设，， 因为，所以不同时为0，，则B正确； 对于选项C，取，，满足，则C不正确； 对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（23-24高一下·云南玉溪·期中）求值： . 【答案】 【分析】利用复数的除法可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 13．（2025·新疆喀什·二模） 的虚部为 ． 【答案】 【分析】先化简可得，再结合虚部的定义即可求解. 【详解】由， 则其虚部为. 故答案为：. 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； （2）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且， 解得； （2）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 16．（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【详解】（1）. 因为为纯虚数，，解得， 所以. （2）由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 18．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知 (1)求； (2)若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，由复数的乘法运算化简已知式，再由复数相等可得，解方程即可得出答案； （2）由题意可知在以为圆心，2为半径的圆上，由圆参数方程表示出，由向量的数量积代入化简结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）设，则，所以， 即，所以，即． （2）设，在复平面内对应的点为，由知， 在以为圆心，2为半径的圆上， 即， 所以 ， 即的取值范围是． 19．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据“维形态复数”的概念，分别把时的“2维形态复数”和“1维形态复数”表示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明； （2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得，结合三角函数的诱导公式，可求解. 【详解】（1）当时，， 设“1维形态复数”为，则， “2维形态复数”为，则， 因为， 故“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等， 所以， 因此， 解，得或， 解，得或， 由于两个方程同时成立，故只能有，即. 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 复数的乘法与除法 课程标准 学习目标 1．理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算； 2．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算； 3．会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1．通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素养； 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. 知识点01 复数的乘法 1、复数乘法的运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方 （1）复数乘方的定义：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 【即学即练1】（24-25高三下·河南驻马店·阶段练习）已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即学即练2】（24-25高一下·天津武清·阶段练习）已知i是虚数单位，则复数 ． 知识点03 复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 （3）若是方程的虚数根，则也是方程的根，且满足根与系数的关系. 【即学即练3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 题型01 复数的乘法运算 【典例1】（2025·河北保定·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（2025·陕西榆林·二模）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25高三下·山东·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025高三下·全国·专题练习）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 题型02 复数的除法运算 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2025·山东菏泽·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，为虚数单位，若为实数，则 ． 题型03 复数的乘方运算 【典例3】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江西·二模）若集合（i是虚数单位），，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式3】（24-25高三下·四川雅安·开学考试）若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4】（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 题型04 根据乘除运算结果求参数 【典例4】（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【变式1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）若复数满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【变式4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 题型05 复数的运算性质 【典例5】（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【变式1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．一定是实数 C．若，则 D． 【变式2】（24-25高一下·山东·阶段练习）设为复数，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式3】（24-25高二下·山西·阶段练习）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为虚数 B．若，则 C． D．若，则的最小值为 题型06 复数范围内方程的根 【典例6】（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【变式4】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 一、单选题 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）复数的虚部为（    ） A． B．i C． D． 2．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 3．（山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 5．（北京市石景山区2025届高三一模考试数学试题）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25高三上·上海奉贤·期中）设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 10．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 11．（2025高三·全国·专题练习）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高一下·云南玉溪·期中）求值： . 13．（2025·新疆喀什·二模） 的虚部为 ． 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 16．（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 18．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知 (1)求； (2)若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 19．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$