10.5 分式的方程（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

10.5 分式的方程 题型一 分式方程的辨析 1．下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A．是一元一次方程，不合题意； B．是分式方程，符合题意； C．是二元一次方程，不合题意； D．是代数式，不合题意． 故本题选：B． 2．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A．方程的分母中不含未知数，则A不合题意； B．方程的分母中不含未知数，则B不合题意； C．方程不是有理方程，则C不合题意； D．方程符合分式方程的定义，则D符合题意． 故本题选：D． 3．下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①5，③x﹣1，④属于整式方程； ②的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程． 故本题选：A． 题型二 解分式方程 1．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 【详解】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x． 故本题选：B． 2．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}的解为（　　） A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．无解 【详解】解：①当x＞0时，有， ∴min{，}， 即，解得：x＝﹣1（不合题意，舍去）； ②当x＜0时，有， ∴min{，}， 即，解得：x＝2（不合题意舍去）； 综上，方程min{，}无解． 故本题选：D． 3．解方程：． 【详解】解：原方程去分母得：（2x﹣3）（2x+3）＝（4x﹣1）（x﹣1）， 整理得：4x2﹣9＝4x2﹣5x+1，解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 4．解方程：． 【详解】解：原方程去分母得：2x2﹣（x+1）＝2x（x﹣1），解得：x＝1， 经检验：x＝1是增根， ∴原方程无解． 5．解方程． （1）． （2）2． 【详解】解：（1）去分母得：5（2x+1）＝x﹣1， 去括号得：10x+5＝x﹣1， 移项，合并同类项得：9x＝﹣6， 系数化为1得：x， 检验：把x代入（x﹣1）（2x+1）≠0， ∴x是原方程的解； （2）去分母得：1+2（x﹣2）＝x﹣1， 去括号得：1+2x﹣4＝x﹣1， 移项，合并同类项得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣2＝0， ∴此方程无解． 题型三 根据分式方程的解求参 1．若x＝4是分式方程的根，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】解：将x＝4代入分式方程可得：1，解得：a＝6． 故本题选：D． 2．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞3且m≠6 D．m≥3且m≠6 【详解】解：方程两边都乘x﹣3得：2x﹣m＝x﹣3，解得：x＝m﹣3， ∴m﹣3≥0且m﹣3﹣3≠0，解得：m≥3且m≠6． 故本题选：D． 3．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为　　． 【详解】解：关于x的分式方程的解为x＝m+2， ∵分式方程的解为负数， ∴m+2＜0且m+2≠﹣1， ∴m＜﹣2且m≠﹣3． 故本题答案为：m＜﹣2且m≠﹣3． 4．关于x的方程无解，则m＝　　． 【详解】解：∵， ∴m﹣3﹣x＝x﹣2，解得：， ∵方程无解， ∴x＝2， 把x＝2代入中得：，解得：m＝5． 故本题答案为：5． 5．关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是　　． 【详解】解：解分式方程得：x（a≠﹣2）， 解不等式得：x＞﹣7， ∵关于x的分式方程的解满足不等式， ∴7，解得：a＜22， ∴a的取值范围是a＜22且a≠﹣2． 故本题答案为：a＜22且a≠﹣2． 6．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【详解】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5，解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解得：x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 题型四 分式方程的增根 1．已知关于x的方程m有增根，则增根x＝　　． 【详解】解：m， m， ∵方程有增根， ∴3（x﹣2）＝0， ∴x＝2， ∴增根x＝2． 故本题答案为：2． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为　　． 【详解】解：方程两边乘以x﹣3得：2x+1＝5（x﹣3）+m； 当x﹣3＝0时，x＝3，即方程的增根为3， 把x＝3代入2x+1＝5（x﹣3）+m中得：2×3+1＝5×（3﹣3）+m， ∴m＝7． 故本题答案为：7． 3．若有增根，则这个方程的增根是　　． 【详解】解：， 方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得：﹣3（x+1）+2m（x﹣1）＝8， 整理得：（2m﹣3）x＝2m+11， ∵有增根， ∴x＝1或x＝﹣1， 把x＝1代入（2m﹣3）x＝2m+11得：2m﹣3＝2m+11，此方程无解； 把x＝﹣1代入（2m﹣3）x＝2m+11得：﹣2m+3＝2m+11，解得：m＝﹣2， ∴这个方程的增根为x＝﹣1． 故本题答案为：x＝﹣1． 4．已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程的解为x＝1； （2）当k取何值时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 【详解】解：（1）， ， k﹣2（x﹣2）＝2x， k﹣2x+4＝2x， 4x＝k+4， ， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∵方程的解为x＝1， ∴，解得：k＝0， ∴当k＝0时，此方程的解为x＝1； （2）∵方程会产生增根， ∴x＝2， ∴，解得：k＝4， ∴当k＝4时，此方程会产生增根； （3）∵方程的解是正数， ∴且，解得：k＞﹣4且k≠4． ∴当此方程的解是正数时，k的取值范围是k＞﹣4且k≠4． 5．已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 【详解】解：（1）， 4（x﹣1）+3（x+1）＝k，解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x2﹣1＝0， ∴x＝±1， 当x＝1时，1，解得：k＝6， 当x＝﹣1时，1，解得：k＝﹣8， ∴k的值为6或﹣8； （2）∵方程的解为负数， ∴x＜0且x≠±1， ∴0且±1， ∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8， ∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8． 题型五 换元法解方式方程 1．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A．2y2﹣3y+1＝0 B．2y2+3y+1＝0 C．y2﹣3y+2＝0 D．y2+3y+2＝0 【详解】解：设， 可化为2y3， ∴2y2+1＝3y， ∴2y2﹣3y+1＝0． 故本题选：A． 2．用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于m、n的整式方程组为　　． 【详解】解：将代入方程组得：． 故本题答案为：． 题型六 由实际问题抽象出分式方程 1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意为：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．问能买多少株椽？设能买x株椽，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：3（x﹣1）． 故本题选：C． 2．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【详解】解：由题意可得：． 故本题选：C． 3．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：，即． 故本题选：D． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：． 故本题选：D． 题型七 用分式方程解决实际问题 1．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产　　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【详解】解：（1）由题意可得：更新设备后每天生产产品为：x（1+25%）＝1.25x（件）， 故本题答案为：1.25x； （2）由题意可得：1，解得：x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∴1.25x＝125， 答：更新设备后每天生产125件产品． 2．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量：80kW•h 油价：8元/L 电价：0.6元/kW•h 续航里程：akm 续航里程：akm 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：a＝640， 经检验，a＝640是分式方程的解，且符合题意， ， 答：燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元； （2）设每年行驶的里程为m千米， 由题意可得：0.625m+4000＞0.075m+7300，解得：m＞6000， 答：当每年的行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 3．为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【详解】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 由题意可得：，解得：x＝300， 经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝300+150＝450， 答：A种垃圾桶每组的单价是300元，B种垃圾桶每组的单价是450元； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组， 由题意可得：300（20﹣y）+450y≤8000，解得：y， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13， 答：最多可以购买B种垃圾桶13组． 4．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 【详解】解：（1）由题意可知：每支中性笔为（x+1.2）元， 由题意可得：，解得：x＝1.6， 经检验，x＝1.6是原方程的解， 此时，圆珠笔的数量为12÷1.6＝7.5（支）， ∵圆珠笔的数量为整数， ∴x＝1.6不合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）由题意可知：每支中性笔为（x+m）元， 由题意可得：，解得：x， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数， ∴整数m＝3， ∴x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 答：整数m的值为3． 5．两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为p m/min，后一半路程速度为q m/min； ②返回速度始终保持为 m/min．其中p≠q，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快？ 【详解】解：（1）设第二组的攀登速度为x m/min，则第一组的攀登速度为1.2x m/min， 由题意可得：15，解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意， 答：第二组的攀登速度为5m/min； （2）方案①的平均速度为：， ， ∵p≠q，且p，q均为正数， ∴（p﹣q）2＞0，2（p+q）＞0， ∴0， ∴， ∴方案②平均速度更快． 1．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为x≤a， ∴a≤5， 原分式方程可化为：1，解得：y， ∵分式方程的解为正整数， ∴，解得：a＞﹣3，a≠1， ∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1， ∵分式方程的解为正整数， ∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8，解得：a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5， ∵a≠1， ∴所有满足条件的整数a的和为：7． 故本题选：C． 2．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　　． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴14，解得：1≤a＜7， ∴整数a为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得y， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且1， ∴整数a为：1，5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+5＝6． 故本题答案为：6． 3．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是　　． 【详解】解：不等式（x﹣4）3的解集为x≥5， 关于x的不等式0的解集为x≤a， ∵关于x的不等式组无解， ∴a＜5，且a为整数， 将关于x的分式方程两边都乘以x﹣1得：ax﹣5＝2x﹣2，解得：x， ∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数， ∴a﹣2＝±3或a﹣2＝±1，解得：a＝5或a＝﹣1或a＝3或a＝1， ∵分式方程的增根是x＝1， 当x＝1时，即a﹣5＝2﹣2，解得：a＝5， ∴a≠5， 综上，a＝3或a＝1或a＝﹣1， ∴所有满足条件的a的值的积是3×1×（﹣1）＝﹣3． 故本题答案为：﹣3． 4．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【详解】解：（1）方程6﹣4（1﹣x）＝2x与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程6﹣4（1﹣x）＝2x得：x＝﹣1， 解方程得：x＝﹣1， 检验：x＝﹣1是该分式方程的解， ∴两个方程是“相似方程”； （2）由条件可知：mx+6＝x+4m， ， ∵x，y，m均为整数， ∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2， ∴m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3， 又∵m为正整数， ∴m＝2或m＝3． 5．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解， ∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x， 经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【详解】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； （2）将代入方程，则原方程可化为； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解， 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 6．对于形如xn（m、n为常数）的分式方程，若m＝ab，n＝a+b，容易验证x1＝a，x2＝b是分式方程xn的解． 例如：x3可化为x1+2，所以x1＝1，x2＝2是方程x3的解；又如x5可化为x（﹣2）+（﹣3），所以x1＝﹣2，x2＝﹣3是方程x5的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程x6的两个解分别为x1＝　　，x2＝　　（x1＜x2）； 【类比引申】 （2）若x1＝a，x2＝b分别是方程x2的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于x的方程x2k+5的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为x1＝2，x2＝4， 故本题答案为：2，4； （2）∵x1＝a，x2＝b分别是方程的两个解， ∴a+b＝2，ab＝﹣1， ∴； （3）由题意可得：可化为， 设y＝x﹣2，方程可化为，易知k和k+3是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴k＜k+3， ∴必有x1﹣2＝k，x2﹣2＝k+3， ∴x1＝k+2，x2＝k+5， ∴． 7．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则m＝　　；如果，则m＝　　； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【详解】解：（1）∵， 又， ∴m＝1； ∵， 又， ∴m＝﹣4； 故本题答案为：1；﹣4； （2）∵， ∴m＝ac+b； （3）， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴x＝0或﹣2或2或﹣4． 8．如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2、b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于x的分式方程的“关联数对”的有　　（填序号）； ①[1，1] ②[3，﹣5] ③[﹣2，4] （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【详解】解：（1）①若a＝1，b＝1，分式方程1＝1的解为无解， 不符合“关联数对”的定义，故不正确，不合题意； ②若a＝3，b＝﹣5，分式方程1＝﹣5的解为x， ，符合“关联数对”的定义，故正确，符合题意； ③若a＝﹣2，b＝4，分式方程的解为， 不符合“关联数对”的定义，故不正确，不合题意； 故本题答案为：②； （2）∵数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴1＝8﹣n， 整理得：8n+1＝8﹣n，解得：； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是分式方程的解， ∴1＝k， 整理得：m（m﹣k）+1＝k，解得：k， 将方程整理为k（m+1）x﹣m（m+1）+m+1＝﹣2mx，解得：x1， ∵方程有整数解， ∴m+1＝±1，±2， ∴m＝0或﹣2或1或﹣3， 又∵m≠0，k≠1， ∴m+1≠m2+1， ∴m≠1， ∴m＝﹣2或﹣3． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5 分式的方程 题型一 分式方程的辨析 1．下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 解分式方程 1．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 2．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}的解为（　　） A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．无解 3．解方程：． 4．解方程：． 5．解方程． （1）． （2）2． 题型三 根据分式方程的解求参 1．若x＝4是分式方程的根，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞3且m≠6 D．m≥3且m≠6 3．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为　　． 4．关于x的方程无解，则m＝　　． 5．关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是　　． 6．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 题型四 分式方程的增根 1．已知关于x的方程m有增根，则增根x＝　　． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为　　． 3．若有增根，则这个方程的增根是　　． 4．已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程的解为x＝1； （2）当k取何值时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 5．已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 题型五 换元法解方式方程 1．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A．2y2﹣3y+1＝0 B．2y2+3y+1＝0 C．y2﹣3y+2＝0 D．y2+3y+2＝0 2．用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于m、n的整式方程组为　　． 题型六 由实际问题抽象出分式方程 1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意为：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．问能买多少株椽？设能买x株椽，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 3．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型七 用分式方程解决实际问题 1．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产　　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 2．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量：80kW•h 油价：8元/L 电价：0.6元/kW•h 续航里程：akm 续航里程：akm 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 3．为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 4．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 5．两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为p m/min，后一半路程速度为q m/min； ②返回速度始终保持为 m/min．其中p≠q，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快？ 1．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 2．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　　． 3．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是　　． 4．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 5．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解， ∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x， 经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 6．对于形如xn（m、n为常数）的分式方程，若m＝ab，n＝a+b，容易验证x1＝a，x2＝b是分式方程xn的解． 例如：x3可化为x1+2，所以x1＝1，x2＝2是方程x3的解；又如x5可化为x（﹣2）+（﹣3），所以x1＝﹣2，x2＝﹣3是方程x5的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程x6的两个解分别为x1＝　　，x2＝　　（x1＜x2）； 【类比引申】 （2）若x1＝a，x2＝b分别是方程x2的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于x的方程x2k+5的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 7．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则m＝　　；如果，则m＝　　； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 8．如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2、b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于x的分式方程的“关联数对”的有　　（填序号）； ①[1，1] ②[3，﹣5] ③[﹣2，4] （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$