11.1 空间几何体（12大题型提分练）（题型专练）高一数学人教B版必修第四册

11.1 空间几何体 题型一 斜二测画法及计算问题 1．（21-22高一下·浙江宁波·期中）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】    如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【知识点】斜二测画法辨析、由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法，分析直观图、及直观图与原图形关系，逐项分析即可得解. 【详解】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 3．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为 ． 【答案】或 【知识点】余弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】应用分类讨论，结合斜二测画法求直观图对应边长，即可得. 【详解】若直角边为2与纵轴重合，则对应边长为1，则另一直角边对应边长为， 所以斜边对应边长为，故周长为； 若直角边为与纵轴重合，则对应边长为，则另一直角边对应边长为2， 所以斜边对应边长为，故周长为； 综上，直观图的周长为或. 故答案为：或 4．（24-25高一下·河南许昌·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形OABC的直观图，其中，，则原四边形OABC的面积与周长的数值之比为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据给定的直观图，作出原四边形，进而求出其面积及周长. 【详解】在矩形，令交轴于点，由，， 得为的中点，且， 在平面直角坐标系内作出原四边形，且四边形为平行四边形，， 点是中点，，，， 因此四边形的周长为50，面积为， 所以四边形OABC的面积与周长的数值之比为. 故答案为： 题型二 点、线、面位置关系的判断 1．（10-11高一下·福建厦门·阶段练习）“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可. 【详解】解：因为点在直线上，在平面内。 所以符号语言为：， 故选：B 2．（13-14高一下·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言. 【详解】由图形可知，，，或表示为，. 即A正确. 故选：A 3．（19-20高一·全国·课后作业）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断. 【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线， 根据异面直线的定义可得： 可以是异面直线，如下所示：    也可以相交    也可以平行    故选：. 4.（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】平面的概念及其表示、空间位置关系的画法 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    题型三 空间几何体的结构判断 1．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图所示的长方体中，由OA，OB，OD和OC所构成的几何体是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的定义分析判断即可. 【详解】此几何体有一面ABCD为四边形，其余各面OAD，OAB，OCD，OBC为有一个公共顶点的三角形，所以此几何体是四棱锥． 故选：B 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直， 可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及球体的结构特征判断各项的正误. 【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，正确； 对于B，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，错误； 对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，正确； 对于D，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度， 相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆面旋转360度，由球的定义知，正确. 故选：B 题型四 棱柱中的计算问题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出底面内切圆半径，再结合题意得到正方体外接球直径等于该内切圆直径时，棱长最大可得. 【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为， 因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即， 此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求. 故选：D 3.（24-25高一下·山西·期中）已知一种长方体礼物盒的长､宽､高之比为，现有如图两种方式包装该礼物盒，方式①中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点，方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点.不计打结处的额外消耗，则使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】设长方体礼物盒的长､宽､高分别为、、，求出方式①、②中包装绳长，即可得解. 【详解】不妨设长方体礼物盒的长､宽､高分别为、、， 由于方式①中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点， 所以方式①中包装绳长为； 由于方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点， 所以方式②中包装绳长为， 所以使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为. 故选：A 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 题型五 棱锥、棱台中的计算问题 1．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱台的结构特征和分类 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C.． 2．（2022高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的展开图 【分析】将正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，，找到三角形的周长的最小值的线段，根据勾股定理逆定理求出，从而求出答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，即，    又， 根据勾股定理，， 所以是等腰直角三角形， ， 所以侧棱的夹角为. 故选：A. 3．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【知识点】棱台中截面的有关计算、正棱台及其有关计算 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 4．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 题型六 旋转体中的计算问题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）在金属丝制作的的长方体框架中放置着一个球，则该球的半径的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】显然，球的直径不能超过的长方形外接圆的直径，计算即可求解. 【详解】显然，球的直径不能超过的长方形外接圆的直径，即它的直径不超过，故该球半径的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】圆锥中截面的有关计算、弧长的有关计算 【分析】由侧面展开图为扇形，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形半径为圆锥的母线，据此计算即可求解. 【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长， 则该弧长为，又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为． 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】令正四面体的棱长为，由正四面体外接球的相关几何关系列方程求得，再由截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值. 【详解】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 4．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（   ）    ①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，由球体、圆台的几何结构特征，以及已知条件确定圆台的母线长、高和球的半径，再根据圆锥与圆台的相关线段相似比求得圆锥的高，进而求得点的轨迹，由此得出结论是否正确，得到答案. 【详解】对于①中，由题意知，圆台的上下底面半径分别为， 设圆台的母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则， 所以，所以①不正确； 对于②中，过点作于点，则， 所以，所以球的直径为，所以②不正确； 对于③中，因为，可得， 则，所以，所以③正确； 对于④中，过点作于点，延长与交于， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 作与点，可得，则， 即，解得， 所以点P的轨迹的长度是，所以④错误. 故选：A.    题型七 几何体的面积计算问题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：.． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 3．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 4．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 题型八 几何体体积计算问题 1．（24-25高一下·河南·期中）如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体，据此计算即可求解. 【详解】该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体， 因为，所以圆柱的高为1，圆柱底面半径为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 2．（24-25高一下·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】依题意将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，利用勾股定理得到方程组求出，再求出外接球的半径，即可求出外接球的体积； 【详解】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图：    则有，所以，所以，即， 所以球的体积为， 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故选：. 4．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积为 【答案】AC 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意可知三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍，因为在三棱锥中，其棱长都为1，可求出三棱锥的体积，进而求出三棱锥的体积． 【详解】解：三棱锥与三棱锥的底面都是，是的中点， 三棱锥的高是三棱锥高的2倍， 三棱锥的体积也是三棱锥的体积的2倍， 在三棱锥中，其棱长都为1，如图所示， ，高， ， ， 故选：AC． 题型九 由几何体的面积求其它量 1．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据棱锥和棱柱的体积公式计算即可. 【详解】设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为， 故二者的体积之比为． 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 【答案】2 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据题意，由求解. 【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为h， 因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的， 所以，解得，即， 故答案为：2 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正方体的棱长为，外接球的半径，由外接球的表面积求出，则内切球的半径，即可求出内切球的体积. 【详解】设正方体的棱长为，则外接球的半径， 所以外接球的表面积，解得， 所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积. 故答案为： 题型十 由几何体的体积求其它量 1．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 2．（24-25高一下·福建福州·期中）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】利用台体体积公式求出上下圆台高的比. 【详解】设上、下两圆台的高分别是， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为，所以上、下两圆台的高之比是. 故选：B 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，体积为56，则下列说法正确的是（    ） A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的侧棱长为 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台不存在内切球 【答案】BCD 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据棱台的体积公式可求高判断选项A；做辅助线构造直角梯形结合已知条件可求该直角梯形的腰线即四棱台的侧棱，判断选项B；进一步做辅助线构造直角梯形求侧面梯形的高进一步求侧面积来判断选项C；由正四棱台与球的对称性确定球心，求出球心到各个面的距离不是全部相等所以不存在内切球来判断选项D. 【详解】选项A：设正四棱台的高为，则，（台体的体积公式：，其中为台体的体积，为台体的高，分别为台体的上、下底面面积） 解得，故A错误． 选项B：如图，连接，设分别为的中点， 连接，因为正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4， 所以，，则，故B正确． 选项C：取中点，过作的垂线，垂足为，则，所以该四棱台的侧面积为，故C正确． 选项D：如图，设为的中点，易知为的中点，连接， 作于，若该四棱台存在内切球，则，（点拨：注意正四棱台与球的对称性） 而，故该四棱台不存在内切球，故D正确． 故选：BCD 4．（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 【答案】/ 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先根据上下底面积求出，再根据体积计算求出，最后求出正六棱台的斜高后根据侧面积公式计算． 【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，由正棱台性质知，，，所以， 因为体积为,所以， 是斜高，，， ∵，∴，， 在直角梯形中，， ∴侧面积为． 故答案为：． 题型十一 组合体问题 1．（吉林省精准教学联盟2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件求出圆台的高，结合条件得到球与圆台的上、下底面相切，从而求出内切球的半径，即可求解. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知， 又母线长为，则圆台的高为， 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接，易知，则，又， 由，得到，解得， 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的体积为，    故选：B. 2．（2023·河北·模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱台中截面的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】 连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，求得上、下底面所在圆的半径，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接， 过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为， 因为正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为， 可得，即， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 可得，，故或， 即或，解得，符合题意， 所以球的体积为． 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，利用勾股定理求出棱长最大的正方体的外接球的半径，进而可得出答案. 【详解】如图，作出圆台的轴截面， 要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，    设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 设圆台内正方体的棱长最大值为，则， ． 故选：B. 4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】连接，，，， ，，由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体，根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥，分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体，又，，，均与球相切，所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心，作出三棱锥和三棱锥的图，求解即可. 【详解】根据题意，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球， 连接，，，， ，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切， ，，，两两相切，，，，两两相切， 所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥， 分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体， 又，，，均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心， 作出正四面体和的示意图如图所示， 连接，则球的半径为 . 如图，设正四面体的底面的中心为点，连接， 则，正四面体的高， 由图知，到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 则，即，得， 故， 则球的半径为. 故选：A 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 【答案】/ 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 题型十二 空间几何体的综合问题 1．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是 【答案】A 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】（1）直接用三棱锥的体积公式即可； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解即可. 【详解】（1） ， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为． 3．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知圆锥的半径，母线长为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 【答案】(1)表面积，体积 (2)体积，表面积 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【详解】（1）设圆锥的高为h， 由题意得： 圆锥侧面积， 圆锥的底面积， 圆锥的表面积； 圆锥的体积为． （2）由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱的底面半径为，高（母线）为 圆柱的体积为    剩下几何体的体积为； 由（1）得圆锥的表面积； 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【知识点】棱锥的展开图、棱锥中截面的有关计算 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    5．（24-25高一上·浙江宁波·期中）如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 【答案】(1) (2)12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为 【知识点】棱柱表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】（1）利用等体积法求解； （2）利用数形结合法得到几何体，再求表面积和体积. 【详解】（1）解：设点到底面的距离为， 则， 即，得； （2）如图所示：    将正方体按照题设的方法截去八个“角”后 其有12个顶点，24条棱，共14个面， 其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为. 6．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为. (1)求正四棱台的体积； (2)将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） 【答案】(1) (2) 【知识点】棱台中截面的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果. （2）设玻璃棒在上的点为，玻璃棒与水面的交点为，过点作，交于点，过点作，交于点，推导出为等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒没入水中部分的长度． 【详解】（1）解：由题意可知，下底面正方形的边长为，上底面正方形的边长为， 所以下底面面积为，上底面的面积， 又台体的高为， 所以正四棱台的体积 （2）解：设玻璃棒在上的点为，则，玻璃棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵为正四棱台， ∴，， ∴为等腰梯形，画出平面的平面图， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， 根据正弦定理得：， ， ， ． ∴玻璃棒没入水中部分的长度为． 7．（24-25高一下·河南·期中）伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米.（结果均用含π的最简式表示） (1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表面全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料? (2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）由圆台的侧面积公式结合题意可得； （2）先求出圆台的高，再由体积公式可得. 【详解】（1）设， 由圆台的侧面积公式得， 又每平方分米需要消耗5克涂层材料， 所以该伊丽莎白圈需要消耗克涂层材料. （2）设圆台的高为，则， 由圆台的体积公式可得立方分米. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； (2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)表面积，体积； (2)，. 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出. （2）设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出其最大值． 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，因此圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即. （2）设，则，解得， 因此被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号， 所以时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 空间几何体 题型一 斜二测画法及计算问题 1．（21-22高一下·浙江宁波·期中）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 3．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为 ． 4．（24-25高一下·河南许昌·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形OABC的直观图，其中，，则原四边形OABC的面积与周长的数值之比为 ． 题型二 点、线、面位置关系的判断 1．（10-11高一下·福建厦门·阶段练习）“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（13-14高一下·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 3．（19-20高一·全国·课后作业）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 4.（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 题型三 空间几何体的结构判断 1．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图所示的长方体中，由OA，OB，OD和OC所构成的几何体是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 4．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 题型四 棱柱中的计算问题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 3.（24-25高一下·山西·期中）已知一种长方体礼物盒的长､宽､高之比为，现有如图两种方式包装该礼物盒，方式①中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点，方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点.不计打结处的额外消耗，则使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 题型五 棱锥、棱台中的计算问题 1．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2022高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 4．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 题型六 旋转体中的计算问题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）在金属丝制作的的长方体框架中放置着一个球，则该球的半径的最大值为（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（   ）    ①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 几何体的面积计算问题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 题型八 几何体体积计算问题 1．（24-25高一下·河南·期中）如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积为 题型九 由几何体的面积求其它量 1．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 . 题型十 由几何体的体积求其它量 1．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高一下·福建福州·期中）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，体积为56，则下列说法正确的是（    ） A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的侧棱长为 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台不存在内切球 4．（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 题型十一 组合体问题 1．（吉林省精准教学联盟2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 题型十二 空间几何体的综合问题 1．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值. 3．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知圆锥的半径，母线长为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 5．（24-25高一上·浙江宁波·期中）如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 6．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为. (1)求正四棱台的体积； (2)将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） 7．（24-25高一下·河南·期中）伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米.（结果均用含π的最简式表示） (1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表面全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料? (2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； (2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$