第11讲 直线与平面垂直（4个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第11讲 直线与平面垂直 课程标准 学习目标 1.理解并会求异面直线所成的角； 2.了解直线与平面垂直的定义； 3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题. 1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义； 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直； 3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用； 4.会求直线与平面所成角及空间中的距离. 知识点01直线与直线所成角 1、平面内两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）. 2、异面直线所成角 （1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. （3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． 【即学即练1】（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线与平面垂直及判定定理 1、直线与平面垂直的定义 （1）文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 （2）符号语言：l⊥α （3）有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 （4）图形语言： （5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2、直线与平面垂直的判定定理 （1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 （2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α （3）图形语言： （4）作用：证明线面垂直 【即学即练2】（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 知识点03 直线与平面垂直的性质定理 1、性质定理内容： （1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符号语言：⇒a∥b （3）图形语言： （4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 2、性质定理的推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即学即练3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 知识点04 直线与平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO. 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 （3）取值范围：[0°，90°] 【即学即练4】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平面相交，点，在上，，且线段在内的射影长为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型01 求异面直线所成角 【典例1】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）在正方体中，则异面直线与的所成角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 ． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为 ． 题型02 线面垂直命题的辨析 【典例2】（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【变式1】（四川省元三维大联考2025届高三第三次诊断性测试数学试卷）已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则以 D．若，则 【变式4】（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 题型03 线面垂直的证明 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式2】（2025高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【变式4】（24-25高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 题型04 线面垂直证线线平行 【典例4】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 【变式1】（24-25高一·全国·课堂练习）如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）如图，，垂足分别为.求证：． 【变式3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【变式4】（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 题型05 线面垂直证线线垂直 【典例5】（2025·湖南永州·三模改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点. 证明：； 【变式1】（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. 证明：； 【变式2】（2025高一上·全国·专题练习）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.求证：. 【变式3】（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． 求证：； 【变式4】（24-25高二上·湖北·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 题型06 求直线与平面所成角 【典例6】（24-25高二上·湖南·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求与底面所成角的正弦值； (2)求证：平面； 【变式1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【变式2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的正切值； (2)求该几何体的体积. 【变式4】（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)求DC与平面ABC所成角的正弦值． 题型07 求点到平面的距离 【典例7】（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.求三棱柱的高. 【变式4】（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 题型08 线面垂直中的探索性问题 【典例8】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【变式1】（23-24高一下·河北衡水·期末）已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点H，使得平面?若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在求出的长；若不存在说明理由． 一、单选题 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（   ） A．有且只有一条 B．有无数条 C．有且只有两条 D．不存在 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（2025高一·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）若直线平面，则下列说法正确的是（    ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 5．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 6．（24-25高二上·河北唐山·期末）若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 8．（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为AC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B． C．直线MN与平面ABCD所成的角为 D．三棱锥的体积为 11．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（    ） A．EF与MN所成的角为60° B． C． D．EN与CD所成的角为90° 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 . 四、解答题 15．（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 16．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 17．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 18．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 19．（24-25高一下·云南昭通·期中）如图所示，平面，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与平面垂直 课程标准 学习目标 1.理解并会求异面直线所成的角； 2.了解直线与平面垂直的定义； 3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题. 1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义； 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直； 3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用； 4.会求直线与平面所成角及空间中的距离. 知识点01直线与直线所成角 1、平面内两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）. 2、异面直线所成角 （1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. （3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． 【即学即练1】（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 知识点02 直线与平面垂直及判定定理 1、直线与平面垂直的定义 （1）文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 （2）符号语言：l⊥α （3）有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 （4）图形语言： （5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2、直线与平面垂直的判定定理 （1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 （2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α （3）图形语言： （4）作用：证明线面垂直 【即学即练2】（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 【答案】C 【分析】利用线面垂直的定义判定即可. 【详解】在同一平面中可作出无数条平行直线与某直线垂直，显然A、B、D错误； 根据线面垂直的定义可知C正确. 故选：C 知识点03 直线与平面垂直的性质定理 1、性质定理内容： （1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符号语言：⇒a∥b （3）图形语言： （4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 2、性质定理的推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即学即练3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【分析】应用线面垂直的性质得出. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 故选：C. 知识点04 直线与平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO. 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 （3）取值范围：[0°，90°] 【即学即练4】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平面相交，点，在上，，且线段在内的射影长为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角的知识求得正确答案. 【详解】设与所成角为， 因为点，在上，，且线段在内的射影长为， 依题意作图如下，则， 所以与所成角的大小为. 故选：B    题型01 求异面直线所成角 【典例1】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，可得，所成的角即为直线所成的角，设，利用余弦定理可求解. 【详解】取的中点，连接，易得， 则，所成的角即为直线所成的角. 设，因为均为正三角形，为直角三角形，斜边为， 则，，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）在正方体中，则异面直线与的所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线夹角的定义求出角的大小. 【详解】在正方体中，， 因此是异面直线与的所成角或其补角， 在等腰中，， 所以异面直线与的所成角为. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】若为的中点，连接，易得异面直线与所成角，即为直线与所成角，根据已知及余弦定理求角的大小. 【详解】若为的中点，连接，又为的中点， 根据长方体的结构特征易知为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设，在中，且， 则，故. 故答案为： 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】在平面中，过作，交于点，连接，证明，然后利用余弦定理解三角形可得与所成角的大小． 【详解】解析在平面中，过作，交于点，连接，如图， ， 又， 则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，， ， ， 与所成角的大小为60°． 故答案为：. 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接，由异面直线所成角的定义可知（或其补角）为异面直线与所成的角，利用余弦定理求解. 【详解】如图，连接，，可知（或其补角）为异面直线与所成的角． 设．因为，所以， 由余弦定理，得， 解得，则． 故答案为：3. 题型02 线面垂直命题的辨析 【典例2】（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【答案】C 【分析】根据各选项中的条件，指出存在的可能情况判断ABD；利用线面垂直的判定性质推理判断C. 【详解】对于A，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误； 对于B，，，则可能在内，可能平行于，B错误； 对于C，由，，得，而，因此，C正确； 对于D，m，n是异面直线，m，n在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线， 也可能是一条直线和一个点，D错误. 故选：C 【变式1】（四川省元三维大联考2025届高三第三次诊断性测试数学试卷）已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合题意，即可判断. 【详解】充分性：只有当垂直于内的两条相交直线，才可推出，由题可知，垂直于内的一条直线，可能与平面斜交，平行，或在平面内， 故无法推出，充分性不满足； 必要性：，又，则，故必要性成立； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则以 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定、性质逐项分析判断. 【详解】对于A，，若，则不能推得，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，由，得，而，因此，C错误； 对于D，由，得，而，则可能平行、可能相交、也可能是异面直线，D错误. 故选：ACD 【变式4】（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 【答案】ACD 【分析】结合实例，依据空间中直线、平面之间的位置关系，对A、B、C、D判断正误即可． 【详解】对于A，如图， 在平面内存在无数条直线与直线m垂直，A正确； 对于B，在直线m上取一点， 过该点作平面的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面垂直， 过直线m有且只有一个平面与平面垂直，B错误； 对于C，类似于选项A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面， C正确; 对于D，如图， ，，可作的平行平面， 则且，D正确. 故选： 题型03 线面垂直的证明 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，设，连接，证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）由（1）已得，结合，可得菱形，即得，再由平面易得，最后由线线垂直推出线面垂直即可. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接. 因，，可得，则， 又，则得， 因平面，平面， 故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面平面则， 又平面，故平面. 【变式2】（2025高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得，，根据线面垂直判定定理即可得出平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面， 所以平面. 【变式4】（24-25高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，则， 因为点D为的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为的中点， 所以，所以， 因为，平面， 所以平面. 题型04 线面垂直证线线平行 【典例4】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 【答案】证明见解析 【分析】先通过正方体的性质可得CD⊥平面ADD1A1，则可得到AD1⊥平面A1DC，再加上MN⊥平面A1DC，可证明结论． 【详解】因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC， 所以MN∥AD1. 【变式1】（24-25高一·全国·课堂练习）如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 【答案】见解析. 【分析】根据线面垂直的性质可得. 【详解】由长方体可得：, ，平面， 因为平面，故. 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）如图，，垂足分别为.求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理分别证明平面和平面，即可证明结论. 【详解】证明：∵，，∴， 同理， ∵平面， ∴平面， 又∵，，∴， ∵，平面， ∴平面， ∴. 【变式3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 【变式4】（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【变式5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明； 【详解】证明：如图，连接，． ∵平面，平面， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴．同理可得， 又∵，平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵，，平面， ∴平面． ∴． 题型05 线面垂直证线线垂直 【典例5】（2025·湖南永州·三模改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点. 证明：； 【分析】记的中点为，利用正三角形的性质结合线面垂直判定定理证明平面，然后可证； 【详解】记的中点为，连接， 因为为菱形，，所以为正三角形，所以， 由为正三角形可得， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. 【变式1】（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. 证明：； 【分析】利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，由此可证明结论. 【详解】在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． 【变式2】（2025高一上·全国·专题练习）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】取的中点为E，连结， ∵，∴， 在和中，， ∴，∴， ∵的中点为E，∴， ∵，面，面，∴面， ∵面，∴ . 【变式3】（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． 求证：； 【分析】取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； 【详解】取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； 【变式4】（24-25高二上·湖北·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）连接交于点，连接， 由于底面为平行四边形，所以为的中点． 在中，为的中点，所以 又因为平面平面，所以平面． （2）取中点，连接． 因为，所以， 又，所以，又， 所以由余弦定理得， 即，所以是等腰直角三角形． 又点是的中点，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以． 题型06 求直线与平面所成角 【典例6】（24-25高二上·湖南·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求与底面所成角的正弦值； (2)求证：平面； 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用线面角的定义，找到直线与底面所成角，在中即可求得与底面所成角的正弦值； （2）根据线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直; 【详解】（1）因为底面，所以在底面上的射影是， 所以为与底面所成角， 在中，， 设底面正方形边长为2，则，则，， 所以； （2）因为底面，底面，所以， 又，，且平面，平面， 平面；又因为平面； 由已知，，且面,  面， 面. 【变式1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 【变式2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据得到平面，故，从而证明出平面； （2）作出辅助线，证明出，，从而平面，所以即是直线与平面所成角，求出各边长，求出，得到， 【详解】（1）底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面相交于，平面， 所以， 因为不在平面内，平面， 所以平面． （2）取中点，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得， 所以直线与平面所成角的大小为． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的正切值； (2)求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定即为直线和平面所成角，解直角三角形即可得答案； （2）根据三棱锥以及圆锥的体积公式计算，即可得答案. 【详解】（1）连接CO，由题意知平面，平面，故；    则CO为PC在平面上的射影， 则即为直线和平面所成角， 由于，故， 故直线和平面所成角的正切值为2； （2）由题意知几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高， 三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形， 故，, 则该几何体的体积为. 【变式4】（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)求DC与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1)表面积，体积 (2) 【分析】（1）根据圆锥体积与表面积公式代入计算即可得出结果； （2）利用线面角的定义作出DC与平面ABC所成角的平面角，即可得出结果. 【详解】（1）圆锥的母线， 则圆锥的表面积， 圆锥的体积 （2）取AO的中点E，连接DE，CE， 因为D，E分别是PA，OA的中点，所以，所以平面ABC， 所以CE是DC在平面ABC内的射影，所以是DC与平面ABC所成角， 又，， 所以， 可得， 即DC与平面ABC所成角的正弦值是． 题型07 求点到平面的距离 【典例7】（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】根据题意，设点到平面的距离为， 则，即， 则，得. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.求三棱柱的高. 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，再利用余弦定理求出，即可求出，从而求出高. 【详解】因为平面， 所以， 又， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以， 设三棱柱的高为， 则， 解得. 【变式4】（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，证明是平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用等体积法计算得出点到平面距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2），， 平面，平面，则，， ，， 设点D到平面PAC的距离为，由，得， 即，得. 所以点D到平面PAC的距离为. 题型08 线面垂直中的探索性问题 【典例8】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 【变式1】（23-24高一下·河北衡水·期末）已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点H，使得平面?若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）构造中位线和平行的传递性证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）因为是等腰三角形，当H为的中点时，则满足，所以猜想当H为的中点有平面，然后证明猜想即可. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是的中点，所以为的中位线， 所以，在正方体中，，所以， 因为平面平面，所以平面； （2）取的中点H，则满足平面，且. 证明如下：取的中点H，连接，则， 在中，，由，得， 由，得， 由，得， 在中，，所以，又平面， 所以平面，且. 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在求出的长；若不存在说明理由． 【答案】存在， 【分析】取的中点，作出辅助线，证明出线面垂直，得到⊥，再由三角形相似得到，从而得到⊥平面. 【详解】取的中点，取的中点M，连接GM，则GMAC， 连接AC交EF于点H，连接BD， 因为、分别为、的中点， 所以， 因为AC⊥BD，所以EF⊥AC， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以EF， 因为，平面， 所以EF⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 因为，，，， 故，，故， 又， 所以∽， 故，故， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面. 故存在点，使得平面，此时. 一、单选题 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（   ） A．有且只有一条 B．有无数条 C．有且只有两条 D．不存在 【答案】B 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图设斜线l与平面交于点A，在平面内过点A作直线， 则在平面内所有与直线a平行的直线均与直线l垂直， 故在平面内与l垂直的直线有无数条. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论. 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面中的两条直线必须相交，逐一判断是否相交即可得出结论. 【详解】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直； 对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直； 对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直； 对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直. 所以可以保证直线与平面垂直的是③④. 故选：D 4．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）若直线平面，则下列说法正确的是（    ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可 【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直． 所以ABC错误，D正确， 故选：D 5．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行. 【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误； 对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确； 对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误； 对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误． 故选：B． 6．（24-25高二上·河北唐山·期末）若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，，由已知条件结合线面垂直的判定可得平面，则，从而可得结论. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 因为三棱锥各条棱长均相等，所以，， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即与所成的角是. 故选：D. 7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】令，利用线面平行的判定推理判断CD；证明与相交不垂直判断AB. 【详解】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 8．（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作面于，交面于，连接，确定侧棱与底面所成的角，结合体积公式求出，再利用三棱锥为正三棱锥，求得，即可求解. 【详解】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 二、多选题 9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为AC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B． C．直线MN与平面ABCD所成的角为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】对于A，由可判断选项正误；对于B，由A，通过说明可判断选项正误；对于C，由A可得MN与平面ABCD所成的角即与平面ABCD所成的角，据此可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误. 【详解】对于A，因为M，N分别为AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以MN与平面ABCD所成的角即与平面ABCD所成的角．又平面ABCD，所以是与平面ABCD所成的角． 又，，所以，即直线MN与平面ABCD所成的角为，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC 11．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（    ） A．EF与MN所成的角为60° B． C． D．EN与CD所成的角为90° 【答案】ABD 【分析】由题意还原正方体，根据正方体的几何性质，结合异面直线夹角以及面面垂直，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 对于AC，连接，如下图： 易知，，则为异面直线与的一个夹角， 易知，故A正确， 显然与相交，则与异面，故C错误； 对于B，连接，如下图： 易知，，则，故B正确； 对于D，连接，如下图： 易知平面，，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的性质可得出结论. 【详解】如下图所示： 在长方体中，平面， 因为平面，所以，， 故答案为：平行. 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可推出面，则，再利用等体积法转换即可. 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以， 所以该鳖臑外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积. （2）可证 ，结合可证平面. 【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 16．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明. 【详解】（1）平面，平面， ． ，． 又，，平面， 平面． （2）平面，平面， ． ，，，平面， 平面． 17．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 18．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故, 又底面，底面，故, 平面， 故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为， 则 19．（24-25高一下·云南昭通·期中）如图所示，平面，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行； （2）先作辅助线利用定义法找到直线与平面所成角，在计算夹角的正弦值； 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图5所示： 因为分别为的中点，所以且. 又，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则, 因为平面，平面，所以平面 （2）如图6，取的中点，连接， ∵，∴, ∵平面，∴， ∵，∴平面. 则直线与平面所成角为， 在中，∵， ∴， 在等边中，∵，∴， ∴， 故直线与平面所成角的正弦值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$