精品解析：2025年上海市崇明区中考二模数学试卷

2024学年第二学期学业质量调研九年级数学 （满分150分，完成时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握相反数的定义是解题关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加得零的数，求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加得零的数， ∵， ∴2的相反数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得． 解不等式②得． 所以原不等式组的解为． 故选：A． 4. 如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质．根据一次函数图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，， ，且， 故选：． 5. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 6. 对于命题：①周长相等的等腰三角形全等；②周长相等的等边三角形全等；③周长相等的直角三角形全等；④周长相等的等腰直角三角形全等．真命题的是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形与等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理的应用，真假命题的判断，根据全等三角形的判定逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①周长相等的等腰三角形不一定全等，故①是假命题； ②周长相等的等边三角形全等，根据，可判断是真命题； ③周长相等的直角三角形不一定全等，是假命题； ④周长相等的等腰直角三角形全等，是真命题； 真命题的是②④ 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 8. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．按照计算方法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域问题，二次根式的被开方数大于等于 0 的性质，这是常考点，需重点掌握． 根据二次根式的被开方数大于等于 0 即可得． 【详解】解：由二次根式的性质得：， 解得：， 故答案为：． 11. 已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是_______．（只需写一个） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．根据正比例函数的性质可知，根据正比例函数不经过点得出，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数的值随着自变量的值增大而增大， ， 当正比例函数过点时，则， 故不经过点时，， 且， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：． 12. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：2360亿； 故答案为：． 13. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算． 【详解】解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是： ， 又∵第五组的频率是， ∴第六组的频率为， ∴第六组的频数为：． 故答案为：8． 14. 正八边形的中心角等于 _______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 15. 如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么_______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称得出，求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称， ∴， 化简得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么_______．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．先用、的线性组合表示，再表示即可． 【详解】解：在中， ，， 是边中点， ， 在中， ， 点是线段中点， ， 在中， ， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 如图，过作于，则，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到；过点作交的延长线于，同理得，根据勾股定理得到． 【详解】解：如图，过作于， 则， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ； 过点作交的延长线于， 同理得， ， ∴， 综上所述，的长为 5 或， 故答案为： 5 或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的混合运算法则． 根据绝对值的性质、二次根式分母有理化、立方根、零次幂运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 21. 如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合），，交与点，设的面积为． （1）求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是证明相似． （1）证明，得出，即，得出．依题，由，即可得． （2）根据点是的重心，得出．代入（1）中结论得出．根据，即，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 即， ． ， ， 依题， 由， ． 【小问2详解】 解：是的重心， ． ． 与同高， ，即． ． 22. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】（1）斜坡的坡比为； （2）的长米． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； 【小问2详解】 解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 23. 如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． （1）求证：； （2）连接、，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 四边形是等腰梯形 ． 又， ． ． 是中点， ， ， ， ； （2） 证明：连接，如图所示： ， ， 又是中点， ， 是中点， ， ， 是边中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰梯形的性质得到，进而由全等三角形的判定定理得到，进而得到，再由三角形中位线的判定与性质得到，等量代换得到，再由等角对等边即可得证； （2）由题意，等量代换得到，由中垂线的判定得到，从而由得到，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题中条件确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而得证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是四边形的综合，涉及等腰梯形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识．熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． （1）求直线的解析式以及点的坐标； （2）已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； 【小问2详解】 解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 25. 如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，是以为圆心，为半径的圆． （1）当直线与相切时，求的长； （2）当直线与相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作与的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）作，先在中求出、长度及的值， 利用切线性质设得出表达式． 在中根据正弦函数定义列方程求解； （2）① 利用矩形性质得到的长度，设，表示出，在中，依据勾股定理列方程求解；②由两圆相交性质得出，通过角度关系得到，分与两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：作于， 与相切 设， 在中 ，， ∴， ， ， 在中 ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形 ， 设，则， 在中，， ， ， ； ②若是以为腰的等腰三角形， 那么或， 设与相交于点， 与相交于， ， 又， ， 又， ， （i）当时， ， ，解得：， ， ， ． （ii）当时，作， ， ， ，即， ， 解得， 设，则，在中， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、矩形性质、等腰三角形性质、解直角三角形及勾股定理的应用．解题关键是利用相关性质构建边的关系，通过方程求解线段长度，并借助角度等量代换求角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业质量调研九年级数学 （满分150分，完成时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 2的相反数是（ ） A B. 2 C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 4. 如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 5. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0600 0.594 0625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 6. 对于命题：①周长相等的等腰三角形全等；②周长相等的等边三角形全等；③周长相等的直角三角形全等；④周长相等的等腰直角三角形全等．真命题的是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 计算______． 8. 分解因式：x2－9＝______． 9. 计算：_______． 10. 函数的定义域是______． 11. 已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是_______．（只需写一个） 12. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是_______． 13. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 14. 正八边形的中心角等于 _______度． 15. 如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么_______．（用含的代数式表示） 16. 如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么_______．（结果用含、的式子表示） 17. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 18. 如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合），，交与点，设的面积为． （1）求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 22. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 23. 如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． （1）求证：； （2）连接、，当时，求证：四边形是菱形． 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． （1）求直线的解析式以及点的坐标； （2）已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 25. 如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，是以为圆心，为半径的圆． （1）当直线与相切时，求的长； （2）当直线与相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作与的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $