精品解析：四川省雅安中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知内角的对边分别为，且，则（ ） A B. C. D. 2. 已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 已知向量与不共线，，且三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知均是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（ ） A. 7 B. 7或2 C. 8 D. 8或5 8. 如图，在四边形中，分别是的中点，，，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相等向量的起点必定相同 B. 平行向量就共线向量 C. D. 非零向量与（是非零实数）的方向相反 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11. 已知的内角的对边分别为，则卡列结论正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若只有一解，则的取值范围为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，且，则点的坐标为______． 13 若，则______． 14. 天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为______m．（参考数据：取） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求的坐标； （2）求与夹角的余弦值． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 17. 已知函数的最大值为7． （1）求； （2）求在上的值域； （3）若，求的值． 18. 已知的内角所对的边分别为． （1）已知外接圆面积为． ①求； ②求的最大值． （2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得结果. 【详解】由利用正弦定理可得， 即可得. 故选：B 2. 已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求值. 【详解】手表分针转动的弧度数为：， 又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：. 故选：B 3. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故选：C 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】将向左平移个单位长度可得， 故选：D 5. 已知向量与不共线，，且三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线的性质即可求解. 【详解】由于，且三点共线，故， 故， 故选：C 6. 已知均是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特例及同角关系式即可判断. 【详解】由题意知，均为第二象限角， 当时，，此时，故A错误； 当时，，，故，BD错误； 因为均为第二象限角，且，则，， 所以，又， 故，故C正确. 故选：C 7. 已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（ ） A. 7 B. 7或2 C. 8 D. 8或5 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由于，故， 因此是三角形中最大的边，因此, 由可得， 化简可得，由于，故， 故选：A 8. 如图，在四边形中，分别是的中点，，，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求解. 【详解】由于分别是的中点，故,由可得, 故, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相等向量的起点必定相同 B. 平行向量就是共线向量 C. D. 非零向量与（是非零实数）的方向相反 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可求解A，根据共线的定义求解B，根据向量的加减法运算即可求解C，根据时，，即可求解D. 【详解】对于A，相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故A错误， 对于B,平行向量就是共线向量，B正确， 对于C, ,故C正确， 对于D, 当时，，此时非零向量与（是非零实数）的方向相同，故D错误， 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据最低点可求解，利用周期可得，代入最低点坐标可得，即可判断ABC，利用整体法即可求解D. 【详解】由最低点可知：，故A正确， 由图可得，故，故B错误， 将代入中可得，故，结合，所以，故C正确， 此时，当时，，故在上单调递增，D正确， 故选：ACD 11. 已知的内角的对边分别为，则卡列结论正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若只有一解，则的取值范围为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据边角互化即可求解A，根据正弦定理，结合三角函数的性质以及恒等变换即可求解BD，利用正弦定理即可求解C. 【详解】对于A,，其中为外接圆半径，故A正确， 对于B,由得,由于，,故,B正确， 对于C, 若只有一解，则或，故或，故C错误， 对于D, ， 由于是锐角三角形，故,即， 因此，故,因此，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，且，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 详解】由可得, 所以， 设，则，解得，故, 故答案为： 13. 若，则______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式以及和角公式即可化简得或，即可利用诱导公式求解. 【详解】由可得， 故，故或， 故或， 故答案为：2或， 14. 天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为______m．（参考数据：取） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，证明出，可得出，由锐角三角函数的定义得出，结合勾股定理可得出、的长，分析可知为等腰直角三角形，可得出，由此可求得塔高. 【详解】如下图所示，过点D作，垂足为点， 由题意可知，，，， 故，所以， 在和中，，，， 所以，，故， 中，，故， 所以，可得，故， 因为，，所以为等腰直角三角形，则， 因此. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求的坐标； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加减运算、数乘运算的坐标表示计算可得结果； （2）利用向量夹角的坐标表示直接代入计算可得结果. 【小问1详解】 由可得，； ； 因此 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 因此与夹角的余弦值为. 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）根据面积公式即可求解， （3）利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 即，即， 在中，，则． 【小问2详解】 中，由，得， 所以的面积． 【小问3详解】 由， 得， 所以的周长为． 17. 已知函数的最大值为7． （1）求； （2）求在上的值域； （3）若，求的值． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把函数化成，再根据函数的最大值求的值. （2）利用换元思想，结合的图象，求函数的值域. （3）利用诱导公式和二倍角公式求值. 【小问1详解】 因为. 因为且的最大值为7，所以. 【小问2详解】 当时，. 由在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以. . 18. 已知的内角所对的边分别为． （1）已知外接圆的面积为． ①求； ②求的最大值． （2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解①，根据余弦定理可得，即可根据基本不等式求解②， （2）利用向量的线性运算，结合向量垂直的关系，即可求解得，进而利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ①外接圆的半径为，则，故， 所以, ②由可得，故， 故，当且仅当时取等号，故的最大值为. 【小问2详解】 由于，所以 由于为的垂心，故， ， 故，故， 由可得，故 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 【答案】（1）3 （2）①,②的上确界是.,证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解， （2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可. 【小问1详解】 由于， 进而，故的上确界为3. 【小问2详解】 由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②由题意可得， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的，若，可取使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$