2.1.2 平方根 同步探究学案 2024-2025学年 湘教版（2024）七年级数学下册

2.1 平方根——无理数 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.通过平方根的学习来理解无理数的意义，并从中体会无限逼近的思想。 2.会判断一个数是有理还是无理数，体会“无限”的过程。 3. 学会平方根和平方运算的理解以及它们之间的逆运算关系。 学习重点： 理解无理数的概念，会区分有理数和无理数以及比较大小 学习难点： 探索无理数是无限不循环小数，并理解无限逼近的思想 ► 预习自测 一、单选题 1．有一组数：，，，相邻两个1之间的0依次增加1个，，，，，其中无理数的个数为（   ） A．6 B． C．4 D．3 2．下列各数没有平方根的是（    ） A．34 B．（－4）2 C．5－2 D．－9 二、填空题 3．求一个数的平方根的运算叫做 ， a叫做 ． 4．16的平方根是 ；的算术平方根是 ． ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 请同学们看课本第31页 思考： 观察下列结果： = 1， = 4； = 1. 96， = 2. 25； = 1. 988 1， = 2. 016 4； = 1. 999 396， = 2. 002 225； = 1. 999 961 64， = 2. 000 244 49； … … （1） 分别根据上述结果，估计的算术平方根 2 的大致范围； （2） 猜测 是一个怎样的数？ 二、合作交流、新知探究 探究一：引入无理数的概念 看了上面的思考，你知道什么叫做无理数了吗？请参照课本32页写出无理数的概念： 探究二：有理数与无理数的区别与分类 想一想：小学里学过的有限小数和无限循环小数是有理数吗？ 探究三：什么是近似数？复习计算器的使用 教材第32页 议一议 下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由. （1） 无限小数都是有理数； （2） 无理数都是无限小数； （3） 带根号的数都是无理数； （4） 无理数都是带根号的数 做一做 下列说法是否正确？请举例说明. （1） 一个正数a，先开平方，然后再平方，最后的结果等于a； （2） 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于b 3、 自主检测 一、单选题 1．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 2．下列实数中是无理数的是（    ） A．3.1415 B． C． D． 3．在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．已知数据：，，，，0．其中无理数出现的频率为 ． 三、解答题 5．先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 四、知识点总结 1.知识: （1）无限不循环小数叫做无理数. （2）有理数和无理数的区别： ①概念： 有理数：可以表示为两个整数（分子和分母）之比的数，其中分母不为零。 无理数：不能表示为两个整数的比的数。 ②性质： （1）有理数在数轴上具有确定的、可数的位置。任意两个有理数之间都存在无数个有理数。 （2）无理数在数轴上也是确定的，但无理数之间的空隙无法完全由有理数填补。无理数在数轴上表现为不连续的、无法完全列举的点。 （3）什么是近似数？ （4）平方根和平方运算的理解以及它们之间的逆运算关系。 答案 预习： 1．C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：， 在实数，，，（相邻两个1之间的0依次增加1个），，，，中，无理数有，（相邻两个1之间的0依次增加1个），，，共4个． 故选：C 2．D 3． 开平方 被开方数 4． 2 【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得到结论． 【详解】解：因为的平方是16， 所以16的平方根是， 因为，且2的平方是4， 所以的算术平方根是2． 故答案为：；2． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键． 自主： 1．A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 2．C 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．也考查了求一个数的算术平方根． 【详解】解：A、3.1415是小数，属于有理数，故不符合题意； B、是整数，属于有理数，故不符合题意； C、属于无理数，故符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，利用无理数的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中， ，， ，（相邻两个1之间依次增加一个2）是无理数，共4个， 故选：C． 4．/ 【分析】此题主要考查了频率与频数以及无理数．直接利用无理数的定义得出无理数的个数，进而利用频率求法得出答案． 【详解】解：， ∴数据，，，，0中，无理数有：，共2个， 故无理数出现的频率为：． 故答案为：． 5．(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$