第08讲 ：统计与概率【十二大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第08讲 统计与概率 【题型归纳】 · 题型1：统计 · 题型2：变量间的相关关系 · 题型3：古典概型 · 题型4：条件概率 · 题型5：事件的独立性 · 题型6：全概率公式 · 题型7：离散型随机分布及其分布列问题 · 题型8：二项分布及其应用 · 题型9：正态分布问题 · 题型10：回归分析 · 题型11：独立性检验 · 题型12：统计概率交汇知识高考新题型 【题型统计】 题型1：统计 1．（2025·山西晋城·二模）已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（2025·四川绵阳·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ）    A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 3．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 题型2：变量间的相关关系 4．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 5．（2025·内蒙古包头·二模）一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（    ） A．样本正相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 6．（2025·广东广州·二模）一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（    ） A．若，则 B．若，则成对数据的样本相关系数等于 C．若，则成对数据的样本相关系数大于 D．若，则成对数据的经验回归方程 题型3：古典概型 7．（24-25高二下·浙江台州·期中）语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西宜春·二模）将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南岳阳·二模）某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 题型4：条件概率 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西咸阳·二模）已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（   ） A．，互斥 B． C． D． 题型5：事件的独立性 13．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 14．（2025·山东济宁·二模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 15．（2025·山东日照·二模）已知样本空间，其中每个样本点出现的可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C相互独立 C． D． 题型6：全概率公式 16．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·贵州毕节·二模）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 题型7：离散型随机分布及其分布列问题 19．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 20．（2025·陕西西安·二模）某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表： 中奖次数 张数 当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率． (1)估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率． (2)假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差． （i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望； （ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值． 21．（2025·江西南昌·二模）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 题型8：二项分布及其应用 22．（2025·河南·模拟预测）在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异. 睡眠时长/小时 人数 5 12 28 36 17 2 (1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. (2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为. （i）求的值； （ii）求的分布列和期望. 23．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 24．（2025·江西景德镇·三模）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 题型9：正态分布问题 25．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 26．（2025·全国·模拟预测）已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 27．（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 题型10：回归分析 28．（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 29．（2025·安徽·二模）某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 30．（2025·宁夏石嘴山·一模）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 题型11：独立性检验 31．（2025·陕西·三模）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 32．（2025·甘肃平凉·模拟预测）2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛. (1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联？ 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 历史类学生 50 300 总计 1000 (2)已知高三（1）班在初赛中每个学生答对的概率均为，各人是否答对相互独立，若初赛中高三（1）班恰有人答对的概率记为，求证：当取得最大值时，； (3)若高三（1）班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为，各人是否答对相互独立，记决赛中高三（1）班答题的人数为，求证：. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 33．（2025·江苏泰州·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． (1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ (2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； (3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 题型12：统计概率交汇知识高考新题型 34．（2025·河北廊坊·模拟预测）随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； (2)2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 35．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 36．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 2．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 4．（2025·湖北武汉·二模）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 5．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 6．（2025·四川·三模）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表： 药物 疗效 合计 未患疾病 患疾病 未服用 10 50 60 服用 18 42 60 合计 28 92 120 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），结论为（   ） A．药物对预防疾病没有效果 B．药物对预防疾病没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 C．药物对预防疾病有效果 D．药物对预防疾病有效果，这种判断犯错误的概率不超过 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，且，若关于的经验回归方程为，其样本相关系数为，则（    ） （参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·山东淄博·一模）下列命题中，真命题的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120 10．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（    ） A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 11．（2025·河北·模拟预测）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．这180天中日收入不低于8万元的有54天 B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元 C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表） D．这组数据的第75百分位数为8.5万元 12．（2025·河南·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B．若，，且，则C，D相互独立 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 13．（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数．《礼记·射义》：“射者，仁之道也．射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”．若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭．已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为．由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是（   ） A．第3次射箭的人是甲的概率为 B．在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为 C．在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为 D．若第次射箭的人是甲的概率为，则 15．（2025·浙江·三模）在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若当且仅当时，取得最大值，则 三、填空题 16．（2025·安徽滁州·二模）某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ． 17．（2025·广东广州·二模）一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为 . 18．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 19．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 20．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 ． 四、解答题 21．（2025·河北保定·一模）为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为．每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束． (1)若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率； (2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望. 22．（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 23．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 24．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 25．（2025·陕西宝鸡·三模）2025“西安年•最中国”春节再次火爆出圈，申遗成功后的首个春节，遇上首个“非遗版春节”，千年古都西安凭借其深厚的历史文化底蕴和丰富的旅游资源吸引了大量国内外游客前来感受一个别样“西安年”.以下随机收集了春节期间5天的日期代码和每天旅客数量（单位：万人）的5组数据，得到统计数据如下表： 日期 1月28日 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 日期代码 1 2 3 4 5 旅客数量（万人） 55 80 150 270 485 4 4.4 5 5.6 6 由5组数据制成图（1）所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图（2）所示的残差图. (1)根据残差图判断选择哪个模型拟合较好并说明理由； (2)根据（1）问中所选的模型，求出关于的经验回归方程； (3)为了吸引旅客，某景点在售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团所有游客中随机同时抽取两名游客，若两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，现按抽奖规则重复进行三次抽奖，设三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大？ 参考公式：对于一组数据其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 26．（2025·安徽安庆·模拟预测）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 27．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 28．（2025·山东日照·二模）设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，， (1)写出数对的所有可能结果； (2)当时，记的概率为． （ⅰ）求及的最大值； （ⅱ）设的数学期望为，求． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 统计与概率 【题型归纳】 · 题型1：统计 · 题型2：变量间的相关关系 · 题型3：古典概型 · 题型4：条件概率 · 题型5：事件的独立性 · 题型6：全概率公式 · 题型7：离散型随机分布及其分布列问题 · 题型8：二项分布及其应用 · 题型9：正态分布问题 · 题型10：回归分析 · 题型11：独立性检验 · 题型12：统计概率交汇知识高考新题型 【题型统计】 题型1：统计 1．（2025·山西晋城·二模）已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】设这10个样本数据分别为，且．由题意得这组数据的分位数为，设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，由平均值为10得到，再利用方差公式结合基本不等式求得的最大值即可. 【详解】设这10个样本数据分别为，且． 因为，所以这10个数据的分位数为． 设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为， 由题意知，则； ， 所以，整理得，解得， 所以， 当且仅当时等号成立， 即，时，取到最大值13. 故选：C. 2．（2025·四川绵阳·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ）    A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 【答案】D 【分析】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可. 【详解】由图可知，型号空调月销售量的极差为， 型号空调月销售量的极差为，故A正确； 型号空调月平均销售量为， 型号空调月平均销售量为，故B正确； 将型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50， 由，则型号空调月销售量的上四分位数为42， 将型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45， 由，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确； 型号空调月销售量的方差为 ， 型号空调月销售量的方差为 ， 故D错误. 故选：D. 3．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 题型2：变量间的相关关系 4．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断. 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 5．（2025·内蒙古包头·二模）一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（    ） A．样本正相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】BD 【分析】A选项，根据线性回归方程斜率的正负进行判断；B选项，线性回归方程必过样本中心，代入相应值求解；C选项，根据残差分布图中点的离散程度进行判断；D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大，因此决定系数变大. 【详解】A选项，因为原始数据的经验回归方程为，斜率为负数， 所以样本负相关，A选项错误； B选项，，所以，B选项正确； C选项，由图可知处理后的数据的残差分布更集中，说明处理后的数据的残差方差更小，所以，C错误； D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大， 这表明处理后的数据的线性关系更强，因此决定系数变大，D选项正确. 故选：BD 6．（2025·广东广州·二模）一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（    ） A．若，则 B．若，则成对数据的样本相关系数等于 C．若，则成对数据的样本相关系数大于 D．若，则成对数据的经验回归方程 【答案】ABD 【分析】根据相关系数的意义判断ABC，利用线性回归方程的求法判断D. 【详解】当时，变量正相关，所以，故A正确； 因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确； 因为，则成对数据对应点相当于把成对数据对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误； 当，由可知，新的回归直线方程中斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D正确. 故选：ABD 题型3：古典概型 7．（24-25高二下·浙江台州·期中）语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出总的选法为，该同学能及格分为能背诵的6道里抽3道和能背诵的6道里抽2道及不会背诵的4道抽1道，即该同学能及格的情况有，由古典概型可计算及格的概率. 【详解】从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种， 该同学能及格的情况有种， 由古典概型可知，该同学能及格的概率为. 故答案为：. 8．（2025·江西宜春·二模）将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出将个球放到个不同盒子中，每个盒子至少放个球的总放法数，再求出编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数，最后根据古典概型概率公式计算概率． 【详解】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1． 按1，1，3分组，共有种分法； 再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法． 根据分步乘法计数原理，此时共有种放法． 按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法． 由分类加法计数原理，总放法数为种． 先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法； 再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法． 根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种． 根据古典概型概率公式，可得所求概率． 故选：C． 9．（2025·湖南岳阳·二模）某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式，以及结合比例分配和分步计数原理即可求解. 【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数）， 由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为. 所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为， 因此所求概率为. 故选：A. 题型4：条件概率 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要计算在3名学生均获奖的情况下，既有物理组合又有历史组合的学生的概率，利用全概率公式和条件概率公式即可求解. 【详解】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有， 根据全概率公式有， 令事件表示“3人均获奖”，则， 令事件表示“这3人全是物理”，则， 令事件表示“这3人全是历史”，则， 令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则， 根据条件概率公式有. 故选：B. 12．（2025·陕西咸阳·二模）已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（   ） A．，互斥 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义，可判定A正确；根据条件概率的计算公式，求得，可判定B正确；由，可判定C错误；由，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，分别表示甲箱中取出的是白球和黄球， 因为每次只取1个球，所以，是互斥的事件，所以A正确； 对于B中，由题意，可得，，，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C错误； 对于D中，由，所以D正确. 故选：C. 题型5：事件的独立性 13．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 14．（2025·山东济宁·二模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 15．（2025·山东日照·二模）已知样本空间，其中每个样本点出现的可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C相互独立 C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知及互斥事件定义判断A；由已知得、，根据独立事件的判定、条件概率公式判断B、C、D. 【详解】由，即不是互斥事件，A错； 由，则且，故，B对； 由，则，且，显然，C错； 由，则，故，D对. 故选：BD 题型6：全概率公式 16．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 17．（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可. 【详解】由题意知，， ，， ，， ， . 故选：. 18．（2025·贵州毕节·二模）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用条件概率的公式计算后可判断AC的正误，根据对立事件可判断B的正误，根据全概率公式可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，为对立事件，故，故B错误； 对于C，，故， 故C错误； 对于D， ， 故D正确； 故选：AD. 题型7：离散型随机分布及其分布列问题 19．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 所以期望. 20．（2025·陕西西安·二模）某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表： 中奖次数 张数 当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率． (1)估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率． (2)假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差． （i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望； （ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）的最小值为. 【分析】（1）由已知数据求出回收的奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率，再根据频率与概率的关系求结论； （2）（i）由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得的分布列，再求的数学期望， （ii）由条件再求随机变量的分布列及其期望，列不等式求的最小值. 【详解】（1）由已知回收的张奖券中中奖号码个数不少于的奖券的数量为， 所以回收的张奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率为， 所以估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率， （2）（i）由已知的可能取值有，，，，， 且，，， ，， 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望， （ii）随机变量的可能取值有，，，，， 且，，， ，， 所以随机变量的分布列为 14 5+0.6m -10+0.6m -16+0.6m -20+0.6m 所以随机变量的数学期望， 由已知， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为. 21．（2025·江西南昌·二模）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，20 【分析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，根据条件即可求解； （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，根据条件求解即可； （3）由题的可能取值有，分别求出相应取值的概率，即可得出答案. 【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为： （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为： （3）的可能取值有， ， ， ， 所以分布列为： 0 20 40 60 80 所以. 题型8：二项分布及其应用 22．（2025·河南·模拟预测）在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异. 睡眠时长/小时 人数 5 12 28 36 17 2 (1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. (2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为. （i）求的值； （ii）求的分布列和期望. 【答案】(1)7.27小时. (2)（i）；（ii）分布列见解析，. 【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所有结果相加可得平均数； （2）（i）先求出“近期压力过大”的频率，则服从二项分布，利用二项分布的概率公式即可； （ii）利用二项分布的概率公式求分布列以及利用二项分布的期望公式计算即可. 【详解】（1）记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时， 则（小时）， 故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时. （2）（i）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”， 则表示“近期压力过大”的频率为， 由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故， 则，， 故. （ii）因， 则，， 故其分布列如下表所示： 0 1 2 3 故期望. 23．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)（ⅰ）；（ⅱ）1100 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 24．（2025·江西景德镇·三模）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频率和为1求解可得，再根据平均值的求法求解即可； （2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望； （3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可. 【详解】（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. 题型9：正态分布问题 25．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)的分布列见解析； (3) 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 26．（2025·全国·模拟预测）已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.16 (2)分布列见解析， 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本7个，直径在的车厘子有2个，得到X的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，估计该批次的橙子中随机抽取100个的直径的平均数为： ， 则，，所以直径， 则， 所以从该批次的橙子中任取一个，该橙子为特级品的概率约为0.16. （2）由题意知直径在区间，，上的频率之比为， 所以这7个橙子中抽取的直径在区间，，上的橙子个数分别为4，2，1. 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 27．（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【答案】(1)； (2)，． (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据正态分布的对称性计算即可； （2）首先求得，再根据（1）得到方程组，解出即可； （3）利用二项分布的模型即可得到其分布列，再计算其期望即可. 【详解】（1）记这朵棉花的线长为． 因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的． 所以． （2）由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知， 由（1）可知得． （3）设棉花的绒长为，则， 由题有，所以， 因此的分布列为 0 1 2 3 . 题型10：回归分析 28．（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】(1)应选模型②； (2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【详解】（1）由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2）令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 29．（2025·安徽·二模）某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)相关，理由见解析 (2)，身高为的某同学，体重大概为 【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）. 因为（或）， 所以，即身高与体重间是高度相关的； （2）因为， 所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，. 即某同学身高为时，体重大概为. 30．（2025·宁夏石嘴山·一模）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】(1)，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； (2)，6.3亿元； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据题意判断相关性，再应用相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归直线方程，进而估计该人工智能公司2025年的利润； （3）由题意“试销年”的个数能取的值为并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． （2）由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； （3）由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 题型11：独立性检验 31．（2025·陕西·三模）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】(1)数据见解析，有 (2) (3) 【分析】（1）由列联表中的数据，根据独立性检验的计算以及解题步骤，可得答案； （2）由列联表中的数据，可得各部分的占比，结合古典概型，可得答案； （3）由题意，建立随机变量之间的等量关系，结合二项分布以及正态分布的概率，可得答案. 【详解】（1）如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联． （2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； （3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． 32．（2025·甘肃平凉·模拟预测）2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛. (1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联？ 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 历史类学生 50 300 总计 1000 (2)已知高三（1）班在初赛中每个学生答对的概率均为，各人是否答对相互独立，若初赛中高三（1）班恰有人答对的概率记为，求证：当取得最大值时，； (3)若高三（1）班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为，各人是否答对相互独立，记决赛中高三（1）班答题的人数为，求证：. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）完善列联表，计算，根据独立性检验的原理即可求解； （2）根据独立重复实验高三（1）班恰有人答对的概率为，利用导数即可求证； （3）由题意，且，则有，利用错位相减法即可求，进而得证. 【详解】（1）列联表如下： 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 350 700 历史类学生 250 50 300 总计 600 400 1000 零假设为：学生是否答对题目与选科类型无关联， 由表中的数据，得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能够认为学生是否答对题目与选科类型有关联. （2）证明：高三（1）班恰有人答对的概率为， 则 因为，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当取得最大值时，. （3）证明：由题意可得的可能取值有， 则，且， 所以①， ②， ①-②，得， 所以 ， 因为，所以. 所以. 33．（2025·江苏泰州·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． (1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ (2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； (3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 【答案】(1)认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系 (2)最大值为，此时或； (3). 【分析】（1）根据给定数据求出的观测值，再与临界值比对解. （2）利用古典概率、结合组合计数问题求出的表达式，构造数列并判断单调性求出最大值. （3）根据题干中信息求出与的关系，再利用构造法求出通项. 【详解】（1）零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关， 由已知数据计算， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受， 因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系. （2）依题意，，令， ，当且仅当时取等号， 当时，，当时，，即当时，数列单调递减， 于是， 所以的最大值为，此时或. （3）由员工小李第n天选择B套餐的概率为，得员工小李第n天选择A套餐的概率为， 因此，而， ，又，因此，所以. 题型12：统计概率交汇知识高考新题型 34．（2025·河北廊坊·模拟预测）随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； (2)2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 【答案】(1)样本平均数为千元，中位数为千元，总销售额为千元 (2)（i）， ； （ii） 【分析】(1)利用频率分布直方图结合组中值求解中位数和平均数以及总销售额. (2)（i）结合题意求出甲在商品页面抢到红包的概率，甲在商品页面抢到红包的概率，结合独立事件求出的分布列及数学期望. （ii）根据随机变量和随机变量的关系，求出的数学期望，并结合导数求解出取最大值时正整数的值. 【详解】（1）平均数 设中位数为则在 中， 则 总销售额为 （千元） （2）(i)可取0,1,2 所以的分布列为 ， ， (ii) 可取 且 则      令      当 时, 单调递增 当 时, 单调递减      即 时, 取最大值. 35．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 36．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出、和即可求解； （3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出和，求出时即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池， 则，， 所以； （2）由题意，的可能取值为1，2，3， ，，， 所以； （3）由题意，现有3块可充电池和2块一次性电池可使用， 经分析可得，， 时， . 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 2．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分 【答案】C 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第一四分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 又，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可得，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确. 故选：C 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求解. 【详解】依题意，，则，解得或， 由全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，得，即，则， 所以. 故选：A 4．（2025·湖北武汉·二模）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 5．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 【答案】C 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误； 对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确； 对于D，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故D错误. 故选：C 6．（2025·四川·三模）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表： 药物 疗效 合计 未患疾病 患疾病 未服用 10 50 60 服用 18 42 60 合计 28 92 120 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），结论为（   ） A．药物对预防疾病没有效果 B．药物对预防疾病没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 C．药物对预防疾病有效果 D．药物对预防疾病有效果，这种判断犯错误的概率不超过 【答案】A 【分析】根据独立性检验的判断方法，结合已知条件，即可判断和选择. 【详解】设零假设：药物对预防疾病没有效果；因为， 故零假设不成立，药物对预防疾病没有效果. 故选：A. 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，且，若关于的经验回归方程为，其样本相关系数为，则（    ） （参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据样本相关系数的公式计算出，再根据回归系数的公式计算出，最后根据计算即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 8．（2025·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·山东淄博·一模）下列命题中，真命题的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】AB 【分析】对于A，利用中位数的概念即可判断；对于BC，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项D，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断. 【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确. 对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得. 又因为（、为常数），那么. 已知，即，解得，B选项正确. 对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得. 因为，所以. 再根据方差的性质（、为常数），可得. 因为，所以，C选项错误. 对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为. 总体样本平均数. 根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得： ，所以D选项错误. 故选：AB. 10．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（    ） A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【分析】根据中位数、极差、百分位数和方差的定义求解. 【详解】解：由统计图可知，甲得分从小到大排列为：81，81，82，83，84，87， 乙得分从小到大排列为：78，79，80，81，82，86， 对于A，甲得分的中位数为82.5，乙得分的中位数80.5， 所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故A正确； 对于B，甲得分的极差为87﹣81＝6，乙得分的极差为86﹣78＝8， 所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故B错误； 对于C，因为6×75%＝4.5， 所以甲得分的第75百分位数为84，乙得分的第75百分位数为82， 所以甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数，故C正确； 对于D，由折线图可知，甲的得分比较集中，乙的得分比较分散， 所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 故选：AC. 11．（2025·河北·模拟预测）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．这180天中日收入不低于8万元的有54天 B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元 C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表） D．这组数据的第75百分位数为8.5万元 【答案】AD 【分析】对于A，由不低于8万元的频率结合总天数即可计算判断；对于B，由各组频率比得各组抽取的天数即可求解判断；对于C，直接由平均数计算公式计算求解即可判断；对于D，由前4组和前5组频率之和确认第75百分位数的位置再计算即可求解判断. 【详解】对于A，由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有天，故A正确； 对于B，日收入低于8万元的各组的频率比为， 所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天各组抽取的天数依次为2天、3天、4天、5天， 则这14天中有天的日收入低于4万元，故B错误； 对于C，这组数据的平均数是 万元，故C错误； 对于D，因为前4组的频率为， 前5组的频率为， 所以这组数据的第75百分位数在第5组为万元，故D正确. 故选：AD 12．（2025·河南·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B．若，，且，则C，D相互独立 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 【答案】BD 【分析】A选项利用上四分位数的计算方法进行计算；B选项利用对立事件及条件概率公式进行检验；C 选项利用正态分布中的意义进行解释；D选项利用方差公式进行计算. 【详解】对于A选项，将数据从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数， 则，则上四分位数为，故A错误； 对于B选项，，， 由条件概率公式得，得到， 即C，D相互独立，故B正确； 对于C 选项，，， 由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； 对于D选项，由样本数据，，，，的平均数为4， 得，，，，，4的平均数为4， 由，，，，的平均数为22，得， 因此，，，，，4的方差为， ，，，，，9的方差为，故D正确. 故选：BD. 13．（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 【答案】ABD 【分析】由独立重复事件概率计算公式及条件概率计算公式逐个判断即可. 【详解】甲获胜的概率为A正确； 两人比赛4局结束的概率为B正确； 对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确； 由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确， 故选：ABD. 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数．《礼记·射义》：“射者，仁之道也．射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”．若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭．已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为．由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是（   ） A．第3次射箭的人是甲的概率为 B．在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为 C．在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为 D．若第次射箭的人是甲的概率为，则 【答案】ACD 【分析】对于A，分析出前两次射箭的人可以包含甲甲，甲乙，乙甲，乙乙四种情况，再分别列出式子计算即可；对于B，分析出是在A选项的条件下，只考虑A中的乙甲，乙乙两种情况，按照条件概率的公式计算即可；对于C，分析出在前4次射箭中，甲只射箭1次包含甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙，乙乙乙甲四种情况，再分别列出式子计算即可；对于D，先由得到，进而得到的表达式，再按照数列的求和方法求即可. 【详解】设第次射箭的人是甲且射中记为事件，未射中为，第次射箭的人是乙且射中为，未射中为（且）. 对于A，分析射箭情况，第3次射箭的人是甲，则前两次射箭的人可以包含甲甲，甲乙，乙甲，乙乙四种情况： ①第一次抽中甲，且前两次甲都射中，记为，则， ②第一次抽中甲，且甲未射中，第二次乙未射中，记为，则， ③第一次抽中乙，且乙未射中，第二次甲射中，记为， ， ④第一次抽中乙，且乙射中，第二次乙未射中，记为，则， 综上，所以第3次射箭的人是甲的概率为，故A正确； 对于B，在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙包含了A中③④两种情况， 故概率为，故B错误； 对于C，在前4次射箭中，甲只射箭1次包含甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙，乙乙乙甲四种情况： ①第一次抽中甲，且甲未射中，第二三次乙都射中记为，则， ②第一次抽中乙，且乙未射中，第二次甲未射中，第三次乙射中，记为，则， ③第一次抽中乙，且乙射中，第二次乙未射中，第三次甲未射中，记为，则， ④第一次抽中乙，且第一二次乙射中，第三次乙未射中，记为，则 ， 综上，所以在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为， 故C正确； 对于D，设第次射箭的人是甲的概率为， 则即为第一次抽中甲且甲射中的概率与第一次抽中乙且乙未射中的概率之和， 所以， 则即为第次甲射中的概率与第次乙未射中的概率之和， 即， 即， 变形可得， 而，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD 15．（2025·浙江·三模）在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【分析】利用随机变量二项分布的期望、方差以及概率计算公式，逐项计算判断即可. 【详解】由题意，随机变量，， 对于A，故，，若，则，故A正确； 对于B，若，则， 化简整理得，即， 所以时，，故B错误； 对于C，由题意，，， 所以， 由得，， 故，即，故C正确； 对于D，由题意，， 则，解得，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 16．（2025·安徽滁州·二模）某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ． 【答案】0.3 【分析】根据正态密度曲线关于对称，结合概率和为1即可得到答案. 【详解】因为体重近似服从正态分布， 所以正态密度曲线关于对称， 所以， 则， 所以， 故答案为：0.3. 17．（2025·广东广州·二模）一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为 . 【答案】 【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种， 这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次， 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种， 故这列数中恰有3个不同整数的概率为. 故答案为：. 18．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率. 【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A， 从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B， 则，， 所以， 若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 故答案为：， 19．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 20．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 ． 【答案】 【分析】先分析某次在点则下次在或不在点，某次不在点，则下次在或不在的概率，再按照分步乘法计算、、，进而利用概率的乘法公式得、，最后利用贝叶斯公式计算即可. 【详解】我们将三个点看作为一个整体， 如果某次在点，则下次一定不在点的概率为； 如果某次不在点，则下次在与不在的概率分别为、， 因，， 则， 因，， 则， 则根据贝叶斯公式可得． 故答案为： 四、解答题 21．（2025·河北保定·一模）为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为．每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束． (1)若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率； (2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知，对应事件为机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，应用重复独立事件的概率求法求概率； （2）根据已知有X的可能值为，并求出对应事件的概率写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）在过第4个区域后终止任务且人工智能机器人完成任务， 所以机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域， 故事件概率为. （2）由题意，总得分X的可能值为， 前3次都成功通过，此时，则； 前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，此时，则； 前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，此时，则； 前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡，此时，则； 前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡，此时，则； 前3次都被阻挡，此时，则； 所以分布列如下， 18 15 12 3 则. 22．（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【分析】（1）运用古典概型概率公式计算； （2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可. 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以. （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .   （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以. 23．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】(1)方案一 (2) 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【详解】（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 （2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 24．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)证明见解析 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 …… 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 25．（2025·陕西宝鸡·三模）2025“西安年•最中国”春节再次火爆出圈，申遗成功后的首个春节，遇上首个“非遗版春节”，千年古都西安凭借其深厚的历史文化底蕴和丰富的旅游资源吸引了大量国内外游客前来感受一个别样“西安年”.以下随机收集了春节期间5天的日期代码和每天旅客数量（单位：万人）的5组数据，得到统计数据如下表： 日期 1月28日 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 日期代码 1 2 3 4 5 旅客数量（万人） 55 80 150 270 485 4 4.4 5 5.6 6 由5组数据制成图（1）所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图（2）所示的残差图. (1)根据残差图判断选择哪个模型拟合较好并说明理由； (2)根据（1）问中所选的模型，求出关于的经验回归方程； (3)为了吸引旅客，某景点在售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团所有游客中随机同时抽取两名游客，若两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，现按抽奖规则重复进行三次抽奖，设三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大？ 参考公式：对于一组数据其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1)②，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据散点图判断模型； （2）根据最小二乘法公式计算，再计算即可求解； （3）先设函数作差后结合导函数得出单调性即可求出最大值. 【详解】（1）由图知，应该选择模型②. 理由为：模型②的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 模型②的残差的绝对值远小于模型①的残差的绝对值，所以②的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型②比较合适. （2）由（1）知，选用模型②，两边取对数，得 令与可以用经验回归方程来拟合，则 计算可得 . 所以 .所以，即 所以回归方程为. （3）记“从5个男游客和个女游客中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同（即为中奖）”为事件， 则 设 恒成立 时取得最大值，即 ， 令 则，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值.由，解得或（舍去） 当时，恰有一次中奖的概率最大. 26．（2025·安徽安庆·模拟预测）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 【答案】(1)分布列见解析，. (2)，趋于的稳定值为. 【分析】（1）列出的可能取值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的求法求期望. （2）找出数列的递推公式，构造等比数列，求的通项公式与极限即可. 【详解】（1）由题意可知：的值可以为：. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以 （2）由题意：数列中：，. 设， 由. 所以，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. 因为，所以趋于的稳定值为. 27．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据题意可得A盒子中没有红球的概率为，进而根据规则求解即可； （2）由题意可得，整理可得，进而求证，再求解的通项公式； （3）由题意可得,，整理可得，进而求解的分布列，再计算数学期望即可. 【详解】（1）由题意，A盒子中没有红球的概率为， 则，， ， . （2）因为，，， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）当，时，,① ,② 由①②得，，又， 所以，则， 的可能取值为0，1，2， 则， ，， 则的分布列为： 0 1 2 所以. 28．（2025·山东日照·二模）设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，， (1)写出数对的所有可能结果； (2)当时，记的概率为． （ⅰ）求及的最大值； （ⅱ）设的数学期望为，求． 【答案】(1)答案见解析； (2)①，最大值为；②. 【分析】（1）写出所有抛掷结果即可得到答案； （2）①分析计算得，再构造等比数列即可得到和其最值； ②分析得，再分类讨论和的情况即可. 【详解】（1）当抛郑两次硬币结果为（正，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，． （2）易知当时，；当时，； 由题知，，当，即时， 若掷出反面，则，此时； 当，即时，若掷出正面，则，此时； 当时，无论抛出正面还是反面，， 所以， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． 当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以，的最大值为． ②显然，． 由题分析得，与的概率相等，均设为， 则由①知，， 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，； 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，； 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，． 所以当时，概率为，此时期望不变； 当时，概率为，此时期望加1； 所以． 故 经检验，当时也成立．. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$