数学（上海卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 4．如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ▲ ） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ▲ ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 6．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ▲ ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解： ▲ ． 8．函数的定义域为 ▲ ． 9．方程组的解是 ▲ ． 10．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ▲ ． 11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ▲ ． 13．如图是用黑色棋子和白色棋子摆成的“小屋子”，则从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是 ▲ ． 第10题图 第13题图 第14题图 14．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ▲ ． 15．如图，中，，点在轴上，，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为，则的值是 ▲ ． 16．如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ▲ ． 第15题图 第16题图 第17题图 17．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ▲ ． 18．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分10分） 琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为________ 21．（本题满分10分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 22．（本题满分10分） 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 23．（本题满分12分） 已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 24．（本题满分12分） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 25．（本题满分14分） 已知，的半径与弦交于点．   (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 C A D A D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7. 8. 且 9. 或． 10. 11 11. 12. 13. 14. 15. 16. 4 17. 18. / 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 原式 ；...........................6分 ， 原式．...........................4分 20．（本题满分10分） （1）解：设被墨迹覆盖的系数是， ∴不等式可变形为， ∵不等式①的解集为， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴被墨迹覆盖的系数是6；...........................2分 （2）解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故选：C；...........................2分 （3）解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：．...........................6分 21．（本题满分10分） （1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到；...........................2分 （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：；...........................2分 （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴；...........................2分 （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：．...........................4分 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22．（本题满分10分） （1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；...........................4分 （2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合实际， ∴只有当水温为时，油和水继续加热， ∴， 解得， ∴加热的时间为分钟．...........................6分 23．（本题满分12分） （1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．...........................6分 （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点．...........................6分 24．（本题满分12分） （1）解：抛物线与x轴交于A，B两点， ，， ， 在中，， ， ， ， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为；...........................4分 （2）解：①如图，设点， 点D在直线下方的抛物线上，， ， ， ， ， ， 当时，的值最大为， 此时点D的坐标为；...........................3分 ②设点， 设直线的解析式为， ，解得：， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，即点的横坐标为， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ， 如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， ，，，， ，， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 整理得：， 解得：（舍），， 点D的横坐标为．...........................5分 25．（本题满分14分） （1）证明：∵，经过圆心， ∴， ∴；...........................2分 （2）证明：延长交于点，连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；...........................4分 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，    ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，...........................2分 设，则，设，则， 则，， ∴， 解得：（舍负）， ∴，，...........................2分 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴．...........................4分 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．_________________ 8．___________________ 9．___________________ 10．__________________ 11.___________________ 12. ___________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 20．（本题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分10分） 22．（本题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（本题满分12分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本题满分12分） (1) (2) ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (1) (2) (3) 25．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 4．如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ▲ ） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ▲ ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 6．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ▲ ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解： ▲ ． 8．函数的定义域为 ▲ ． 9．方程组的解是 ▲ ． 10．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ▲ ． 11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ▲ ． 13．如图是用黑色棋子和白色棋子摆成的“小屋子”，则从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是 ▲ ． 第10题图 第13题图 第14题图 14．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ▲ ． 15．如图，中，，点在轴上，，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为，则的值是 ▲ ． 16．如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ▲ ． 第15题图 第16题图 第17题图 17．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ▲ ． 18．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分10分） 琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为________ 21．（本题满分10分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 22．（本题满分10分） 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 23．（本题满分12分） 已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 24．（本题满分12分） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 25．（本题满分14分） 已知，的半径与弦交于点．   (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则、准确进行判断． 【详解】解：A．，计算正确； B．不是同类项，不能合并，计算错误； C．，计算错误； D．，原计算错误； 故选：A． 3．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意； ， 由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故选：D． 4．如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ▲ ） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 【答案】A 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故A符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少17岁和18岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少17岁和18岁的数据，所以平均数不能求出，故C不符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，17岁和18岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：A． 5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ▲ ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意； D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意． 故选：D． 6．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ▲ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解： ▲ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点．先运用多项式乘多项式计算，然后再合并同类项，最后根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．函数的定义域为 ▲ ． 【答案】且 【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 9．方程组的解是 ▲ ． 【答案】或． 【分析】本题考查了解二元二次方程，由①得③，将③代入②求出的值，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得： ③， 将③代入②得， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 原方程组的解为或． 故答案为：或． 10．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ▲ ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 13．如图是用黑色棋子和白色棋子摆成的“小屋子”，则从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类的规律，概率公式，找到规律是解题的关键．观察图形可得前几个图需要棋子的个数，发现规律即可得第个图需要棋子的个数，求出第20个这样的“小屋子”共有的棋子数，再根据概率公式计算即可． 【详解】∵第1个图形共有棋子个； 第2个图形共有棋子个； 第3个图形共有棋子个； 第4个图形共有棋子个； ； ∴第个图形共有棋子个， ∴第20个图形共有棋子个， ∵每个图形有5个黑色棋子， ∴从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是． 故答案为：． 14．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，中，，点在轴上，，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为，则的值是 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得到，设，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，，分别为，的中点， ， ， 反比例函数的图象经过点，设， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ▲ ． 【答案】4 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 17．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，得到圆的半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为， 连接，则， 由题意得，，， 过作于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长为 故答案为：． 18．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ▲ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程． 先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解. 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当旋转后的图象顶点纵坐标为， 设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为 即旋转后的图象解析式为， ∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上， ∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的根， ∴有两个相等的根， ∴， 解得，， 即旋转后的图象顶点坐标为， ∴点的坐标为，即 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】原式 ；...........................6分 ， 原式．...........................4分 20．（本题满分10分） 琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为________ 【答案】(1)6 (2)C (3) 【分析】本题主要考查解不等式组，分式方程的计算，掌握不等式的性质，解不等式组，分式方程的方法是关键． （1）设被墨迹覆盖的系数是，根据不等式的性质，不等式的解集，分式的计算即可求解； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）解不等式组，并根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】（1）解：设被墨迹覆盖的系数是， ∴不等式可变形为， ∵不等式①的解集为， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴被墨迹覆盖的系数是6；...........................2分 （2）解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故选：C；...........................2分 （3）解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：．...........................6分 21．（本题满分10分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到；...........................2分 （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：；...........................2分 （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴；...........................2分 （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：．...........................4分 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22．（本题满分10分） 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 【答案】(1) (2)加热的时间为分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可． 【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；...........................4分 （2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合实际， ∴只有当水温为时，油和水继续加热， ∴， 解得， ∴加热的时间为分钟．...........................6分 23．（本题满分12分） 已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．...........................6分 （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点．...........................6分 24．（本题满分12分） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②设点，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两直线，得到点的横坐标为，再根据，得到关于的一元二次方程，从而求出，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，证明，设，利用全等三角形的性质，求出，进而得出直线的解析式，联立直线与抛物线，即可求出点D的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点， ，， ， 在中，， ， ， ， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为；...........................4分 （2）解：①如图，设点， 点D在直线下方的抛物线上，， ， ， ， ， ， 当时，的值最大为， 此时点D的坐标为；...........................3分 ②设点， 设直线的解析式为， ，解得：， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，即点的横坐标为， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ， 如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， ，，，， ，， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 整理得：， 解得：（舍），， 点D的横坐标为．...........................5分 25．（本题满分14分） 已知，的半径与弦交于点．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证； （2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证； （3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵，经过圆心， ∴， ∴；...........................2分 （2）证明：延长交于点，连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；...........................4分 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，    ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，...........................2分 设，则，设，则， 则，， ∴， 解得：（舍负）， ∴，，...........................2分 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴．...........................4分 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理推论，勾股定理，解直角三角形的相关运算，矩形的判定该与性质等知识点，难度较大，计算复杂，正确添加辅助线解三角形是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$