第03讲 复数的加法与减法（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第03讲 复数的加减运算 课程标准 学习目标 1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算； 2．理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决相关的问题. 1．掌握复数的加减法法则，并能灵活应用，重点提升数学运算核心素养； 2．理解复数加减法的几何意义，重点培养直观想象核心素养. 知识点01 复数的加法 1、复数的加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、复数加法的运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【即学即练1】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据复数加法规则进行计算即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B 知识点02 复数的减法 1、复数的相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、复数的减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 【即学即练2】（24-25高一·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】直接由复数的加减法即可求解. 【详解】. 故答案为：. 知识点03 复数加法与减法的几何意义 1、复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义：复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【解读】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 3、三角不等式：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即学即练3】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】二 【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】根据题意，， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限． 故答案为：二 题型01 复数的加法运算 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】因为复数，， 所以， 因为所对应的点在实轴上，所以， 解得，故C正确. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期末）已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【详解】由，，, 由复数的几何意义，可知对应的是第一象限. 故选：A 【变式2】若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由复数，则. 故选：A. 【变式3】（24-25高一·天津宝坻·阶段练习）已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案. 【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，. 故选：A 【变式4】（24-25高一下·广西·期中）已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 【答案】D 【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可. 【详解】因为,即， 所以，解得，所以； 故选：D 题型02 复数的减法运算 【典例2】（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数的减法运算求解. 【详解】若，，则. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式2】（（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法法则运算即可求解. 【详解】． 故选：C 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的加减法运算法则求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 【变式4】（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 题型03 根据复数加减法运算的结果求参数 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可 【详解】由，得：，解得：. 故选：A 【变式3】（2024·四川成都·二模）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式加减运算和共轭复数的概念得到方程组，解出即可. 【详解】， 则，解得，则其虚部为. 故选：A. 【变式4】（2022·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果. 【详解】设，则．由得，则，所以， 题型04 复数加减法几何意义的运用 【典例4】（24-25高一·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可. 【详解】如图可得, 所以, 所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：C. 【变式2】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【变式3】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式4】（2025·全国高一专题强化）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由复数减法的几何意义得即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 一、单选题 1．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】，则复数对应点为，在第四象限. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用代数形式的复数运算，结合复数的定义计算即得. 【详解】依题意，复数，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 4．（2024·湖北·模拟预测）已知复数，为虚数单位)，若且，则 （    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】由且，得，解得， 则. 故选：B. 5．（23-24高一下·湖南·期末）若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据点对应的复数进行复数运算，再根据实部及虚部运算即可. 【详解】因为， 所以的实部为，虚部为， 实部与虚部的差为. 故选：D. 6．（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 7．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可 【详解】因为， 所以 因为， 所以，即， 所以复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆， 所以它的面积为， 故选：D. 8．（24-25高一·浙江·期中）已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】化简给定复数，结合三角函数的有界性求解范围，最后得到取值即可. 【详解】． ， ． 而，在取值范围内，故B，D正确. 故选：BD 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项，根据复数的运算判断；B选项，根据复数的模判断；C选项，根据复数的几何意义判断；D选项，根据共轭复数的定义判断. 【详解】A中只能说明，不一定有，故A错误； B中，说明，即，故B正确； C中，说明，但与方向不一定相同，故C错误； D中，则，故，故D正确． 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 【答案】 【分析】根据复数与向量的对应关系，即可求解. 【详解】，所以向量对应的复数为. 故答案为： 13．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 【答案】 【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 14．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式即可求解. 【详解】复数，对应的点关于直线对称，，则， 故 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加减法运算可得答案； （2）利用复数的加减法运算可得答案． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 17．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围． 【详解】（1）是纯虚数， 故，解得. （2） 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 18．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【详解】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 19．（24-25高一·上海闵行·阶段训练）已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. (1)求的取值范围； (2)当三点共线时，求三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）易得，再由，利用基本不等式求解； （2）根据三点共线，由得到，再利用数量积求得夹角，利用三角形的面积公式求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以； （2）因为， 且三点共线时，有， 即， 解得 此时，， 所以， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 复数的加减运算 课程标准 学习目标 1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算； 2．理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决相关的问题. 1．掌握复数的加减法法则，并能灵活应用，重点提升数学运算核心素养； 2．理解复数加减法的几何意义，重点培养直观想象核心素养. 知识点01 复数的加法 1、复数的加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、复数加法的运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【即学即练1】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 知识点02 复数的减法 1、复数的相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、复数的减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 【即学即练2】（24-25高一·上海·随堂练习） ． 知识点03 复数加法与减法的几何意义 1、复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义：复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【解读】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 3、三角不等式：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即学即练3】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 题型01 复数的加法运算 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期末）已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一·天津宝坻·阶段练习）已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（24-25高一下·广西·期中）已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 题型02 复数的减法运算 【典例2】（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 题型03 根据复数加减法运算的结果求参数 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·四川成都·二模）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2022·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04 复数加减法几何意义的运用 【典例4】（24-25高一·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【变式3】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·全国高一专题强化）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 一、单选题 1．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2024·湖北·模拟预测）已知复数，为虚数单位)，若且，则 （    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·期末）若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 6．（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 7．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 8．（24-25高一·浙江·期中）已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 10．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 13．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 14．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 17．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 18．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 19．（24-25高一·上海闵行·阶段训练）已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. (1)求的取值范围； (2)当三点共线时，求三角形的面积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$