精品解析：安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题

蚌埠市2025届高三年级适应性考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. {2} C. {3} D. {2，3} 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集定义，即可求解. 【详解】由补集的定义可知，. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可； 【详解】因为，所以或， 则可以推出，但不能推出． 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则求出复数z，再求z的共轭复数. 【详解】因为， 所以z的共轭复数为. 故选：B. 4. 已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由体积和底面积，可求出顶点 到底面 的垂直高度 ，进而由直线与平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果. 【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为： 因为三棱锥的体积为1 和底面积 ， 得：解得： 设直线 与平面 所成角为，所以 故选：C 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求得，进而利用可求值. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 所以 . 故选：A. 6. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，又判断AB；计算可得判断C；计算可得判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减得，所以， 所以，所以， 当时，，又，所以，所以， 所以数列不是等比数列，故A错误； 对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，故B正确； 对于C，由A可得， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由C可得， 所以，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：B. 7. 在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，由，可求，从而可求四边形的面积. 【详解】由，，可得， 所以，所以， 又，所以，所以， ， 所以. 故选：C. 8. 已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出准线，过作准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图， 则，又，所以， 所以，所以， 所以 直线斜率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日-10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（ ） A. 3月上旬我市日最高气温的极差为20℃ B. 3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃ C. 3日-10日我市日最高气温持续上升 D. 3月上旬我市日最高气温的60％分位数为15.5℃ 【答案】BD 【解析】 【分析】求得极差判断A；求得平均气温判断B；8日到9日气温是下降的可判断C；求得60％分位数判断D. 【详解】对于A，3月上旬我市日最高气温的极差为℃，故A错误； 对于B，3月上旬我市日最高气温的平均数为℃，故B正确； 对于C，3日-10日我市日最高气温不是持续上升，8日到9日气温是下降的，故C错误； 对于D，气温由低到高排列为3，4，7，12，12，15，16，19，23，24， 又，故3月上旬我市日最高气温的60％分位数为℃，故D正确. 故选：BD. 10. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出，从而得到双曲线C的焦距；B选项，双曲线定义得；C选项，举出反例；D选项，设，则，故，D正确. 【详解】A选项，双曲线C：（）的渐近线方程为， 又一条渐近线方程为，故，解得， 故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确； B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确； C选项，，当直线l与轴垂直时， 中，令时，，故，C错误； D选项，， 设，则，即， ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，在R上单调递增 C. ，的图象上都存在关于y轴对称的两个点 D. 当时，记，若有5个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析和的函数部分值域，然后综合研究判断A；利用分段函数单调性判定方法分析判断B；构造关于轴对称的点，得到关于的方程，进而转化为函数的零点问题，利用零点存在定理判定C；利用数形结合法分析的解的个数，确定的范围，判断D. 【详解】对于A，当时，当时，，函数单调递增，值域为， 当时，，对称轴为， 最小值为，所以有最小值； 对于B，当时，当时，，函数单调递增， 当时，，对称轴为，函数单调递增， 其中，所以在R上不单调递增，故B错误； 对于C，设点关于轴对称的点为，需满足， ，，即， 设，则. 解法一：因为在的图像是连续不断的，当时，， 所以，函数在开区间内总有零点，故C正确； 解法二：设，当时，，当时，，所以当时，， 所以对于任意的，函数在开区间内有零点，故C正确； 对于D，当时，，图象如图所示： 解得，解得. 的零点就是关于的方程（记作①）的实数解的个数. 令，，则方程①的解集为对于关于的方程（记作②）的每一个的值，所得到的关于的方程（记作③）的所有的不同的解的集合,换言之函数的零点的集合，根据题意. 方程②的解是函数和的交点的横坐标，可以参照的图象与直线的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数的图象与直线的交点的横坐标，其中是方程②的每一个解. 方程③有解时，必有，方程②有解，必有， 因此下面可以只考虑的情况和方程②中的非负实数解. （1）当时，方程②有一个非负实数解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合题意； （2）当时，②只有2个非负实数解且， 对于方程③有三个解，对于方程③有两个解， 这5个解是直线和函数的图象的5个不同交点的横坐标， 由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数有且只有5个零点，符合题意； （3）当时，②只有1个非负实数解，此时方程③有两个解，所以方程①有2解，即只有2个零点，不合题意； （4）当，方程②只有1个非负解且，此时③只有1个解，不合题意； （5）当时，方程②有两个解，或， 对于，方程③有1个解；对于，此时方程③有1个解，故方程①只有2个解，不合题意； （6）当，方程②只有一个解且，此时方程③只有1个解，故方程①只有1个解，不合题意. 综上所述，若有5个零点，则，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用代换1法,结合基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 13. 在中，，，点D在上且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，，可得，利用，即可求得的取值范围. 【详解】 由题意，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系， 设， 因为在中，，， 则， 又点D在上且， 设，则， 又，则， 解得，所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果. 【详解】设函数 的周期为 ，由， ， 结合正弦函数图象的特征可知， ， . 故 . 又因为 在区间上单调，所以， ，故 ， 所以 . 由 ，得 ，即且， 所以，当 时， ， ，或，舍. 当 时， ， ， ，符合条件. 所以 ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，代入点的坐标可求得椭圆方程； （2）法一：设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，，联立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系可得，，由题意可得，进而计算可求得，可求直线的方程.法二：将直线方程代入椭圆方程可得，由题意可得，，求解即可. 【小问1详解】 由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 依题意直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，． （方法一） 联立方程，消去y得， 依题意，，∴， 且，， 依题意，即， 整理得， 从而， ∴，解得，，满足． 从而直线AB的方程为． （方法二） 将即代入，得， 整理得，， 依题意，，∴， 依题意，，解得，满足， 所以AB的方程为． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果. 【小问1详解】 当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． 【小问2详解】 ，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为，，所以是线段的中垂线， 即， 又平面，平面，则， 由，，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件中的几何关系，说明，且，即可证明线面垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，代入平面夹角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与相交于点，取的中点，连接．因为是线段的中垂线， 所以是的中点，则，且． 由平面，，平面，得，， 所以，． 由条件，可求得，， 以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 易得，，，，． 设平面PAB的法向量为，，， 由，取，则，， 所以平面的一个法向量为． 设平面PCD的法向量为，，， 由，取，则，， 所以平面的一个法向量为． ． 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立． （1）求甲代表队夺冠的概率； （2）比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.648 （2） X 2 3 4 P 0.2304 0.6464 0.1232 期望为 【解析】 【分析】（1）甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件，分别求得，，可求甲代表队夺冠的概率； （2）随机变量X的可能取值为2，3，4，分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求数学期望. 【小问1详解】 记甲代表队夺冠为事件A，甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件， ， ， ， 所以甲代表队夺冠的概率为0.648． 【小问2详解】 比赛2局结束的概率为， 比赛3局结束的概率为， 随机变量X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 故随机变量X的分布列为 X 2 3 4 P 0.2304 0.6464 0.1232 ． 19. 已知有穷数列A：，，…，（，），设，记S中元素的个数为． （1）若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出的值； （2）若A是单调数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，，数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成，且这个数在数列A中至少出现一次，求的取值个数． 【答案】（1）， （2） “充分性”：A为等差数列：，，，…，（）． 则（）， 能取从1到的每个整数，故， 因此． “必要性”：不妨设A为递增数列：，，…，，作运算并比较如下： ，共个互不相等的数，同理 ，共个互不相等的数． ，共个互不相等的数． …… ，共个互不相等的数， 由及A的有穷性，知 ． 即A为等差数列． （3）2n 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的S的取值可能，得出的值； （2）“充分性”：A为等差数列：，，，…，（）．则，可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，不妨设A是递增数列，推理可得，可得数列A是等差数列； (3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为. 【小问1详解】 因为，，，，则的可能情况有： ，，，，，， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成且项数为，所以数列A中必有相等的项，则任意两项的差值可能为0，，，，…，，，，…，， 其中，必有，对于，2，3，…，，t和至少有一个属于S， 所以． （方法一） ①当数列A为：1，2，3，4，…，，n，2n，n，，…，4，3，2，1时， ， 值最大，其值为． ②当数列A为：1，2，3，4，…，，2n，n，n，，…，4，3，2，1时，即在①中的数列第一个出现的n与2n对调， ， 此时； ③把②中第一个出现的与2n对调，即A：1，2，3，4，…，，2n，，n，n，，…，4，3，2，1， ， 此时； 以此类推，可得 ④当数列A为：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，1，即2n为首项，此时． ⑤当④中最后一项1变成2，其余不变， A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，2，此时值变为； ⑥当⑤中最后两项2都变成3，其余不变， A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，3，3，此时； 以此类推，可得 ⑦当数列A为：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，n，n，…，n，n，即最后的n项都变为n，此时，其值最小． 综上，知的取值可取上的每个整数， 个数为 （方法二） ①当数列A为：1，2，3，…，n，，则，． ②当数列A为：1，2，…，n，2n，n，，…，1， 则，． ③当数列A为：1，2，…，n，，…，， 则． ， 其中，2，…，，故，，…，． ④当数列A为：1，2，…，n，n，，…，，2n，k，，…，1， 则， ， 其中，2，…，，故，，…，． 综上可取中所有整数，即个数为2n． 【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2025届高三年级适应性考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. {2} C. {3} D. {2，3} 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列是等比数列 7. 在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日-10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（ ） A. 3月上旬我市日最高气温的极差为20℃ B. 3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃ C. 3日-10日我市日最高气温持续上升 D. 3月上旬我市日最高气温的60％分位数为15.5℃ 10. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 11. 已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，在R上单调递增 C. ，的图象上都存在关于y轴对称的两个点 D. 当时，记，若有5个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则的最小值为________． 13. 在中，，，点D在上且，则的取值范围是________． 14. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立． （1）求甲代表队夺冠的概率； （2）比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 19. 已知有穷数列A：，，…，（，），设，记S中元素的个数为． （1）若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出的值； （2）若A是单调数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，，数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成，且这个数在数列A中至少出现一次，求的取值个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $