专题02 旋转的性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 旋转的性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 判断生活中的旋转现象 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 找旋转中心、旋转角、对应点 题型五 判断由一个图形旋转而成的图案 题型六 求旋转中心的个数 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 画旋转图形 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十 旋转角度问题 题型十一 旋转中的规律探究题 题型十二 旋转中的最值探究 题型十三 旋转综合题 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可． 【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角， 再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角． 故选C． 【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列图形变换中，不是旋转变换的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解：A．OB′绕O逆时针旋转90∘，即可得到半圆OAB，故是旋转变换，选项错误，不符合题意； B．△ABC绕O旋转180∘，即可得到△A′B′C′，故是旋转变换，选项错误，不符合题意； C．四边形AOCB饶BA和C′A′的交点，顺时针旋转90∘与四边形OA′C′B′重合，是旋转变换，选项正错误，不符合题意； D．OACB沿∠BOA′的平分线对折得到A′OB′C′，故不是旋转变换，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 【答案】8 【分析】根据旋转对称图形的性质可知，旋转后图形与原图形完全重合，即对应线段是相等的. 【详解】由题意，本题图形为旋转对称图形，可以找出旋转中心为点O（如图所示），旋转角为， 由此可得，AB=CD，BC=DA，AM=CP，MB=PD，BN=DQ，NC=QA，MN=PQ，NP=QM， 故答案为8. 【点睛】本题考查了旋转对称图形，找出旋转中心和旋转角是解题关键. 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 【答案】见解析. 【分析】解题的关键是观察图形，找出图中图形坐标的变化情况，总结出规律． 【详解】解：根据图形和坐标的变化规律可知： 由：纵坐标没变，横坐标变为原来的倍，因此图形做了横向拉伸变化； 由：点横坐标没变，纵坐标变为原来的相反数，因此图形关于轴对称； 由：图形中三个顶点的横坐标没变，纵坐标都增加了，即点、点、点向下平移一个单位．因此图形做了平移变化． 【点睛】本题主要考查了图形的平移和轴对称变换，解题的关键是要掌握坐标的变化和图形之间对应的变化规律，根据坐标的变化特点可推出图形的变化． 【经典例题二 判断生活中的旋转现象】 【例2】（23-24九年级·湖南岳阳·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据图示进行分析解答即可． 【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转， 故选B． 【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）图中，甲图怎样变成乙图： ． 【答案】绕点A顺时针旋转 【分析】根据旋转的定义即可求解． 【详解】解：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图． 故答案为：绕点A顺时针旋转． 【点睛】此题主要考查旋转的判断，解题的关键是熟知旋转的特点及定义． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，若将一个由半圆（圆心为O）和一条直径所组成的图形称为“半圆形O”，它的直径AB＝2，半圆形B的直径为OC．对半圆形O作下述运动，所得图形能与半圆形B重合的是（　　） A．向右平移1个单位 B．以直线AB为对称轴进行翻折 C．绕着点O旋转180° D．绕着线段OB的中点旋转180° 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质即可得出结论． 【详解】∵OB＝AB＝OC， ∴AB＝OC， 由图象可知半圆形O和半圆形B是共圆中心对称的两个图形，其对称中心为对称点连线的中点， 故半圆形O绕着线段OB的中点旋转180°能与半圆形B重合， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，关于中心对称的两个图形的概念，找出对称中心是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）利用所学知识观察如下图所示，在标有字母的六个形状中，其中有五个分别与右侧标有数字的形状相同，它们是 ． 【答案】，，，， 【分析】根据图形旋转的性质找出对应的图形即可． 【详解】对比两图可知，a与2，b与3，c与4，d与5，e与6对应． 故答案为a，b，c，d，e． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm.如果OA绕点O，按逆时针方向旋转30°到 ，那么点的位置可以用（2，30°）表示.如果将再沿逆时针方向继续旋转45°，到，那么点的位置可以用（ ， ）表示. 【答案】（2，75°） 【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，即旋转后所得图形与原图形全等，通过分析坐标的形成即可解答. 【详解】解：第一个坐标为原点到此点的距离，旋转前后线段长度不变，所以OA″=OA=2， 第二个坐标为与x轴的夹角=∠A″OA′+∠A′OA=45°+30°=75°， 那么点A”的位置可以用（ 2，75°）表示， 故答案为（2，75°）. 【经典例题四 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例4】（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，△CDE是由△OAB绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，旋转中心为Q（0，5），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ）    A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 【答案】C 【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到的位置，    ∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点． 故A，B，D三项错误，C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，两个三角形的顶点都在格点上，其中一个是另一个绕着某定点旋转得到的，则这个定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】如图，点P即为所求， 故答案为：（-1，3） 【点睛】本题主要考查了旋转中心的性质，熟练的掌握“旋转中心在对应点连线的垂直平分线交点上”是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是 (2)， 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可解答； （2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解． 【详解】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点， 旋转中心是点A； 根据旋转的性质可以知道：， 旋转角度是150°； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴， 又∵C为中点， ． 【经典例题五 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例5】（2024·湖南张家界·中考真题）下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】试题分析：如图1所示：可得到①通过旋转可以得到右侧图形； 如图2所示：可得到③通过旋转可以得到右侧图形． 故选B． 考点：利用旋转设计图案． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）分析下列图形的形成过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何变换，分清图形变换的几个最基本概念是解题的关键．仔细观察图案，分析构成的基本图形，再分析图形变换的过程和方式．是通过平移、轴对称、旋转中的一种变换还是其中的几种变换的组合，另外要注意图形形成不是唯一的，即基本图形也不唯一，要全面思考，认真分析． 【详解】 解：仔细观察会发现这四个图形分别是由以下的基本图形构成的．第一个是由基本图形旋转十次后得到的，第二个是由基本图形平移两次后得到的，第三个是由基本图形旋转五次后得到的，第四个是可以由轴对称变换得到 【经典例题六 求旋转中心的个数】 【例6】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例7】（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中，，， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中，，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据轴对称图形和旋转的性质作图即可； （）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴与的关系为． 【经典例题八 画旋转图形】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）将下面的图形按顺时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画旋转图形，根据旋转的概念，正确作图即可得到正确答案．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．准确地找到对称中心和旋转角是解题的关键． 【详解】 解：将图形按顺时针方向旋转后，图形开口向上，， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义.把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可 【详解】解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C 2．（2024七年级下·湖南张家界·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【答案】   【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前后的图形不发生任何变化，绕中心旋转，即是对应点绕旋转中心旋转，即可得出所要图形，注意矩形图形的旋转变换是解题的关键． 【详解】 解：将图形  ，各对应点绕中心旋转， 可得出相应图形：  ，即是所求答案， 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把绕点O顺时针旋转后得到．请画出（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转，根据网格特点找出A、B、C的对应点D、E、F，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【经典例题九 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例9】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，然后计算即可． 【详解】∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．掌握旋转的性质的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，线段CD是由线段AB绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B的对应点分别是点C，D，则下列各角中等于旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转角的定义进行判断便可． 【详解】解：根据旋转角定义可知，本题的旋转角有：∠AOC、∠BOD． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转角的识别．熟记旋转的定义与识别方法是解决本题的关键． 2．（2024·湖南怀化·一模）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知cm，cm，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至△，使点恰好落在边上， ， ，， ， 的长是：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是由旋转的性质得到相等的角，即，，再利用三角形内角和求出． 【详解】解：由旋转可知：，， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题十 旋转角度问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得， ， 又 ∵， ， 故选：C． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将沿射线BC的方向平移，得到，再将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D．下列结论中，不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解题的关键． 根据图形平移和旋转的性质进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．仅根据已知的平移和旋转条件，无法得出 ，故不一定正确，该选项符合题意； B．因为沿射线方向平移得到 ，根据平移的性质，对应点所连的线段相等，所以与，与是对应点，， 该选项结论说法正确，不符合题意； C．由于先平移再旋转得到 ，旋转前后对应角相等，与是对应角，所以 ，该选项结论正确，不符合题意； D．由旋转的性质可知，旋转前后对应线段相等，与是对应线段，所以 ，该选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质旋转角为，结合，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． (1)如图1，作，使与关于直线对称． (2)如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，作轴对称图形， 对于（1），作点B关于直线的对称点P，连接，则即为所求作； 对于（2），将点E，D分别绕点F顺时针旋转得到点Q，R，连接，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． 【经典例题十一 旋转中的规律探究题】 【例11】 （23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置探究规律，解题的关键是找到规律解决问题． 【详解】解：作，轴于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴， 第一次旋转得到的坐标为； 第二次旋转得到的坐标为 ； 第三次旋转得到的坐标为 ， 第四次旋转得到的坐标为， ； 四次一个循环， ∵， ∴则第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转变换、正方形的性质等知识点，学会探究规律的方法是解题的关键．先确定，再求，然后归纳旋转的点坐标规律并利用规律求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋，每次旋转， ∴ 由题意旋转8次回到原来位置，， ∴将正方形绕原点O顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点B在y轴的正半轴上，即． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，若连续作旋转变换，则第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键． 【详解】解：，， ， 由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，三角形④的直角顶点的坐标为， 这样旋转6次直角顶点是，再旋转一次到三角形⑦，直角顶点仍然是，……， 题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合， ，，再翻转一次，直角顶点不变， 第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【经典例题十二 旋转中的最值探究】 【例12】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． （2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 【详解】（1）解：如图3中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为5． 故答案为5． （2）如图4中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作交的延长线于． 在中，，， ， 在中， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 【经典例题十三 旋转综合题】 【例13】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：    绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键； （1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可； （2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答； （3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论， 【详解】（1）平分， ， 绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为， ， （2）①当过，但并未过，如图 ， ， ，， ， ， ②超过延长线且未过延长线时，如图 ， ， ， ， ， 即：， ， 综上所述：t的值为或 （3）①未超过时，如图 ， ， ， 平分，平分， ， ， ②超过，但未超过时，如图 ，， ， ， 平分，平分， ， ， ③超过时， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 综上所述：的度数为 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化与正方形的性质．由正方形有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形要绕五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图形． 【详解】解：∵正方形有4条边，分别记作：1号，2号，3号，4号边，且当1号边与五边形重合时，出现“苹果”的图形， ∵当滚动一周后，是2号边与五边形的边重合，当滚动二周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动三周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动四周后，又是1号边与五边形的边重合， ∴要使第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕五边形转4圈． 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 6．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图所示，它是由一个“树叶”旋转了 次，分别旋转了 而得到的． 【答案】 ， 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：如图所示，它是由一个“树叶”旋转了次，分别旋转了，而得到的． 故答案为：；， 7．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 8．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 10．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意求出，根据题意发现从开始组为一个循环，即可计算答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， 开始组为一个循环，每次循环增加， 故， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，将的各顶点绕点逆时针方向旋转找到三个顶点的对应点，顺次连接后即得所求图形． 【详解】解：如图，即为所求． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，绕点O旋转后，顶点A的对应点为，试确定顶点B，C的对应点，的位置及旋转后的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了图形旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 连接，，即可知旋转角的大小，根据“每一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等”，可得．再根据“对应点到旋转中心的距离相等”，可得，，从而可作出对应点，．确定点的位置后再连接，，，可得． 【详解】解：如图所示： ①连接，，，； ②分别以，为一边，按顺时针方向画； ③分别在射线上截取，在上截取； ④连接，，． 即为绕点旋转后的图形． 13．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查旋转作图及三角形全等的性质， （1）根据旋转后角的度数不变可先证得，从而得到，然后再证明即可得出答案． （2）由（1）得，可得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：把旋转的度数如图 ，． 把旋转的度数后和重合，且， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 平分． （2）由（1）得： ∴ ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∴ 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）将一副直角三角板（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）叠放在量角器上，OE、OF分别平分∠AOB和∠COD． 特例感知： (1)如图I，若点A、O、D在同一直线上，边AO与量角器0°刻度线重合，边OD与量角器180°刻度线重合，则 ； 规律探究： (2)如图II，若两直角三角板有重叠时， ①当时，则∠EOF＝___， ②当，则∠EOF＝___（含的式子表示）； 解决问题： (3)图I的条件下，保持三角板AOB固定不动，将三角板COD绕着点O逆时针旋转，平均每秒旋转5°，直至边OD第一次重合在边OA上，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻三角板COD两直角边是∠AOB的角平分线，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90° (2)①30°；② (3)存在，t的值为9或27秒 【分析】（1）由角平分线可知，，对计算求解即可； （2）①由可得，由，求出，的值，对计算求解即可；②求解过程同①； （3）如图，作于，则，由题意知，在旋转过程中，三角板COD两直角边是∠AOB的角平分线有两种情况：①三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线，此时旋转角为，计算求解即可；②三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线，此时旋转角为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵OE、OF分别平分∠AOB和∠COD ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． ② ∴ ∴， ∴ 故答案为：． （3）解：存在． 如图，作于，则 由题意知，在旋转过程中，三角板COD两直角边是∠AOB的角平分线有两种情况： ①三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线，此时旋转角为 ∵ ∴秒 ∴旋转时间为9秒时，三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线； ②三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线，此时旋转角为 ∵ ∴秒 ∴旋转时间为27秒时，三角板COD的直角边是∠AOB的角平分线； 综上所述，旋转时间为9或27秒时，三角板COD两直角边是∠AOB的角平分线 ∴存在，的值为9或27秒． 【点睛】本题考查了三角形板角度的计算，角平分线，旋转的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 旋转的性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 判断生活中的旋转现象 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 找旋转中心、旋转角、对应点 题型五 判断由一个图形旋转而成的图案 题型六 求旋转中心的个数 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 画旋转图形 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十 旋转角度问题 题型十一 旋转中的规律探究题 题型十二 旋转中的最值探究 题型十三 旋转综合题 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A．B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列图形变换中，不是旋转变换的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 【经典例题二 判断生活中的旋转现象】 【例2】（23-24九年级·湖南岳阳·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）图中，甲图怎样变成乙图： ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，若将一个由半圆（圆心为O）和一条直径所组成的图形称为“半圆形O”，它的直径AB＝2，半圆形B的直径为OC．对半圆形O作下述运动，所得图形能与半圆形B重合的是（　　） A．向右平移1个单位 B．以直线AB为对称轴进行翻折 C．绕着点O旋转180° D．绕着线段OB的中点旋转180° 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）利用所学知识观察如下图所示，在标有字母的六个形状中，其中有五个分别与右侧标有数字的形状相同，它们是 ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm.如果OA绕点O，按逆时针方向旋转30°到 ，那么点的位置可以用（2，30°）表示.如果将再沿逆时针方向继续旋转45°，到，那么点的位置可以用（ ， ）表示. 【经典例题四 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例4】（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，△CDE是由△OAB绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ）    A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，两个三角形的顶点都在格点上，其中一个是另一个绕着某定点旋转得到的，则这个定点的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【经典例题五 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例5】（2024·湖南张家界·中考真题）下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）分析下列图形的形成过程． 【经典例题六 求旋转中心的个数】 【例6】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例7】（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【经典例题八 画旋转图形】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）将下面的图形按顺时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·湖南张家界·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把绕点O顺时针旋转后得到．请画出（保留画图痕迹，不写画法）． 【经典例题九 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例9】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，线段CD是由线段AB绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B的对应点分别是点C，D，则下列各角中等于旋转角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南怀化·一模）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知cm，cm，则的长是 ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 【经典例题十 旋转角度问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将沿射线BC的方向平移，得到，再将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D．下列结论中，不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． (1)如图1，作，使与关于直线对称． (2)如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【经典例题十一 旋转中的规律探究题】 【例11】 （23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，若连续作旋转变换，则第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【经典例题十二 旋转中的最值探究】 【例12】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．    1．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．   【经典例题十三 旋转综合题】 【例13】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 6．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图所示，它是由一个“树叶”旋转了 次，分别旋转了 而得到的． 7．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 8．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 9．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 10．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出绕点按逆时针方向旋转后的图形． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，绕点O旋转后，顶点A的对应点为，试确定顶点B，C的对应点，的位置及旋转后的． 13．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）将一副直角三角板（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）叠放在量角器上，OE、OF分别平分∠AOB和∠COD． 特例感知： (1)如图I，若点A、O、D在同一直线上，边AO与量角器0°刻度线重合，边OD与量角器180°刻度线重合，则 ； 规律探究： (2)如图II，若两直角三角板有重叠时， ①当时，则∠EOF＝___， ②当，则∠EOF＝___（含的式子表示）； 解决问题： (3)图I的条件下，保持三角板AOB固定不动，将三角板COD绕着点O逆时针旋转，平均每秒旋转5°，直至边OD第一次重合在边OA上，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻三角板COD两直角边是∠AOB的角平分线，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$