培优专题 第五章 分式与分式方程01 运算与推理（知识盘点+8题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

培优专题 第五章 分式与分式方程 01 运算与推理 分式的概念 ·分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【特别注意】 分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义 代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，从而完成求解．根据分母不为0和被开方数为非负数列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 【核心笔记】 分式有意义的条件 ，B≠0 分式无意义的条件 ，B=0 分式值为0的条件 ，A=0，B≠0 若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式的概念及性质，根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 下列关于分式的判断正确的是（   ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．无论x为何值，分式的值不可能得整数 D．无论x为何值，分式的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件、因数和倍数的认识 【分析】本题考查分式的意义，因数，非负数，熟练掌握分式的分子、分母的取值对分式结果的影响是解题的关键． 根据当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零，因数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、当时，的分母为零，分式无意义，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当，，，时，的值是整数，故本选项不符合题意； D、， 无论为何值，的值总为正数，故本选项符合题意； 故选：D． 分式的基本性质 ·分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变 （M为不等于0的整式） ·最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）下列式子从左至右变形不正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D符合题意． 故选：D． 若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求使分式变形成立的条件 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 分式的约分与分式乘除 ·约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（可以分子、分母先因式分解再进行约分） ·最简分式：分子和分母没有公因式的分式 （24-25八年级上·陕西延安·期末）约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分的定义与方法，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．据此方法找到分子、分母的公因式，约分即可． 【详解】解：， 故选：B． （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）下列分式不是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，进而判断得出答案． 【详解】解：A．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意； B．，不是最简分式，故此选项符合题意； C．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意； D．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意； 故选：B． ·乘法运算：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 公式：，其中是整式，. ·除法运算：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 公式：，其中是整式，. 分式乘除的一般步骤： ①除法变乘法（除式的分子和分母颠倒位置后相乘）；②分式乘法（分子相乘，分母相乘）；③约分. 分式的通分与分式加减 通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 几个分式的最简公分母的步骤 ①取各分式的分母中系数最小公倍数； ②各分式的分母中所有字母或因式都要取到； ③相同字母（或因式）的幂取指数最大的； ④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母 分式加减运算 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （24-25八年级上·陕西渭南·期末）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式方程的解法，根据步骤先找到最简公分母，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验得到结果即可； 【详解】解：方程左右两边同乘 ， ， 解得： ，   检验：当 时， ， 原分式方程的解为 ． 分式的混合运算 ·分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 【特别提醒】 可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分. （24-25八年级上·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简和求值，利用平方差公式和完全平方公式、异分母分式进行分式的化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则和分母有理化是解决此题的关键． 根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 分式方程 ·分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ·分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 解方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘得，， 解得， 经验：当时，， ∴原分式方程的解为：． ·分式方程的解的情况 分式方程有解：须满足：①整式方程的解；②整式方程的解代入原分式方程中，分母不为0 分式方程无解：①整式方程无解；或②整式方程的解代入原分式方程中，分母为0（增根不是解） （23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 通分时忽略“负号”出错 问题：化简：． 【错误解答】 ， 【纠错解答】 ， 分式方程无解情况分析 【分式方程无解情况1】整式方程的解使原分母为0 案例：，化整式方程：x-2=1，解得x=3，∵3-3=0，所以原分式方程无解 【分式方程无解情况2】整式方程无解(适用于根据分式方程解的情况求参数） 案例：，化整式方程：2x-m(x-3)+x-3=-1，若该方程无解，可得①整式方程无解，m=3；②整式方程的解为x=3 分式的化简 例1.（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则及运算顺序是解题的关键；先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的，化简后代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 总结：①通分（注意符号，分子分母能因式分解先因式分解）；②除法变乘法；③约分 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把分式进行化简，然后把x的值代入计算，即可得到答案． 【详解】解： ． ， 原式． 【变式1-2】先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 要使原代数式有意义，则且且， ∴且且， ∴只能取， 当时，原式． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示．每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中第一个计算错误的同学是______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)乙； (2)，过程见解析； (3)当时，原式． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则． （）观察四人的计算过程即可作出判断； （）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （）使分式有意义的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可． 【详解】（1）解：乙同学去括号时，没有变性质符号， 故答案为：乙； （2）解：原式 ； （3）解：由于且， ∴且， ∴； 当时， 原式． 例2.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）若，那么 ． 【答案】3 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法 【分析】此题考查了异分母分式加法计算，二元一次方程组，根据异分母分式加法得到，由此得到方程组，求解即可，熟练掌握异分母分式加法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ∴ 解得， ∴， 故答案为3． 利用分式的基本性质判断分式的值 例3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则A不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则B不符合题意； 若整式A是将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的2倍，则C不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的4倍，则D符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，和都扩大为原来的 3 倍， 则， ∴分式的值扩大为原来的 3 倍． 故选：C． 【变式3-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果把 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的x、y分别用替换后约分化简即可得到答案． 【详解】解：把中的x和y都扩大为原来的3倍后变为， ∴变化后的分式扩大为原来的3倍， 故选：A． 【变式3-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的3倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】此题考查了分式变形的判断，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍为， ∵， ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选：C． 例4．已知 ，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，对已知等式变形再代入分式约分求值是解题的关键；由已知可得，再代入求值即可． 【详解】， ， ， 故答案为：． 解分式方程（重点） 例5．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 提醒 因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.. 【变式5-1】（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可； 【详解】解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为 【变式5-2】（2025·陕西榆林·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解是． 根据分式方程解的情况求值（难点） 例6．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西商洛·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）若关于的方程无解，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解、解分式方程.先解分式方程，再根据分式方程无解得出的值，从而即可得出的值.注意：分式方程无解是去分母后所得整式方程的无解或者这个整式方程的解使原分式方程的分母等于. 【详解】解：去分母得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根，即， 解得：， 把代入得， 解得， 故选：B. 【变式6-3】若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的两种情况，整式方程本身无解，分式方程产生增根是关键．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时分母为0，方程无解，即． 故选：B． 例7．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 【变式7】若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了根据分式方程有增根，先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有，得到，即增根只能为1，然后把代入整式方程即可得到m的值．求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键． 【详解】解： 方程两边乘得，， 去括号，移项，合并同类项得， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴解得． 故选：A． 例8．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 【变式8-1】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出的取值范围．此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 关于的方程的解为正数， ， 解得， 当时，， 解得：， 的取值范围是：且． 故选：B． 【变式8-2】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：A 【变式8-3】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，再由题意得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 故选：B． 【变式8-4】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：D． 分式值为整数时未知数的整数值 例9．若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】把分子写成6x-3+6，化为分子上不含有x的形式，再根据分式的值是整数讨论求解即可. 【详解】解：， ∵为奇数，分式的值为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴整数的值有：、0、1、2，共4个； 故选择：A. 【点睛】本题考查了分式的值，把分子转化为不含有字母x的形式是解题的关键． 【变式9】已知，则满足为整数的所有整数的和是(    )． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】将k变形为，据此可得或时k取得整数，解之求得x的值可得答案． 【详解】∵ ， ∴当或或或时，k为整数， 解得：或或或， 则满足k为整数的所有整数x的和为． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，分式的值，解题的关键是将k变形为，并根据k为整数得出关于x的方程． 代数推理——整体思想与倒数消元 例10．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 【变式10】阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． 例：已知，，求的值 分析：已知条件中是关于与、与的关系式，要求关于、的代数式的值，则需要消去 解：倒数消元法 由得： 由得： 整理得 则 (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知其中、、互不相等，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、倒数 【分析】本题考查了倒数的应用，分式的混合运算； （1）仿照示例，先表示出和b，再根据倒数的定义列式整理得到，然后两边同时除以可得答案； （2）首先求出，然后表示出，进一步计算即可； （3）根据已知可得，，，再由列式整理，得到，然后进行因式分解，根据，可知，问题得解． 【详解】（1）解：由得， 由得， ∴， 整理得：， 两边同时除以得：， 故答案为：； （2）由得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、互不相等， ∴， ∴， ∴． 代数推理——换元消元 例11．已知：．求的值． 【答案】，， 【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式的性质，将原方程进行变形． 通过取倒数将原方程变形为，再通过加减消元得到分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：， 取倒数为， ， 得：， 得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 将代入得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 同理，将代入得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，，，． 代数推理——新定义问题 例12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解 (2) 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的加减运算； 本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简， （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 【变式12】（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算、最简分式、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． ※【变式5-2】定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式除法、异分母分式加减法、分式化简求值 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1.若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式值不变，据此逐个判断即可． 【详解】解：当x，y的值均扩大为原来的2倍， A.变为，分式值不变，符合题意； B.变为，分式值改变，不符合题意； C.变为，分式值改变，不符合题意； D.变为，分式值改变，不符合题意； 故选：A． 2.（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、分子分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 3．若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 因为分式方程无解， 所以， 即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 把代入整式方程得：； 把代入整式方程得：，此时分式方程无解，不符合题意， 故选：B． 5.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分子为零，分式的分母不为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：． 7．方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算，即可解答．本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 【详解】解：∵， 去分母得：， 去括号得， 移项得， 解得：， 检验：当时，． ∴是原方程的根； 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 9．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若分式的值为4，把，的值均扩大为原来的3倍后，这个分式的值为 ． 【答案】12 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确理解分式的基本性质是解题的关键．把，的值均扩大为原来的3倍后，分式为，化简后得到，即得答案． 【详解】当分式中，的值均扩大为原来的3倍后， ， 即这个分式的值为12． 故答案为：12． 10.（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可． 【详解】解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为． 12．（24-25九年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知分式方程． (1)若分式方程无解，求b的值． (2)若分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)b的取值范围是且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先对分式方程求解，再根据分式方程无解得到即可得到答案； （2）根据题意得到，且，计算即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项，得． 系数化为1．得． 分式方程无解． ， ； （2）解：分式方程的解是非负数，且分式方程的分母不为0， ，且， 且， b的取值范围是且． 15.阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 第五章 分式与分式方程 01 运算与推理 分式的概念 ·分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【特别注意】 分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义 代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【核心笔记】 分式有意义的条件 ，B≠0 分式无意义的条件 ，B=0 分式值为0的条件 ，A=0，B≠0 若分式的值为0，则的值为 ． 下列关于分式的判断正确的是（   ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．无论x为何值，分式的值不可能得整数 D．无论x为何值，分式的值总为正数 分式的基本性质 ·分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变 （M为不等于0的整式） ·最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）下列式子从左至右变形不正确的是 （    ） A． B． C． D． 若，则的值为 ． 分式的约分与分式乘除 ·约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（可以分子、分母先因式分解再进行约分） ·最简分式：分子和分母没有公因式的分式 （24-25八年级上·陕西延安·期末）约分的结果是（   ） A． B． C． D． （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）下列分式不是最简分式的是（   ） A． B． C． D． ·乘法运算：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 公式：，其中是整式，. ·除法运算：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 公式：，其中是整式，. 分式乘除的一般步骤： ①除法变乘法（除式的分子和分母颠倒位置后相乘）；②分式乘法（分子相乘，分母相乘）；③约分. 分式的通分与分式加减 通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 几个分式的最简公分母的步骤 ①取各分式的分母中系数最小公倍数； ②各分式的分母中所有字母或因式都要取到； ③相同字母（或因式）的幂取指数最大的； ④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母 分式加减运算 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （24-25八年级上·陕西渭南·期末）解分式方程：． 分式的混合运算 ·分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 【特别提醒】 可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分. （24-25八年级上·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中，． 先化简，再求值：，其中． 分式方程 ·分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ·分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 解方程： ·分式方程的解的情况 分式方程有解：须满足：①整式方程的解；②整式方程的解代入原分式方程中，分母不为0 分式方程无解：①整式方程无解；或②整式方程的解代入原分式方程中，分母为0（增根不是解） （23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 通分时忽略“负号”出错 问题：化简：． 【错误解答】 ， 【纠错解答】 ， 分式方程无解情况分析 【分式方程无解情况1】整式方程的解使原分母为0 案例：，化整式方程：x-2=1，解得x=3，∵3-3=0，所以原分式方程无解 【分式方程无解情况2】整式方程无解(适用于根据分式方程解的情况求参数） 案例：，化整式方程：2x-m(x-3)+x-3=-1，若该方程无解，可得①整式方程无解，m=3；②整式方程的解为x=3 分式的化简 例1.（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中． 总结：①通分（注意符号，分子分母能因式分解先因式分解）；②除法变乘法；③约分 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中满足． 【变式1-2】先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示．每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中第一个计算错误的同学是______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 例2.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）若，那么 ． 利用分式的基本性质判断分式的值 例3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【变式3-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果把 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【变式3-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的3倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 例4．已知 ，则的值为 ． 解分式方程（重点） 例5．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程：． 提醒 因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.. 【变式5-1】（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程： 【变式5-2】（2025·陕西榆林·一模）解方程：． 根据分式方程解的情况求值（难点） 例6．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西商洛·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C．6 D．3 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）若关于的方程无解，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-3】若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（    ） A． B． C． D． 例7．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【变式7】若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 例8．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式8-1】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【变式8-2】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 【变式8-3】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式8-4】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 分式值为整数时未知数的整数值 例9．若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【变式9】已知，则满足为整数的所有整数的和是(    )． A． B．0 C．1 D．2 代数推理——整体思想与倒数消元 例10．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【变式10】阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． 例：已知，，求的值 分析：已知条件中是关于与、与的关系式，要求关于、的代数式的值，则需要消去 解：倒数消元法 由得： 由得： 整理得 则 (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知其中、、互不相等，求的值． 代数推理——换元消元 例11．已知：．求的值． 代数推理——新定义问题 例12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【变式12】（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ ※【变式5-2】定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 1.若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 5.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 7．方程的解为 ． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 9．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若分式的值为4，把，的值均扩大为原来的3倍后，这个分式的值为 ． 10.（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 11．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）解分式方程： 12．（24-25九年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 14．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知分式方程． (1)若分式方程无解，求b的值． (2)若分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 15.阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$