精品解析：2025年安徽省六安市清水河学校中考二模数学试题

数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，即乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：根据倒数的定义，的倒数为； 故选：D． 2. 截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好态势，数据20亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查了简单组合体的三视图，从上面看到的图形即为俯视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【点睛】解：这个几何体的俯视图为， ， 故选：． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除法则，积的乘方，合并同类项进行运算即可判断，熟练掌握以上运算规则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，等边对等角，三角形的外角定理． 根据切线的定义得出，进而得出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵为的切线， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，已知一张高的课桌配高的凳子，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把，代入求出，得出函数解析式为，然后把代入函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即高的凳子应配课桌的高度为， 故选：D． 7. 小明在商场消费获得两次转盘抽奖机会，如图三个扇形区域圆心角都是.转动转盘（若指针落在分界线上，则重新转动），则小明两次抽到的都是“神秘盲盒”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键．画出树状图，得出总结果数和指针两次都落在“神秘盲盒”扇形的结果数，利用概率公式即可得答案． 【详解】解：“神秘盲盒”记为A，“打8折优惠”记为B，“代金券100元”记为C，画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，其中指针两次都落在A扇形的结果有1种， ∴指针两次都落在A扇形的概率为． 故选：C． 8. 如图，在中，，，，为边上一点，延长至点，使，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线比值问题，特殊角三角函数值，勾股定理，通过构造恰当的辅助线解决问题．作辅助线于点，作交于点，可求出，继而，再在中利用特殊角的三角函数值求出的值，在中由勾股定理即可求解． 【详解】作于点，作交于点， ∴ ，, ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ． 故选A． 9. 在同一坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在中，，，，交于点，，，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证出，再证出，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，则，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可判断选项A正确；设，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，再过点作于点，根据三角形的三线合一可得，然后在中，根据余弦的定义即可判断选项B错误；延长，交于点，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可判断选项C正确；先根据全等三角形的性质可得，，从而可得，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，则选项A正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴，则选项B错误； 如图，延长，交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（等底同高）， 又∵， ∴， ∴，即，则选项C正确； 由上已证：， ∴，， ∴（等底同高）， ∴，则选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、余弦等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据算术平方根，零指数幂运算法则化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，反比例函数的图象经过的顶点，与相交于点，，垂直于轴，垂足分别为，，若，且四边形的面积为3，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，连接交于点，，证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出，，再得出，，最后根据，进而可求出k． 【详解】解：连接交于点， 则， ，， ， ∴， ， ，， ， ， ． 14. 如图，在矩形中（），把沿着对角线折叠，使点落在处，与相交于点，点在上，点在上，与交于点，把沿着折叠，点恰好和点重合. （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）若，，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由折叠的性质得，即可求出； （2）根据折叠的性质，进一步得出，由可得，设，，由勾股定理和解直角三角形得出，即可求得结果． 【详解】（1）矩形中，，， ，， 由折叠的性质得，； （2）由折叠的性质：，，， ， ， ，即， ， ， ， 设，， 在中，，，解得， ， ，， ，， ，， . 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，理解举行的性质和折叠的性质是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式的性质取分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴对称所得的； （2）在边上确定一点，连接，使得平分的面积. 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求. 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质得出、、的位置，再连线即可； （2）取与格线的交点，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： （1）写出第个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），理由 ∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； ∴第个等式为：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边． 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，整式的运算，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据自然数的等式规律即可求解； （）根据自然数的等式规律即可求解，然后通过整式乘法法则进行验证即可． 【小问1详解】 解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. “一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 【答案】卖出帆布袋30个，卖出折扇63个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， 设卖出帆布袋个，则卖出折扇个，根据两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，列方程求解即可． 【详解】解：设卖出帆布袋个，则卖出折扇个， 由题意得：， 解得：，则， 答：卖出帆布袋30个，卖出折扇63个． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在学习了平面反射的知识后，某班科学社团利用平面镜反射光线测量班级智慧黑板的宽度.如图在地面水平放置一块平面镜，一束光线从点发出，测得入射角时，反射光线恰好到达黑板上端处，将一束光从点发出，测得入射角时，反射光线恰好到达黑板下端处.经测量，已知点，，在同一竖直直线上，点，在同一水平线上，求智慧黑板宽的长（结果精确到，入射角等于反射角，参考数据：，，，） 【答案】智慧黑板的宽约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是根据入射角等于反射角，求出和中和的度数，再根据这两个角的正切分别求出和的长度，再利用线段的和与差求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 答：智慧黑板的宽约为 20. 如图，经过平行四边形的三个顶点，，，为直径，延长交于点，连接. （1）求证：点是的中点； （2）连接，作于点，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即是直径， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由四边形是平行四边形可得，，由圆周角定理可得，则，从而可证是直径，然后根据等腰三角形三线合一定理即可求证； （）由是直径，，则，证明，故有，设，则，，即，求出的值，最后通过勾股定理和平行四边形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即，解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴. 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 某学校积极开展各项安全培训，并对教育前后全校学生掌握安全知识情况进行测试.某班实践小组随机抽取部分学生成绩进行统计分析，了解安全教育效果，为学校加强安全教育提供参考. 【数据收集与整理】 从全校随机调取了200个学生接受教育前和教育后的测试成绩，学生得分用（单位：分）表示分组如下.整理数据，将教育前和教育后测试成绩绘制成频数直方图，部分信息如图： 组别 【数据分析与运用】 任务1 求样本中教育前学生成绩在组的人数，并补全频数直方图； 任务2 样本数据中教育前中位数在______组，教育后中位数在______组； 任务3 教育后这五组的组中值分别是55，65，75，85，95，我们可以把组中值作为各组测试成绩的平均分，现已算得教育前成绩平均分是分，计算教育后平均成绩比教育前提高了多少分？ 【答案】任务一：（人）， 任务二：，；任务三：教育后平均成绩比教育前提高了分 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，加权平均数，中位数等知识点，解题的关键是通过统计图获取信息． 任务一：利用总数减去其它组的人数求出组的人数，补全条形统计图即可； 任务二：根中位数的定义进行求解即可； 任务三：利用加权平均数即可求解． 【详解】解：任务一：组的人数为（人） 任务二：因为总数据个数是200个，所以中位数在排序后的第100位和101位的平均数， 因为教育前组人数为50人，组人数为85人，所以第100位和101位在组，在组； 因为教育后组人数为50人，组人数为80人，所以第100位和101位在组，在组； 故答案为：，； 任务三：教育后成绩平均分是： （分）， （分）， ∴教育后平均成绩比教育前提高了分． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，点，分别是菱形的边，上的点，. （1）求证：； （2）如图2，连接与相交于点，连接，． （i）当时，求证：四边形是平行四边形； （ii）如图3，的延长线交于点，若，，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）（i）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （ii） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）（i）根据题意可得，则，推出，再证明且，即可解答； （ii）证明，得到，即可证明，最后利用解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：在菱形中，， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， 如图，作， ， ， ， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线． （1）填空：______，______，______； （2）将向下平移个单位后，所得直线与抛物线有两个交点，，且，求的值； （3）平移抛物线得到新抛物线，若直线与抛物线仅有一个交点，且当时，有最小值，求的值． 【答案】（1）1，5，2 （2） （3）的值或7 【解析】 【分析】（1）将代入，，结合对称轴是直线，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可知，则向下平移个单位后，解析式为，设直线与抛物线有两个交点，的坐标分别为，则，是方程的两个根，即，得，，由，列方程即可求解； （3）由题意可知方程只有一个根，即只有一个根，得，即，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，由当时，有最小值，分两种情况：若时，若时，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：， ∵点在抛物线上，对称轴是直线， ∴，解得， 故答案为：1，5，2； 【小问2详解】 由（1）可知，则向下平移个单位后，解析式为， 设直线与抛物线有两个交点，的坐标分别为， 则，是方程的两个根，即， ∴，， ∵ 即：， ∴； 【小问3详解】 ∵直线与抛物线仅有一个交点， ∴方程只有一个根， 即只有一个根， ∴， ∴， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵当时，有最小值， ∴若时，当，有最小值，即，解得； 若时，当，有最小值，即，解得（舍去）； 综上，或7． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好态势，数据20亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，已知一张高的课桌配高的凳子，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在商场消费获得两次转盘抽奖机会，如图三个扇形区域圆心角都是.转动转盘（若指针落在分界线上，则重新转动），则小明两次抽到的都是“神秘盲盒”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，为边上一点，延长至点，使，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6 9. 在同一坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，交于点，，，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. ______． 12. 因式分解：______． 13. 如图，反比例函数的图象经过的顶点，与相交于点，，垂直于轴，垂足分别为，，若，且四边形的面积为3，则的值为______． 14. 如图，在矩形中（），把沿着对角线折叠，使点落在处，与相交于点，点在上，点在上，与交于点，把沿着折叠，点恰好和点重合. （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）若，，则______. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴对称所得的； （2）在边上确定一点，连接，使得平分的面积. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： （1）写出第个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 18. “一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在学习了平面反射的知识后，某班科学社团利用平面镜反射光线测量班级智慧黑板的宽度.如图在地面水平放置一块平面镜，一束光线从点发出，测得入射角时，反射光线恰好到达黑板上端处，将一束光从点发出，测得入射角时，反射光线恰好到达黑板下端处.经测量，已知点，，在同一竖直直线上，点，在同一水平线上，求智慧黑板宽的长（结果精确到，入射角等于反射角，参考数据：，，，） 20. 如图，经过平行四边形的三个顶点，，，为直径，延长交于点，连接. （1）求证：点是的中点； （2）连接，作于点，若，，求平行四边形的面积． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 某学校积极开展各项安全培训，并对教育前后全校学生掌握安全知识情况进行测试.某班实践小组随机抽取部分学生成绩进行统计分析，了解安全教育效果，为学校加强安全教育提供参考. 【数据收集与整理】 从全校随机调取了200个学生接受教育前和教育后的测试成绩，学生得分用（单位：分）表示分组如下.整理数据，将教育前和教育后测试成绩绘制成频数直方图，部分信息如图： 组别 【数据分析与运用】 任务1 求样本中教育前学生成绩在组的人数，并补全频数直方图； 任务2 样本数据中教育前中位数在______组，教育后中位数在______组； 任务3 教育后这五组的组中值分别是55，65，75，85，95，我们可以把组中值作为各组测试成绩的平均分，现已算得教育前成绩平均分是分，计算教育后平均成绩比教育前提高了多少分？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，点，分别是菱形的边，上的点，. （1）求证：； （2）如图2，连接与相交于点，连接，． （i）当时，求证：四边形是平行四边形； （ii）如图3，的延长线交于点，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线． （1）填空：______，______，______； （2）将向下平移个单位后，所得直线与抛物线有两个交点，，且，求的值； （3）平移抛物线得到新抛物线，若直线与抛物线仅有一个交点，且当时，有最小值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $