专题11 导数与原函数混合构造函数问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题11 导数与原函数混合构造函数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 乘法型构造】 2 【题型二 除法型构造】 3 【题型三 含指数高次幂型和对数构造】 3 【题型四 含三角型构造】 4 【压轴能力测评（11题）】 5 一、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2） 【题型一 乘法型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型二 除法型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是 ． 【题型三 含指数高次幂型和对数构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型四 含三角型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知定义在上的严格单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 9．（2025高二·全国·专题练习）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ． 10．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 11．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数定义域为为的导函数，且对任意的恒成立，，则不等式的解集为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 导数与原函数混合构造函数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 乘法型构造】 2 【题型二 除法型构造】 5 【题型三 含指数高次幂型和对数构造】 8 【题型四 含三角型构造】 10 【压轴能力测评（11题）】 13 一、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2） 【题型一 乘法型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】因为，所以， 令，则，所以在上单调递减， 不等式， 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，即成立； 综上可得不等式的解集是. 故选：C 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以不等式可变为，即， 所以，即，所以不等式的解集为． 故选：D． 5．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 【题型二 除法型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2．（2026高二·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式，构造函数，求导确定单调性，结合奇偶性确定函数的性质，从而转化不等式为即可得解集. 【详解】设，则， 因为对任意实数，都有， 所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数，所以，则， 所以， 则不等式转化为，即， 所以，故不等式的解集是． 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判定其单调性计算即可. 【详解】根据题意可令， 所以在上单调递增，则原不等式等价于， 由，解之得． 故选：B． 4．（24-25高二下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 【详解】设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为，. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，即可将问题转化为与有关问题，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】令，则， 由当时，，即， 故当时，，即在上单调递增， ，故为奇函数， 故在上也单调递增， 由，则，， 不等式可化为， 即当时，，当时，， 即当时，，当时，， 结合单调性，即有或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，再结合函数单调性于奇偶性计算即可得解. 【题型三 含指数高次幂型和对数构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误. 【详解】令，则，即在R上单调递减， 所以，则，，，， 由，则， 所以，，，. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集. 【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减， 因为，所以当时，，当时，. 因为当时，，当时，，所以当时，. 又，，所以当时，； 又为奇函数，所以当时，， 所以不等式可化为或，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，所以构造函数，求导后可得，可得在上单调递增，然后对变形得，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由，得， 设，则. 在上单调递增. 又为奇函数， . . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件合理构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 4．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合四则运算的求导法则，构造单调函数，再利用所给的奇函数得到，最后由不等式得到的两个函数值的大小，最后结合单调性解函数不等式即可. 【详解】因为对任意都有，即， 令，则， 即在上单调递增， 又因为为奇函数， 所以，则， 而不等式等价于， 即，又因为在上单调递增，所以. 故选： 【题型四 含三角型构造】 一、单选题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可. 【详解】因为，所以，. 由，得， 则，即， 设，则， 可得，则在定义域上单调递减， 对于A，可得，则， 得到，即，故A错误， 对于B，可得，则， 得到，即，故B错误， 对于C，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故C正确， 对于D，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故D错误. 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 3．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递增， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知定义在上的严格单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，构造，，求导得到其单调性，结合函数定义域，解不等式，求出答案. 【详解】严格单调递增，故，， 令，，则， 所以在上单调递减， 由定义域可知，， 则， 即，故，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意构造函数，由条件分别判断该函数的单调性和奇偶性，将待求不等式转化成，利用函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】设，则， 因为当时，，则，即在上为增函数， 又函数是定义在上的偶函数，则， 即函数是定义在上的偶函数，故函数在上是减函数. 由可得， 故有，解得或. 故答案为：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案. 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导确定单调性，即可求解. 【详解】构造函数，R， 则，所以函数为R上的减函数， 则，即，所以，A错误，B正确； 因为，所以，即， 所以，C错误， 因为，可得：， 所以，D错误． 故选：B. 5．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性判断各个选项即可. 【详解】设，，则， 因为，所以， 得到，则函数在区间上单调递增， 所以，即，则，故B错误， 而，，得到，故C错误，D正确， 而依据已知条件无法确定A，故A错误. 故选：D. 6．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导确定在R上单调递减，不等式等价于，即，运算得解. 【详解】令，则， ，，即在R上单调递减， 又，则不等式等价于， ，即， ，解得. 所以不等式的解集为. 故选：C. 7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数， 所以， 易知当时，，所以函数在上单调递减． 因为，则， 由，则， 且， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即， 故选：C． 二、填空题 8．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，依次求出函数的单调性、奇偶性以及即可求解. 【详解】令，则函数定义域为， 且对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为函数是偶函数，所以， 所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，所以， 所以当时，不等式即， 即，所以， 当时，不等式即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 9．（2025高二·全国·专题练习）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性，结合已知条件求解不等式. 【详解】由得：． 令， 则， 所以函数在上单调递增. 又因为，为奇函数， 所以，， 则由可得：，即，解得： 故答案为：． 10．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，利用奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】令，所以当时， ， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上单调递减，故在上单调递减且 ， 不等式可化为，即，即 ，故 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数定义域为为的导函数，且对任意的恒成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造，根据已知及导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式，即可得答案. 【详解】令，则，而对任意的恒成立， 所以在上恒成立，故在R上单调递减， 又，则，即， 所以不等式解集为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$