第07讲：二项式定理【十大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第07讲：二项式定理 【题型归纳】 · 题型1：二项式展开式的应用 · 题型2：二项式系数 · 题型3：求指定项或者有理项的系数 · 题型4：二项式展开式各项系数之和 · 题型5：系数最大问题 · 题型6：三项的展开式的系数问题 · 题型7：两个二项式展开式相乘问题 · 题型8：整除和余数问题 · 题型9：赋值法的应用 · 题型10：二项式定理有关的新题型问题 【题型探究】 题型1：二项式展开式的应用 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 2．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2025·河南·二模）若的展开式中的常数项为，则 . 题型2：二项式系数 4．（2025·山东泰安·一模）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 5．（2025·河南·二模）二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 . 6．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 题型3：求指定项或者有理项的系数 7．（2025·河北张家口·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南周口·二模）在的展开式中有理项的系数的和为 ． 9．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型4：二项式展开式各项系数之和 10．（2025·甘肃·模拟预测）在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则 . 11．（2025·西藏拉萨·二模）若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 ． 12．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 题型5：系数最大问题 13．（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二项式的展开式中，系数最大的一项为 . 15．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ． 题型6：三项的展开式的系数问题 16．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 17．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 18．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 题型7：两个二项式展开式相乘问题 19．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 20．（2025·广东广州·二模）的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 21．（2025·四川德阳·二模）已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型8：整除和余数问题 22．（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 24．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型9：赋值法的应用 25．（2025·江西上饶·二模）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（2025高三·全国·专题练习）已知，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·浙江温州·二模）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 题型10：二项式定理有关的新题型问题 28．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 29．（2024·四川·模拟预测）设. (1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为，求k的值； (2)设，且各项系数互不相同，现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，，第n列n个数.设是第列中的最小数，其中，且，记的概率为，求证：. (3)设且，集合的所有3个元素的子集记为，记为中最小元素与最大元素之和，求的值. 30．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·北京通州·一模）在的展开式中，x的系数为（   ） A． B． C．32 D．40 2．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 3．（2025·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 4．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 5．（2025·陕西·模拟预测）已知是数据1，6，2，3，2，5，7的第70百分位数，若，则（   ） A．80 B．10 C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（    ） A．180 B． C． D．90 7．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（2024·广东·二模）设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 10．（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 二、多选题 11．（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 12．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河南驻马店·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的前项和 C． D． 15．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·全国·模拟预测）已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．对于任意奇数 D．对于任意整数 三、填空题 17．（2024·全国·模拟预测）的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 48．（2024·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 18．（2024·上海普陀·一模）若，则的值为 . 19．（2024·广东广州·模拟预测）若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 20．（2024·北京·模拟预测）若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 21．（2024·河北·模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为到的个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回. 连续抽奖次，设抽到编号为的小球的次数为，已知服从二项分布. 若展开式中的系数是的概率的倍，则的值为 （结果用含的式子表示） 22．（24-25高三上·浙江·阶段练习）“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：二项式定理 【题型归纳】 · 题型1：二项式展开式的应用 · 题型2：二项式系数 · 题型3：求指定项或者有理项的系数 · 题型4：二项式展开式各项系数之和 · 题型5：系数最大问题 · 题型6：三项的展开式的系数问题 · 题型7：两个二项式展开式相乘问题 · 题型8：整除和余数问题 · 题型9：赋值法的应用 · 题型10：二项式定理有关的新题型问题 【题型探究】 题型1：二项式展开式的应用 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 2．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 3．（2025·河南·二模）若的展开式中的常数项为，则 . 【答案】1 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 题型2：二项式系数 4．（2025·山东泰安·一模）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 【答案】C 【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项． 【详解】由题意，解得． 展开式通项为， 由得，解得，∴常数项为． 故选：C． 5．（2025·河南·二模）二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 依题意，所以， 所以二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以展开式中的系数为为. 故答案为： 6．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】依题意可知， 的展开式通项为， 令，则，故的系数为. 故答案为：. 题型3：求指定项或者有理项的系数 7．（2025·河北张家口·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中项的系数为. 故选：C. 8．（2025·河南周口·二模）在的展开式中有理项的系数的和为 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理的展开式通项确定有理项，结合二项式系数的性质即可得有理项的系数的和. 【详解】的展开式的通项为， 当时，展开式为有理项， 所以展开式中有理项的系数的和为. 故答案为：. 9．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 题型4：二项式展开式各项系数之和 10．（2025·甘肃·模拟预测）在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则 . 【答案】 【分析】由二项式系数的和为，令，得各项系数的和为，然后求解即可. 【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为； 令，得的展开式中各项系数的和为. 根据题意，得，解得. 故答案为： 11．（2025·西藏拉萨·二模）若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 ． 【答案】或1 【分析】由赋值法求得系数和，构造等式求解即可. 【详解】由题知二项式系数之和为， 令，系数之和为． 取，得， 所以，解得或1． 故答案为：或1 12．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 题型5：系数最大问题 13．（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【详解】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二项式的展开式中，系数最大的一项为 . 【答案】 【分析】应用二项式的展开式判断各项系数的符号，进而确定系数最大项. 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 易知时对应项系数为正，时对应项系数为负， 又，，， 所以系数最大的一项为. 故答案为：. 15．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【答案】32 【分析】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【详解】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 题型6：三项的展开式的系数问题 16．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 17．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解. 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 18．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式计算即可. 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 题型7：两个二项式展开式相乘问题 19．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 20．（2025·广东广州·二模）的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故答案为：. 21．（2025·四川德阳·二模）已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】根据题意，的展开式通项为， 所以的展开式中为： ， 则，解得. 故选：A 题型8：整除和余数问题 22．（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将合理变形，再利用二项式定理展开，进而得到的取值即可. 【详解】由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确. 故选：C 23．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】由，通过二项式定理展开即可求解. 【详解】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 24．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 题型9：赋值法的应用 25．（2025·江西上饶·二模）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定的等式，利用赋值法求解判断AC；利用二项式定理求出判断B；对等式两边求导，再利用赋值法求解判断D. 【详解】对于A，令，得；令，得， 因此，A错误； 对于B，，因此，B正确； 对于C，令，即，得，C错误； 对于D，原等式两边求导得， 令，得，D正确. 故选：BD 26．（2025高三·全国·专题练习）已知，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出，然后利用赋值法判断选项A，B，C的正误；然后将二项式两边求导，再赋值即可判断选项D的正误. 【详解】因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则. 令，得，所以选项A不正确； 令，得，所以，所以选项B正确； 令，得，所以，所以，所以选项C正确； 因为，所以两边同时求导得 ，令，得， 所以，所以选项D错误． 故选：BC． 27．（2025·浙江温州·二模）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令即可判断A；令即可判断B；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令即可判断D. 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 题型10：二项式定理有关的新题型问题 28．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【详解】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 29．（2024·四川·模拟预测）设. (1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为，求k的值； (2)设，且各项系数互不相同，现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，，第n列n个数.设是第列中的最小数，其中，且，记的概率为，求证：. (3)设且，集合的所有3个元素的子集记为，记为中最小元素与最大元素之和，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用题目所给展开式中第项与第项的系数之比列方程，解方程求得的值； （2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得的表达式，构造数列，判断出数列的单调性，由此证得不等式成立； （3）依次判断最小元素为1、2、、的所有集合中最小元素出现次数为，最大元素为、、、3的所有集合中最大元素出现次数为，进而求得，即可求目标式的值. 【详解】（1）因为的通项公式为， 而它的展开式中第5项与第7项的系数之比为，即， 所以，即，所以，解得或. 因为，所以. （2）由题意，最小数在第列的概率为， 去掉第列已经排好的个数， 则余下的个数中最小值在第列的概率为， ，以此类推， 余下的数中最小数在第2列的概率为， 所以， 由于，所以， 设， 所以， 记，所以， 所以是递增数列，所以；是递增数列，所以， 所以，所以，即. （3）集合的所有个元素的子集中： 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个； 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个； 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个. 所以 ， 所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）题的解决关键是讨论集合M中含个元素的子集中的最大、最小元素，确定它们在所有中出现次数，从而得解. 30．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】(1)证明见解析； (2)8 【分析】（1）根据得出，构造出，即可证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2），结合及二项式定理得出当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得出，利用二项式定理得出除以16的余数为除以16的余数，即可求解． 【详解】（1）当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． （2）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·北京通州·一模）在的展开式中，x的系数为（   ） A． B． C．32 D．40 【答案】A 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式， 令，得， 所以x的系数为， 故选：A 2．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】写出的展开式的通项，再将运算进去，分别令x的指数为0，求出各自的常数，再相加即可. 【详解】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选：B. 3．（2025·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 4．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】先求，根据组合数的性质求，进而可得最值. 【详解】由题意可知：， 且， 可得，其中， 且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值， 若，所以. 故选：A. 5．（2025·陕西·模拟预测）已知是数据1，6，2，3，2，5，7的第70百分位数，若，则（   ） A．80 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】由百分位数的概念求得，再由二项式定理通项公式求解即可； 【详解】从小到大排序1，2，2，3，5，6，7， ， 所以第70百分位数为5，即， 则， 由通项公式可知：, 故选：A 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【分析】由写出其通项公式，依题意对赋值即可求得. 【详解】因，其二项展开式的通项为： ， 而是的系数，故只需取，得， 即. 故选：A. 7．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，由进位制的换算方法代入计算，再由二项式展开式代入计算，即可得到结果. 【详解】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得： ， 因为是10的倍数， 所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字， 由可得，末尾数字为5. 故选：C 8．（2024·广东·二模）设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先利用二项式定理化简数列的通项公式，利用等比求和公式可得答案. 【详解】， ， 结合指数函数单调性该数列为单调递增数列， 且 所以使的最小n是7. 故选：C. 9．（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】令根据各项系数和求出，再利用赋值法计算可得. 【详解】因为， 令可得，解得， 令可得， 令可得， 所以. 故选：B 10．（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 【答案】A 【分析】利用二项式定理化简得，再利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断. 【详解】 ， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为. 故选：A. 二、多选题 11．（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 12．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D错误. 故选:AC. 13．（2024·河南驻马店·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可. 【详解】依题意得，所以945，故A项正确； 令，得，令，得，所以，故B项错误； 令，得①， 又②， 由①+②可得，故C项正确； 同理，由②-①得，故D项错误. 故选：AC. 14．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的前项和 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可． 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数， 所以，所以为等比数列，， 所以，故A错误； ， 故的前项和为， 故B正确； 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列， 项数之和为，则的最大整数为11，此时, 杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1， 取的就是第12行中的第3项，，故C正确； 是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解. 15．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD 16．（2024·全国·模拟预测）已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．对于任意奇数 D．对于任意整数 【答案】AC 【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可. 【详解】当，，故，A正确； 当，，， 当时，，解得，B错误； ，设，，则， 于是，C正确； 因为，构造二项分布，则， 因此，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解. 三、填空题 17．（2024·全国·模拟预测）的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 【答案】180 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，含的项的系数为； 当时，含x的项的系数为， 的展开式中含的项的系数为. 故答案为：180. 48．（2024·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 【答案】 【分析】根据，分析的系数可能的相乘情况，再求和即可 【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或. 故含的项为 ， 故答案为： 18．（2024·上海普陀·一模）若，则的值为 . 【答案】10 【分析】化简结合二项式定理求项的系数. 【详解】因为， 所以， 所以的展开式的第项的表达式，， 所以. 故答案为：. 19．（2024·广东广州·模拟预测）若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】根据二项式展开式的特征，可得项的系数为为，即可根据求解. 【详解】, 又， 故， 可由分别提供得到，或者提供得到，或者提供得到， 故项的系数为为， 故，即， 要使最大，则需为正数， 因此，故，当且仅当时取等号， 故答案为： 20．（2024·北京·模拟预测）若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先根据二项展开中含有的项满足的条件，再根据为正整数求出数列的通项公式. 【详解】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 21．（2024·河北·模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为到的个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回. 连续抽奖次，设抽到编号为的小球的次数为，已知服从二项分布. 若展开式中的系数是的概率的倍，则的值为 （结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】分别使用二项分布的性质和二项式定理得到和展开式中的系数是，然后利用条件即可得到结果. 【详解】由于，故. 再根据二项式定理，展开式中的系数是. 所以根据条件有，得，即、. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同类型知识的混合运用. 22．（24-25高三上·浙江·阶段练习）“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 【答案】 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$