数学（云南卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

11 2025年中考押题预测卷（云南卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题2分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题2分，共8分） 16．_________________ 17．___________________ 18．__________________ 19．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分） 21. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （7分） 23. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（8分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（云南卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C A A C D B D B A C B D A D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．x≤5 17． 18．240 19． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）解： ．（7分） 21． （6分）证明：， ，（1分） ，， ，（3分） 在和中， （5分） ．（6分） 22.（7分）解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨，（1分） 根据题意，得：，（3分） 解得：（吨），（4分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，（5分） （吨），（6分） 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨．（7分） 23．（6分）解:（1）∵周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组，共有项活动，恰好参加的是舞蹈（D）小组有种结果． ∴小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是（3分） （2）列表： 小明小李 由表可知，共有种等可能的结果，种等可能结果，两人参加不同项目有种， ∴两人参加不同项目的概率是（6分） 24．（8分）解:（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：，在函数图象上，（1分） ∴，（2分） 解得：， （3分） ∴与的函数解析式为：；（4分） （2）解：设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束， 由题意得：，且， 解得：． （5分） ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，且最小值为：（元），（7分） 答：购买康乃馨和玫瑰花各束时，费用最少，最少费用为元．（8分） 25．（8分）解：（1）证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，（2分） 连接， ∵点O为对角线的中点， ∴点O在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形；（4分） （2）解：由（1）可知，四边形为菱形， ∴，，（5分） ∵， ∴， ∵， ∴，（6分） 即， ∴，（7分） ∴， 即的长为．（8分） 26．（8分）解：（1）解：二次函数， 二次函数图象的对称轴为直线，（2分） 这个二次函数图象的对称轴为直线．（3分） （2）解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ， 解得：，（舍去）， 二次函数， 二次函数图象向左平移个单位长度， 新的二次函数为， 新的二次函数图象的对称轴为直线， ， ， 二次函数的对称轴在的范围内， 在取得最大值，在或取得最小值， ①若，即时，在取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为；（5分） ②若，即时，在取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为；（7分） 综上所述，t的值为或．（8分） 27．（12分）解：（1）证明：如图所示，连接，则+．    ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径． ∴是的切线；（3分） （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，    ∴为等边三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴ ；（7分） （3）解：连接，过点作交于点，    ∵点 M 为半圆的中点且在下方， ， ， ， ， ∵是直径， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（云南卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意盈利记作正，则亏损记作负，即可得出答案． 【详解】解：∵盈利50元记作“元”， ∴亏损30元记作“元”． 故选：C． 2．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：2897000用科学记数法表示为2.897×106， 故选则：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答． 【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 5．由大小相同的小正方体组成的立体图形的三视图如图所示，则该立体图形为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】该题主要考查了立体图形的三视图，解题的关键是读懂三视图．观察题目，首先从俯视图可看出该图形有三列；俯视图中第一列有3个正方体，第二列只有一个，第三列有1个正方体；由主视图可确定最左列的小正方体的个数，逐项对照着判断即可． 【详解】根据给出的俯视图，这个立体图形的从左到右第一列有3排正方体，第二列有1排正方体，第三列有1排正方体， A、俯视图第一列有1正方体，错误；C、俯视图第一列有1个正方体，错误； 根据给出的主视图，这个立体图形最左列有2个小正方体， B 主视图左边只有一个正方体，错误；D主视图左边有2个正方体，正确． 故选：D． 6．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵BE⊥AF，∠BED=40°， ∴∠FED=50°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FED=50°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键． 7．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的内角公式，由已知得每个外角为，根据外角和为即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为． 故选：D． 8．某玩具店销售某款玩具。单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 【详解】解：∵降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x， ∴可列方程为：， 故选：B． 9．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个实数根，可知： ， 解得：； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数即可解答． 【详解】解：∵随机调查了本班名学生，收集到如下数据：， ∴这组数据从小到大排序为， ∴这组数的众数为，中位数为， 【点睛】本题考查了众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 11．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x，，，，…，，…，请你写出第n个单项式（用含n的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，总结单项式的规律即可得到结论． 【详解】解：，，，… 第n个单项式为：， 故选：B． 12．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（    ） A．米 B．5米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作，过点作于点，求出，进而求出，由此得到答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作于点， 米，， 米， ，， ， 在中， （米）， 此时，点到地面的距离为米， 故选：D． 13．如图，已知为的内接四边形，，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧、圆心角的关系，根据已知条件，结合选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的内接四边形，， ∴，故C选项正确； ∵， ∴， ∴，故B、D选项正确； ∵， ∴，故A选项不正确 故选：A． 14．《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调综合与实践的课时不少于总课时的，某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为，底面圆的半径为，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查圆锥的计算，根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， ， 解得， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故选：D． 15．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是(     )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点是的中点，根据三角形中线的可得， ，进而可得，根据点在双曲线上，轴，可得，进而即可求解． 【详解】点是的中点， ， ， ， 点在双曲线上， 轴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≤5 【分析】利用二次根式有意义的条件得到5﹣x≥0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得5﹣x≥0， 所以x≤5． 故答案为x≤5． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，关键是掌握自变量的范围，二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数． 17．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再使用平方差公式即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式和公式法的综合应用，熟知以上知识是解题的关键． 18．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有 人． 【答案】240 【分析】本题主要考查了样本估计总体．用800乘以喜爱“篮球”项目所占的百分比，即可． 【详解】解：人， 即该年级喜爱“篮球”项目的学生有240人． 故答案为：240 19．如图交于点，作交于点，设，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平方，列出方程即可． 【详解】设， ∵ ∴与以为底的高相等 ∴ ∵ ∴， ， 解得． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据特殊角三角函数值，零指数幂、乘方及二次根式的性质将原式化简．据此解答即可． 【详解】解： ． 21．（6分）如图，点在上，与交于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】证明：， ， ，， ， 在和中， ． 22．（7分）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【答案】吨、吨 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天”列式，求解即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨， 根据题意，得：， 解得：（吨）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨． 23．（6分）为落实国家的“双减”政策，减轻学生课业负担，某校提出“控量”“提质”“增效”要求，减少学生课后作业，积极开展课后兴趣小组，培养学生的兴趣和爱好，学校决定利用周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组．求： (1)小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是______． (2)小李不想参加书法（A）小组，其他活动小组可随机参加，那么小明和小李两位同学各随机参加一项活动，两人参加不同兴趣小组的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组，共有项活动，恰好参加的是舞蹈（D）小组有种结果，根据概率公式即可求出． （2）用列表法把所有等可能事件列出，根据概率公式即可求出． 【详解】（1）∵周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组，共有项活动，恰好参加的是舞蹈（D）小组有种结果． ∴小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是 （2）（2）列表： 小明小李 由表可知，共有种等可能的结果，种等可能结果，两人参加不同项目有种， ∴两人参加不同项目的概率是 【点睛】本题主要考查了概率的求法，用列表或树状图法把所有等可能事件列举出来是解此题的关键． 24．（8分）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求出当时，与的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共束，若购买康乃馨的数量不超过束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)； (2)购买康乃馨和玫瑰花各束时，费用最少，最少费用为元． 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束，根据题意求出的取值范围，再得出关于的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答； 此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：，在函数图象上， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为：； （2）解：设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束， 由题意得：，且， 解得：． ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，且最小值为：（元）， 答：购买康乃馨和玫瑰花各束时，费用最少，最少费用为元． 25．（8分）如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，推出，可证明四边形是平行四边形，然后证明，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由菱形的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接， ∵点O为对角线的中点， ∴点O在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即的长为． 26．（8分）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数图象的对称轴； (2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出，解出，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为，再分情况讨论二次函数取得最小值时的值，结合最小值即可求出t的值． 【详解】（1）解：二次函数， 二次函数图象的对称轴为直线， 这个二次函数图象的对称轴为直线． （2）解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ， 解得：，（舍去）， 二次函数， 二次函数图象向左平移个单位长度， 新的二次函数为， 新的二次函数图象的对称轴为直线， ， ， 二次函数的对称轴在的范围内， 在取得最大值，在或取得最小值， ①若，即时，在取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为； ②若，即时，在取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为； 综上所述，t的值为或． 27．（12分）如图，是的外接圆，是的直径，过点D的直线与的延长线交于点P，过点B作的垂线交于点E，    (1)求证：是的切线． (2)若 求图中阴影部分的面积． (3)若点 M 为半圆的中点且在下方，连接，交于点 N，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，由此即可证明是⊙O的切线； （2）证明，得到，则可证明为等边三角形，得到，求出，进而得到，，再根据进行求解即可； （3）连接，过点作交于点，利用同弧所对的圆周角相等，得到，设，则，分别求出，，再由，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则+．    ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径． ∴是的切线； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，    ∴为等边三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：连接，过点作交于点，    ∵点 M 为半圆的中点且在下方， ， ， ， ， ∵是直径， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积， 解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（云南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．由大小相同的小正方体组成的立体图形的三视图如图所示，则该立体图形为（    ）    A．   B．   C．   D．   6．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．80° 7．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 8．某玩具店销售某款玩具。单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x，，，，…，，…，请你写出第n个单项式（用含n的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 12．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（    ） A．米 B．5米 C．米 D．米 13．如图，已知为的内接四边形，，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 14．《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调综合与实践的课时不少于总课时的，某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为，底面圆的半径为，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是(     )    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ． 17．分解因式： ． 18．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有 人． 19．如图交于点，作交于点，设，，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）计算：． 21．（6分）如图，点在上，与交于点，且．求证：． 22．（7分）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 23．（6分）为落实国家的“双减”政策，减轻学生课业负担，某校提出“控量”“提质”“增效”要求，减少学生课后作业，积极开展课后兴趣小组，培养学生的兴趣和爱好，学校决定利用周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组．求： (1)小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是______． (2)小李不想参加书法（A）小组，其他活动小组可随机参加，那么小明和小李两位同学各随机参加一项活动，两人参加不同兴趣小组的概率是多少？ 24．（8分）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求出当时，与的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共束，若购买康乃馨的数量不超过束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 25．（8分）如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 26．（8分）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数图象的对称轴； (2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值． 27．（12分）如图，是的外接圆，是的直径，过点D的直线与的延长线交于点P，过点B作的垂线交于点E，    (1)求证：是的切线． (2)若 求图中阴影部分的面积． (3)若点 M 为半圆的中点且在下方，连接，交于点 N，连接，若，请直接写出的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（云南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．由大小相同的小正方体组成的立体图形的三视图如图所示，则该立体图形为（    ）    A．   B．   C．   D．   6．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．80° 7．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 8．某玩具店销售某款玩具。单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x，，，，…，，…，请你写出第n个单项式（用含n的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 12．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（    ） A．米 B．5米 C．米 D．米 13．如图，已知为的内接四边形，，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 14．《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调综合与实践的课时不少于总课时的，某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为，底面圆的半径为，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是(     )    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ． 17．分解因式： ． 18．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有 人． 19．如图交于点，作交于点，设，，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）计算：． 21．（6分）如图，点在上，与交于点，且．求证：． 22．（7分）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 23．（6分）为落实国家的“双减”政策，减轻学生课业负担，某校提出“控量”“提质”“增效”要求，减少学生课后作业，积极开展课后兴趣小组，培养学生的兴趣和爱好，学校决定利用周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组．求： (1)小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是______． (2)小李不想参加书法（A）小组，其他活动小组可随机参加，那么小明和小李两位同学各随机参加一项活动，两人参加不同兴趣小组的概率是多少？ 24．（8分）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求出当时，与的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共束，若购买康乃馨的数量不超过束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 25．（8分）如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 26．（8分）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数图象的对称轴； (2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值． 27．（12分）如图，是的外接圆，是的直径，过点D的直线与的延长线交于点P，过点B作的垂线交于点E，    (1)求证：是的切线． (2)若 求图中阴影部分的面积． (3)若点 M 为半圆的中点且在下方，连接，交于点 N，连接，若，请直接写出的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$