精品解析：2025年河南省南阳市桐柏县中考二模数学试题

桐柏县2025年春期第二次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，已知，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D. 只有一个实数根 8. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中至少有一幅是哪吒的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率电池中的电量）随充电时间（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电持续时间是120分钟 B. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 C. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 D. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 10. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数，因为，所以．是“递减数”；又如：四位数，因为，所以不是“递减数”．若一个“递减数”为，则的值为_____． 13. 学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 14. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 15. 如图，在矩形中，，，E、F分别是、上的动点，且，连接，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，连接，则的最小值为_____． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，今年的主题是“全民国家安全教育，走深走实十周年”．为切实加强安全宣传教育，提升师生安全防范意识，我校组织七年级名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别：，，，，，，，，，，，，，，． 乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，． 【整理数据】 分数段 班级 甲 乙 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，_____分． （2）若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少名． （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可） 18. 如图，是一张锐角三角形纸片． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线，交于点； ②在、上分别取两点和，连接、，使四边形是菱形． （2）若，，求的长． 19. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 20. 如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 21. 2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型．设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质．小明准备购进“蜀宝”和“锦仔”两种徽章，用3000元购进蜀宝徽章与用3500元购进锦仔徽章的数量相同，已知锦仔徽章进价比蜀宝徽章每个进价多5元． （1）求两种徽章的进价； （2）经市场调查发现，锦仔徽章每个售价50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个，物价部门规定其销售单价每个不高于65元，设锦仔徽章每个涨价元，小明一天通过售卖锦仔徽章获得利润为元． ①求与之间的函数表达式； ②锦仔徽章的销售单价为多少时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 22. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，， 方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小． 23. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桐柏县2025年春期第二次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握正数负数，负数绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2， 故选：C． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是三角形，即看到的图形如下： 故选：B． 3. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：万， 万用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 先根据平行线的性质得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点、解一元一次不等式组，首根据点在第四象限，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：． 故选：A． 6. 如图，是的外接圆，已知，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 连接，根据圆周角定理得出，则，最后根据，即可解答． 详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据平方的非负性可知，所以可得一元二次方程的两个根是，，所以可知一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程中， ， ，， 一元二次方程有两个不相等的实数根．   故选：B． 8. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中至少有一幅是哪吒的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 列表格得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【详解】解：令四幅海报分别为A、B、C、D，哪吒海报为A， 列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有12种情况，至少有一幅是哪吒的情况有6种， ∴至少有一幅是哪吒的概率， 故选：B． 9. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率电池中的电量）随充电时间（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电持续时间是120分钟 B. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 C. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 D. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由函数图象读取信息是解题的关键．仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可得出答案． 【详解】解：A．由函数图像可知，本次充电持续时间120分钟，正确，不符合题意； B．由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； C． 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， ∴到的电量变化对应的耗电量千瓦时，即本次耗电千瓦时，故该选项错误，符合题意， D．由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； 故选C． 10. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【详解】解：如图，作AE⊥BC于E， 根据已知可得，AB=BC， ∴， 解之得，AB=BC=10cm． 由图可知：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大时面积=×10×6=30． 当P点在AD上时，因为同底同高，所以面积保持不变； 当P点从D到C时，面积又逐渐减小； 又因为AB=10cm，AD=2cm，CD=6cm，速度为1cm/s，则在这三条线段上所用的时间分别为10s、2s、6s． 故选：B． 【点睛】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，先将0次幂，算术平方根，和三角函数化简，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数，因为，所以．是“递减数”；又如：四位数，因为，所以不是“递减数”．若一个“递减数”为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据“递减数”的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据递减数的定义可得：， 解得：． 故答案为：． 13. 学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：甲的总成绩为， 乙的总成绩为， ∵， ∴乙同学被录取， 故答案为：乙． 14. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，E、F分别是、上的动点，且，连接，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，连接，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，连接，连接交于，过作于，由折叠可得垂直平分，则，由可得，得，即可求出，再证明，得到，求出，，再利用勾股定理求出，最后根据中三边关系列不等式，根据三点共线取最值即可求解． 【详解】解：连接，连接交于，过作于， 由折叠可得垂直平分， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵中，当、、三点共线时，或， ∴，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和去括号法则，将括号展开，再合并同类项即可； （2）先将括号内通分，能因式分解的进行因式分解，再将除法改写为乘法，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17. 2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，今年的主题是“全民国家安全教育，走深走实十周年”．为切实加强安全宣传教育，提升师生安全防范意识，我校组织七年级名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，． 乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，． 【整理数据】 分数段 班级 甲 乙 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，_____分． （2）若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少名． （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可） 【答案】（1）， （2）估计参加测试的名学生中成绩为优秀的学生共有名 （3）甲班学生测试的整体成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的定义，用样本估计总体，利用平均数与方差做决策，准确从表格中获取相关信息是解题关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）用总人数乘以样本中甲、乙班测试成绩分及其以上人数和所占比例即可求解； （3）根据平均数、方差的意义即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的甲班成绩中分出现次数最多，有次， 抽取的甲班成绩的众数； 将抽取的乙班成绩按照从低到高的顺序排列，排在第位的是， 抽取的乙班成绩的中位数． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：甲班测试成绩92分及其以上的有9名，乙班测试成绩92分及其以上的有7名， （名）， 答：估计参加测试的名学生中成绩为优秀的学生共有名． 【小问3详解】 解：甲班学生测试的整体成绩较好，理由如下： 甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班， 甲班的整体成绩较好． 18. 如图，是一张锐角三角形纸片． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线，交于点； ②在、上分别取两点和，连接、，使四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①作已知的角平分线即可； ②先作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、，根据线段的垂直平分线的作图和性质及平分，可得，即四边形是菱形． （2）利用菱形的性质证得，可得，即，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示， ②如图所示，四边形为所求． 【小问2详解】 解：四边形为菱形， ，， ， ， ，， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相关尺规作图是解题关键． 19. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 20. 如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ． （1）先证明，则，由，得到，继而求证； （2）连接，为的直径，，则，，先求，再证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是的切线，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵半径为5 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴ ， ∴， ∴． 21. 2025年成都世界运动会吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型．设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质．小明准备购进“蜀宝”和“锦仔”两种徽章，用3000元购进蜀宝徽章与用3500元购进锦仔徽章的数量相同，已知锦仔徽章进价比蜀宝徽章每个进价多5元． （1）求两种徽章的进价； （2）经市场调查发现，锦仔徽章每个售价50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个，物价部门规定其销售单价每个不高于65元，设锦仔徽章每个涨价元，小明一天通过售卖锦仔徽章获得的利润为元． ①求与之间的函数表达式； ②锦仔徽章的销售单价为多少时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）蜀宝徽章单价为30元/个，锦仔徽章的单价为35元/个 （2）① ②锦仔徽章的销售单价为每个65元时一天获得利润最大，最大利润是2040元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，熟知题中的等量关系是解题的关键． （1）设购进蜀宝徽章单价为元个，则锦仔徽章的单价为元个，根据题意列分式方程，即可解答； （2）①根据题意得到函数关系式即可； ②利用二次函数的性质，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设购进蜀宝徽章单价为元个，则锦仔徽章的单价为元个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：蜀宝徽章单价为30元/个，锦仔徽章的单价为35元/个； 【小问2详解】 解：①由题意可得， 与之间的函数表达式为：； ②， 函数有最大值，二次函数的对称轴为：， 物价部门规定其销售单价不高于每个65元， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，． 此时销售单价为元． 答：锦仔徽章的销售单价为每个65元时一天获得利润最大，最大利润是2040元 22. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，， 方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得，，故；再比较的大小即可． 【小问1详解】 解：解：由题意得，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：在中，令得： 解得，，． ， ， ， ． 23. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 （3）和 【解析】 【分析】（1）①先证明是等边三角形，可得，再证明，然后利用全等三角形的性质求解即可；②根据，，即得； （2）连接．在上截取，连接．证明，再由全等三角形的性质可得结论； （3）点F在以点B为圆心，以为半径的圆上运动．注意到直线与间的距离为，则符合题意的点F有四处位置，如图中的点，，和．过点B作交的延长线于点H，再求解即可． 【详解】解：（1）①∵在菱形中，有，， ∴是等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ； 故答案为：①；②． （2）数量关系为： 证明：如图，连接．在上截取，连接． ∵在菱形中，， ． ∴为等边三角形， ∴，， ． 又， 故． ∵，． ． ， ∵， ； （3）和 如图，点在以点为圆心，以长为半径的圆上运动． 直线与间的距离为， 则符合题意的点有四处位置，如图中的点，，，． 过点作交的延长线于点． ①其中点，落在直线上，它们到直线的距离． ②其中点落在直线上， 在中，，，， ，， ， ． 由（2）知，， 又， 故点到直线距离． ③其中点落在直线上，设与交于点， 在等边中，，则，． 在中，， 则． 又， 点到直线的距离． 故大于的的值为和 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$