第5章 分式（思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第5章 分式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 知识点梳理04：分式方程的应用 5 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：分式的基本性质 6 易错知识点02：分式的运算 6 易错知识点03：分式方程 6 易错知识点04：符号与变形 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：分式的意义 7 重点考点讲练01：分式的求值 7 期末考向二：分式的乘除 9 重点考点讲练02：分式乘除混合运算 9 期末考向三：分式的加减 10 重点考点讲练03：分式加减混合运算 10 重点考点讲练04：分式加减的实际应用 12 重点考点讲练05：分式加减乘除混合运算 15 重点考点讲练06：分式化简求值 16 期末考向四：分式方程 17 重点考点讲练07：分式方程无解问题 17 重点考点讲练08：列分式方程 19 重点考点讲练09：解分式方程(化为一元一次) 20 重点考点讲练10：分式方程的行程问题 22 重点考点讲练11：分式方程的工程问题 24 重点考点讲练12：分式方程的经济问题 26 重点考点讲练13：分式方程和差倍分问题 28 重点考点讲练14：分式方程的其它实际问题 30 优选真题难度分层练 34 中档题—夯实基础能力 34 压轴题—强化解题技能 39 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4．零指数 　　. 5.负整数指数 　　 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的基本性质 1. 分式有意义的条件 分式存在的必要条件是分母不为零，需特别注意以下情况： · 化简分式时，若约分了分母的因式，原分式中被约去的因式对应的取值仍需排除（如原分式分母为 ，约去后，仍须满足且）。 · 分式方程求解后需代入检验，排除使分母为零的解（增根）。 2. 分式基本性质的误用 分式变形时，需遵循分子与分母同乘或同除一个非零整式的原则。常见错误包括： · 仅对分子或分母单独变形（如错误将）。 · 混淆分式的符号变化规则（如误认为，实际应为）。 易错知识点02：分式的运算 1. 乘除运算 · 因式分解不彻底：运算前需对分子、分母进行彻底分解，否则可能导致约分错误。例如，，若未分解直接约分会导致错误。 · 运算顺序错误：混合运算中需严格遵循乘除优先于加减的规则，必要时添加括号。 2. 加减运算 · 通分错误：需正确寻找最简公分母（所有分母的最小公倍式），尤其是分母含多项式时。例如，的最简公分母为，而非仅取单项式。 · 忽略分子整体性：加减运算后合并分子时，若分子为多项式需添加括号，避免符号错误（如）。 易错知识点03：分式方程 1. 解方程步骤缺失 · 漏检验增根：解分式方程必须将根代入原方程分母验证是否为零。例如，方程的解为，但若未检验直接得出结果，可能忽略分母为零的情况。 · 去分母时漏乘整式项：方程两边同乘最简公分母时，需确保每一项均被乘（如方程，去分母后应为）。 2. 应用题中的单位与等量关系 · 实际应用问题（如工程问题、行程问题）中，需注意单位统一及等量关系的正确建立。例如，“甲完成工作的速度是乙的2倍”应转化为分式方程，而非直接设时间为倍数。 易错知识点04：符号与变形 1. 分式整体符号处理 分式前的负号需作用于整个分子或分母。例如，，但运算中若分母为多项式，符号变化需整体添加括号（如）。 2. 复杂分式的拆分与组合 涉及分式的复杂表达式（如）需逐步拆分，避免跳步导致符号错误或漏项。 期末考向一：分式的意义 重点考点讲练01：分式的求值 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 【答案】 4 【思路点拨】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． （1）根据图象表示出即可； （2）根据分解因式可得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【规范解答】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个长方形的面积都是5， ， ， 故答案为：4． 【训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若，则分式______． 【答案】4 【思路点拨】由得，再代入即可解答． 【规范解答】解：因为， 所以， 把代入， 得， 故答案为：4． 【训练2】（22-23七年级下·浙江金华·期末）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】根据，设，，且，将，，代入所求分式中，即可求解． 【规范解答】∵， ∴设，，且， ∴， 故答案为：． 期末考向二：分式的乘除 重点考点讲练02：分式乘除混合运算 【母题精讲】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键． 根据分式的除法法则进行计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为： ． 【训练1】（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据分式的运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故选B． 【训练2】（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留，球体积公式）． 【答案】 【思路点拨】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为，计算小球的总数， 就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答； 【规范解答】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为： 沿长边摆放了个小球，沿宽摆放了 个小球； 所以小球的总数为： 所以小球的总体积为： 长方体纸盒的体积为： 所以纸盒空间 利用率为： 故答案为： ． 期末考向三：分式的加减 重点考点讲练03：分式加减混合运算 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【规范解答】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【训练1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确过程见解析 【思路点拨】应用分式的加减法则进行进行计算即可得出答案． 【规范解答】有错误． 解：， ， ， ， ． 【训练2】（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 重点考点讲练04：分式加减的实际应用 【母题精讲】（20-21七年级上·上海静安·期末）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解： ． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______． (2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)满足条件的整数x的值为2或4或﹣10或16 【思路点拨】（1）按照定义拆分即可． （2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式， ＝ ，若要值为整数，只需为整数即可． 【规范解答】（1）解： ＝ ． （2）解： ＝ 若要值为整数，只需为整数即可 当x=2时 当x=4时 当x=-10时 当x=16时 故x=2或4或-10或16． 【训练1】（21-22七年级下·浙江衢州·期末）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究： (1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）； (2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小； (3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由． 【答案】(1) ， (2)甲糖的单价较高，理由见解析 (3)方式二更合算 【思路点拨】（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价； （2）根据作差法比较大小即可求解； （3）由探究的结果进行分析即可． 【规范解答】（1）解：甲糖单价为：=（元）， 乙糖单价为：=（元）； （2） ∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ∴， ∴甲糖的单价较高． （3）由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖， 故选择方式二更合算． 【训练2】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算．直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得， 故选：C． 重点考点讲练05：分式加减乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）计算的结果是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，按照运算法则计算即可． 【规范解答】 ， 故答案为：1． 【训练1】（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 【训练2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值；，然后从，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】 【思路点拨】将式子进行化简，再代数求值． 【规范解答】解：原式； 当时，原式． 重点考点讲练06：分式化简求值 【母题精讲】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【答案】；当时，值为25，当时，值为 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键， 先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，然后从选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答． 【规范解答】解：原式 ， ∵当是，分式无意义， ∴x可以取2和， 当时，原式； 当时，原式． 【训练1】（21-22七年级下·上海闵行·期末）已知的整数部分为，小数部分为，求． 【答案】， 【思路点拨】根据无理数估算，表示出的整数部分为，小数部分为，代值求解即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 将，代入，原式 ． 【训练2】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）先化简，，再从，，，中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【思路点拨】先根据分式的混合运算法则进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定的取值，代入求值即可． 【规范解答】解： ， ，，， 可以取，此时原式． 期末考向四：分式方程 重点考点讲练07：分式方程无解问题 【母题精讲】（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【规范解答】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 【训练1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【规范解答】解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程，即， 解得， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】先解分式方程得到，再根据分式方程无实数根可得分式方程有增根，由此可得，解方程即可． 【规范解答】解： 去分母得：， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程的无实数根， ∴分式方程有增根， ∴，即 ∴， 解得， 故答案为：． 重点考点讲练08：列分式方程 【母题精讲】（2021·内蒙古鄂尔多斯·一模）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系列出方程是关键；由题意得原计划每天施工米，根据等量关系：按原计划施工速度所需的天数按实际施工速度所需天数，列出方程即可． 【规范解答】解：由实际每天施工x米，则原计划每天施工米， 由题意，得：， 故选：D． 【训练1】（22-23七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为 ． 【答案】 【思路点拨】设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元，根据“300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升”列出方程即可． 【规范解答】解：设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元， 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·吉林四平·期末）王老师为学校购买口罩，第一次用1850元购买医用外科口罩500个，型口罩50个；第二次用3560元购买医用外科口罩1000个，型口罩80个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．设医用外科口罩的单价是元，型口罩的单价是元，则可列出方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题中所给等量关系列二元一次方程组即可． 【规范解答】解：设医用外科口罩的单价是元，型口罩的单价是元， 根据题意，得， 故答案为：． 重点考点讲练09：解分式方程(化为一元一次) 【母题精讲】（24-25七年级上·上海闵行·期末）解方程： 【答案】 【思路点拨】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案． 【规范解答】解：， 在方程两边同乘以，得： 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解． 【训练1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米．    (1)求、两地之间的距离； (2)该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【答案】(1)千米 (2) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组，分式方程等知识点，解题的关键是根据题意列出方程，解方程；（1）设货车速度为 ，、两地之间的距离为 ，根据题意列方程，解方程即可；（2）根据路程与时间和速度的关系，列出分式方程，解分式方程即可， 【规范解答】（1）解：设货车速度为 ，、两地之间的距离为 ，由题意得：， 解得 答：、两地之间的距离为千米 （2）根据题意可知，两车在距离地千米相遇时，有最大值， 则， 解得： 两车在距离地千米相遇时，有最小值， 则， 解得：， 故的取值范围为： 【训练2】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）方程组的解为 ． 【答案】 【思路点拨】先设，，则，再用加减法求解得，然后代入得，，即可求解，最后检验即可得出答案． 检验即可求解． 【规范解答】解：设，，则， 解得：， ∴，解得：； ，解得：， 经检验，，是原方程组的解， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 重点考点讲练10：分式方程的行程问题 【母题精讲】（23-24七年级下·山西临汾·期末）小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度，依题意得，，然后判断作答即可． 【规范解答】解：设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度， 依题意得，， 故选：D． 【训练1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 【答案】(1)， (2)①；②两车相遇时，离地72千米． 【思路点拨】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出、的值； （2）①由已知可得，再由，可求、的值；②相遇时甲车行驶的时间为，乙离地的距离即为甲行驶的距离，（千米）． 本题考查了分式方程的应用；根据题意列出二元一次方程和分式方程，分别用路程相等和时间相等建立等量关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由已知甲车以两种速度行驶的路程相等， 甲车行驶的时间为，即 甲车行驶的总时间为小时， ， ∵， ，； 经检验：，是原分式方程的解 （2）解：①乙车以两种速度行驶的时间相等，且乙车行驶的总时间为2小时， ， ， ∵， ∴ ， ②相遇时甲车行驶的时间为， 乙离地的距离即为甲行驶的距离， （千米）． 两车相遇时，离地72千米． 【训练2】（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【答案】汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式：汽车所用的时间自行车所用的时间分钟是解题的关键． 【规范解答】解：设自行车的速度为米/分钟， 汽车与自行车的平均车速之比为3：1， 汽车的速度为()米/分钟， ， 解得： ， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， (米/分钟)， 答：松江博物馆至佘山森林公园的汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟． 重点考点讲练11：分式方程的工程问题 【母题精讲】（23-24七年级下·广西崇左·期末）某种植基地准备用80公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚． 【答案】公顷 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天建x公顷，则现在每天建公顷，根据实际工期比原工期少了20天列出方程并解答．注意：分式方程需要验根． 【规范解答】解：设工程队原计划每天修x公顷，则实际每天修公顷， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：工程队原计划每天修公顷 【训练1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所的天数是乙队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先单独施工10天，乙队再加入，两队还需同时施工20天，才能完成这项工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为3000元，乙队每天的施工费用为5000元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天 (2)所需的施工费用是元 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队单独完成这项工程所需时间，再将其代入中，即可求出甲队单独完成这项工程所需时间； （2）利用总施工费用两队每天所需施工费用之和两队合作完成工程所需时间，即可求出结论； 找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴． 答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天； （2）解：根据题意得：（元）． 答：所需的施工费用是元． 【训练2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【答案】(1)甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天； (2)第③种施工方案最节省费用，理由见解析． 【思路点拨】此题主要考查了分式方程的应用， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 ． （1） 设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天．根据题意列出方程解答即可； （2） 根据已知算出各种方案的价钱之后， 再根据题意进行选择 ． 【规范解答】（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天． 依题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天． （2）这三种施工方案需要的费用为： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：（万元）． ∵， ∴第③种施工方案最节省费用． 重点考点讲练12：分式方程的经济问题 【母题精讲】（23-24七年级下·广西百色·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进甲，乙两种粽子进行销售，已知购进甲种粽子的金额是810元，购进乙种粽子的金额是1200元，购买甲种粽子的数量比购买乙种粽子的数量多70个，乙种粽子的单价是甲种粽子的单价的2倍，求甲，乙两种粽子的单价． 【答案】甲粽子单价为3元，则乙粽子单价为6元 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲粽子单价为x元，则乙粽子单价为2x元，根据“购买甲种粽子的数量比购买乙种粽子的数量多70个”列出方程求解即可． 【规范解答】解：设甲粽子单价为x元，则乙粽子单价为2x元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲粽子单价为3元，则乙粽子单价为6元． 【训练1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． (1)求商店4月份购进T恤衫多少件？ (2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【答案】(1)80件 (2)4160元 【思路点拨】本题考查分式方程解决实际问题 （1）设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件，4月份每件进价为元，5月份每件进价元，根据“每件进价涨了2.5元”即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解． 【规范解答】（1）解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：商店4月份购进T恤衫80件． （2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件） （元） 答：商店共获毛利润4160元． 【训练2】（23-24七年级下·广西贺州·期末）端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 【答案】(1)每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元 (2)的值为 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元，利用数量总价单价，结合用600元所购肉粽数量是用600元所购蛋黄粽数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出每个蛋黄粽的进价，再将其代入中即可求出每个肉粽的进价； （2）利用数量总价单价，可求出购进肉粽和蛋黄粽的数量，利用少赚的总利润每个少赚的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【规范解答】（1）解：设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元． （2）解：购进蛋黄粽的数量为(个)， 购进肉粽的数量为(个)． 依题意得：， 解得：． 答：的值为． 重点考点讲练13：分式方程和差倍分问题 【母题精讲】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花1800棵，乙种花1200棵 (2)应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据“计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【规范解答】（1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花1800棵，乙种花1200棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【训练1】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）某校利用消毒液对校园进行全面消杀，初三年级先开学，这段时间用掉了120瓶消毒液，在初一、初二年级陆续开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半，求原来平均每天用掉多少瓶消毒液？ 【答案】原来平均每天用掉4瓶消毒液． 【思路点拨】设原来平均每天用掉x瓶消毒液，根据“平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半”列方程即可． 【规范解答】解：设原来平均每天用掉x瓶消毒液， 可列方程是， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每天用掉4瓶消毒液． 【训练2】（22-23七年级下·浙江衢州·期末）本月我市进入梅雨季节，为了保障居民的生命财产安全，某社区购进A，B两种型号的抽水泵共100台，A型抽水泵1000元/台，B型抽水泵1500元/台，购进两种型号抽水泵共用130000元． (1)求该社区购进A，B两种型号的抽水泵各多少台？ (2)在相同环境下，经厂家测试B型抽水泵每小时的抽水量比A型抽水泵多，A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同，求A，B两种型号的抽水泵每小时的抽水量各多少立方米？ 【答案】(1)A型40台，B型60台 (2)A型每小时的抽水量，B型每小时的抽水量 【思路点拨】（1）A型：x台 B型：y台，根据A、B两种型号的抽水泵共100台，两种型号抽水泵共用144000元列出二元一次方程组求解即可； （2）设A型抽水泵每小时抽水量为，则B型抽水泵每小时抽水量为，根据A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同列分式方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设分别购进A型：x台 ，B型：y台， 由题意得： ∴ 答：A型40台，B型60台． （2）解：设A型抽水泵每小时抽水量为，则B型抽水泵每小时抽水量为， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型每小时的抽水量，B型每小时的抽水量． 重点考点讲练14：分式方程的其它实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【答案】(1)完成第一项任务实际用了2天 (2)， (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可； （3）两个代数式作差得，利用a、b取值判断出，进而得到． 【规范解答】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务， 由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：完成第一项任务实际用了2天； （2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天）， 乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天）， 故答案为：，； （3）解：，理由为： ， ∵a、b都为正数，且， ∴，，， ∴， ∴，则． 【训练1】（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【答案】(1)型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递 (2)共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台 【思路点拨】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和一元一次方程是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设需要台型数控机器人，台型数控机器人，根据题意列方程，根据均为正整数，列出方案即可． 【规范解答】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（件）， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 【训练2】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）化学实验室一容器内的a克盐水中含盐b克（盐水的浓度＝含盐质量÷盐水质量×100%）． （1）若加入4克盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（用数学的方法书写过程） （2）若a＝50，b＝5，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍？ （3）若a＝50，b＝5，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 【答案】（1）食盐水的浓度比原来增加了，理由见解析；（2）克；（3）25克 【思路点拨】（1）分别求得原来食盐水的浓度和加入4克盐以后的食盐水浓度，然后进行分式的减法计算； （2）设加入克盐，根据容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列方程求解； （3）设蒸发克水，根据容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列方程求解． 【规范解答】解：（1）由题意可得，容器内原有盐水的浓度为：， 加入4克盐后，容器中盐水的浓度为， ， 食盐水的浓度比原来增加了， （2）设加入克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， 由题意可得：， 当，时， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 加入克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， （3）设蒸发克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， 由题意可得：， 当，时， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）要使分式有意义，x的取值范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【规范解答】解：分式有意义， 则， 解得， 故选：B． 2．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程． 【规范解答】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页， 那么甲读150页所用的时间为：， 乙读200页所用的时间：． 由题意得：． 故选：A． 3．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据同分母的分式相加减的法则求出即可． 【规范解答】解： ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零时，分子为零且分母不为零，即可求解． 【规范解答】解：分式的值为零， ，且， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了异分母分式的加减，先通分，再计算减法，最后约分即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的求值，先根据条件式得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】 【思路点拨】本题考查解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出解后代入检验即可． 【规范解答】解：， 去分母，化为整式方程得：， 即， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简原分式，再代值计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【思路点拨】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 10．（23-24八年级上·吉林白城·期末）先阅读下列解题过程，再回答问题： 计算：． 解：原式① ② ③ ④ (1)以上解答有错误，错误步骤的序号是_______； (2)请你给出正确的解答． 【答案】(1)③ (2)正确解法见解析， 【思路点拨】本题考查的是分式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）分式的加减运算不能去分母，从而可得错误步骤的序号是③； （2）先通分化为同分母分式，再计算即可． 【规范解答】（1）解：解答有错误，错误步骤的序号是③； （2）正确解法为： ． 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：A.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.等式的右边是整式和分式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 12．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）若关于分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先去分母得到整式方程，解得，根据方程有增根得到，将代入求出的值即可． 【规范解答】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有增根， ， ， 把代入中得：， 解得：， 故选：． 13．（22-23七年级下·广西梧州·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】方程去分母化为整式方程，求得x的值，根据方程有增根即可确定m的值． 【规范解答】解：方程去分母得：， 解得：， 由于方程的增根为，则， 解得：； 故选：C． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【规范解答】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 15．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若，则分式 = ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了分式求值，异分母分式的减法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，可得，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴原式； 故答案为：． 16．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）关于的方程的两个解为，；的两个解为，；的两个解为，．则关于的方程的两个解分别为 ， ． 【答案】 【思路点拨】将方程两边同时减去2，将看成一个整体，根据题意即可得出或，即可求解． 【规范解答】解：， ， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 17．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简再求值：，请你选一个使原代数式有意义的数代入求值． 【答案】；当时，原式． 【思路点拨】解：本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题关键．先将除法化为乘法约分，再计算减法，然后取，代入计算求值即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水． (1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？ (2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？ (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值． 【答案】(1)两个水池同时注满水，见解析 (2)注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系 (3)a的值为40 【思路点拨】本题主要考查了列方程解应用题，能根据两水池注水速度之间的关系，分别表示出两水池中的水量是解题的关键． （1）根据题意，分别求出注满甲、乙水池所需的时间即可解决问题． （2）根据题意建立方程，结合分类讨论的数学思想即可解决问题． （3）根据题意得出当甲注满时，乙池的水量为，据此建立分式方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：同时注满，理由如下： 因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 则（分钟），． 因为， 所以两个水池同时注满水． （2）解：因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 设注水x分钟时，两个水池里的水量成2倍关系， 当甲是乙的两倍时， ， 解得． 当乙是甲的两倍时， ， 解得， 此时乙注满，甲正好是一半． 综上所述，注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系． （3）解：因为甲比乙提前注满， 所以当甲注满水时，乙中的水量为． 根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 所以a的值为40． 19．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可； （2）令原代数式的值等于，求出a的值，代入原式进行检验即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：能， 由（1）知，原代数式为， 令， 解得， 经检验，符合题意． 20．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）某超市分别用元购进A、B两种糖果，因为A糖果的进价是B糖果的1.5倍，所以进回的A糖果的质量比B糖果少． (1)如果超市将这两种糖果的销售利润定为，则两种糖果每千克售价分别是多少元？ (2)如果将这两种糖果混合在一起出售，总盈利不变（即仍为），那么混合后的糖果单价应定为多元？ 【答案】(1)甲糖果的售价为13.2元千克，乙糖果的售价为11元千克． (2)混合后的糖果单价应定为12元千克 【思路点拨】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键． （1）设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元，然后依据进回的A糖果的重量比B糖果少列方程求出两种糖果的价格再依据售价进价利润求解即可； （2）用总售价糖果的总重量即可． 【规范解答】（1）解：设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元． 根据题意得：，解得：， 经检验是方程的解且符合题意 ． 所以A糖果的进价为12元千克，B糖果的进价为千克． 甲糖果的售价元千克，乙糖果的售价为元千克． 答：甲糖果的售价为13.2元千克，乙糖果的售价为11元千克． （2）解：合后的糖果单价（元． 答：混合后的糖果单价应定为12元千克． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第5章 分式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 知识点梳理04：分式方程的应用 5 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：分式的基本性质 6 易错知识点02：分式的运算 6 易错知识点03：分式方程 6 易错知识点04：符号与变形 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：分式的意义 7 重点考点讲练01：分式的求值 7 期末考向二：分式的乘除 8 重点考点讲练02：分式乘除混合运算 8 期末考向三：分式的加减 8 重点考点讲练03：分式加减混合运算 8 重点考点讲练04：分式加减的实际应用 9 重点考点讲练05：分式加减乘除混合运算 10 重点考点讲练06：分式化简求值 11 期末考向四：分式方程 11 重点考点讲练07：分式方程无解问题 11 重点考点讲练08：列分式方程 11 重点考点讲练09：解分式方程(化为一元一次) 12 重点考点讲练10：分式方程的行程问题 13 重点考点讲练11：分式方程的工程问题 14 重点考点讲练12：分式方程的经济问题 15 重点考点讲练13：分式方程和差倍分问题 16 重点考点讲练14：分式方程的其它实际问题 17 优选真题难度分层练 18 中档题—夯实基础能力 18 压轴题—强化解题技能 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4．零指数 　　. 5.负整数指数 　　 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的基本性质 1. 分式有意义的条件 分式存在的必要条件是分母不为零，需特别注意以下情况： · 化简分式时，若约分了分母的因式，原分式中被约去的因式对应的取值仍需排除（如原分式分母为 ，约去后，仍须满足且）。 · 分式方程求解后需代入检验，排除使分母为零的解（增根）。 2. 分式基本性质的误用 分式变形时，需遵循分子与分母同乘或同除一个非零整式的原则。常见错误包括： · 仅对分子或分母单独变形（如错误将）。 · 混淆分式的符号变化规则（如误认为，实际应为）。 易错知识点02：分式的运算 1. 乘除运算 · 因式分解不彻底：运算前需对分子、分母进行彻底分解，否则可能导致约分错误。例如，，若未分解直接约分会导致错误。 · 运算顺序错误：混合运算中需严格遵循乘除优先于加减的规则，必要时添加括号。 2. 加减运算 · 通分错误：需正确寻找最简公分母（所有分母的最小公倍式），尤其是分母含多项式时。例如，的最简公分母为，而非仅取单项式。 · 忽略分子整体性：加减运算后合并分子时，若分子为多项式需添加括号，避免符号错误（如）。 易错知识点03：分式方程 1. 解方程步骤缺失 · 漏检验增根：解分式方程必须将根代入原方程分母验证是否为零。例如，方程的解为，但若未检验直接得出结果，可能忽略分母为零的情况。 · 去分母时漏乘整式项：方程两边同乘最简公分母时，需确保每一项均被乘（如方程，去分母后应为）。 2. 应用题中的单位与等量关系 · 实际应用问题（如工程问题、行程问题）中，需注意单位统一及等量关系的正确建立。例如，“甲完成工作的速度是乙的2倍”应转化为分式方程，而非直接设时间为倍数。 易错知识点04：符号与变形 1. 分式整体符号处理 分式前的负号需作用于整个分子或分母。例如，，但运算中若分母为多项式，符号变化需整体添加括号（如）。 2. 复杂分式的拆分与组合 涉及分式的复杂表达式（如）需逐步拆分，避免跳步导致符号错误或漏项。 期末考向一：分式的意义 重点考点讲练01：分式的求值 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 【训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若，则分式______． 【训练2】（22-23七年级下·浙江金华·期末）若，则 ． 期末考向二：分式的乘除 重点考点讲练02：分式乘除混合运算 【母题精讲】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【训练1】（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【训练2】（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留，球体积公式）． 期末考向三：分式的加减 重点考点讲练03：分式加减混合运算 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【训练1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【训练2】（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练04：分式加减的实际应用 【母题精讲】（20-21七年级上·上海静安·期末）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解： ． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______． (2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 【训练1】（21-22七年级下·浙江衢州·期末）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究： (1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）； (2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小； (3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由． 【训练2】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练05：分式加减乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）计算的结果是 ． 【训练1】（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 【训练2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值；，然后从，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值． 重点考点讲练06：分式化简求值 【母题精讲】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【训练1】（21-22七年级下·上海闵行·期末）已知的整数部分为，小数部分为，求． 【训练2】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）先化简，，再从，，，中选择一个合适的值代入求值． 期末考向四：分式方程 重点考点讲练07：分式方程无解问题 【母题精讲】（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【训练1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【训练2】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是 ． 重点考点讲练08：列分式方程 【母题精讲】（2021·内蒙古鄂尔多斯·一模）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为 ． 【训练2】（22-23七年级下·吉林四平·期末）王老师为学校购买口罩，第一次用1850元购买医用外科口罩500个，型口罩50个；第二次用3560元购买医用外科口罩1000个，型口罩80个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．设医用外科口罩的单价是元，型口罩的单价是元，则可列出方程组为 ． 重点考点讲练09：解分式方程(化为一元一次) 【母题精讲】（24-25七年级上·上海闵行·期末）解方程： 【训练1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米．    (1)求、两地之间的距离； (2)该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【训练2】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）方程组的解为 ． 重点考点讲练10：分式方程的行程问题 【母题精讲】（23-24七年级下·山西临汾·期末）小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 【训练2】（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 重点考点讲练11：分式方程的工程问题 【母题精讲】（23-24七年级下·广西崇左·期末）某种植基地准备用80公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚． 【训练1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所的天数是乙队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先单独施工10天，乙队再加入，两队还需同时施工20天，才能完成这项工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为3000元，乙队每天的施工费用为5000元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？ 【训练2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 重点考点讲练12：分式方程的经济问题 【母题精讲】（23-24七年级下·广西百色·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进甲，乙两种粽子进行销售，已知购进甲种粽子的金额是810元，购进乙种粽子的金额是1200元，购买甲种粽子的数量比购买乙种粽子的数量多70个，乙种粽子的单价是甲种粽子的单价的2倍，求甲，乙两种粽子的单价． 【训练1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． (1)求商店4月份购进T恤衫多少件？ (2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【训练2】（23-24七年级下·广西贺州·期末）端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 重点考点讲练13：分式方程和差倍分问题 【母题精讲】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【训练1】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）某校利用消毒液对校园进行全面消杀，初三年级先开学，这段时间用掉了120瓶消毒液，在初一、初二年级陆续开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半，求原来平均每天用掉多少瓶消毒液？ 【训练2】（22-23七年级下·浙江衢州·期末）本月我市进入梅雨季节，为了保障居民的生命财产安全，某社区购进A，B两种型号的抽水泵共100台，A型抽水泵1000元/台，B型抽水泵1500元/台，购进两种型号抽水泵共用130000元． (1)求该社区购进A，B两种型号的抽水泵各多少台？ (2)在相同环境下，经厂家测试B型抽水泵每小时的抽水量比A型抽水泵多，A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同，求A，B两种型号的抽水泵每小时的抽水量各多少立方米？ 重点考点讲练14：分式方程的其它实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【训练1】（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【训练2】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）化学实验室一容器内的a克盐水中含盐b克（盐水的浓度＝含盐质量÷盐水质量×100%）． （1）若加入4克盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（用数学的方法书写过程） （2）若a＝50，b＝5，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍？ （3）若a＝50，b＝5，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）要使分式有意义，x的取值范围满足（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）解方程：． 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 10．（23-24八年级上·吉林白城·期末）先阅读下列解题过程，再回答问题： 计算：． 解：原式① ② ③ ④ (1)以上解答有错误，错误步骤的序号是_______； (2)请你给出正确的解答． 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）若关于分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．（22-23七年级下·广西梧州·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若，则分式 = ． 16．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）关于的方程的两个解为，；的两个解为，；的两个解为，．则关于的方程的两个解分别为 ， ． 17．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简再求值：，请你选一个使原代数式有意义的数代入求值． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水． (1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？ (2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？ (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值． 19．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 20．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）某超市分别用元购进A、B两种糖果，因为A糖果的进价是B糖果的1.5倍，所以进回的A糖果的质量比B糖果少． (1)如果超市将这两种糖果的销售利润定为，则两种糖果每千克售价分别是多少元？ (2)如果将这两种糖果混合在一起出售，总盈利不变（即仍为），那么混合后的糖果单价应定为多元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$