第20讲 圆的压轴题（2个考点14个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

第20讲圆的压轴题 （思维导图+2考点+14种题型） 考点一、圆的知识与其它知识的综合问题 题型01、圆的常规证明问题 题型02、与圆的切线有关的综合问题 题型03、圆与三角形的综合问题 题型04、圆与四边形的综合问题 题型05、二次函数与圆的综合问题 题型06、与圆有关的作图问题 题型07、圆的实际应用问题 考点二、圆的常考类型题 题型01、圆的图形变换问题 题型02、平面直角坐标系中的圆的综合问题 题型03、动圆问题 题型04、多个圆的综合问题 题型05、圆的最值问题 题型06、隐圆问题 题型07、自定义背景下的圆的综合问题 考点一、圆的知识与其它知识的综合问题 题型01、圆的常规证明问题 1．（2025·浙江舟山·一模）如图1，内接于，其中．点E在射线上，且满足，交于点H，交于点P． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，连结，交于点K，若H为中点，求证：； (3)如图3，若线段过圆心O，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形性质，以及全等三角形性质推出，进而推出，再结合平行线性质进行等量代换，即可证明为等腰三角形； （2）连接，利用等腰三角形性质，平行线性质，以及圆周角定理，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； （3）作于点，连接，利用等腰三角形性质得到过圆心，再结合全等三角形性质和圆周角定理推出，进而得到，设，则，利用勾股定理得到，推出，，再利用勾股定理得到，结合全等三角形性质，证明，最后利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 即为等腰三角形； （2）证明：连接， ， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作于点，连接， ， ， 过圆心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 由， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质，平行线性质和判定，圆周角定理，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定． 2．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，，为弧上一动点，过点作交直线于点．设与圆相交于点，连结，若，． (1)求的正切值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，连接，延长交于点T，连接，过点O作于J．证明，可得，证明，推出，推出，假设，可得，根据，可得，利用勾股定理求出，再根据，利用正切的定义即可求解； （2）如图，连接交于点T．证明，由（1）知，，求出，的半径为；证明，求出，，证明，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点T，连接，过点O作于J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ，的半径为； ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图①，为 的直径，弦交于点 ( 在线段上），且． (1)若，用含有的代数式表示 ． (2)如图②，点在弧上，且 ，连结交于点 ，求证： ． (3)在（2）的条件下， ①若 ，求的长； ② 若，用含有的代数式表示． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）如图①，连结，，由圆周角定理得到，根据，得，根据三角形外角的性质得到，由 即可求解； （2）如图，连结 ，延长交于，由（1）可知， ，则 ，所以，则，由垂径定理即可求解； （3）①连结，，可证，则 ，即，由即可求解；②由（2）可得，，则 ，设，则，设，由面积法可求得 ，则，，在等腰中，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，连结，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，连结 ，延长交于， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：①∵， ∴， 连结，， ， ∴， ，即， ． ②由（2）可得，，， ∴，即是角平分线， ∴，且， ∴ ， ， 已知， 设，则， 设，由面积法可求得 ，则， ， 在等腰中，． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法是关键． 4．（2025·河北廊坊·一模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，___________．（填“>”“=”或“<”） (2)若，求的长． (3)嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法． (4)如图2，，交于点，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等腰三角形性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，根据题意，由圆周角定理求出，再由弧长公式代值求解即可得到答案； （3）连接，如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得证； （4）由两个三角形相似的判定定理得到，得到相似比；再由得到，联立代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示： 当所在的直线垂直于时，即， 由垂径定理可知， 是线段的垂直平分线，则， 由等腰三角形三线合一性质可知，平分， ∴； 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： ，， 由圆周角定理可得， ， 的长为； （3）解：当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值， 证明如下： 连接，如图所示： 由圆周角定理知， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 则， ，即当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值； （4）解：连接，如图所示： 由圆周角定理可得， ，， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，解得． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、中垂线的判定与性质、等腰三角形的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握圆的基本性质、圆综合题型的解法是解决问题的关键． 题型02、与圆的切线有关的综合问题 5．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①7；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：①在中，，，，如图2， 连结， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连结， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． (1)求证：； (2)如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； (3)如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)和的周长之比为． 【分析】（）利用等腰三角形的性质可得，，则，从而求证； （）连接，，根据垂径定理推论得出，再由圆周角定理得，即，证明，故，然后由为线段的中点，，所以，最后代入求出半径即可； （）设，，则，，由（）得：，，则，即，故，再证明，，根据相似三角形的性质得出，即，故，从而有∴，，由勾股定理得，然后证明，根据性质得出，即，求出，最后代入即可求解； 本题考查了垂径定理推论，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵点为弧的中点， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为线段的中点，， ∴， ∴， 设，，则，， 由（）得：，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：， 经检验：是方程的解， ∴， 由（）得：， ∴和的周长之比为． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1， 中，，，以为直径的交于点，是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点作的平行线交于点． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到，，再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； ②过点作于，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，，连结， 证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接、、， 是圆的直径， . 是斜边的中点， . ， 而， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：①连结， ，， ， 而，解得. ， ， 由（1）可知， ， ， . 又， ， ． ②过点作于，连结，， ， ， 在中，， ，， ， ， ，， . . 连结， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）先代入计算得到，再利用圆内接四边形的性质即可求解； （2）利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，证得，再证明，据此即可证明； （3）取的中点Q，连接，利用直角三角形斜边中线的性质证明，再推出，结合（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型03、圆与三角形的综合问题 9．（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 【答案】(1)若选择①，；若选择②， (2) (3)见详解 【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解； （3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：当选择①时， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴是直径， ∵， ∴， ∴点M是圆心，且四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴都为等边三角形， ∴， ∴； 若选择②， ∵，平分， ∴，， 由可设，则有， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记． (1)用含有的代数式表示． (2)若，当时，求的值． (3)如图，若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）由圆周角定理得，即得，即可求解； （）过点作于点，设，则，利用三角形面积可得，即得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得，再证明即可求解； （）设，则，由得，进而证明即可求证． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ∴； （2）解：如图，过点作于点，则， 设，则， ， ， ∴， ， ∴， 又， ， ， ， ， ∴，， ∴， ∵， ， 又， ∴， ； （3）证明：设，则， ∵， ， ∵，， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（2025·浙江·模拟预测）在中，直径与弦相交于点，连结． (1)如图1，求证：为等腰三角形． (2)如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值． (3)在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）设，则，先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先解直角三角形可得，再根据弧与圆周角的关系可得，从而可得，则，然后根据正切的定义求解即可得； （3）过点作于点，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，根据三角形的中位线定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：设，则， 由圆周角定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴（圆周角定理），， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵是的直径， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）证明：如图，过点作于点， 由（1）已证：， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵为的中点， ∴垂直平分，， ∴点是的中点，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，． (1)求证：是的切线． (2)求证：为等腰三角形． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题重点考查等膘三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，即可证明是的切线； （2）延长交于点，由是的直径，得，可证明，则，所以垂直平分，则，所以为等腰三角形； （3）作于点，可证明四边形和四边形都是矩形，则，所以，而，由勾股定理得，则，，求得，，所以． 【详解】（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：延长交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， 为等腰三角形． （3）解：作于点，则， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 的长为． 13．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，． (1)如图1，若，连结， ①求的度数； ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值． (3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)①；②是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得； ②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得； （3）连接，先根据圆周角定理可得是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得，然后设，则，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①在矩形中，， 四边形是正方形，， ， 由圆周角定理得：． ②是等腰直角三角形．理由如下： 由圆周角定理得：，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是过三点的圆的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴ ，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是图中圆的直径， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 由（2）已得：，即， ∴， 又∵是图中圆的直径，是图中圆的弦， ∴垂直平分， ∴， ∵（是常数）， ∴设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 14．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图1，在等腰中，为的中点，为边上一点，连接，过点作于点经过点，交射线于点，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2，若． ①求的长； ②记交于点，求的值； (3)当时（点不重合），求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，根据直角所对的弦是直径得出是的直径，进而可得，结合，即可得证； （2）①根据已知条件得出，进而得出是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； ②由得，进而求得，由（1）可得，求得，进而求得的长，根据，即可求解； （3）连接，，证明得出，设，则，，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴是的直径， ∴， ∴ 又∵， ∴； （2）解：①∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵在等腰中，为的中点， ∴， ∵， ∴，即 ∴是的直径， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，则， ∴ 由（1）可得 ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接，， ∵点是等腰斜边上的中点， ∴， ∵ ∴ 又是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理的应用，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型04、圆与四边形的综合问题 15．（2025·浙江宁波·一模）如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点作 于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点，连接． ①若 ，，求的长． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由圆周角定理可知，再结合直径所对圆周角为直角可知，，根据即可求解； （2）由，得，进而证明，即可证得结论； （3）①连接，作 于点，先证，进而得证， 根据四边形为矩形，可知，，设，，由勾股定理可知，，列出方程即可求解； ②连接，先证，根据，，得，由，得，由，易知，可证得，得，进而可知，得，即可求解． 【详解】（1）解：为直径， ， ， ， 于点，则， ； （2）证明：， ， ，， ， ； （3）①连接，作 于点， ，， ， ， ， ， 为直径， ， ， 四边形为矩形， ，，设，， ，， ， 解得: ，（舍） 的长为； ②连接， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． (1)求的半径和的长． (2)求证：． (3)线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 【答案】(1)的半径为， (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判断与性质、等腰三角形的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由勾股定理可得，再结合圆的定义可求得圆的半径；如图：作于点H，则、、，再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）如图，过O作于点I，先说明、，易得，运用相似三角形的性质可得，然后运用线段的和差即可证明结论； （3）如图：过点G作于点N．再说明，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，                                                               ∴的半径为． 如图：作于点H， ∴，，， ∴． ∴． （2）解：如图，过O作于点I， ∴，， 由可得，即，解得， ∴，即． （3）解：如图：过点G作于点N． 由（2）可得， ∴，即是等腰直角三角形， ∵是直径， ∴， ∴． 点P由以下两种可能： ①当时，是等腰直角三角形． ∴EP＝FP＝1． ②当时， ∵ ∴，即，解得． 17．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的三个顶点A，B，D在上． (1)①如图1，求证：圆心O在直线上； ②如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，延长交于点E，若，求的度数． (3)如图3，延长交于点E，过点D作于点F，若的面积为a，的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①如图1，连接，，过作于，于，由垂径定理得到，，由菱形的性质推出，平分，得到，判定，得到，即可证明点在直线上； ②如图1，连接，由平行线的性质推出，求出，求出，由等腰三角形额性质得到，求出，即可证明是的切线； （2）如图2，由平行线的性质推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，，即可求出的度数，于是得到； （3）如图3，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，判定，得到△的面积△的面积，由圆周角定理得到，因此，判定，得到△的面积△的面积，又，求出△的面积，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）证明：①如图1，连接，，过作于，于， ，， 四边形是菱形， ，平分， ， ，， ， ， 平分， 平分， 点在直线上； ②如图1，连接， 四边形是菱形， ， ， ， 由①知：， ， ， ， 半径， 是的切线； （2）如图2， ， ， 四边形是菱形， ∥，， ， ， ， ， ， 的度数， 的度数， ； （3）如图3，过作于，于， 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， △的面积△的面积， ， ， ， ， ， △的面积△的面积， ， 四边形的面积， △的面积四边形的面积△的面积， 菱形的面积． 【点睛】本题考查圆的综合题，关键是熟练掌握角平分线的性质，菱形的性质，切线的判定方法，全等三角形的判定和性质，圆的有关性质． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）如图1中，连接．求出即可解决问题． （2）如图1中，连接．首先证明，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． （3）如图3中，连接．证明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长； （2）证明：如图1中，连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图3中，连接． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧长公式，全等三角形的判定和性质三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 19．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连接并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含α的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得；根据为直径得；结合即可求解； （2）连接，可推出；结合，可得；证即可求解； （3）设，则，则，可推出，；设，可推出，即，；根据得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（1）得：， 设，则，则， ∵， ∴； ∴； 设， ∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与几何综合问题，涉及了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． 20．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）如图，扇形的半径为1，圆心角是．点是上一动点，于点，于点，点分别是线段的中点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)探索当的长为何值时，四边形是矩形； (3)连接，试说明是定值． 【答案】(1)见解析 (2)当的长为时，四边形是矩形 (3)见解析 【分析】（1）连接，首先证明四边形是矩形，易得，进而证明四边形为平行四边形，可得，然后根据三角形中位线的性质可得，易得，即可证明四边形是平行四边形； （2）结合（1）可知，当时，是矩形，证明，易得，设，，可得，在中由勾股定理可得，进而解得，即可获得答案； （3）连接交于，过点作的平行线分别交于点，证明，易得，进而可得，，可知，在中，由勾股定理可得，即，结合，可得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）由（1），四边形是平行四边形， 当时，是矩形，如下图， 此时， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 得， 又∵， 即， ∴， 解得， 当的长为时，四边形是矩形； （3）如下图，连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 过点作的平行线分别交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 又∵， ∴， ∴， 即是定值． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型05、二次函数与圆的综合问题 21．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，    由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，   ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 22．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． (3)设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 【答案】(1) (2)直线经过圆心P，详见解析 (3) 【分析】（1）将代入解析式，令根据根与系数的关系以及，得出的值，进而得出解析式； （2）已知点坐标，可求直线的解析式，连接，设的半径为，求出，的值即可． （3）过点作轴于，可求得，求出点的坐标．然后由相似三角形的性质求得，记经过点的的切线交轴于点，进而得出的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解： ． 又， ∴令 ，， 解得 ， ∴抛物线的解析式是． （2）直线经过圆心P．   理由：由（1）得抛物线的对称轴为直线， 令， 解得 ， 设直线的解析式为 ∴ 解得：, ∴直线的解析式为． 连结．设的半径为R． 在中，， 解得， ∵点P的坐标满足， ∴直线经过圆心P． （3）如图，过，点E作轴于点F，则． ∵ ∴， ． 记经过点的的切线交轴于点，则， 又 ， ， 即， 解得． ∵ 设过点E的的切线为． 将代入， 得 解得 ∴过点E的的切线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点P是抛物线上的任意一点，记点P到x轴的距离为，点P到的距离为．    (1)求证：． (2)若直线交抛物线于另一点Q（异于点P），请判断以为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由． (3)在（2）条件下，求出以为直径的圆的面积的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相切，理由见解析 (3)圆的面积最小值为 【分析】（1）设P为抛物线上一点，坐标为，进而表示出P到x轴距离与到点A的距离，化简可得两者大小相等； （2）设，直线的解析式为，求出的中点到x轴的距离，，得圆心到x轴的距离等于圆的半径，故以为直径的圆与x轴相切； （3）根据圆的半径，得圆的面积，得圆的面积最小值， 【详解】（1）解：设P为抛物线上一点，坐标为； 则P到x轴距离为， P到点的距离为 ， ∴．    （2）解：设，直线的解析式为， 联立， 得， 即， ∴， ∴， ∵以为直径的圆的圆心坐标为， 即， ∴圆心到x轴的距离为， ∵ ， ∴以为直径的圆的半径为 ∴圆心到x轴的距离等于圆的半径， ∴以为直径的圆与x轴相切．    （3）解：由（2）知，圆的半径， ∴圆的面积， ∵， ∴当时，圆的面积取得最小值， 故以为直径的圆的面积最小值为．    【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，函数与方程，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离，点到直线的距离，完全平方公式变形求值 ，圆切线判定和性质，二次函数最值，是解题的关键． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接，过A，B，C三点作抛物线． (1)求点C的坐标及抛物线的解析式； (2)点E是延长线上一点，的平分线交于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）证明得到，已知A、B两点的坐标即可得出、的长，据此求出的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）平分，如果连接，那么根据圆周角定理即可得出，由此可得出D的坐标； （3）分两种情况进行讨论：①过D作，交D点右侧的抛物线于P，此时，可先求出直线的解析式，然后根据及D的坐标求出的解析式，联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，即可得出符合条件的P点；②同①的思路类似，先作与相等的角：在上取一点N，使．可通过证，得出，然后同①的方法一样，先求直线的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标． 【详解】（1）解：∵以为直径作，交y轴的正半轴于点， ∴， ， 又， ， 又∵， ， ． 又，， ∴ ， 解得或（舍去）， ， 设抛物线解析式为， ， 解得， 二次函数的解析式为， 即． （2）解：为的直径，且，，， ， ∴， 点E是延长线上一点，的平分线交于点， ， 连接，则，即， ∵， ． （3）解：解：分两种情况： ①当时，此时有， ，． 用待定系数法可求出直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 把代入中可得，，解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得或， 点坐标为，坐标不符合题意，舍去． ②设交于M，在线段上取一点N，使， ∵， ∴， ， ∴射线与抛物线的交点即为所求， 由①知，直线解析式为， 在中，当时，得， ， ， ∴， ， 同理可知直线解析式为． 联立， 解得（舍去）或者， 点的坐标为． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）先令，求得点、的坐标分别为：，根据是直径，即可求解； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据题意可得，根据圆周角定理可得，圆的半径为，进而可得点的坐标为，待定系数法求解析式，即可求解． （3）连接，由垂径定理可得，，取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动．当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，令， 解得：或， 故点、的坐标分别为：， 是的直径，故为的中点， 点的坐标为； （2）连接 是直径 ， ， 的平分线为， ， ，即， 圆的半径为， 故点的坐标为， 又， 设直线的表达式为： 则， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）连接， ∵是的中点， 由垂径定理可得，， 取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动． ∴当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长． 在中，，由勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，圆周角定理，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型06、与圆有关的作图问题 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，是的弦，，点是圆上不与重合的点，则 ； （2）如图2，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，已知，在中，，且，求的最大值． 【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为4 【分析】（1）分两种情况进行讨论即可； （2）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，交点为，此时，以点O为圆心，为半径作，则满足的点在优弧上（不包括端点）； （3）延长至点，使，将转化为，求出最大值即可． 【详解】解：（1）如图： ，， 是等边三角形， ， 当点P在上方，记为点， ∴， 当点P在上方，记为点， 则， ∴， 或， 故答案为：或； （2）如图，优弧（不包括端点）即为满足条件的点所组成的图形； 以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，交点为， ∴为等边三角形， ∴， 以点O为圆心，为半径作，则 ∴满足的点在优弧上（不包括端点） （3）延长至点，使，过点作于点H，连接 ∵， ∴， ， ， ，且， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上， 当为直径时，取得最大值，即取得最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，尺规作图等知识点，掌握圆的基本性质是解题的关键． 27．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 28．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为 ； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析，连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作 【分析】（I）先求出半径及圆心角，再根据弧长公式求解； （II）连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，由题意可得，则，可得，得出，同理可得，则点即为所作，． 【详解】解：（I）连接相交于点， 由题意得：，， ， ， 的长， 故答案为：； （II）解：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 故答案为：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 【点睛】本题考查了作图的应用与设计，相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理是解题的关键． 29．（2025·吉林·一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查圆与网格作图，勾股定理与网格，求弧长； （1）步骤一：在图1、图2、图3中连接，则中点即为圆心O． 步骤二：取圆心右边4格的格点，则，，此时，即为的切线． 步骤三：图2中，连接，根据和竖直方向距离2格得到与中间横线的交点即为线段中点，连接并延长与交点即为，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接，先证明为等腰直角三角形，再在中求出，最后在中求出． 【详解】（1）解：圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： （2）解：①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∴． 题型07、圆的实际应用问题 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该筒车半径． (2)筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，解直角三角形． （1）过圆心作交于点，交于点．由垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程求出r即可； （2）①根据题意筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处．列式计算即可求解； ②过点分别作交于点．求出得到，再求出，得到，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，过圆心作交于点，交于点． ， ， ， ， ， ； （2）①筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ∴ ②如图，过点分别作交于点． 由题知，到水面的距离是，即， ， ， ， 又 ， ， ． 31．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，已知线段与直线l，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，易，可知点P对线段的视角最大．    (1)问题提出 如图②，已知的外接圆为，与相切于点P，交的延长线于点Q． ①请判断与的大小关系，并说明理由． ②若，，求的长． (2)问题解决 如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆，在斜杆的中点P处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内）．已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点C，使得达到最大？若存在，请确定点C在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，理由见解析；②4 (2)点在上距离点处，斜杆的长度为 【分析】（1）①作直径，连接，则，与相切，得，再根据圆周角定理即可得结果．②证明，得，代入数值可得结果． （2）取的中点，过点作的平行线，经过，作与相切于点，此时最大，由求出，由勾股定理求出，，，再求出，最终得到，的长度． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图②，连接并延长至圆上一点，连接，    则， 为圆的直径， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ． ②，， ， ， ，， ， ， ． （2）解：存在一点，使得达到最大． 如图③，取的中点，过点作的平行线， 经过，作与相切于点， 由题意知，此时最大． ，是中点， ，， 作直径，连接， 则，， ， 是的切线，是切点， ， ， ， 又， ， ， ， ． 过点作于， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ． 故点在上距离点处，斜杆的长度为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键． 32．（2025·河北石家庄·一模）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径． （1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，求的值． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则______． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值． 想一想 （4）嘉嘉同学通过多次实验发现，若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），当圆与都有交点时，就能测出圆的半径，请你直接写出可测出的的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）半径的最小值为2，最大值为． 【分析】（1）连接，由题意可知，可知为直径，再由勾股定理即可求解； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，四边形为矩形，可得，，在中，，列出关于的方程求解即可； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，，得，可知四边形为矩形，由题意可知，，，，，则，，则，设，则，再由勾股定理得方程，求解即可； （4）结合图形，可知要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置，当与、均相切时，直径等于的长度，求得半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，如图，由题意可知，，结合勾股定理，求得半径的最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：的半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，理解题意，明白要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置是解决问题的关键． 33．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 【答案】（1）见解析（2）最小值为，此时菜地面积为（3）①；②当点位于轴下方时 ；当点位于轴上方时 【分析】（1）如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ，证明，推出，即可得到点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，进而证明结论； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为，如图所示，记与交于点，求出，过点作，则有，求出，    过点作，垂足为，连接，证明为正三角形，求出，，即可解答； （3）①连接，记交轴于点，作于点，证明为中位线 ，根据，即可求解；②分点位于轴下方和上方两种情况讨论，利用三角形中位线的性质求出，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ， ∵四边形是矩形         ∴     ∵                     ∴ 在与中              ∴ ∴     ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，即小彬设想成立 ； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为， 如图所示，记与交于点     ∵，为上的点     ∴为的直径 ，， 过点作，则有      ∴ ∴         ∴ 由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知 ∴     过点作，垂足为，连接 ∵         ∴为正三角形 ∴为边上的中线，且平分         ∴， ∴     ∴      ∴        ∴菜地面积； （3）①如图所示，连接，记交轴于点，作于点， ∵         ∴为中点 ∵为中点             ∴为中位线   ∴     ∵ ∴     ∴； ②第一种情况，当点位于轴下方时，如图： ∴， ；     第二种情况，当点位于轴上方时，如图： 同理得：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，函数解析式，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】 （1）如图①，已知与直线相离，过作于点，，的半径为，则圆上一点到直线的距离的最小值是______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，，，请你过点画出将四边形面积等分的线段，并求出的长． 【问题解决】 （3）如图③所示，是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为．管理人员想在上确定一点，在四边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）图见解析，；（3）存在满足上述条件的小路，的长为 【分析】（1）当点在线段上时，点到直线的距离的最小，即可求解； （2）利用尺规作图，过点作于点，连接，则即为所求．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后解直角三角形求出的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得； （3）连接，求出的面积，证明要使四边形的面积最小，则的面积需最小，设所在圆的圆心为，则，过作于，交于点，交于，由（1）可得此时点到的距离最短，即的面积最小．得出，则，由勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）当点在线段上时，点到直线的距离最小， ∵，的半径为， ∴最小值是为， 故答案为：． （2）如图，过点作于点，连接，则即为所求．理由如下： 过点作作于， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴线段将四边形面积等分， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，． （3）存在满足上述条件的小路，求解过程如下： 如图，连接， ，点为的中点， ， ∵，， 四边形是矩形， ，， ． 要使四边形的面积最小，则的面积需最小． 设所在圆的圆心为，则， 过作于，交于点，交于， 由（1）可得，此时点到的距离最短，即的面积最小． ， ，， ，， ，． ， ， ∴面积的最小值为， ， ， 点在上， ∴， ， ， ， 所以存在满足上述条件的小路，的长为． 【点睛】本题考查了圆的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、作垂线的尺规作图等知识，较难的是题（3），确定的面积最小时，点的位置是解题关键． 考点二、圆的常考类型题 题型01、圆的图形变换问题 35．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3） 【分析】（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点，设，则，在中，，建立方程，解方程，即可求解； （2）如图所示，连接，根据勾股定理表示出，设，则，进而根据二次函数的性质求最值，即可求解； （3）过点作于点，连接，，先证明在上；证明，得出，，进而证明，进而得出，在，中，勾股定理得出方程组，得出,进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点 ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ （2）如图所示，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵ 设，则 ∴ ∴的最大值为； （3）如图所示，过点作于点，连接，， ∵点，关于对称， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴在上； ∵点，关于对称， ∴，， ∴ ∴， ∵点是半径的中点，即 ∴， ∴，， ∵ ∴， 又 ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， 在中，，即①， 在中，，即②； 联立①②解得：（负值舍去） ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 36．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，点在上，连接，满足，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)过点作于点，交翻折后的圆弧于点．求证：； (3)若，试求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）①由同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明相似； ②作交于点，由折叠的性质可知，，再利用圆内接四边形的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由同弧所对的圆周角相等以及三角形内角和定理，得出，再利用等腰三角形三线合一的性质，得到，可得，然后利用等角的余角相等，得到，进而得出，即可证明结论； （3）连接，证明，设，进而得到，进而推出，过点作于点，由圆周角定理可知，，再由特殊角的三角函数值以及勾股定理，得出的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①， ， ， ； ②如图，作交于点， 由折叠可知， 在四边形中，， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得， ， 过点作于点， ， ， ，， 即，， ， 即， ， ， 当时，的值最大为5．    【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值问题，解直角三角形等知识，利用数形结合的思想，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______． (2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为______ 【答案】(1)2 (2)①见解析 ② 【分析】（1）本题利用勾股定理，求出的长度，即可解题． （2）①本题因为的外接圆圆心在，且过的顶点，要证的外接圆是的边上的伴随圆， 即证与的外接圆相切，连接、，通过证明，结合题干的条件得到，推出，利用全等的性质得到，即可解题． ②本题通过相似三角形和勾股定理求得，结合，其锐角三角函数也相等，得出线段、，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， 为圆的直径． 边上的伴随圆的半径为2． 故答案为：2． （2）①证明：如图连接、， 为直角三角形， 的外接圆圆心在中点上， 设的半径为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， 是的切线． 的外接圆是某一条边上的伴随圆； ②如图设圆的半径为， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查题干概念伴随圆的理解、勾股定理的运用、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数和切线的判定，解题的关键在于对概念的理解和对性质的灵活运用． 38．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，即可得，问题随之得解；②过点O作，垂足为点G，则，证明，即可作答； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，即有四边形是矩形，则，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，进而有，则 ．设，则，，由得，，解方程即可求解． 【详解】（1）①如图所示，连接， 由翻折可知，． ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②．理由如下， 如图所示，过点O作，垂足为点G，则，    在与中， ， ∴， ∴，且， ∴，，即， ∴， ∴． （2）如图所示，将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，    ∴四边形是矩形，即有， 根据垂径定理有， 根据（2）有：， 根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∴中，． 设，则，， 由得，， 解得：． 即． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，是解答本题的关键． 39．（2025·吉林·一模）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3） 【分析】（1）如图，连接，交于点N，则则，则，即可求解； （2）①因为，且，即，结合，得到，即可求解； ②结合四边形是的圆内接四边形，，而，即可求解； （3）证明，得到，由，则，证明，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N， 则 则， ∴， 故答案为：； （2）①如图2，， 设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠， ∴， ∵， 即， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即； 故答案为：，； ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点，连接，． 由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知， ∴， ∴，， 则，， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则（负值已舍去）， ∴， 则（负值已舍去）， 作圆的直径，则， 在圆中，， 则， ∵， 则， 则． 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质、图形的翻折等，正确确定三角形相似是解题的关键． 题型02、平面直角坐标系中的圆的综合问题 40．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 【答案】探索：①；②；应用：；拓展：4 【分析】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键． 探索：①由题意即可求解； ②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，，则，即可求解； 应用：设N横坐标为a，由，即可求解； 拓展：过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，即可求解． 【详解】解：探索： ①由题意得：； 故答案为：； ②设直线l和x轴的夹角为， 由直线l的表达式知：， 则， 即， 故答案为：； 应用： ∵草坪倾斜角为， ∴解析式为：， 设N横坐标为a， 则， 当时，最大，； ∵， ∴此时最大，； 拓展： ∵圆弧与y轴相切， ∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M， 此时最大，即最大，， 则， 则． 41．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，分别交x轴，y轴于点，连结．直线分别交于点（点D在左侧），交x轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)点P在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)的半径为，直线的解析式为 (2) (3)的长为或或 【分析】（1）根据A，B坐标可得，根据直径或半圆所对圆周角为直角可得是之间，可得的半径，如图所示，过点作轴于点，可证，可得，运用待定系数法可得直线一次函数的解析式； （2）设，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，根据题意，分类讨论：第一种情况，点在的位置，，则；第二种情况，点在的位置，，是等腰直角三角形，即点与点重合；第三种情况，点在的位置，，；运用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线的图象上， ∴设， ∵，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限，第在第一象限， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 如图所示， 第一种情况，点在的位置，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，点在的位置，， ∴是等腰直角三角形，即点与点重合， ∴， ∴； 第三种情况，点在的位置，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，圆的基础知识，一次函数与几何图形的综合，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握坐标与图形，圆的基础知识，待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解； （2）作轴交于H，则有，由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （3）①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后根据①中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由直线可知：当时，；当时，； ∴， ∴， ∴； （2）证明：作轴交于H，如图所示：    ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、一次函数及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键． 43．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，E点为x轴负半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图，求点C的坐标和的度数；    (2)如图，若平分交于Q点，小明认为当P点在运动时，线段的长度始终不发生变化；请证明小明的判断．    (3)如图，连接，当P点在运动时（不与B、C两点重合）求的值．    【答案】(1)，； (2)不发生变化．理由见解析 (3)． 【分析】（1）连接，则，然后利用勾股定理就可求出的长，从而求出点C的坐标，证明是等边三角形，求出，由圆周角定理可得出的度数； （2）不发生变化，连接，利用等弧所对的圆周角相等可证明，是一个固定值，所以不发生变化．再利用勾股定理就可求出的长即是的长； （3）在的延长线上截取，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：不发生变化．    证明：如图2，连接，则， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，则，    由（1）可知， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴是以为底角的等腰三角形， 过点A作于K，则， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型03、动圆问题 44．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是圆与四边形的综合问题，考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由弧相等得到弦相等，再由直径所对的圆周角是直角，利用等腰直角三角形性质即可得到答案； （2）由题中条件，结合等腰直角三角形性质求出角度及线段长，利用三角形相似的判定与性质代值求解即可得到答案； （3）当与重合时，由得点在上，连接，如图所示，半圆与所围成的封闭图形的面积为，求出扇形面积及三角形面积代值即可得到答案． 【详解】（1）连接，如图1所示：      点K为半圆O的中点， ， ， 为直径， ， 在中，； （2）如图2所示：      ，， ， 在等腰中，， 则由勾股定理可得，         ， ， ， ，             ， 即， ； （3）解：当与重合时， ， 点K在上，连接，如图3所示：      点K是半圆O的中点， ．                 ， ， ，                         半圆O与所围成的弓形的面积为； 45．（2024·浙江湖州·一模）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作． (1)当时， ①如图1，若与相切于点P，连结，求的长； ②如图2，若经过点D，求的半径长． (2)如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 【答案】(1)①；②的半径长为； (2)． 【分析】（1）①利用切线的性质得到，利用三角函数的定义求得的长，再利用勾股定理求解即可； ②连结，，求得是的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解； （2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，得到，求得和的长，再利用勾股定理求得．再求得平行四边形边上的高的长，设，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①，即， 是的直径， 与相切于点， ． ，， ， 根据勾股定理，得； ②如图，连接，， ， ∴是的直径，， 四边形是平行四边形， ∴，，，， ，，，， ， 根据勾股定理，得， ． 的半径长为； （2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接，，记于交于点， ，， ， ， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ，即． 为平行四边形边上的高， ， 又， ． 设，则，， ， ， 根据勾股定理，得，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． 46．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过作于点H，由垂径定理可得，再利用三角函数求解即可； （2）①当点E与A重合时可知，过作于点M，求出，可知在点运动过程中，与边始终有公共点，进而即可得出r的范围； ②利用建立方程求解，得到，即此时与A重合，进而即可得解． 【详解】（1）如图，过作于点H，则， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）①当点E与点A重合时， 此时与A重合，， ∵， ∴， ∴， ∴，即此时， 过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，与边始终有公共点， ∴； ②如图，记中点为F，过F作，过作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， 解得； ∵， ∴在中，， ∵， 解得（负值舍去）， ∴此时E和A重合，即与A重合，如图所示，为公共弦， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即与的公共弦长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 47．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点A在直线l上，与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线上，过点作垂足为点E，且与点P重合，，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点． (1)连接，求线段的最大值； (2)矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边上时，求半圆O与矩形重合部分的面积S； (3)在平移过程中，当半圆O与矩形的边相切时，求平移的距离．（参考数据：，结果保留根号） 【答案】(1)最大值是10 (2) (3)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，平移的距离是或或 【分析】（1）当M在F处时，最大； （2），计算，进一步计算可得； （3）分为与、、相切三种情况求解． 【详解】（1）当M在F处时，最大， 在中，由勾股定理得， ， ∴最大值是10； （2）如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于H， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （3）如图2， 当⊙O与相切时，（图中⊙O′）， 在中，， ， ∴， 如图3， 当⊙O与相切时， ∵， ∴， ∵ ， ∴； 如图4， 作于H， ∴ ， 当⊙O与相切时， 在时， =， ∴， ∴ ， 综上所述：当半圆O与矩形ABCD的边相切时，平移的距离是或或 【点睛】本题考查了圆的综合，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数，扇形的面积公式等知识，解决问题的关键是准确分类和准确计算． 题型04、多个圆的综合问题 48．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 49．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，已知的半径都为，且三圆有公共点． (1)如图，若点在上，求的面积． (2)如图，若另一交点为另一交点为另一交点为，且，均为不同的点，证明：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】连结，，，，，，根据圆的基本性质可知，可证四边形为菱形，利用锐角三角函数可以求出，再根据菱形的面积公式可得； 根据圆的基本性质可得四边形、四边形、四边形均为菱形，根据菱形的性质可证，，，利用可证结论成立． 【详解】（1）解：如下图所示，连结，，，，，， ， ，为正三角形，四边形为菱形， ，， ， ； （2）证明：如下图所示，连结，，，，，，，，， ， 四边形为菱形， ，，，， 同理四边形和均为菱形， ，，，，，， ，，，， 四边形，，均为平行四边形， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、锐角三角函数，解决本题的关键是根据图形的性质得到边之间的数量关系和位置关系． 50．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． (1)如图1，当B在之间时，求证：； (2)如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； (3)当 时，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由圆周角定理及等量代换即可证明； （2）连接，根据圆周角定理确定，与（1） 中同理可得，即，再由等量代换及等角对等边即可证明； （3）分两种情况分析：当点D在点Q下方时，当点Q在点D下方时，分别利用相似三角形的判定和性质，圆周角定理及勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 连接， ∴， 与（1） 中同理可得，即， ∵， ∴， ∴， ， 又, ， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （3）解：∵，设， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 当点Q在点D的下方时，如图所示： 同理得：，，， 设， 同理得， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 综上可得：或 ． 51．（23-24九年级上·浙江·期末）在中，，于点，，点O，E都在边上，，点P在边上，以E为圆心，为半径的圆与边的另一个交点为Q，以O为圆心，为半径的恰好经过P，Q两点，    (1)如图-1，当恰好经过点O时，求的半径. (2)如图-2，若. ①求的半径； ②求的长. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设的半径为，则，，根据勾股定理即可求出半径. （2）①由可得出，再根据相似三角形求出，，，最后利用三角形面积相等推出与半径相关的等量关系式，即可求出半径. ②依据和①问所求的半径即可求出长度. 【详解】（1）解：连接和 设的半径为，则， 的半径是，， . ， 在中，，在中，， . . . （舍去）. 的半径为. 故答案为：. （2）解：连接，过点作，过点作交的延长线于点， ①设的半径为，则 ，， . 设， . ， . , ， 在和中， . . ，， . . . ， . . 在中，， 在中，， ，， . . . （舍去），. 的半径是. ② 由①得， . 故答案为：；. 【点睛】本题是一道有关圆的综合题，综合性强.主要考查了圆的性质和相似三角形性质，涉及到知识点还有等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理.解题的关键在于是否能通过三角形相似找出圆半径与相关边长，，关系.能否作对辅助线是解题的难点. 题型05、圆的最值问题 52．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，在中，点P在射线上运动，是的外接圆．    (1)如图2，当点O在上时，求的长． (2)如图3，连接并延长，分别交于点D，E，交于点F． ①当时，求的半径． ②连接，的长为多少时，最小，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)①   ②的长为时，最小，最小值为 【分析】（1）过点A作于点G，则，求出，, 当点O在上时，，，得，； （2）①过点A作于点G，连接，设半径为r，，根据垂径定理得，根据线段垂直平分线性质得,得,∴，得，根据，求得；②连接，根据，得，当点 O在上时，为直径， ，得的最小值为． 【详解】（1）过点A作于点G，则， ∵， ∴， ∴, 当点O在上时，， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）①过点A作于点G，连接，设半径为r，， 则， ∵于 点E， ∴， ∴, 由（1）知，， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得； ②连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴当点 O在上时，为直径，最大，最小， 此时就最小 ， 由（1）知，， 故的最小值为．    【点睛】本题主要考查了圆内接三角形、等腰三角形性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数定义、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 53．（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题呈现】 （1）在中，，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为上一点，连接，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． ①如图1，连接，则与的数量关系为______； ②如图2，当点M在右侧时，连接，若与相切，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，有一块形状为三角形的空地，，千米，现计划在周围修建一个以点B为圆心、1千米为半径的圆形草场，现要在草场边上找一点M（即点M在上），沿着修建一条水渠，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，沿着修建一条公路，为了成本考虑，要求公路的长度最短，请根据所给数据计算公路是否存在最小值，若存在，则计算出公路的最小值，若不存在，请说明理由．（公路宽度不计） 【答案】（1）①；②；（2）存在， 【分析】（1）①旋转得到，进而得到，证明，即可得出结论； ②设直线交与点，根据切线的性质，结合四边形的内角和为360度，得到，进而推出，根据，得到点A和点重合，旋转，得到，进而求出的度数即可； （2）勾股定理，求出的长，由①得到，进而得到点N在以A为圆心，1为半径的圆上，得到当N点在上， 最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）①∵线段绕着点C顺时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②设直线交与点， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴点A和点重合， ∴C、A、M共线， ∵， ∴， ∴； （2）存在 ∵， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴点N在以A为圆心，1为半径的圆上， ∴当N点在上， 最小． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转全等模型，是解题的关键． 54．（2025·广东汕头·模拟预测）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、． (1)如图1，连接，取中点G，连结，则的最大值为______； (2)如图2，连接．若平分交于Q点，求的长； (3)如图3，连接，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析， 【分析】（1）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案； （2）根据垂径定理得到，证明，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可得到答案； （3）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明． 【详解】（1）解：由题可知，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接， 是的中点， ， 当三点共线时，此时取得最大值， 此时， ∵、， ∴ ∴， 的最大值为； 故答案为：2． （2）解：连接，则：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ；     （3）证明：由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 将绕A点顺时针旋转至， ， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， 、D、P三点共线， ， 过A作于G，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查坐标与图形，垂径定理，三角形的中位线定理，圆内接四边形，含30度的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关性质，添加辅助线构造特殊三角形，是解题的关键． 55．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值； 【答案】(1)见解析 (2)是， (3) 【分析】本题考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，圆周角定理可得，可得结论； （2）将绕点C逆时针旋转，得到，可证是等边三角形，可得四边形的面积，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，由轴对称的性质可得，，可得的周长，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，即最小值为，由轴对称的性质可求，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，则当为直径时，t有最大值为． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线；． （2）解：四边形的面积S是线段的长x的函数；理由如下： 如图1，将绕点C逆时针旋转，得到， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点D，点B，点H三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∵四边形的面积， ∴； （3）解：如图2，作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F， ∵点D，点E关于直线对称， ∴， 同理， ∵的周长， ∴当E，M，N，F四点共线时，的周长有最小值， 则连接，交于M，交于N，连接，作于P， ∴的周长最小值为， ∵点D，点E关于直线对称， ∴， ∵点D，点F关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值，即t有最大值， ∵为的弦， ∴为直径时，有最大值12， ∴t的最大值为． 题型06、隐圆问题 56．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 【答案】；存在， 【分析】（1）过点C作于点D，过点O作于点E，连接，则，根据三角形面积公式即可得解． （2）作的外接圆，外接圆，连接，，由于M为的中点，则，；连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q，则在中，，在中，，可得到；取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H，先证，得到，，再由，得，再根据，得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点C作于点D，过点O作于点E，连接， 则，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ． （2）存在，如图，作的外接圆，外接圆，连接，， 由于M为的中点，则，， 连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q， 则在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 此时与均为正三角形，四边形为菱形，则过点M的直线必定平分菱形的面积．如图，取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的长度为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形外接圆、等边三角形的性质以及三角形的面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握三角形外接圆的性质． 57．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 58．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28；②见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 59．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质及判定，求动点的运动轨迹等动态几何问题，综合性强，难度较大，能正确作出辅助线并结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 题型07、自定义背景下的圆的综合问题 60．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． (2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． (3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（）如图，取格点，连接交于，点即为所求； （）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解； （）①证明可得，再根据点是中边上的“中项点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：取格点，连接交于，如图： 则点即为边上的一个“中项点” ，理由如下： 由图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， 即， ∴为边上的一个“中项点”； （2）解：过作于，如图： ∵， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴， 解得(负值已舍去)， ∴， ∴线段的长为； （3）①证明：由圆周角定理得，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是中边上的“中项点”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵，设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，正切的定义，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 61．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③或 【分析】（1）在上截取，连接、、和，由是的中点，得到，从而得到，进而证明，得到，再由“三线合一”得到，即可得证． （2）①由，，得到是等腰直角三角形，从而可求得，又由等边三角形得到，，从而，进而点A是的中点，由（1）结论可得，根据即可解得； ②在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，即可解答； ③分两种情况分别讨论：①点在下方，②点在上方，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接、、和， ∵是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （2）①解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点A是的中点， ∵， ∴由（1）可得， ∴； 故答案为： ②在上截取，， 连接、、、，   是弧的中点， ∴ ，， 又， ， ， ， 又， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：8 ③解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，圆的半径为5， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴由②可得， ∴， ∴在等腰中，； 当点在上方时，，同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 62．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；③；（2） 【分析】（1）①证明即可解决问题； ②由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出的长，即可解决问题； ③如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”．证明，可得，由此构建方程即可解决问题． （2）分两种情形：①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，可证，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】（1）①证明： 是的角平分线， ， ， ， ， 为“类直角三角形”． ②解：如图，过点作于点， ，，， ，， 平分，， ， ， ， ， 即， 解得：； ③解：如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”． ， ， ， ∴， ， ； （2）解：是直径， ， ，， ， ①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且， ，且， ， ，，共线， ， ， ，即， （不合题意，舍去）． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分， ， ，， ， ，即， ， 在中，， （舍去负值）， 综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为． 【点睛】本题通过“类直角三角形”为背景考查角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、对称性和共线的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想的应用． 63．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①或或，② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可判断； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连结、、，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到4个， 故答案为：4． （2）解：①∵四边形是圆内接四边形，，， ，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的度数为或或； ②连结、、． ∵四边形是圆内接四边形，， ， ∵是圆等三角形， ∴是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 64．（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形 (1)如图①，在中，，，，为上一点，，为中点，连接，求证：四边形为理想四边形； (2)如图②，是等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） (3)在（2）的条件下， ①若为直角三角形，，求的长度； ②如图③，如若，，，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①或；② 【分析】（1）连接，过点作，在中，得，则是的中垂线，得，可说明是等边三角形，从而说明结论成立； （2）作等腰，使得，，以为圆心，为半径作，当点在弧上时； （3）①分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理即可； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，可知是等边三角形，则，，在中，利用勾股定理得出等量关系． 【详解】（1）证明：连接，过点作， 在中，，，，， ，，， 为的中点， ， 在中，，， ， ，即是的中垂线， ， ， ， 是等边三角形， 又， 四边形为理想四边形； （2）解：如图，作等腰，使得，，以为圆心，为半径作， 当点在弧上时，，满足条件； （3）解：①若为直角三角形，分两种情况： （Ⅰ）当时，如图， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ； （Ⅱ）当时，如图， 同理可得，，， ， 综上所述，或； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了理想四边形的定义，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，定边对定角隐圆问题，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解题意，学会利用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题． 65．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或；③ (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义可得方程，求出的值即可； ③由定义可得，分类讨论求值即可； （2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可； ②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解； （3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：或； ③点是直线上的一个动点， ， ， 当时，， 解得：， 则； 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； （2）解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； ②由，， 可知点在以，，，的正方形上， 如图1，当点为时，有最小值， 当点为时，有最大值， ； （3）解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 当时，如图2，， ， ； 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 66．（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2) 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解； （2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上， 绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上， 线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上， ∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”， 故答案为：、； ②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值， 当直线经过点时，可得b的最大值， 把代入，得， 解得； 把代入，得； 解得； ∴b的取值范围为； （2）解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则， 解得 ∴t的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 试卷第2页，共194页 2 / 196 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲圆的压轴题（思维导图+2考点+14种题型） 考点一、圆的知识与其它知识的综合问题 题型01、圆的常规证明问题 题型02、与圆的切线有关的综合问题 题型03、圆与三角形的综合问题 题型04、圆与四边形的综合问题 题型05、二次函数与圆的综合问题 题型06、与圆有关的作图问题 题型07、圆的实际应用问题 考点二、圆的常考类型题 题型01、圆的图形变换问题 题型02、平面直角坐标系中的圆的综合问题 题型03、动圆问题 题型04、多个圆的综合问题 题型05、圆的最值问题 题型06、隐圆问题 题型07、自定义背景下的圆的综合问题 考点一、圆的知识与其它知识的综合问题 题型01、圆的常规证明问题 1．（2025·浙江舟山·一模）如图1，内接于，其中．点E在射线上，且满足，交于点H，交于点P． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，连结，交于点K，若H为中点，求证：； (3)如图3，若线段过圆心O，求的值． 2．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，，为弧上一动点，过点作交直线于点．设与圆相交于点，连结，若，． (1)求的正切值； (2)若，求的长． 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图①，为 的直径，弦交于点 ( 在线段上），且． (1)若，用含有的代数式表示 ． (2)如图②，点在弧上，且 ，连结交于点 ，求证： ． (3)在（2）的条件下， ①若 ，求的长； ② 若，用含有的代数式表示． 4．（2025·河北廊坊·一模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，___________．（填“>”“=”或“<”） (2)若，求的长． (3)嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法． (4)如图2，，交于点，于点．若，直接写出的长． 题型02、与圆的切线有关的综合问题 5．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． (1)求证：； (2)如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； (3)如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1， 中，，，以为直径的交于点，是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点作的平行线交于点． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点，当时，求的值． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系，并证明你的结论． 题型03、圆与三角形的综合问题 9．（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 10．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记． (1)用含有的代数式表示． (2)若，当时，求的值． (3)如图，若，求证：． 11．（2025·浙江·模拟预测）在中，直径与弦相交于点，连结． (1)如图1，求证：为等腰三角形． (2)如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值． (3)在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，． (1)求证：是的切线． (2)求证：为等腰三角形． (3)若，，求的长． 13．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，． (1)如图1，若，连结， ①求的度数； ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值． (3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 14．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图1，在等腰中，为的中点，为边上一点，连接，过点作于点经过点，交射线于点，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2，若． ①求的长； ②记交于点，求的值； (3)当时（点不重合），求的值． 题型04、圆与四边形的综合问题 15．（2025·浙江宁波·一模）如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点作 于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点，连接． ①若 ，，求的长． ②若，求的值． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． (1)求的半径和的长． (2)求证：． (3)线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 17．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的三个顶点A，B，D在上． (1)①如图1，求证：圆心O在直线上； ②如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，延长交于点E，若，求的度数． (3)如图3，延长交于点E，过点D作于点F，若的面积为a，的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形的面积． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 19．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连接并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含α的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 20．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）如图，扇形的半径为1，圆心角是．点是上一动点，于点，于点，点分别是线段的中点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)探索当的长为何值时，四边形是矩形； (3)连接，试说明是定值． 题型05、二次函数与圆的综合问题 21．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．    22．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． (3)设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点P是抛物线上的任意一点，记点P到x轴的距离为，点P到的距离为．    (1)求证：． (2)若直线交抛物线于另一点Q（异于点P），请判断以为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由． (3)在（2）条件下，求出以为直径的圆的面积的最小值． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接，过A，B，C三点作抛物线． (1)求点C的坐标及抛物线的解析式； (2)点E是延长线上一点，的平分线交于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 题型06、与圆有关的作图问题 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，是的弦，，点是圆上不与重合的点，则 ； （2）如图2，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，已知，在中，，且，求的最大值． 27．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 28．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为 ； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明） ． 29．（2025·吉林·一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 题型07、圆的实际应用问题 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该筒车半径． (2)筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 31．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，已知线段与直线l，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，易，可知点P对线段的视角最大．    (1)问题提出 如图②，已知的外接圆为，与相切于点P，交的延长线于点Q． ①请判断与的大小关系，并说明理由． ②若，，求的长． (2)问题解决 如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆，在斜杆的中点P处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内）．已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点C，使得达到最大？若存在，请确定点C在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由． 32．（2025·河北石家庄·一模）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径． （1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，求的值． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则______． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值． 想一想 （4）嘉嘉同学通过多次实验发现，若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），当圆与都有交点时，就能测出圆的半径，请你直接写出可测出的的最小值和最大值． 33．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 34．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】 （1）如图①，已知与直线相离，过作于点，，的半径为，则圆上一点到直线的距离的最小值是______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，，，请你过点画出将四边形面积等分的线段，并求出的长． 【问题解决】 （3）如图③所示，是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为．管理人员想在上确定一点，在四边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 考点二、圆的常考类型题 题型01、圆的图形变换问题 35．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 36．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，点在上，连接，满足，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)过点作于点，交翻折后的圆弧于点．求证：； (3)若，试求出的最大值． 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______． (2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为______ 38．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 39．（2025·吉林·一模）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 题型02、平面直角坐标系中的圆的综合问题 40．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 41．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，分别交x轴，y轴于点，连结．直线分别交于点（点D在左侧），交x轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)点P在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 43．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，E点为x轴负半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图，求点C的坐标和的度数；    (2)如图，若平分交于Q点，小明认为当P点在运动时，线段的长度始终不发生变化；请证明小明的判断．    (3)如图，连接，当P点在运动时（不与B、C两点重合）求的值．    题型03、动圆问题 44．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积． 45．（2024·浙江湖州·一模）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作． (1)当时， ①如图1，若与相切于点P，连结，求的长； ②如图2，若经过点D，求的半径长． (2)如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 46．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 47．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点A在直线l上，与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线上，过点作垂足为点E，且与点P重合，，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点． (1)连接，求线段的最大值； (2)矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边上时，求半圆O与矩形重合部分的面积S； (3)在平移过程中，当半圆O与矩形的边相切时，求平移的距离．（参考数据：，结果保留根号） 题型04、多个圆的综合问题 48．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 49．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，已知的半径都为，且三圆有公共点． (1)如图，若点在上，求的面积． (2)如图，若另一交点为另一交点为另一交点为，且，均为不同的点，证明：． 50．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． (1)如图1，当B在之间时，求证：； (2)如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； (3)当 时，直接写出t的值． 51．（23-24九年级上·浙江·期末）在中，，于点，，点O，E都在边上，，点P在边上，以E为圆心，为半径的圆与边的另一个交点为Q，以O为圆心，为半径的恰好经过P，Q两点，    (1)如图-1，当恰好经过点O时，求的半径. (2)如图-2，若. ①求的半径； ②求的长. 题型05、圆的最值问题 52．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，在中，点P在射线上运动，是的外接圆．    (1)如图2，当点O在上时，求的长． (2)如图3，连接并延长，分别交于点D，E，交于点F． ①当时，求的半径． ②连接，的长为多少时，最小，并求出的最小值． 53．（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题呈现】 （1）在中，，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为上一点，连接，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． ①如图1，连接，则与的数量关系为______； ②如图2，当点M在右侧时，连接，若与相切，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，有一块形状为三角形的空地，，千米，现计划在周围修建一个以点B为圆心、1千米为半径的圆形草场，现要在草场边上找一点M（即点M在上），沿着修建一条水渠，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，沿着修建一条公路，为了成本考虑，要求公路的长度最短，请根据所给数据计算公路是否存在最小值，若存在，则计算出公路的最小值，若不存在，请说明理由．（公路宽度不计） 54．（2025·广东汕头·模拟预测）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、． (1)如图1，连接，取中点G，连结，则的最大值为______； (2)如图2，连接．若平分交于Q点，求的长； (3)如图3，连接，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 55．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值； 题型06、隐圆问题 56．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 57．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 58．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 59．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 题型07、自定义背景下的圆的综合问题 60．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． (2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． (3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 61．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 62．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 63．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 64．（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形 (1)如图①，在中，，，，为上一点，，为中点，连接，求证：四边形为理想四边形； (2)如图②，是等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） (3)在（2）的条件下， ①若为直角三角形，，求的长度； ②如图③，如若，，，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 65．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 66．（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 试卷第2页，共194页 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$