精品解析：吉林省松原市2025年九年级第二次模拟数学试题

2025年九年级第二次模拟考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的定义进行判断即可． 【详解】解：是负数，0既不是正数也不是负数，1和2均为正数， 故选：B． 【点睛】本题考查正数和负数的定义，掌握正负数的意义是解答本题的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得俯视图如下： 故选：D． 4. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 5. 若关于的一元二次方程（其中）有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵关于的一元二次方程（其中）有两个相等的实数根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选∶C． 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 8. 小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费______元（用含a、y的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，分别求出苹果和香蕉的费用，求和即可． 【详解】解：根据题意可得一共应付元， 故答案为：． 9. 油菜是我国栽培面积最大的油料作物，栽培范围几乎遍布全国各地，油菜花粉是蜜蜂从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约米．数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在中，，．以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧在的右侧交于点P，作射线BP交AC于点D，则的大小为度__________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等边对等角结合三角形内角和定理求得，由作图痕迹知平分，求得，再根据三角形的外角性质，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图痕迹知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，于点D，若，，则的长为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用垂径定理得到，设，在中利用勾股定理求出的值，得到，利用三角函数的知识得出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，17 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 13. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： ； 共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种， ∴所选择的两道门门号都是奇数的概率为． 14. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 【答案】甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元，根据元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，可列关于的分式方程，解分式方程要注意检验． 【详解】解：设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的根，且符合题意， ， 答：甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①中点、均为格点；图②中点是格点，点在格线上；图③中，点、、均是格点，点、分别为线段、与格线的交点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中作出线段的中点． 【答案】如图①，连接对角线，， 交于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 如图②，连接，交中间竖格线于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 如图③，连接，，交于点，连接并延长交于点，交于点，则点即为线段的中点（作法不唯一）， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，矩形的性质，三角形的中线，无刻度的直尺作图，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．图①中，利用矩形对角线互相平分即可作图：连接对角线，， 交于点；图②中，利用平行线分线段成比例即可作图：连接，交中间竖格线于点；图③中，利用相似可知只需作出中点，再与点连接即可交于点，再由连接，，交于点，连接并延长交于点，即为线段的中点． 【详解】解：如图①，连接对角线，， 交于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： 由四边形是矩形， 则， 则点即为线段的中点； 如图②，连接，交中间竖格线于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则点即为线段的中点； 如图③，连接，，交于点，连接并延长交于点，交于点，则点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： 由矩形对角线性质可得为中点， ∴为中线， 由，， ∴， ∴， 即为中点，为中线， ∴为中线， ∴， ∵由， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 则点即为线段的中点． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， （1）求和的值． （2）横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】（1）， （2）向下平移的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 17. “垃圾人桶，保护环境，从我做起”．图①是一种摇盖垃圾桶的实物图，图②是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，．求点A到的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．作于点，作于点，利用等腰三角形的性质得到，利用正弦的定义得到，求出的长，同理得出，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 与的距离为， ， 点A到的距离为． 18. 【调查背景】 人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷调查． 【数据收集与整理】 测试得分采用得分制，得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且x为整数），共分为4组：A组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 【数据分析与应用】 （1）___________，__________；扇形统计图中C组对应的圆心角度数为__________； （2）所抽取学生的测试得分的中位数在__________组； （3）若得分不少于4分记为“合格”．已知该校共有5000名学生，估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 【答案】（1）16；； （2）B （3）2125名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数和样本估计总体等，能从频数分布表及扇形统计图中获取正确信息，并能熟练求解加权平均数及样本估计总体是解题的关键． （1）根据四个组的总频数为80可求出m的值，再用C组的频数除以总人数为求出n的值，组对应的圆心角度数为所占百分比，即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）得分不少于4分记为“合格”所占百分比，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ∴组对应的圆心角度数为：； 【小问2详解】 解：把这80名学生的测试成绩按照从低到高排列，中位数为第40名和第41名的成绩的平均数， ∵， ∴中位数落在B组； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为名． 19. 某快递物流总站送货，快递车出发小时后，因发现遗漏重要快递便驾小车沿相同路线追赶．已知快递车行驶的速度是千米/小时，小车行驶的速度是千米/小时． （1）求小车出发后多少小时追上快递车？ （2）如图，图中，分别表示小车、快递车离开物流总站的路程（千米）与小车行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求所在直线的解析式； （3）假设小车需要在1小时内追上快递车，因此出发追赶时通知快递车减速匀速行驶，求快递车至少减速至多少？ 【答案】（1）小时 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意并根据题意求出点B坐标． （1）设小车出发后小时追上大巴车，根据小轿车追上大巴车时两车的总路程相等列出抑郁啊哈一次方程，即可求解； （2）由（1）可得点B坐标，再待定系数法求直线的函数解析式即可； （3）设快递车速度减速至，根据相同时间1小时内，小车形式的路程大于等于快递车的路程列出方程即可． 【小问1详解】 解：设小车行驶的时间为小时，则快递车行驶的时间为小时． 根据题意，得， 解得， ∴小车出发后1.5小时追上快递车． 【小问2详解】 （2）∵小车出发后小时追上快递车，与物流总站相距千米． ∴点的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴所在直线的解析式为． 【小问3详解】 解：设快递车速度减速至， 则， 解得， ∴快递车至少减速至． 20. 【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）正方形边长为15；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可； （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15； （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，点D为边上一点，且．动点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，且点P不与点A、B、D重合，过点P作交折线于点Q，作点P关于点D的对称点E，连接．设与重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）． （1）当点Q与点C重合时， __________； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点E落在边上时，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，函数关系式的建立，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，化动为静，利用相似表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． （1）先由勾股定理求出，由等面积法求出点Q与点C重合时，再由勾股定理即可求解； （2）由题意可得，，，，由对称可得，分两种情况讨论：当点P在点D的右边时，；当点P在点D的左边时，，利用线段和差求解即可； （3）分三种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质进行求解表示相关线段，再由三角形的面积公式建立函数关系式即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 当点Q与点C重合时，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，， ∵点P关于点D的对称点E， ∴， ∴， 当点P在点D的右边时，， 此时， ∴， 当点P在点D的左边时，，如图： 此时， ∴， 综上所述，； 【小问3详解】 解：当点与点重合时，如图： ∴， ∴， ∴当时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， 而， ∴； 当时， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：S与t之间的函数关系式为：． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； （3）过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）； （3）；当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）把点和代入二次函数解析式进行求解即可； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，由题意可知：当时，总有，然后由，可得点离对称轴更近； （）由题意可知：，则有，，，然后可建立方程进行求解；由题意可分当时，当时，当时，然后画出函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可知： ， ∴，， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得：； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示： 不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 综上所述：当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第二次模拟考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 5. 若关于的一元二次方程（其中）有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：=______． 8. 小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费______元（用含a、y的代数式表示）． 9. 油菜是我国栽培面积最大的油料作物，栽培范围几乎遍布全国各地，油菜花粉是蜜蜂从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约米．数据用科学记数法表示为__________． 10. 如图，在 中，，．以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧在 的右侧交于点P，作射线BP交AC于点D，则的大小为度__________． 11. 如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，于点D，若，，则的长为__________（结果保留）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 14. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①中点、均为格点；图②中点是格点，点在格线上；图③中，点、、均是格点，点、分别为线段、与格线的交点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中作出线段的中点． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， （1）求和的值． （2）横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 17. “垃圾人桶，保护环境，从我做起”．图①是一种摇盖垃圾桶的实物图，图②是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，．求点A到的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 18. 【调查背景】 人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷调查． 【数据收集与整理】 测试得分采用得分制，得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且x为整数），共分为4组：A组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 【数据分析与应用】 （1）___________，__________；扇形统计图中C组对应的圆心角度数为__________； （2）所抽取学生的测试得分的中位数在__________组； （3）若得分不少于4分记为“合格”．已知该校共有5000名学生，估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 19. 某快递物流总站送货，快递车出发小时后，因发现遗漏重要快递便驾小车沿相同路线追赶．已知快递车行驶的速度是千米/小时，小车行驶的速度是千米/小时． （1）求小车出发后多少小时追上快递车？ （2）如图，图中，分别表示小车、快递车离开物流总站的路程（千米）与小车行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求所在直线的解析式； （3）假设小车需要在1小时内追上快递车，因此出发追赶时通知快递车减速匀速行驶，求快递车至少减速至多少？ 20. 【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是 的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 21. 如图，在中，，点D为边上一点，且．动点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，且点P不与点A、B、D重合，过点P作交折线于点Q，作点P关于点D的对称点E，连接．设与 重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）． （1）当点Q与点C重合时， __________； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点E落在边上时，求S与t之间的函数关系式． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； （3）过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $